1、2020 年荆门市高考模拟考试文科数学试题年荆门市高考模拟考试文科数学试题 一一.选择题： （本大题共选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上请将正确的答案填涂在答题卡上.） 1已知集合 Ax|x+10，B1，0，1，则RAB（ ） A1 B1 C0，1 D1，0 2若复数 = 2 1+，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为i B|z|2 Cz 表示的点在第四象限 Dz 的共轭复数为1i 3对于
2、实数 m， “1m2“是“方程 2 ;1 2 ;2 =1 表示椭圆“的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为： “今有十等人，每等一人，宫赐金 以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人 未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比 等级较低的九等人所得黄金（ ） A多 8 21斤 B少 8 21斤 C多1 3斤 D少1 3斤 5店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色，则所选颜色 中含有白色的概率是（ ） A1 6
3、 B1 4 C2 5 D2 3 6“搜索指数” 是网民通过搜索引擎， 以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标“搜 索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也 越高如图是 2017 年 9 月到 2018 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势 图 根据该走势图，下列结论正确的是（ ） A这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于 11 月份的方差 D从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月
4、份的平均值 7已知 x1ln1 2，x2e ;1 2，x3满足 e ;3 =lnx3，则下列各选项正确的是（ ） Ax1x3x2 Bx1x2x3 Cx2x1x3 Dx3x1x2 8函数 = 1 2的部分图象大致为（ ） A B C D 9秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图， 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 2，则输出v 的值为 （ ） A80 B192 C448 D36 10 已知直线 ykx1 与抛物线 y28x 相切， 则双曲线： x2k2y2
5、1 的离心率等于 （ ） A2 B3 C5 D 5 2 11已知函数 f（x）lnx+ln（ax）的图象关于直线 x1 对称，则函数 f（x）的单调递增 区间为（ ） A （0，2） B0，1） C （，1 D （0，1 12已知点 M，N，P，Q 在同一个球面上，且 MN3，NP4，MP5，则该球的表面积 是625 16 ，则四面体 MNPQ 体积的最大值为（ ） A10 B5 2 C12 D5 二二.填空题（本题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知平面向量 与 的夹角为 45， =（1，1） ，| |1，则| + | 14已知数列n的前
6、 n 项和 2Sn3an1（nN*） ，bn1+log3an，则数列* 1 +1+的前 n 项和 Tn 15 设锐角ABC 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若2 （acosB+bcosA） 2csinC， b3，则 c 的取值范围为 16直角坐标系 xOy 中，已知 MN 是圆 C： （x2） 2+（y3）22 的一条弦，且 CMCN， P 是 MN 的中点当弦 MN 在圆 C 上运动时，直线 l：xy50 上总存在两点 A，B， 使得APB 2恒成立，则线段 AB 长度的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写
7、出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，bcosCa，sinBsinCcos（AC） +cosB （）求 cosC； （）点 D 为 BC 延长线上一点，CD4， = 13，求ABC 的面积 18如图，四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PA2AB 2，ACCD，PD 与平面 PAC 所成角的余弦值为 10 4 （）证明：BC平面 PAD； （）点 M 为 PB 上一点，且;= 3 24，试判断点 M 的位置 19某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难
8、度系数“和“区分度“两个 指标中，难度系数= 年级总平均分 满分 ，区分度= 实验班的平均分普通班的平均分 满分 （）某次数学考试（满分为 150 分） ，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人 的成绩分别为 147，142，137；普通班三人的成绩分别为 97，102，113通过样本估计 本次考试的区分度（精确 0.01） （）如表表格是该校高三年级 6 次数学考试的统计数据： 难度系数 x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82 区分度 y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22来源:学科网 0.15 计算相关系数 r，|r|0.75 时，认为相关性弱；|
9、r|0.75 时，认为相关性强通过计算 说明，能否利用线性回归模型描述 y 与 x 的关系（精确到 0.01） ti|xi0.74|（i1，2，6） ，求出 y 关于 t 的线性回归方程，并预测 x0.75 时 y 的值（精确到 0.01） 附注：参考数据： 6 1 = 0.9309， 6 1 ( )2 6 1 ( )2 0.0112， 6 1 = 0.0483， 6 1 ( )2=0.0073 参考公式：相关系数 r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ，回归直线 = + 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = 20已知函数 f（x）exax2
10、，已知函数在 x1 处的切线方程为 y（e2）x+1 （）求 a 的值； （）求证：当 x0 时， ;1 + 1 21已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点(1， 3 2)在椭圆 C 上，满足1 2 = 9 4 （）求椭圆 C 的标准方程； （）直线 l1过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2与 l1的倾斜角互补，且与椭圆 交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间） 问：直线 PM 与 PN 的斜率之和能否为定值，若能，求出定值并写出详细计算过程； 若不能，请说明理由； 求证：|PM|KN|PN|KM
11、| （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分一题记分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以、轴正半轴为极 轴 已知曲线C1的极坐标方程为 = 4( 3)， 曲线C2的极坐标方程为( 3) = ，射线 = 6， = + 3 ， = + 2与曲线 C1 分别交于异于极点 O 的四点 A，B，C，D （）若曲线 C1关于 C2对称，求 的值，并求 C1的参数方程； （）若 f（）|
12、OA|OB|OC|OD|，当 3 2时，求 f（）的范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 x，y，z 为正实数，且 x+y+z2 （）求证：4xy+2yz+2xz+z24； （）求证：xy（x2+y2）+yz（y2+z2）+xz（x2+z2）4xyz 一一.选择题： （本大题共选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上请将正确的答案填涂在答题卡上.） 1已知集合 Ax|x+10，B1，0，1，则RAB（
13、 ） A1 B1 C0，1 D1，0 根据集合的基本运算即可求（RA）B 即可求解 Ax|x+10，B1，0，1， 则RABx|x1，B1，0，1， RAB1 故选：B 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2若复数 = 2 1+，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） Az 的虚部为i B|z|2 Cz 表示的点在第四象限 Dz 的共轭复数为1i 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案 = 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 1 ， z 的虚部为1；|z|= 2；z 表示的点的坐标为（1，1） ，在第四象限；z 的共轭复数 为 1+i 故选
14、：C 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的 代数表示法及其几何意义，是基础题 3对于实数 m， “1m2“是“方程 2 ;1 2 ;2 =1 表示椭圆“的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 本题由椭圆的标准方程满足条件入手得出 m 的取值范围，进而得出正确选项 由“方程 2 ;1 2 ;2 =1 表示椭圆“可得 10 20 1 2 ，解得 1m2 且 m 3 2， 所以“1m2“是“方程 2 ;1 2 ;2 =1 表示椭圆“的必要不充分条件 故选：B 本题主要考查椭圆的标准方程及充分必要条件的判定 4我国南北朝
15、时的数学著作张邱建算经有一道题为： “今有十等人，每等一人，宫赐金 以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人 未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比 等级较低的九等人所得黄金（ ） A多 8 21斤 B少 8 21斤 C多1 3斤 D少1 3斤 由题意可知各等人所得金数组成等差数列，根据等差数列的性质即可计算出问题答案 设十等人得金从高到低依次 a1，a2，a10，则an为等差数列， 设公差为 d，则由题意可知1 + 2+ 3= 4 8+ 9+ 10= 3； a2= 4 3，a91， d= 92 7 = 1 21； a1
16、a98d= 8 21 即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多 8 21斤 故选：A 本题考查了等差数列的性质，等差数列的应用，属于中档题 5店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色，则所选颜色 中含有白色的概率是（ ） A1 6 B1 4 C2 5 D2 3 求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率 从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色有5 2= 10， 选颜色中含有白色有4 1=4， 来源:Z_xx_k.Com 则从黄、白、蓝、红，黑选 2 种颜色，则所选颜色中含有白色的概率 4 10 = 2 5， 故选：C 本题考查概率，属于基础题 6“搜
17、索指数” 是网民通过搜索引擎， 以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标“搜 索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也 越高如图是 2017 年 9 月到 2018 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势 图 根据该走势图，下列结论正确的是（ ） A这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差小于 11 月份的方差 D从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 观察指数变化的走势图，能求
18、出去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值 在 A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故 A 错误； 在 B 中， 这半年中， 网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性， 没有减弱， 故B 错误； 在 C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年 10 月份的方差大于 11 月份的方差， 故 C 错误； 在 D 中， 从网民对该关键词的搜索指数来看， 去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平 均值，故 D 正确 故选：D 本题考查命题真假的判断，考查简单的合理推理、推理论证能力等基础知识，考查运用 求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 7已知 x1
19、ln1 2，x2e ;1 2，x3满足 e ;3 =lnx3，则下列各选项正确的是（ ） Ax1x3x2 Bx1x2x3 Cx2x1x3 Dx3x1x2 本题可以选择 0，1 两个中间值采用搭桥法处理 依题意，因为 ylnx 为（0，+）上的增函数，所以 x1ln1 2 ln10； 因为 yex为 R 上的增函数，且 ex0，所以 0x2e ;1 2e01； x3满足 e ;3 =lnx3， 所以 x30，所以;30， 所以 lnx30ln1， 又因为 ylnx 为（0，+）的增函数， 所以 x31， 综上：x1x2x3 故选：B 本题考查了指数函数，对数函数的单调性，函数值的大小比较等，属于
20、中档题 8函数 = 1 2的部分图象大致为（ ） A B C D 由函数为偶函数，可排除 CD，由 f（1）0，可排除 A，由此得出正确选项 函数的定义域为x|x0，() = () 1 ()2 = 1 2 = ()，则 f（x） 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，可排除 CD； 又 f（1）sin110，可排除 A 故选：B 本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题 9秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图， 给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 2，则
21、输出 v 的值为 （ ） A80 B192 C448 D36 由题意，该框图利用秦九韶算法计算变量 v 的值，根据算法功能反复执行循环体计算即 可 k1 时，v1； k2 时，v12+214； k3 时，v42+2212； k4 时，v122+2332； k5 时，v322+2480； k6 时，v802+25192 因为此时 k5，故停止循环，输出 v 的值为 192 故选：B 本题主要是考查了程序框图的当型循环， 注意本题中的k与v值计算式子中的k值相差1， 容易出错同时本题考查了学生的逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题 10 已知直线 ykx1 与抛物线 y28x 相切， 则双曲线：
22、x2k2y21 的离心率等于 （ ） A2 B3 C5 D 5 2 联立直线方程与抛物线方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用判别式等于 0 求得 k，代 入双曲线方程，求得 a，b，c 的值，则双曲线的离心率可求 联立 = 1 2= 8 ，得 k2x2（2k+8）x+10 由（2k+8）24k232k+640，得 k2 双曲线：x2k2y21 化为2 2 1 4 = 1， 则 a21，2= 1 4， = 2+ 2 = 5 2 双曲线的离心率等于 = 5 2 故选：D 本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查双曲线的简单性质，是基础题 11已知函数 f（x）lnx+ln（ax）的图象关于直线
23、 x1 对称，则函数 f（x）的单调递增 区间为（ ） A （0，2） B0，1） C （，1 D （0，1 函数 f（x）lnx+ln（ax）的图象关于直线 x1 对称f（2x）f（x） ，可求得 a2， 利用复合函数的单调性解求得答案 函数 f（x）lnx+ln（ax）的图象关于直线 x1 对称， f（2x）f（x） ，即 ln（2x）+lna（2x）lnx+ln（ax） ， 即 ln（x+a2）+ln（2x）lnx+ln（ax） ， a2 f（x）lnx+ln（2x）lnx（2x） ，0x2 由于 yx（2x）（x1）2+1 为开口向下的抛物线，其对称轴为 x1，定义域为 （0，2） ，
24、 它的递增区间为（0，1， 由复合函数的单调性知， f（x）lnx+ln（2x）的单调递增区间为（0，1， 故选：D 本题考查利用导数研究函数的单调性，突出考查复合函数的单调性的应用，考查推理与 运算能力，属于中档题 12已知点 M，N，P，Q 在同一个球面上，且 MN3，NP4，MP5，则该球的表面积 是625 16 ，则四面体 MNPQ 体积的最大值为（ ） A10 B5 2 C12 D5 由已知可得PNM 为直角三角形，画出图形，可知要使四面体 MNPQ 体积取最大值，则 球心 O 在过 PM 中点 O与面 MNP 垂直的直线上， 由球的表面积求得半径， 利用勾股定 理求出三棱锥的高，可
25、得四面体 MNPQ 体积的最大值 如图，由 MN3，NP4，MP5，的PNM90， 设四面体 MNPQ 的外接球的半径为 R，由球的表面积是625 16 ， 得42= 625 16 ，即 R= 25 8 要使四面体 MNPQ 体积取最大值， 则球心 O 在过 PM 中点 O与面 MNP 垂直的直线上， 设 QOh 在 RtOOP 中，OP2OO2+OP2， R2（hR）2+ 25 4 ，即625 64 = ( 25 8 )2+ 25 4 ， 得 h5，来源:Zxxk.Com 四面体 MNPQ 体积的最大值为1 3 1 2 3 4 5 = 10 故选：A 本题考查多面体的外接球，考查数形结合的解
26、题思想方法，考查计算能力，是中档题 二二.填空题（本题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知平面向量 与 的夹角为 45， =（1，1） ，| |1，则| + | 5 根据题意，由向量的坐标计算可得| |，又由数量积的计算公式可得| + |2（ 2+2 + 2 ） ，进而计算可得答案 根据题意， =（1，1） ，则| |= 2， 又由 与 的夹角为 45，| |1，则| + |2= 2+2 + 2 2+2+15， 则| + |= 5； 故答案为：5 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题 14已知数列n的前 n 项和 2Sn3
27、an1（nN*） ，bn1+log3an，则数列* 1 +1+的前 n 项和 Tn :1 2Sn3an1（nN*） ，n2 时，可得：2an2Sn2Sn1，化为：an3an1，又 n1 时， 2a13a11，解得 a1利用等比数列的通项公式可得 an可得 bn利用裂项求和即可得 出 2Sn3an1（nN*） ， n2 时，2an2Sn2Sn13an1（3an11） ，化为：an3an1， 又 n1 时，2a13a11，解得 a11 数列n是等比数列，公比为 3，首项为 1 an3n 1 bn1+log3an1+n1n 1 +1 = 1 (:1) = 1 1 :1 则数列* 1 +1+的前 n
28、项和 Tn1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 =1 1 +1 = +1 故答案为： :1 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 15 设锐角ABC 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若2 （acosB+bcosA） 2csinC， b3，则 c 的取值范围为 （3 2， 32 2 ） 由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求C， 然后结合锐角三角形可求B的范围， 再结合正弦函数的性质可求 2（acosB+bcosA）2csinC， 由正弦定理可得，2（sinAcosB+sinBcosA）2si
29、nCsinC， 即2sin（A+B）2sinCsinC= 2sinC， 所以 sinC= 2 2 ， C 为锐角，则 C= 4， + = 3 4 ， 由题意可得， 0 1 2 0 3 4 1 2 ， 故 4 1 2 ， 由正弦定理可得， 2 2 = 3 ， 所以 c= 3 22sinB ( 3 2， 32 2 ) 故答案为： （3 2， 32 2 ） 本题考查三角形的正弦定理和内角和定理及和差角公式的运用，考查运算能力，属于中 档题 16直角坐标系 xOy 中，已知 MN 是圆 C： （x2） 2+（y3）22 的一条弦，且 CMCN， P 是 MN 的中点当弦 MN 在圆 C 上运动时，直线
30、 l：xy50 上总存在两点 A，B， 使得APB 2恒成立，则线段 AB 长度的最小值是 62 +2 依题意，点 P 在以 C 为圆心以 1 为半径的圆上，要使得APB 2恒成立，则点 P 在以 AB 为直径的圆内部，所以 AB 的最小值为圆的直径的最小值 因为 P 为 MN 的中点，所以 CPMN， 又因为 CMCN，所以三角形 CMN 为等腰直角三角形，所以 CP1， 即点 P 在以 C 为圆心，以 1 为半径的圆上，点 P 所在圆的方程为（x2）2+（y3）2 1， 要使得APB 2恒成立，则点 P 所在的圆在以 AB 为直径的圆的内部， 而 AB 在直线 l：xy50 上， C 到直
31、线 l：xy50 的距离 d= |235| 1+1 =32 所以以 AB 为直径的圆的半径的最小值为 r32 +1， 所以 AB 的最小值为 2r62 +2 故答案为：62 +2 本题考查了直线和圆的关系的应用， 考查了点与圆的位置关系， 圆的性质等， 属于难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，bcosCa，sinBsinCcos（AC） +cosB （）求 cosC； （）点 D 为 BC 延长线上一点，CD
32、4， = 13，求ABC 的面积 （I）由已知结合和差角公式进行化简可求 cosC，进而可求 C； （II）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解 （I）sinBsinCcos（AC）+cosBcos（AC）cos（A+C）2sinAsinC， sinB2sinA，即 b2a， bcosCa， cosC= 1 2， C（0，） ， = 2 3 ， （II）由余弦定理可得，AD2AC2+CD22ACCDcosACD， 所以 13= 2+ 16 8 1 2， 解可得 b3 或 b1， 因为 b2a， 所以 = 3 = 3 2 或 = 1 = 1 2 ， 当 = 3 = 3 2 时，SABC=
33、 1 2 = 1 2 3 3 2 3 2 = 93 8 ， 当 = 1 = 1 2 时，SABC= 1 2 = 1 2 1 2 1 3 2 = 3 8 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及和差角公式在求解三角形中 的应用，属于中档试题 18如图，四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，ABC 为等边三角形，PA2AB 2，ACCD，PD 与平面 PAC 所成角的余弦值为 10 4 （）证明：BC平面 PAD； （）点 M 为 PB 上一点，且;= 3 24，试判断点 M 的位置 （）由 PA平面 ABCD，得 PACD，求解三角形证明CAD60，结合BCA 60，得到
34、 BCAD，由直线与平面平行的判定可得 BC平面 PAD； （）设 = ，则 VMPCDVBPCDVPBCD，求出三棱锥 PBCD 的体积，结 合;= 3 24求得 值，可得点 M 的位置 （）证明：PA平面 ABCD，PACD， 又 ACCD，CAPAA，CD平面 PAC， PD 与平面 PAC 所成角为DPC， 在 RtPCD 中，cosDPC= = 10 4 ， 在 RtPAC 中，PC= 1 + 4 = 5，PD22， 在 RtPAD 中，PA2，AD2， 在 RtACD 中，求得CAD60 又BCA60，在平面 ABCD 中，得到 BCAD， 而 AD平面 PAD，BC平面 PAD，
35、 BC平面 PAD； （）解：点 M 在 PB 上，设 = 则 VMPCDVBPCDVPBCD， ;= 1 3 1 2 3 2 2 = 3 6 ， 3 6 = 3 24，得 = 1 4 点 M 的位置是靠近 P 的四等分点 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求 多面体的体积，是中档题 19某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个 指标中，难度系数= 年级总平均分 满分 ，区分度= 实验班的平均分普通班的平均分 满分 （）某次数学考试（满分为 150 分） ，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人 的成绩分别为 14
36、7，142，137；普通班三人的成绩分别为 97，102，113通过样本估计 本次考试的区分度（精确 0.01） （）如表表格是该校高三年级 6 次数学考试的统计数据： 难度系数 x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82 区分度 y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15 计算相关系数 r，|r|0.75 时，认为相关性弱；|r|0.75 时，认为相关性强通过计算 说明，能否利用线性回归模型描述 y 与 x 的关系（精确到 0.01） ti|xi0.74|（i1，2，6） ，求出 y 关于 t 的线性回归方程，并预测 x0.75 时 y 的值（精确到
37、0.01） 附注：参考数据： 6 1 = 0.9309， 6 1 ( )2 6 1 ( )2 0.0112， 6 1 = 0.0483， 6 1 ( )2=0.0073 参考公式：相关系数 r= =1 ()() =1 ()2 =1 ()2 ，回归直线 = + 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 = =1 ()() =1 ()2 ， = （）先求出平均成绩，即可求出区分度； （）由题意计算、 ，求出相关系数，即可判断两变量相关性强弱； 计算回归系数，写出线性回归方程，利用方程计算 t10 时的值 （1）实验班三人成绩的平均值为92:102:113 3 =142， 普通班三人成绩的平均值为92:1
38、02:113 3 =104， 故估计本次考试的区分度为142;104 150 0.25， （2）由题中的表格可知 = 1 6（0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.82）0.84， = 1 6（0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15）0.21， 故 r= 6 =1 6 6 =1 ()2 6 =1 ()2 0.930960.740.21 0.0112 0.13 因为|r|0.75，所以相关性弱，故不能利用线性回归模型描述 y 与 x 的关系； y 与 t 的值如下表 t 0.10 0.03 0 0.02 0.03 0.08 区别度 y 0.18 0.23 0.
39、24 0.24 0.22 0.15 因为 = 6 =1 6 6 ()2 0.048360.26 6 0.21 0.0073 0.86， 所以 a= =0.21+0.86 0.26 6 0.25， 所以所求回归直线方程 y0.86t+0.25， 当 x0.75 时，此时 t0.01，则 y0.24 本题考查线性回归方程的求法，考查线性相关关系强弱的判定，考查计算能力，是中档 题 20已知函数 f（x）exax2，已知函数在 x1 处的切线方程为 y（e2）x+1 （）求 a 的值； （）求证：当 x0 时， ;1 + 1 （I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； （II）要证原不等式
40、成立，可考虑构造函数，然后转化为求解相应函数的范围，结合导数 及函数性质可求 （I）f（x）ex2ax， 由题意可知，f（1）e2ae2， 所以 a1； （II）证明：函数在 x1 处的切线方程为 y（e2）x+1 故可猜想：当 x0 且 x1 时，f（x）的图象恒在切线 y（e2）x+1 的上方， 下证当 x0 时，f（x）（e2）x+1， 设 g（x）f（x）（e2）x+1，x0，则 g（x）ex2xe+2，g （x）ex2， g（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增， 因为 g（0）3e，g（1）0，0ln21， 所以 g（ln2）0， 故存在 x0（0，ln2）使
41、得 g（x0）0， 所以，当 x（0，x0） ， （1，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，当 x（x0，1）时， g（x）0，g（x）单调递减， 又 g（0）g（1）0， 所以 g（x）exx2（e2）x10，当 x1 时取等号， 故 :(2;);1 + 1，当 x1 时取等号， 令 h（x）xlnx1，x0 则() = 1 1 ， 易得 x1 是函数 h（x）的极小值点， 所以 h（x）h（1）0， 故 xlnx+1 所以 :(2;);1 + 1，当 x1 时取等号， 即证 ;1 + 1 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于难题 21已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点(1， 3 2)在椭圆 C 上，满足1 2 = 9 4 （）求椭圆 C 的标准方程； （）直线 l1过点 P，且与椭圆只有一个公共点，直线 l2与 l1的倾斜角互补，且与椭圆 交于异于点 P 的两点 M，N，与直线 x1 交于点 K（K 介于 M，N 两点之间） 问：直线 PM 与 PN 的斜率之和能否为定值，若能，求出定值并写出详细计算过程； 若不
浙公网安备33030202001339号