2020届江苏省南通市高考全真冲刺模拟数学试卷（含答案）

1、 数学（答案全解全析）第 1 页（共 12 页） 绝密绝密启用前启用前 2020届江苏省南通市高三年级第三次模拟考试高考全真冲刺模拟卷 数学数学 参考答案与解析参考答案与解析 数学卷数学卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分 1. (本小题满分 5 分) 【答案】4 2. (本小题满分 5 分) 【答案】5； 3. (本小题满分 5 分) 【答案】50 4. (本小题满分 5 分) 【答案】(0)， 5. (本小题满分 5 分) 【答案】12 6. (本小题满分 5 分) 【答案】3 7. (本小题满分 5 分) 【答案】

2、 2 2 1 520 y x 8. (本小题满分 5 分) 【答案】 2 3 3 【解析】对于椭圆，显然 3 1, 2 c b a ，所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y，设 00 (,)N xy，则由 ANNM 得 00 (21,2)Mxy 因为点 M 在双曲线上， 点 N 在椭圆上， 所以 2 20 0 1 4 x y， 2 20 0 (21) 41 4 x y ， 解得， 00 1, 3 2 xy ，故直线l的斜率 2 3 3 k 9. (本小题满分 5 分) 数学（答案全解全析）第 2 页（共 12 页） 【答案】 1 3 解析一：解析一： f(x)cosx(sin xcosx)1

3、2sin xcosxcos 2x1 2 1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2 1 2sin 2x 1 2 cos 2x 2 2 sin 2x 4 ，因为 2 ( ) 6 f ，所以 1 sin(2) 43 ，所以 1 cos(2 )cos(2)sin(2) 42443 。 解析二：解析二： f(x)cosx(sin xcosx)1 2sin xcosxcos 2x1 2 1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2 1 2sin 2x 1 2 cos 2x， 因为 2 ( ) 6 f ，所以 sin 2cos 2 2 3 ， 所以 2221 cos(2 )coscos2sinsin

4、2cos2sin2 4442233 。 10. (本小题满分 5 分) 【答案】(0 2)， 【解析】 10 ( ) 4 10 2 x f x x x ， ， ， 所以)(xf在(0)，上单调递增，在0)，上为常数函数，则 2 2 22 20 xxx xx ， 解得20 x 11. (本小题满分 5 分) 【答案】1sin 【 解 析 】 由 题 可 知sin0xaxb恒 成 立 ， 即s i n xa xaab恒 成 立 ， 令 g( )sinxxaxa， 所 以g ()c o s0xxa， 所 以g ()s i nxxa xa在 1 , 1上 是 减 函 数 ， 所 以 1sin) 1 (

5、gba， 即ab的最大值为1sin 12. (本小题满分 5 分) 【答案】 2 4 数学（答案全解全析）第 3 页（共 12 页） 【解析】 设 3521151 kCA ABAB BCBC CA ， 所以 35 , 21 , 15 , CA ABk AB BCk BC CAk 所以 cos35 , cos21 , cos15 , bcAk acBk abCk 即 222 222 222 35 , 21 , 15 , abck bcak cabk 所以 2 2 2 36 , 50 , 56 , ak bk ck 所以 222 3650562 cos 2426 5 2 abc C ab 13.

6、(本小题满分 5 分) 【答案】2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意， ( 11)B ， ， (71)C， ， 设 ()D x y， ，所以 ( 11)AB ， ， (71)AC ， ， ()ADx y， ， 所以() ()( )(7)4AB ADAC ADxyxy ， 即( )(7 )4xy yx ，令 7 xym yxn ，则 1( ) 8 1(7 ) 8 xmn ymn ，所以 mn=4， 所以 22222211 ()(7)50212 88 ADxymnmnmnmn 2222 252410242 88 mnmn 当且仅当 5m=n=2 5时，AD 取得最小值2 14. (本

7、小题满分 5 分) 【答案】1009 【解析】因为偶函数 yf x满足(2)(2)f xfx，所以(4)()( )f xfxf x， 所以函数 yf x是最小正周期为 4 的偶函数，且在2,0x 时， 2 1f xx ， 所以函数 yf x的值域为3，1，对任意 xi，xj（i，j=1，2，3，m） ，都有|f（xi） f（xj）|f(x)maxf(x)min4，要使 xn取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，m）取 得最高点，且 f(0)1，f(1)0，f(2)3，因为 12 0 n xxx，且 1223 f xf xf xf x 1 2017 nn f xf x ， 根据2017

8、4 504 1 ，相应的 xn最小值为 1009 C x y A B D （第 14 题） 数学（答案全解全析）第 4 页（共 12 页） A B O D y x 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分分 15(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 （1）因为( )f x的最小值是2，所以 A2 又由( )f x的图象经过点(,1) 3 M ，可得( )1 3 f ， 1 sin() 32 ， 所以2 36 k 或2 36 k ， 又0 ，所以 2 ， 故( )2sin() 2 f xx ，即( )2cosf xx （2）由（1）知( )2cosf xx，又 8

9、 ( ) 5 f， 24 ( ) 13 f， 故 824 2cos,2cos 513 ，即 412 cos,cos 513 ， 又因为,(0,) 2 ，所以 35 sin,sin 513 ， 所以()2cos()2(coscossinsin )f 41235126 2() 51351365 16(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 （1）在四棱锥PABCD中，因为90BAD， 所以ABAD 又ABPA，且APPADADPAD平面，平面，ADAPA， 所以AB 平面 PAD 又AB 平面ABCD，所以平面PAD 平面ABCD （2）取 AP 的中点 F，连 EF，BF 在PAD 中，EFAD

10、，且 1 2 EFAD，又ADBC， 1 2 BCAD， 所以 EFBC，且EFBC，所以四边形 BCEF 为平行四边形， 所以 CEBF 因为CE 平面 PAB，BF 平面 PAB， 所以CE平面PAB 17(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则(0, 2)D （1）小路的长度为OAOBAB，因为,OA OB长为定值， 故只需要AB最小即可 数学（答案全解全析）第 5 页（共 12 页） 作OMAB于M，记OMd，则 222 22 4ABOAOMd， 又2dOD ，故2 422 2AB， 此时点D为AB中点 故小路的最短长度为42 2(百米) （2）显然，

11、当广场所在的圆与ABO内切时， 面积最大，设ABO的内切圆的半径为r， 则ABO的面积为 11 () 22 ABO SABAOBOrAB d ， 由弦长公式 2 2 4ABd可得 2 2 4 4 AB d ，所以 22 2 2 (16) 4(4) ABAB r AB ， 设ABx，则 222 2 2 (16)(4) ( ) 444(4) xxxx rf x xx （） ， 所以 322 22 28322(416) ( ) 4(4)4(4) xxxxxx fx xx ， 又因为0dOD，即02d，所以 2 2 42 2,4xABd ， 所以 2 2 2(416) ( )0 4(4) xxx fx

12、 x ，所以 max ( )(2 2)64 2f xf ， 即ABC的内切圆的面积最大值为(64 2) 18(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 （1）3AF ， 点F与椭圆C左准线的距离为5， 2 22 3, 5, , ac a c c cab 解得 2, 3, a b 椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）法一：显然(,0)Aa，( ,0)B a，( ,0)F c，设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 则点M在椭圆C上， 22 22221 11 22 (1)() xb ybxa aa ， 22 111 222 111 MAMB yyyb kk xa xaxaa

13、(i)， 设直线MN:xmyc， 与椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 联立方程组消去x得： 222224 ()20am bycmb yb，其两根为 1 y， 2 y， 2 12 222 4 12 222 2 , , cmb yy am b b y y am b (*) 1212 1212 BMBN yyyy kk xa xamyca myca 数学（答案全解全析）第 6 页（共 12 页） 12 22 1212 ()()() y y m y ym ca yyca ， 将(*)代入上式化简得： 4 22 () BMBN b kk a ac (ii) 又2 MABN kk(iii)

14、 由(i)(ii)(iii)得： 24 222 2 () bb aa ac ， 22 430aacc，即 2 3410ee ，解得 1 3 e 或1e ， 又01e， 1 3 e ，即椭圆C的离心率为 1 3 分 法二：显然(,0)Aa，( ,0)B a，( ,0)F c， 2 M AB N kk，设直线MA的方程为()yk xa，直线NB的方程为 2 ()yk xa， 由 22 22 (), 1 yk xa xy ab 得 222324222 ()2()0a kb xa k xa ka b， 注意到其一根为xa，另一根为 322 222 a kab x a kb ， 3222 222222

15、2 () a kabkab yka a kba kb ，即 3222 222222 2 (,) akabkab M akbakb 6 分 同理由 22 22 2 (), 1 yk xa xy ab 得 3222 222222 44 (,) 44 a kabkab N a kba kb 由M，N，F三点共线得：/FMFN， 32223222 222222222222 442 ()()()0 44 a kabkaba kabkab cc a kba kba kba kb ， 化简得： 222 (3 )(2)0aca kb，3ac ， 1 3 c e a ，即椭圆C的离心率为 1 3 由3ac，又椭

16、圆 C 的焦距为 2，1c ，3a ， 222 8bac， 由方法一得 12 2 12 2 16 , 98 64 , 98 m yy m y y m A MN面积 2 121212 11 4 ()4 22 SAF yyyyy y 2 2 961 ,R 98 m m m 令 2 1,Rtmm，则 2 96 ,1 18 t St t ， 2 22 96(1 8 ) 0 (18 ) t S t ， 2 96 18 t S t 在1,)为减函数， 数学（答案全解全析）第 7 页（共 12 页） 1t ，即0m 时， max 32 3 S，即AMN面积的最大值为 32 3 19(本小题满分 16 分)

17、【答案与解析】 （1）由条件知 1 3 nn bb ，即 2 3 nn aa ， 所以数列 n a的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为 3 由 1 aa， 3 22aa，所以 31 23aaa，即1a ， 所以 1 1a ， 2 2a 所以 2 2 (1)(1) 3233 22 n n nn n Snnn （2） 由 2 n Tn，得 1 21 nnn bTTn （2n） ， 由于 1 1b 符合上式，所以21 n bn（n N） ， 所以 1 21 nn aan 所以 1 (1)() nn anan ，即 1 1 (1) n n an an ， 所以数列(1) n an为等比数列，且公

18、比为1， 因为 1 0aa，所以 1 ( 1)(1) n n aan （n N） 不等式 1 (1)(1)2(1) nn aan 即为 11 ()12(1) nnnn a aaan ， 由于 1 21 nn aan ，所以不等式即为 1 0 nn a a 当n是奇数时，(1) n aan， 1n aan ， 所以 2 1 (1)()(1)0 nn a aananaan n ， 即 2 (1)aan n对n N ，且2n恒成立， 所以 2 6aa，解得23a 当n为偶数时，(1) n aan ， 1n aan ， 由 1 0 nn a a ，得 2 (1)aan n对n N ，且2n恒成立， 所

19、以 2 2aa，解得21a， 数学（答案全解全析）第 8 页（共 12 页） 因为0a ，所以 a 的取值范围是01a 20(本小题满分 16 分) 【答案与解析】 （1） 当1k 时，( )lnf xxx，所以( )1lnfxx （） 设切点为 00 ()P xy，则 0 000 00 1ln ln 1 xc yxx ycx 由得， 000 1lncxxx 由得 0 ln1xc代入得， 00 1(1)cxx c 所以 0 11xc， （） 由题意，得方程ln1xxcx有正实数根， 即方程 1 ln0xc x 有正实数根， 记 1 ( )lnh xxc x ，令 22 111 ( ) x h

20、x x xx ， 当01x时，( )0h x；当1x 时，( )0h x； 所以( )h x在(0 1)，上为减函数，在(1)，+上为增函数； 所以 min ( )(1)1h xhc 若1c ，则( )(1)10h xhc ，不合； 若1c ，由知适合； 若1c ，则(1)10hc ，又 11 (e )0 ee c cc hcc， 所以(1)(e )0 c hh，由零点存在性定理知( )h x在(1e )(0) c ，上必有零点 综上，c 的取值范围为1)，+ （2） 由题意得，当2k时，ln1 k xxcx对于任意正实数 x 恒成立， 所以当2k时， 11 ln k cxx x 对于任意正实

21、数 x 恒成立， 数学（答案全解全析）第 9 页（共 12 页） 由（1）知， 1 ln1x x ， 两边同时乘以 x 得，ln1xxx ， 两边同时加上 1 x 得， 11 ln12xxx xx ， 所以 1 ln1xx x （*） ，当且仅当1x 时取等号 对（*）式重复以上步骤可得， 21 ln1xx x ， 进而可得， 31 ln1xx x ， 41 ln1xx x ， 所以当2k， * Nk时， 11 ln1 k xx x ，当且仅当1x 时取等号 所以1c 当c取最大值 1 时， 2 ln1 k xxaxbxx对于任意正实数 x 恒成立， 令上式中1x 得， 00ab，所以0ab，

22、 所以 2 1axaxx对于任意正实数 x 恒成立， 即 2 (1)1 0axax 对于任意正实数 x 恒成立， 所以0a ，所以函数 2 (1)1yaxax的对称轴 1 0 2 a x a ， 所以 2 (1)40aa ，即 2 (1)0a，所以1a ，1b 又由 21 ln1 k xx x ，两边同乘以 x2得， 2 ln k xxxx ， 所以当1a ，1b 时， 2 ln k xxaxbx也恒成立， 综上，得1a ，1b 数学卷（附加题）数学卷（附加题） 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题小题。 A选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 【答案与

23、解析】 011201 100112 设( , )A a b，则由 013 124 a b ，得 3, 24. b ab 数学（答案全解全析）第 10 页（共 12 页） 所以 2, 3, a b 即( 2,3)A B选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 以极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy 因为 sin3 3 ，所以 31sin cos3 22 ， 将其化为普通方程，得 3xy60 将曲线 C：2化为普通方程，得 x2y24 所以圆心00O，到直线 l： 3xy60 的距离 d 6 3 1 3 所以 P 到直线 l 的最大距离为 d25 C选修 45

24、：不等式选讲(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 由于, ,0a b c ， 所以 3213321 (3 )() 2 abc abcabc 22 3321 (3)( 333)27 2 ac abc 当且仅当 3 3 2 321 b ac abc ，即: :3:2:1a b c 时，等号成立. 所以 321 abc 的最小值为 27. 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22. (本小题满分 10 分) 【答案与解析】 因为在直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC，所以分别以AB、AC、 1 AA所在的直线 为x轴、y

25、轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则 111 (0,0,0), (2,0,0), (0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)ABCABC 因为D是BC的中点，所以(1,2,0)D， （1）因为 111 (0,4,0),(1,2, 3)ACAD，设平面 11 AC D的法向量 1111 ( ,)nx y z， 数学（答案全解全析）第 11 页（共 12 页） 则 111 11 0 0 nAC nAD ，即 1 111 40 230 y xyz ，取 1 1 1 3 0 1 x y z ， 所以平面 11 AC D的法向量 1 (3,0,1)n ，而 1 (1, 2,3)DB ，

26、 所以 11 11 11 3 35 cos, 35 nDB n DB nDB ， 所以直线 1 DB与平面 11 AC D所成角的正弦值为 3 35 35 （2） 11 (2,0,0)AB ， 1 (1, 2,3)DB ，设平面 11 B AD的法向量 2222 (,)nxy z， 则 211 21 0 0 nAB nDB ，即 2 222 20 230 x xyz ，取 2 2 2 0 3 2 x y z ，平面 11 B AD的法向量 2 (0,3,2)n ， 所以 12 12 12 130 cos, 65 nn n n nn ， 二面角 111 BADC的大小的余弦值 130 65 23

27、(本小题满分 10 分) 【答案与解析】 （1）由 1 1 (1)(2)(1)(1)(2)(1) !(1)! kk nn k n nnnknnnk kCnnC kk 所以 1 1 () kk n kn k kCnk C 法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下： 1 1 () !(1) ! ()() ! (2 ) !(1) !(2 ) ! kk n kn k nknk kCknknk C knkknk （2） 1008 01231008 201720172016201520141009 0 ( 1)11111 201720172016201520141009 n n n n CCCCCC n

28、01231008 20172016201520141009 11231008 (1)(1)(1)(1) 20172016201520141009 CCCCC 012310081231008 201720162015201410092016201520141009 11231008 ()() 20172016201520141009 CCCCCCCCC 由（1）得， 1 11 kk nn k k CC nk ，n=2017,k 依次取 1,2， 则有 102110081007 201620152015201410091008 121008 , 201620151009 CCCCCC 数学（答案全

29、解全析）第 12 页（共 12 页） 所以， 原式 012310080121007 201720162015201410092015201420131008 1 ()() 2017 CCCCCCCCC 6 分 构造数列 n a，令 0122 123nnnnn aCCCC 则 0122 1112nnnnn aCCCC 所以 01220122 1112112 ()() nnnnnnnnnn aaCCCCCCCC 00112233 111223 ()()()() nnnnnnnn CCCCCCCC 012 1231nnnn CCCa 所以 11nnn aaa ，即 2111 () nnnnnnn a

30、aaaaaa ， 即 3nn aa ，所以 63nnn aaa ，即数列 n a是周期为 6 的数列 又因为 1234562017120155 1,0,1,1,0,1,1,0aaaaaaaaaa 所以 1008 201720172015 0 ( 1)11 201720172017 n n n n Caa n 数学（答案全解全析）第 1 页（共 12 页） 绝密绝密启用前启用前 2020届江苏省南通市高三年级第三次模拟考试高考全真冲刺模拟卷 数学数学 参考答案与解析参考答案与解析 数学卷数学卷 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70

31、分分 1. (本小题满分 5 分) 【答案】4 2. (本小题满分 5 分) 【答案】5； 3. (本小题满分 5 分) 【答案】50 4. (本小题满分 5 分) 【答案】(0)， 5. (本小题满分 5 分) 【答案】12 6. (本小题满分 5 分) 【答案】3 7. (本小题满分 5 分) 【答案】 2 2 1 520 y x 8. (本小题满分 5 分) 【答案】 2 3 3 【解析】对于椭圆，显然 3 1, 2 c b a ，所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y，设 00 (,)N xy，则由 ANNM 得 00 (21,2)Mxy 因为点 M 在双曲线上， 点 N 在椭圆上，

32、所以 2 20 0 1 4 x y， 2 20 0 (21) 41 4 x y ， 解得， 00 1, 3 2 xy ，故直线l的斜率 2 3 3 k 9. (本小题满分 5 分) 数学（答案全解全析）第 2 页（共 12 页） 【答案】 1 3 解析一：解析一： f(x)cosx(sin xcosx)1 2sin xcosxcos 2x1 2 1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2 1 2sin 2x 1 2 cos 2x 2 2 sin 2x 4 ，因为 2 ( ) 6 f ，所以 1 sin(2) 43 ，所以 1 cos(2 )cos(2)sin(2) 42443 。 解析二：

33、解析二： f(x)cosx(sin xcosx)1 2sin xcosxcos 2x1 2 1 2sin 2x 1cos 2x 2 1 2 1 2sin 2x 1 2 cos 2x， 因为 2 ( ) 6 f ，所以 sin 2cos 2 2 3 ， 所以 2221 cos(2 )coscos2sinsin2cos2sin2 4442233 。 10. (本小题满分 5 分) 【答案】(0 2)， 【解析】 10 ( ) 4 10 2 x f x x x ， ， ， 所以)(xf在(0)，上单调递增，在0)，上为常数函数，则 2 2 22 20 xxx xx ， 解得20 x 11. (本小题

34、满分 5 分) 【答案】1sin 【 解 析 】 由 题 可 知sin0xaxb恒 成 立 ， 即s i n xa xaab恒 成 立 ， 令 g( )sinxxaxa， 所 以g ()c o s0xxa， 所 以g ()s i nxxa xa在 1 , 1上 是 减 函 数 ， 所 以 1sin) 1 (gba， 即ab的最大值为1sin 12. (本小题满分 5 分) 【答案】 2 4 数学（答案全解全析）第 3 页（共 12 页） 【解析】 设 3521151 kCA ABAB BCBC CA ， 所以 35 , 21 , 15 , CA ABk AB BCk BC CAk 所以 cos

35、35 , cos21 , cos15 , bcAk acBk abCk 即 222 222 222 35 , 21 , 15 , abck bcak cabk 所以 2 2 2 36 , 50 , 56 , ak bk ck 所以 222 3650562 cos 2426 5 2 abc C ab 13. (本小题满分 5 分) 【答案】2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意， ( 11)B ， ， (71)C， ， 设 ()D x y， ，所以 ( 11)AB ， ， (71)AC ， ， ()ADx y， ， 所以() ()( )(7)4AB ADAC ADxyxy ， 即(

36、)(7 )4xy yx ，令 7 xym yxn ，则 1( ) 8 1(7 ) 8 xmn ymn ，所以 mn=4， 所以 22222211 ()(7)50212 88 ADxymnmnmnmn 2222 252410242 88 mnmn 当且仅当 5m=n=2 5时，AD 取得最小值2 14. (本小题满分 5 分) 【答案】1009 【解析】因为偶函数 yf x满足(2)(2)f xfx，所以(4)()( )f xfxf x， 所以函数 yf x是最小正周期为 4 的偶函数，且在2,0x 时， 2 1f xx ， 所以函数 yf x的值域为3，1，对任意 xi，xj（i，j=1，2，

37、3，m） ，都有|f（xi） f（xj）|f(x)maxf(x)min4，要使 xn取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，m）取 得最高点，且 f(0)1，f(1)0，f(2)3，因为 12 0 n xxx，且 1223 f xf xf xf x 1 2017 nn f xf x ， 根据2017 4 504 1 ，相应的 xn最小值为 1009 C x y A B D （第 14 题） 数学（答案全解全析）第 4 页（共 12 页） A B O D y x 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分分 15(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 （1）因为

38、( )f x的最小值是2，所以 A2 又由( )f x的图象经过点(,1) 3 M ，可得( )1 3 f ， 1 sin() 32 ， 所以2 36 k 或2 36 k ， 又0 ，所以 2 ， 故( )2sin() 2 f xx ，即( )2cosf xx （2）由（1）知( )2cosf xx，又 8 ( ) 5 f， 24 ( ) 13 f， 故 824 2cos,2cos 513 ，即 412 cos,cos 513 ， 又因为,(0,) 2 ，所以 35 sin,sin 513 ， 所以()2cos()2(coscossinsin )f 41235126 2() 51351365 16(本小题满分 14 分) 【答案与解析】 （1）在四棱锥PABCD中，因为90BAD， 所以ABAD 又ABPA，且APPADADPAD平面，平面，ADAPA， 所以AB 平面 PAD 又AB 平面ABCD，所以平面PAD 平面ABCD （2）取 AP 的中点 F，连 EF，BF 在PAD 中，EFAD，且 1 2 EFAD，又ADBC， 1 2 BCAD， 所以 EFBC，且EFBC，所以四边形 BCEF 为平行四边形， 所以 CEBF 因为CE 平面 PAB，BF 平面 PAB， 所以CE平面PAB