1、 2020 年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）押题卷 数学数学 I 参考公式： 1样本数据 1 x， 2 x， n x的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n ； 2圆柱的体积VSh，其中S是圆柱的底面圆面积，h是高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 A0 1 2， ，B 1 0 ，则集合 AB 2 已知复数 z 满足(2i)5z，其中i为虚数单位，则复数 z 的模为 3 某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量之比为 1: 2: 3现用分层抽样的方法抽取
2、1 个 容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的产品有 8 件，则样本容量 n 的值为 4 执行如图所示的伪代码，若输出的 y 的值是 18，则输入的 x 的值为 5. . 从 2 个白球，2 个红球，1 个黄球中随机取出 2 个球，则取出的 2 球中不含红 球的概率是 6. . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，的离心率为 2， 则双曲线的两条渐近线方程为 7. . 已知 2sincos 6 ，则tan的值为 8 在平面直角坐标系xOy中，曲线exyx在1x 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 9 已知Rxy，且1x ，若(1)(2)1
3、xy，则(1)(6)xy的最小值为 10已知等比数列 n a的公比不为 1，其前n项和为 n S若 246 432aaa， ，成等差数列， 2 2S，则 6 S 的值为 11. . 在轴截面为正三角形的圆锥内有一个球， 该球与圆锥的底面和母线均相切 记该球的体积为 V1， 圆锥的体积为 V2，则 1 2 V V 的值为 Read x If 4x Then 2yx Else 3yx End if Print y （第 4 题） 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题） 、解答题（共 6 题） ，满分为 160 分，考
4、试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题 卡上。 3 作答题目必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作 答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 12在ABC中，已知54ABAC，且12AB AC设MN，分别是边AB，AC 上的两个动 点，且2MN ，则AM AN的最大值为 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22 (1)(2)10Cxy：，直线250l kxyk：若在圆 C 上存在一点 P，在直线 l 上存在一点 Q
5、，使得 PQ 的中点恰为坐标原点 O，则实数 k 的取值范 围是 14. 设( )f x是定义在0)，的函数，且 2 101 ( ) (1)11 xx f x f xx ， ， 若( )a f xkx b(R)k对任意 的0)x，恒成立，则ba的最小值为 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把 答案写在答题卡的指定区域内） 15. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c记ABC 的面积为 S，且 2S=b2+c2a2 （1）求 tan A 的值； （2）若1b ， 3 B，求 S 的值 16 （
6、本小题满分 14 分） 如图，四棱锥 V- ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，VBVD， E 是棱 VC 的中点. （1）求证：VA平面 BDE； （2）求证：平面 VAC平面 BDE. （第 16 题） A B C D O V E 图 1 （第 17 题） 图 2 h 17 （本小题满分 14 分） 现有一张半径为 1 m 的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图 1 阴影部分） ，并卷成一个 深度为 h m 的圆锥筒，如图 2 （1）若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为 2 3 rad，求圆锥筒的容积； （2）当 h 为多少时，圆锥筒的容积最大？并求出容积的
7、最大值 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 2 22 1(0) y x ab ab 的右焦点为 F，左、右顶 点分别为 A1，A2，下顶点为 B，连结 BF 并延长交椭圆于点 P，连结 21 PAAB，记椭圆的离心 率为 e （1）若， 2 1 e 1 7AB 求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 PB 与直线 PA2的斜率之积为 9 2 ，求 e 的值 （第 18 题） F O x y P A1 B A2 19. （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的前 n 项和 2 * () 2 N n nn Sn （1）求数列 n a的通项公式
8、； （2）若集合 * 3 Nn a n n n ，中恰有两个元素，求实数的取值范围； （3）若 * 1 2()N nnn abbn ，且 23 41bb ，求证：数列 n b为等差数列 20. （本小题满分 16 分） 已知函数( )()lnf xxax()aR （1）若对于任意的正数x ，( )0f x 恒成立，求实数a的值； （2）设函数( )2 ( )g xf xx( a 0 ) 求证：存在唯一实数 0 (0)x ，使得 0 ()0g x； 若曲线( )g x恒在 x 轴上方，对于中实数 0 x，求证： 0 1 e e x （其中( )g x为( )g x的导函数，e 为自然对数的底数）
9、 数学数学（附加题） 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 4- -2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知点 P(a，b)，先对它作矩阵 M 31 22 31 22 对应的变换，再作 N 20 02 对应的变换， 得到的点的坐标为 (4，4 3)，求实数 a，b 的值 B选修选修 4- -4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程是 sin2 2 4 ，圆 C 的极坐标方程是 4co
10、s ， 求直线 l 被圆 C 截得的弦长 C选修选修 4- -5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 20f xxxa a （1）当1a 时，解不等式 4f x ； （2）若不等式 4f x 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 2123 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。 考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3
11、作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 【必做题】第【必做题】第 2222、2323 题，每小题题，每小题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 甲，乙，丙三个人去玩密室逃脱游戏，现有 A，B，C，D 这 4 个不同的游戏场景可供选择，且他们 每个人都随机地从四个场景中选一个闯关 （1）求他们分别选择了
12、三个不同场景的概率； （2）设三人中选择场景 A 的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 23.（本小题满分 10 分） 如图，在三棱锥 P- ABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 ，求二面角 M- PA- C 的大小 2020 年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）押题卷解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合 A0 1 2， ，B 1 0 ，则集合 AB 【答案答案】
13、 1，0，1，2 【解析解析】AB 1，0，1，2 【解题探究解题探究】本题考查求两集合的并集运算，江苏高考常考查交集与并集的运算，解题时只需 仔细读题，避免粗心，即能顺利解答 2 已知复数 z 满足(2i)5z，其中i为虚数单位，则复数 z 的模为 【答案答案】5 【解析解析】因为|(2i)|2i|5|5zz|=z|= ，所以复数 z 的模为5 【解题探究解题探究】 本题考查复数的基本运算和复数的模的求法 解答时可有三条途径选择： 途径一， 可先求得 5 =2i 2i z ， 再求出模； 途径二， 可用待定系数法先设出izab再求解； 途径三， 可由复数模的运算性质求解 3 某工厂生产 A，
14、B，C 三种不同型号的产品，产量之比为 1: 2: 3现用分层抽样的方法抽取 1 个 容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的产品有 8 件，则样本容量 n 的值为 【答案答案】 48 【解析解析】由题意，得 1 8 6 n ，所以 n 的值为 48 【解题探究解题探究】本题考查统计中的分层抽样，统计的考查每年必考，高频考查抽样方法中分层抽 样，总体分布中的频率分布直方图，以及总体特征数中的方差，应熟悉这些问题的求解 4 执行如图所示的伪代码，若输出的 y 的值是 18，则输入的 x 的值为 【答案答案】 6 【解析解析】由于4x时，26yx ，不符合，故由318x ，求得6x 【解题探究解
15、题探究】本题涉及的考点为分段函数和算法中的伪代码，考查了选择结构 江苏高考中算法的考查通常以流程图或伪代码的形式出现，两类问题都应该予 以重视 5. . 从 2 个白球， 2 个红球， 1 个黄球中随机取出 2 个球， 则取出的 2 球中不含红球的概率是 【答案答案】 3 10 Read x If Then Else End if Print y （第 4 题） 【解析解析】利用枚举法可得，从 5 个球中任意取出 2 个球共有 10 种不同方法，而从不含红球的 3 个球中任取 2 个球共有 3 种不同方法，所以取出的 2 球中不含红球的概率是 3 10 【解题探究解题探究】本题考查的是古典概型
16、，考查学生利用枚举法解决计数问题的能力取出 2 球中 不含红球即从 2 个白球和 1 个黄球中取即可江苏高考中必答题部分的古典概型问题，通常均 可用枚举法得到处理 6. . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，的离心率为 2，则双曲线的两条 渐近线方程为 【答案答案】3 yx 【解析解析】 由 222 2 22 4 cab e aa ， 得3ba， 所以双曲线的渐近线方程为3 b yxx a 【解题探究解题探究】本题涉及的考点有双曲线的离心率和渐近线方程，主要考查学生的运算能力江 苏高考填空题中双曲线为高频考点，对双曲线的几何性质要有准确的掌握
17、 7. . 已知 2sincos 6 ，则tan的值为 【答案答案】 3 5 【解析解析】 因为 31 2sincossin 22 ， 所以5sin3cos， 因为cos0， 所以 3 tan 5 【解题探究解题探究】本题涉及的考点有两角和与差的余弦展开公式和同角三角函数关系式，前一个为 江苏高考 C 级考点，每年必考，应熟练掌握 8 在平面直角坐标系xOy中， 曲线exyx在1x 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案答案】 e 4 【解析解析】易求切点为(1，e)，切线斜率为 2e，所以切线方程为e2e(1)yx，它与两坐标轴的 交点分别为 1 (0e) (0) 2 ， ，所以与坐标
18、轴围成的三角形的面积 1 1e e 2 24 S 【解题探究解题探究】本题考查了积的导数公式和导数的几何意义，对于曲线的切线问题通常可分已知 切点和未知切点两类，当切点未知时，应先设出切点坐标.本题已知切点横坐标，从而易求出切 点坐标和切线的斜率，从而得到求解. 9 已知Rxy，且1x ，若(1)(2)1xy，则(1)(6)xy的最小值为 【答案答案】25 【 解 析解 析 】 令12 (00 )mxnymn， 则12xmyn， 所 以1mn ， 则 (1)(6)xy(2)(8)82161782172 8225mnmnmnmnmn，当且仅当 1 2 2 mn，时取等号 【解题探究解题探究】本题
19、考查的是利用基本不等式求最值，属于多元变量的最值问题对于本题首先 可以利用消元， 将其变为单元函数的最值问题； 亦可先双换元， 再利用基本不等式直接求解 处 理多元变量的最值问题方法较多，有时难度也较大，复习时需要进行方法的整理与归纳 10已知等比数列 n a的公比不为 1，其前n项和为 n S若 246 432aaa， ，成等差数列， 2 2S，则 6 S 的值为 【答案答案】14 【解析解析】由题意，得 426 642aaa=，所以 24 222 32a qaa q=，所以求出 22 12qq或，又因为 2 2S，所以1q ，又1q ，所以 2 2q ，因此 24 62 (1)14Sqq
20、S 【解题探究解题探究】 本题考查等差数列的概念， 等比数列中基本量的求法， 以及等比数列性质的应用 如本题利用性质 24 62 (1)Sqq S可使得运算得到简化 11. . 在轴截面为正三角形的圆锥内有一个球， 该球与圆锥的底面和母线均相切 记该球的体积为 V1， 圆锥的体积为 V2，则 1 2 V V 的值为 【答案答案】 4 9 【解析解析】作出轴截面（如右图所示） ，圆锥的轴截面为正ABC，球的轴截面为 ABC 的内切圆 O，连结 AO 并延长交 BC 于 M，连结 OC，作 ONAC 于 N 设球的半径为 r，圆锥的高 AMAOOM=3r，底面半径3CMr，所以 球的体积与圆锥的体
21、积之比为 3 1 2 2 4 43 19 ( 3 )3 3 r V V rr 【解题探究解题探究】本题考查球与圆锥的体积求法对于旋转体问题，部分学生会感到陌生，我们常 常通过研究它的轴截面而轻松获解立体几何的体积计算江苏高考几乎年年必考，且以旋转体 与多面体为载体交替考查，学生对于此类问题易出错，可适当进行强化训练 12在ABC中，已知54ABAC，且12AB AC设MN，分别是边AB，AC 上的两个动 点，且2MN ，则AM AN的最大值为 【答案答案】3 A B C O M N 【解析解析】由cos20cos12AB ACAB ACAA，得 3 cos 5 A，设AMxANy，由余弦 定理
22、得 223 42 5 xyxy 64 2 55 xyxyxy， 所以5xy， 所以AM ANAM ANcosxyA 3 3 5 xy（当且仅当xy时取等号） 【解题探究解题探究】本题考查了向量的数量积，余弦定理以及利用基本不等式求最值三角，向量与 基本不等式相结合作为填空题中的压轴题在模拟考试和高考中都较为常见，应予以关注 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22 (1)(2)10Cxy：，直线250l kxyk：若在圆 C 上存在一点 P，在直线 l 上存在一点 Q，使得 PQ 的中点恰为坐标原点 O，则实数 k 的取值范 围是 【答案答案】 13 3 9 ， 【解析解析】易求圆 22
23、 (1)(2)10Cxy：关于原点对称的圆 C 的方程为 22 (1)(2)10xy， 要满足题意， 只需直线 l 与圆 C 有公共点即可， 从而 2 |225| 10 1 kk k ， 即( 91 3 ) (3 ) 0kk， 解得 13 3 9 k ， 【解题探究解题探究】本题考查了直线与圆的位置关系，圆关于点的对称圆的求法以及等价转化的数学 思想在处理填空题中与圆有关的问题时，常利用等价转化的思想将题中陌生的条件转化为我 们所熟悉的问题，再加以求解 14. 设( )f x是定义在0)，的函数，且 2 101 ( ) (1)11 xx f x f xx ， ， 若( )a f xkx b(R
24、)k对任意 的0)x，恒成立，则ba的最小值为 【答案答案】2 【解析解析】由题意，易求 当 1x1 时， 22 ( )2ln32ln aa g xxx xx 2ln2xa，再令2ln20xa，即找到点ea，利用放缩找点策略常常能快速高效的找到符合 条件的点；而对于中的虚拟零点问题常通过消参或变超越式为平凡式加以处理 理科附加题理科附加题 21.21.【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C 三小题，每题三小题，每题 1010 分，请选定其中两小题作答若多做，则按作答分，请选定其中两小题作答若多做，则按作答 的前两小题评分的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
25、骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A选修选修 4- -2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知点 P(a，b)，先对它作矩阵 M 31 22 31 22 对应的变换，再作 N 20 02 对应的变换， 得到的点的坐标为 (4，4 3)，求实数 a，b 的值 【解析解析】依题意，NM 20 02 31 22 31 22 13 31 ， 4 分 由逆矩阵公式得， (NM) 1 31 44 31 44 ， 8 分 所以 31 4 4 44 0 4 3 31 44 ，即有4a ，0b 10 分 【解题探究】【解题探究】 本题主要考查矩阵对应的变换、 矩阵的乘法运算、 求
26、逆矩阵 在历年江苏高考中， 矩阵题主要考查了矩阵的运算（乘法、逆矩阵） 、矩阵的变换和特征值、特征向量等，复习时对 这些考点要注意全面覆盖 B选修选修 4- -4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程是 sin2 2 4 ，圆 C 的极坐标方程是 4cos ， 求直线 l 被圆 C 截得的弦长 【解析解析】以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，两种坐标系中取相同的长 度单位将直线 l 的极坐标方程 sin2 2 4 化为直角坐标方程是 yx4， 圆 C 的极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程是 x2y24x0
27、4 分 圆 C 的圆心(2，0)到直线 xy40 的距离为 d 2 2 2 6 分 又圆 C 的半径 r2， 所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2d22 2 10 分 【解题探究】【解题探究】本小题主要考查直线和圆的极坐标方程，解决此类问题通常首选化普通方程求 解当然在复习中要重视将参数方程、极坐标方程化为普通方程，也不要忽视将普通方程化为 极坐标方程的指导，还要加强对直线参数方程中参数的几何意义的理解 C选修选修 4- -5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 20f xxxa a （1）当1a 时，解不等式 4f x ； （2）若不等式 4f x 对一切实数
28、 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解析解析】 （1）当1x 时，2142xxx，1 2x ， 当01x时，2 142xxx ，0 1x ， 当0x 时， 2 2 14 3 xxx ， 2 0 3 x ， 综上所述，不等式的解集为 2 2 3 ， 5 分 （2）由题意，得 min4f x， 考虑 32 , 22,0, 23 ,0 xa xa f xxxaax xa ax x ， 所以 f x在a，单调递减，在a ，单调递增， 所以 min f xf aa 所以4a 10 分 【解题探究】【解题探究】本题主要考查绝对值不等式性质与解法、利用不等式及性质求最值的问题复习 中不要忽视柯西不等式在
29、求解最值中的应用， 关注利用柯西不等式解题的基本步骤和书写格式 【必做题】第【必做题】第 2222、2323 题，每小题题，每小题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 甲，乙，丙三个人去玩密室逃脱游戏，现有 A，B，C，D 这 4 个不同的游戏场景可供选择，且 他们 每个人都随机地从四个场景中选一个闯关 （1）求他们分别选择了三个不同场景的概率； （2）设三人中选择场景 A 的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 【解
30、析解析】 （1）记事件 M 为“他们分别选择了三个不同场景” ， 该试验中所含基本事件总数为 n 43 64， 事件 M 中所含基本事件数为 m 3 4 24A ， 所以事件 A 发生的概率 3 4 3 243 (A) 818 4 A P 4 分 答：他们分别选择了三个不同场景的概率为 3 8 （2）X0，1，2，3，则有 P (0 )3 3 43 27 64， P (X1) C13 32 43 27 64， P (X2 )C 2 3 3 43 9 64， P (X3 ) C33 43 1 64 8 分 所以 X 的概率分布表为： X 的数学期望 E(X)0 27 641 27 642 9 6
31、43 1 64 3 4 10 分 【解题探究解题探究】本题考查了分步计数原理，古典概型，概率分布列，数学期望等第（1）问是基 于分步计数原理的古典概型问题；第（2）问既可以看作古典概型，利用古典概型的概率公式求 解，也可以看作独立重复试验，利用二项分布的知识求解 23.（本小题满分 10 分） 如图，在三棱锥 P- ABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 （1）证明：PO平面 ABC； （2） 若点 M 在棱 BC 上， 且 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 3 4 ， 求二面角 M- PA- C 的大小 【解解析析】 （1）证明：因为 PAPCAC4，O
32、为 AC 的中点， 所以 POAC，且 PO2 3.连接 OB，因为 ABBC 2 2 AC， 所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB1 2AC2. 所以 PO2OB2PB2，所以 POOB. 又因为 OBACO， 所以 PO平面 ABC. （2）以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O- xyz.由已 知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2 3)， AP (0，2，2 3) 设 M(a,2a,0)(0a2)，则 AM (a,4a,0) 设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z)， 由
33、AP n0， AM n0， 得 2y2 3z0， ax4ay0， 令 y 3a，得 za，x 3(a4)，所以平面 PAM 的一个 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 法向量为 n( 3(a4)， 3a，a)，又 PC (0，2，2 3)， 记 PC 与平面 PAM 所成的角为 ， 则由题意得sin|cos PC ，n| 222 2 32 33 = 4 4+163(4)3 aa aaa ， 化简，得(4)(34)0aa， 解得 a4 3或 a4(舍去) 所以 n 8 3 3 ，4 3 3 ，4 3 ，取平面 PAC 的一个法向量 OB (2，0，0) 所以 cosOB ，n 8 32 33 = 2 641616 2 339 ， 又OB ，n 0 ，所以向量OB 与向量 n 的夹角为 150， 又因为二面角 M- PA- C 显然为锐二面角， 所以二面角 M- PA- C 的大小为 30 【解题探究解题探究】本题考查线面垂直的证明，利用空间向量求直线与平面所成的角，二面角等空 间向量题型首先要建立合适的空间直角坐标系，相关点的坐标要正确表述，关注直线方向向量 所成角的余弦值与异面直线所成角的余弦值之间的关系，关注平面法向量的求解，关注平面法 向量所成角的余弦值与二面角的余弦值之间的关系.
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