1、老师在班级 50 名学生中，依次抽取学号为 5，10，15，20，25，30，35，40，45， 50 的学生进行作业检查，这种抽样方法是（ ） A随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D以上都是 2 （3 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为（ ） A B C D2 3（3 分） 设 Sn为等差数列an的前 n 项和，（n+1） SnnSn+1（nN*） 若1， 则 （ ） ASn的最大值为 S8 BSn的最小值为 S8 CSn的最大值为 S7 DSn的最小值为 S7 4 （3 分）如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一 个最高分和一个最低分
2、后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A84，4.84 B84，1.6 C85，1.6 D85，4 5 （3 分）四面体 PABC 的一组对棱分别相等，且长度依次为 2，5，则该四面 体的外接球的表面积为（ ） A B28 C D29 6 （3 分）如果圆（xa）2+（ya）28 上总存在到原点的距离为的点，则实数 a 的 第 2 页（共 24 页） 取值范围是（ ） A （3，1）（1，3） B （3，3） C1，1 D3，11，3 7 （3 分）在锐角三角形 ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且b2asinB， a4，则ABC 面积的最大值为（ ） A2 B4
3、C8 D16 8 （3 分）若 P 两条异面直线 l，m 外的任意一点，则（ ） A过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都异面 9（3 分） 已知正数数列an是公比不等于 1 的等比数列， 且 lga1+lga20190， 若 f （x） ， 则 f（a1）+f（a2）+f（a2019）（ ） A2018 B4036 C2019 D4038 10 （3 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，则 B（ ） A B C D 1
4、1 （3 分）过点（，0）引直线 l 与曲线 y相交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于（ ） A B C D 12 （3 分）已知函数 f（x）cosx，x（0，2）有两个不同的零点 x1，x2，且方程 f（x） m（m0）有两个不同的实根 x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列， 则实数 m（ ） A B C D 13 （3 分）已知直线 l：xy10，l1：2xy20若直线 l2与 l1关于 l 对称，则 l2的 方程是（ ） Ax2y+10 Bx2y10 Cx+y10 Dx+2y10 14（3分）设平面点集 第 3 页（共 2
5、4 页） ，则 AB 所表 示的平面图形的面积为（ ） A B C D 15 （3 分） 数列an的通项 ann2（cos2sin2） ， 其前 n 项和为 Sn， 则 S30为 （ ） A470 B490 C495 D510 二二.填空题填空题 16 （3 分）已知 a，b，c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点 M（m，n）在直线 l： ax+by+2c0 上，则 m2+n2的最小值为 17 （3 分）已知函数 f（x）x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+） ，若关于 x 的不等式 f （x）c 的解集为（m，m+6） ，则实数 c 的值为 18 （3 分）已知三棱柱 ABCA1
6、B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1所成的角的余弦值为 19 （3 分） 已知 x0， y0， 且 x+y1， 若 a恒成立， 则实数 a 的最大值为 20 （3 分）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a2 且（2+b） （sinA sinB）（cb）sinC，则ABC 面积的最大值为 三三.解解答题答题 21 某城市 100 户居民的月平均用电量 （单位： 度） ， 以160， 180） ， 180， 200） ， 200， 220） ， 220，240） ，240，260） ，260，28
7、0） ，280，300）分组的频率分布直方图如图 （1）求直方图中 x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300）的四组用户 中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取 多少户？ 第 4 页（共 24 页） 22已知数列an为等差数列，an0，且满足 32a3+32a11a72，数列bn满足 bn+12bn 0，b7a7 （）求数列bn的通项公式； （）若 cnnbn，求数列cn的前 n 项和 Sn 23向量，记 （1）若 f（x）1，求的值； （2
8、） 在锐角ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且满足 （2ac） cosBbcosC， 求 f（2A）的取值范围 24如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都是 4，E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1上，且不与点 C 重合 （）当 CF1 时，求证：EFA1C； （）设二面角 CAFE 的大小为 ，求 tan 的最小值 25已知圆 C：x2+y2+x6y+m0 与直线 l：x+2y30 （1）若直线 l 与圆 C 没有公共点，求 m 的取值范围； （2）若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点，O 为原点，且 OPOQ，求实数 m 的值 第
9、5 页（共 24 页） 2019-2020 学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）开学数学试卷学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）开学数学试卷 （8 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题选择题 1 （3 分）老师在班级 50 名学生中，依次抽取学号为 5，10，15，20，25，30，35，40，45， 50 的学生进行作业检查，这种抽样方法是（ ） A随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D以上都是 【分析】学生人数比较多，把每个班级学生从 1 到最后一号编排，要求每班学号是 5 的 倍数的同学留下进行作业检查，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统 抽样的方法
10、【解答】解：学生人数比较多， 把每个班级学生从 1 到最后一号编排， 要求每班编号是 5 的倍数的同学留下进行作业检查， 这样选出的样本是采用系统抽样的方法， 故选：C 【点评】本题考查系统抽样，当总体容量 N 较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的 若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样 2 （3 分）若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为（ ） A B C D2 【分析】根据三视图知该几何体是一个直四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出 结论 第 6 页（共 24 页） 【解答】解：根据三视图知，该几何体是一个直四棱锥，且底面为直角梯形， 画出图形
11、如图所示； 则 AC，DC2BE2，AC底面 CDEB， 结合图形中的数据，求得 BC， 在 RtABC 中，由勾股定理得 AB2， 同理求得 AD， AE 故选：A 【点评】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征应用问题，是基础题 3（3 分） 设 Sn为等差数列an的前 n 项和，（n+1） SnnSn+1（nN*） 若1， 则 （ ） ASn的最大值为 S8 BSn的最小值为 S8 CSn的最大值为 S7 DSn的最小值为 S7 【分析】由已知条件推导出（n2n）d2n2d，从而得到 d0，所以 a70，a80，由 此求出数列Sn中最小值是 S7 【解答】解：（n+1）SnnSn+1， S
12、nnSn+1nSnnan+1 即 na1+na1+n2d， 整理得（n2n）d2n2d n2n2n2n2n0 d0 第 7 页（共 24 页） 10 a70，a80 数列的前 7 项为负， 故数列Sn中最小值是 S7 故选：D 【点评】本题考查等差数列中前 n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意等差数列的性质的灵活运用 4 （3 分）如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一 个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A84，4.84 B84，1.6 C85，1.6 D85，4 【分析】根据茎叶图中的数据，结合题意，求出平均数与方
13、差即可 【解答】解：根据茎叶图中的数据，得； 去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后， 所剩数据的平均数是 （84+84+86+84+87）85 方差是 s2（1）2+（1）2+12+（1）2+221.6 故选：C 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的计算问题，是基础题 5 （3 分）四面体 PABC 的一组对棱分别相等，且长度依次为 2，5，则该四面 体的外接球的表面积为（ ） A B28 C D29 【分析】由题意可知，把四面体 PABC 补为一个三个面上对角线分别为 2，5 的长方体，即可求出四面体的外接球的半径，从而求出四面体的外接球的表面积 【解答】解：四
14、面体 PABC 的一组对棱分别相等，且长度依次为 2，5， 可将其补为一个三个面上对角线分别为 2，5 的长方体，如图所示： 第 8 页（共 24 页） 长方体的三边长分别为 2，3，4， 长方体的外接球即是四面体的外接球，四面体的外接球的半径为 ， 四面体的外接球的表面积为：429， 故选：D 【点评】本题主要考查了三棱锥外接球，是中档题 6 （3 分）如果圆（xa）2+（ya）28 上总存在到原点的距离为的点，则实数 a 的 取值范围是（ ） A （3，1）（1，3） B （3，3） C1，1 D3，11，3 【分析】由已知得圆上点到原点距离 d，从而 2|a|2+，由此 能求出实数 a
15、的取值范围 【解答】解：圆（xa）2+（ya）28 的圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径 r 2， 由圆（xa）2+（ya）28 上总存在点到原点的距离为， 2|a|2+， 1|a|3 解得 1a3 或3a1 实数 a 的取值范围是3，11，3 故选：D 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直 线的距离公式的合理运用 第 9 页（共 24 页） 7 （3 分）在锐角三角形 ABC 中，已知 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且b2asinB， a4，则ABC 面积的最大值为（ ） A2 B4 C8 D16 【分析】由正弦定理化简已知可得 si
16、nA，由 A 为锐角，可得 A，由正弦定理， 三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求 SABCsin（2B）+， 结合范围 B（，） ，可得：2B（，） ，利用正弦函数的图象和性质 可求其最大值 【解答】解：b2asinB，a4， ，可得：sinA，由 A 为锐角，可得 A， 由正弦定理可得：bsinBsinB，csinCsin（B） ， SABCbcsinAsinBsin（B） sinB（cosB+sinB）sin（2B）+sin（2B） +， 在锐角三角形 ABC 中，B（，） ，可得：2B（，） ， 当 2B，即 B时，sin（2B）取得最大值 1， 可得：ABC 面积的最大值为+
17、4 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正 弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档 题 8 （3 分）若 P 两条异面直线 l，m 外的任意一点，则（ ） A过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都平行 B过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l，m 都异面 第 10 页（共 24 页） 【分析】选项 A 由反证法得出判断；选项 B 由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项 C、 D 可借用图形提供反例 【解答】解：设过点 P
18、 的直线为 n，若 n 与 l、m 都平行，则 l、m 平行，与 l、m 异面矛 盾，故选项 A 错误； 由于 l、m 只有唯一的公垂线，而过点 P 与公垂线平行的直线只有一条，故 B 正确； 对于选项 C、D 可参考下图的正方体，设 AD 为直线 l，AB为直线 m，若点 P 在 P1 点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项 C 错误；若 P 在 P2点，则由图中可知 直线 CC及 DP2均与 l、m 异面，故选项 D 错误 故选：B 【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象 能力 9（3 分） 已知正数数列an是公比不等于 1 的等比数列， 且 l
19、ga1+lga20190， 若 f （x） ， 则 f（a1）+f（a2）+f（a2019）（ ） A2018 B4036 C2019 D4038 【分析】由对数的运算性质和等比数列的性质，可得 a1a2019a2a2018a1009a1011 a101021，计算 f（x）+f（）2，即可得到所求和 【解答】解：正数数列an是公比不等于 1 的等比数列，且 lga1+lga20190， 可得 lga1a20190，即 a1a20191， 即有 a1a2019a2a2018a1009a1011a101021， f（x），可得 f（）， 即有 f（x）+f（）2， 设 Sf（a1）+f（a2）+
20、f（a2019） ， 第 11 页（共 24 页） 又 Sf（a2019）+f（a2018）+f（a1） ， 相加可得 2Sf（a1）+f（a2019）+f（a2）+f（a2018）+f（a2019）+f（a1） 22019， 解得 S2019 故选：C 【点评】本题考查等比数列的性质和函数的性质，求得 f（x）+f（）2，是解题的关 键，属于中档题 10 （3 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，则 B（ ） A B C D 【分析】 已知等式右边利用正弦定理化简， 整理得到关系式， 再利用余弦定理表示出 cosB， 将得出的关系式代入求出 cosB 的值，即可
21、确定出 B 的度数 【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：，即 c2b2aca2， a2+c2b2ac， cosB， B 为三角形的内角， B 故选：C 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本 题的关键 11 （3 分）过点（，0）引直线 l 与曲线 y相交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于（ ） A B C D 【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在 x 轴上方的部分（含于 x 轴的交点） ，直线 与曲线有两个交点，且直线不与 x 轴重合，从而确定直线斜率1k0，用含 k 的式子 表示出三角形 AOB
22、 的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率 k 的值 【解答】解：由 y，得 第 12 页（共 24 页） x2+y21（y0） 曲线 y表示単位圆在 x 轴上方的部分（含于 x 轴的交点） 由题知，直线斜率存在，设直线 l 的斜率为 k， 若直线与曲线有两个交点，且直线不与 x 轴重合 则1k0 直线 l 的方程为：y0k（x） 即 kxyk0 则圆心 O 到直线 l 的距离 d 直线 l 被半圆所截得的弦长为 |AB|222 SAOBd|AB| 2 ， 令t 则 SAOB 当 t，即时 SAOB有最大值为 此时， k 又1k0 第 13 页（共 24 页） k 故选：B 【点评】本题考查直
23、线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解 答 12 （3 分）已知函数 f（x）cosx，x（0，2）有两个不同的零点 x1，x2，且方程 f（x） m（m0）有两个不同的实根 x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列， 则实数 m（ ） A B C D 【分析】由题意可知：x1，x2，且 x3、x4只能分布在 x1、x2的中间或两侧， 下面分别求解并验证即可的答案 【解答】解：由题意可知：x1，x2，且 x3、x4只能分布在 x1、x2的中间或两 侧， 若 x3、x4只能分布在 x1、x2的中间，则公差 d， 故 x3、x4分别为、，此时可求得 mcos； 若 x
24、3、x4只能分布在 x1、x2的两侧，则公差 d， 故 x3、x4分别为、，不合题意 故选：D 【点评】本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数， 属中档题 13 （3 分）已知直线 l：xy10，l1：2xy20若直线 l2与 l1关于 l 对称，则 l2的 方程是（ ） Ax2y+10 Bx2y10 Cx+y10 Dx+2y10 【分析】先求直线 l 与直线 l1的交点，求出直线 l，l1的斜率，估计直线 l2的斜率范围， 排除 C、D 即可 【解答】解：直线 l：xy10，l1：2xy20的交点（1，0） ，代入选项，可知 A 不正确； 第 14 页（共 24
25、 页） 直线 l 的斜率为 1，直线 l1的斜率为 2，故直线 l2的斜率（0，1） ，显然 C，D 都不正确； 故选：B 【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，应用排除、特殊值验证法是解 选择题的有效方法 14（3分）设平面点集 ，则 AB 所表 示的平面图形的面积为（ ） A B C D 【分析】先分别画出集合 A 与集合 B 表示的平面区域，再画出它们的公共部分，最后利 用圆的面积公式及图形的对称性，计算所求面积即可 【解答】解：或其表示的平面区域如图， （x 1）2+（y1）21 表示以（1，1）为圆心，1 为半径的圆及其内部区域，其面积为 AB 所表示的平面图形为上述两区
26、域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和 y均 关于 yx 对称， 故阴影部分面积为圆的面积的一半，即 故选：D 【点评】本题主要考查了二元不等式表示平面区域的知识和延伸，准确的画出两集合表 示的平面区域是解决本题的关键，属基础题 15 （3 分） 数列an的通项 ann2（cos2sin2） ， 其前 n 项和为 Sn， 则 S30为 （ ） A470 B490 C495 D510 第 15 页（共 24 页） 【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为 3，可化简 S30，求出值即可 【解答】解：由于cos2sin2以 3 为周期， 故 S30（+32）+（+62）+
27、（+302） +（3k）29k 25470 故选：A 【点评】考查学生会求数列的和，掌握三角函数周期的计算方法 二二.填空题填空题 16 （3 分）已知 a，b，c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点 M（m，n）在直线 l： ax+by+2c0 上，则 m2+n2的最小值为 4 【分析】由题意可得 m2+n2的最小值为原点到直线 l 距离的平方，由点到直线的距离公 式可得 【解答】解：a，b，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，c， 又点 M（m，n）在直线 l：ax+by+2c0 上， m2+n2表示直线 l 上的点到原点距离的平方， m2+n2的最小值为原点到直线 l 距离的
28、平方， 由点到直线的距离公式可得 d2， m2+n2的最小值为 d24， 故答案为：4 【点评】本题考查了点到直线的距离，数形结合是解决问题的关键，属基础题 17 （3 分）已知函数 f（x）x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+） ，若关于 x 的不等式 f （x）c 的解集为（m，m+6） ，则实数 c 的值为 9 【分析】根据函数的值域求出 a 与 b 的关系，然后根据不等式的解集可得 f（x）c 的两 个根为 m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可 【解答】解：函数 f（x）x2+ax+b（a，bR）的值域为0，+） ， f（x）x2+ax+b0 只有一个根，即a24b
29、0，则 4ba2 第 16 页（共 24 页） 不等式 f（x）c 的解集为（m，m+6） ， 即为 x2+ax+bc 解集为（m，m+6） ， 则 x2+ax+bc0 的两个根 x1，x2分别为 m，m+6 两根之差为|x1x2|m+6m|6 根据韦达定理可知： x1+x2a x1x2bc |x1x2|6 6 6 6 解得 c9 故答案为：9 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分 析求解的能力和计算能力，属于中档题 18 （3 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与
30、 CC1所成的角的余弦值为 【分析】 根据三棱柱的性质可知， C1CA1A， 异面直线 AB 与 CC1所成的角就是A1AB， 连接 A1B，利用余弦定理即可求解 【解答】解：三棱柱的性质可知，C1CA1A，异面直线 AB 与 CC1所成的角就是A1AB， 连接 A1B， 三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点， A1DBC， A1DB 是直角三角形， 设 DB1，则 ABA1A2 第 17 页（共 24 页） ADBC AD A1D1 故得 A1B 在A1AB 中，余弦定理：cosA1AB 故答案为： 【点评】本题考查两条异面直线所成角
31、的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养 19 （3 分）已知 x0，y0，且 x+y1， 若 a恒成立，则实数 a 的最大值为 16 【分析】本题虽说是求 a 的最大值，实际上是的最小值； 不等式恒成立（）mina利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得 出 【解答】解：x0，y0，且 x+y1 1016，当且仅当 y3x时取 等号 不等式恒成立（）mina a（，16， 即实数 a 的最大值为 16 故答案为：16 【点评】本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属 于中档题 20 （3 分）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内
32、角 A，B，C 的对边，a2 且（2+b） （sinA sinB）（cb）sinC，则ABC 面积的最大值为 第 18 页（共 24 页） 【分析】由正弦定理化简已知可得 2ab2c2bc，结合余弦定理可求 A 的值，由基本 不等式可求 bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解 【解答】解：因为： （2+b） （sinAsinB）（cb）sinC （2+b） （ab）（cb）c 2a2b+abb2c2bc， 又因为：a2， 所以：， ABC 面积， 而 b2+c2a2bc b2+c2bca2 b2+c2bc4 bc4 所以：，即ABC 面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理
33、，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角 形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 三三.解答题解答题 21 某城市 100 户居民的月平均用电量 （单位： 度） ， 以160， 180） ， 180， 200） ， 200， 220） ， 220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300）分组的频率分布直方图如图 （1）求直方图中 x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为220，240） ，240，260） ，260，280） ，280，300）的四组用户 中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在220，
34、240）的用户中应抽取 多少户？ 第 19 页（共 24 页） 【分析】 （1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）20 1，解方程可得； （2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220，240）内，设中 位数为 a，解方程（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）0.5 可得； （3）可得各段的用户分别为 25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 【解答】解： （1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）
35、201， 解方程可得 x0.0075，直方图中 x 的值为 0.0075； （2）月平均用电量的众数是230， （0.002+0.0095+0.011）200.450.5， 月平均用电量的中位数在220，240）内， 设中位数为 a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）0.5 可得 a224， 月平均用电量的中位数为 224； （3）月平均用电量为220，240）的用户有 0.01252010025， 月平均用电量为240，260）的用户有 0.00752010015， 月平均用电量为260，280）的用户有 0.0052010010， 月平均用电量为280
36、，300）的用户有 0.0025201005， 抽取比例为， 月平均用电量在220，240）的用户中应抽取 255 户 【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题 22已知数列an为等差数列，an0，且满足 32a3+32a11a72，数列bn满足 bn+12bn 0，b7a7 （）求数列bn的通项公式； 第 20 页（共 24 页） （）若 cnnbn，求数列cn的前 n 项和 Sn 【分析】 （I）由等差数列的性质可得：32a3+32a11a72322a70，解得 a7利用等 比数列的通项公式即可得出 （II）cnnbnn2n 1，利用错位相减法与等比数列的求和
37、公式即可得出 【解答】解： （I）由等差数列的性质可得：32a3+32a11a72322a70， 解得 a764 数列bn满足 bn+12bn0， 可得：数列bn是等比数列，公比为 2 b7a764a12664，解得 a11 bn2n 1 （）若 cnnbnn2n 1， 数列cn的前 n 项和 Sn1+22+322+（n1） 2n 2+n2n1， 2Sn2+222+323+（n1） 2n 1+n2n， Sn1+2+22+2n 1n2n n2n， 可得 Sn（n1） 2n+1 【点评】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 23向量，记 （
38、1）若 f（x）1，求的值； （2） 在锐角ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且满足 （2ac） cosBbcosC， 求 f（2A）的取值范围 【分析】 （1）利用数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式即可得出； （2）由（2ac）cosBbcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosBsinCcosBsinBcosC， 利用两角和的正弦公式和三角形内角和定理可得 B， 再利用ABC 是锐角三角形求 出 A 的范围，根据正弦函数的性质即可求出 【解答】解： （1）记sincos+cos2 sin+cos+sin（+）+， 第 21 页（共 24 页） 由 f
39、（x）1，得 sin（+）， cos（x+）12sin2（+）； （2）（2ac）cosBbcosC， 由正弦定理得： （2sinAsinC）cosBsinBcosC， 2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，又 sin（B+C）sinA， 2sinAcosBsinBcosC+cosBsinCsin（B+C）sinA， sinA0，cosB， 又 B 为锐角，B， 则 A+C， AC， 0A， A， A+， sin（A+）1， f（2A）sin（A+）+ f（2A）的取值范围是（， 【点评】本题综合考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦定理、两 角和的正弦公式和三角形
40、内角和定理、锐角三角形的意义、正弦函数的单调性等基础知 识与基本技能方法，考查了综合解决问题的能力，属于中档题 24如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都是 4，E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1上，且不与点 C 重合 （）当 CF1 时，求证：EFA1C； （）设二面角 CAFE 的大小为 ，求 tan 的最小值 第 22 页（共 24 页） 【分析】 （I）过 E 作 ENAC 于 N，连接 EF，NF，AC1，根据面面垂直的性质可知 NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影，根据，得 NFAC1，又 AC1A1C，故 NF A1C，由三垂线定理可得结论； （II）连
41、接 AF，过 N 作 NMAF 与 M，连接 ME 根据三垂线定理得 EMAF，则EMN 是二面角 CAFE 的平面角即EMN，在直角三角形 CNE 中，求出 NE，在直角三 角形 AMN 中，求出 MN，故 tan，根据 的范围可求出最小值 【解答】解： （I）过 E 作 ENAC 于 N，连接 EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底 面 ABC侧面 A1C EN侧面 A1C NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影 则由，得 NFAC1，又 AC1A1C，故 NFA1C 由三垂线定理可知 EFA1C （II）连接 AF，过 N 作 NMAF 与 M，连接 ME 由（I）可知 EN侧面
42、A1C，根据三垂线定理得 EMAF EMN 是二面角 CAFE 的平面角即EMN 设FAC 则 045， 在直角三角形 CNE 中，NE，在直角三角形 AMN 中，MN3sin 故 tan，又 0450sin 故当 45时，tan 达到最小值， tan，此时 F 与 C1重合 【点评】本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 25已知圆 C：x2+y2+x6y+m0 与直线 l：x+2y30 （1）若直线 l 与圆 C 没有公共点，求 m 的取值范围； 第 23 页（共 24 页） （2）若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q
43、 两点，O 为原点，且 OPOQ，求实数 m 的值 【分析】 （1）找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 l 的距离 d，根据直线 l 与圆没有公共点得到直线 l 与圆外离，即 d 大于 r 列出关于 m 的不等式， 求出不等式的解集即可得到 m 的范围； （2）根据题意得出直线 OP 与直线 OQ 垂直，即斜率乘积为1，设 P（x1，y1） ，Q（x2， y2） ，将直线 l 方程与圆方程联立，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的 关系表示出两根之和与两根之积，根据斜率乘积为1 列出关于 m 的方程，求出方程的 解即可得到 m 的值 【解答】解： （
44、1）将圆的方程化为标准方程得： （x+）2+（y3）29m， 圆心 C（，3） ，半径 r29m0，即 m， 圆心 C 到直线 l 的距离 d2，直线 l 与圆 C 没有公共点 9m，即 m8， 则 m 的范围为（8，） ； （2）根据题意得：OQP 为直角三角形，即 OPOQ， 将直线 l 与圆方程联立消去 y 得到：5x2+10x+4m270， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， x1+x2 2 ， x1x2， y1y2 ， x1x2+y1y20， +1， 解得：m3 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根与系数的关系，两直线垂 直时斜率的乘积为1，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 有 d 与 r 的大小关系来判断：当 dr 时，直线与圆相离；当 dr 时，直线与圆相切；当 dr 时，直线与圆相交（d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径）
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