1、已知命题 P：x2，x380，那么P 是（ ） Ax2，x380 Bx2，x380 Cx2，x380 Dx2，x380 2 （5 分）已知数列an是等比数列，若 a11，a516，则 a3的值为（ ） A4 B4 或4 C2 D2 或2 3 （5 分）已知 a，b，c 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A “a2b2”是“ab”的充分条件 B “a2b2”是“ab”的必要条件 C “ac2bc2”是“ab”的充分条件 D “|a|b|”是“ab”的充要条件 4 （5 分）已知双曲线的一条渐近线与直线 2xy10 垂 直，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 5 （5 分）若等差数列
2、an的前 n 项和为 Sn，且 S1111，则 a4+a6+a8（ ） A2 B C3 D6 6 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a1，c5，cos，则 b （ ） A2 B C D4 7 （5 分）椭圆+1 与曲线1（k8）的（ ） A焦距相等 B离心率相等 C焦点相同 D准线相同 8 （5 分）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA1B1C1D1中，ABAD AA11，BADBAA1DAA160，则 AC1的长为（ ） 第 2 页（共 21 页） A3 B C6 D 9 （5 分）已知 f（x）2x2+bx+c，不等式 f（x）0 的解集是（1，
3、3） ，若对于任意 x 1，0，不等式 f（x）+t4 恒成立，则 t 的取值范围（ ） A （，2 B （，2 C （，4 D （，4 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 表示ABC 的面积，若 ccosB+bcosCasinA，则B（ ） A90 B60 C45 D30 11 （5 分） 已知 x， y 均为正实数， 若 2x与 2y的等差中项为 2， 则 x+2y 的取值范围是 （ ） A （，4） B （0，4） C0，4 D （，4 12 （5 分）已知抛物线 y24x，其准线与 x 轴的交点为 C，过焦点 F 的弦交抛物线于 A，B 两点，
4、且AFC150，则 tanACB（ ） A3 B2 C D 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 75方向 航行 15 海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 海里 14 （5 分）已知数列an的首项为 3，bn为等差数列，且 bnan+1an（nN*） ，若 b3 2，b910，则 a7 15 （5 分）函数的最小值是 16 （5 分）已知点 A，B 的坐标分别是（1，0） ， （1，0） ，直线 A，B 相交于点 M，且它 们的
5、斜率分别为 k1，k2，下列命题是真命题的有 （只填写序号） 若 k1+k22，则 M 的轨迹是椭圆（除去两个点） 若 k1k22，则 M 的轨迹是抛物线（除去两个点） 若 k1k22，则 M 的轨迹是双曲线（除去两个点） 若 k1k22，则 M 的轨迹是一条直线（除去一点） 第 3 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤写文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知 p：x2+3x40，q： （x+1） （xm）0 （1）若 m2，命题“pq”为真，求实数 x 的取值范围；
6、（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 （）求数列an的通项公式； （）若，求数列bn的前 n 项和 Tn 19 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 sinC+cosC 2， （）求 C 的大小； （）现给出三个条件：ab；B；c2试从中选择两个可以确定 ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC 的面积 S （只写出一种情况即可） 20 （12 分）2018 年是中国改革开放 40 周年，改革开放 40 年来，从开启新时期到跨入新世 纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引
7、领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历 史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌40 年来，我们始终坚持保护环境 和节约资源，坚持推进生态文明建设郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维 护若已知市财政下拨一项专款 100（百万元） ，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态 维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金 x（单位：百万元）的 函数 M（单位：百万元） ，M（x），处理污染项目五年内带来的生态受益可表示 为投放资金 x（单位：百万元）的函数 N（单位：百万元） ，N（x）0.2x （1）设分配给植绿护绿项目的资金为 x（百万元） ，则两个生态项目五年内带来的收益总
8、 和为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式和定义域； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出 y 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 21 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是梯形，且 ABCD，ABC90， ABSD2，CD1，BAD60，SASB （1）求证：平面 SAB平面 ABCD； （2）若 SASB，求二面角 ASDC 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 22 （12 分）设椭圆为左右焦点，B 为短轴端点，长 轴长为 4，焦距为 2c，且 bc，BF1F2的面积为 （）求椭圆 C 的方程 （） 设
9、动直线 l： ykx+m 椭圆 C 有且仅有一个公共点 M， 且与直线 x4 相交于点 N 试 探究：在坐标平面内是否存在定点 P，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P？若存在求出点 P 的坐标，若不存在请说明理由 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题所给出的四个选项分在每小题所给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合
10、题目要求的 1 （5 分）已知命题 P：x2，x380，那么P 是（ ） Ax2，x380 Bx2，x380 Cx2，x380 Dx2，x380 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】解：命题 P 为全称命题，其否定为特称命题， 则P：x2，x380， 故选：B 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题 的否定是特称命题 2 （5 分）已知数列an是等比数列，若 a11，a516，则 a3的值为（ ） A4 B4 或4 C2 D2 或2 【分析】根据题意，设数列an的公比为 q，由等比数列的通项公式可得 q416， 变形可得 q24，又由
11、 a3a1q2，计算可得答案 【解答】解：根据题意，数列an是等比数列，设其公比为 q， 若 a11，a516，则 q416， 解可得：q24， 则 a3a1q24； 故选：A 【点评】本题考查等比数列的性质以及通项公式，注意分析 a3的符号 3 （5 分）已知 a，b，c 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A “a2b2”是“ab”的充分条件 B “a2b2”是“ab”的必要条件 第 6 页（共 21 页） C “ac2bc2”是“ab”的充分条件 D “|a|b|”是“ab”的充要条件 【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】解：对于 A，当 a5
12、，b1 时，满足 a2b2，但是 ab，所以充分性不成立； 对于 B，当 a1，b2 时，满足 ab，但是 a2b2，所以必要性不成立； 对于 C，由 ac2bc2得 c0，则由 ab 成立，即充分性成立，故正确 对于 D，当 a5，b1 时，|a|b|成立，但是 ab，所以充分性不成立，当 a1，b 2 时，满足 ab，但是|a|b|，所以必要性也不成立，故“|a|b|”是“ab”的既 不充分也不必要条件 故选：C 【点评】本题主要考查不等式的性质以及充分条件，必要条件的判断，根据不等式之间 的关系是解决本题的关键 4 （5 分）已知双曲线的一条渐近线与直线 2xy10 垂 直，则双曲线 C
13、 的离心率为（ ） A B C D 【分析】先根据两条直线互相垂直，斜率之积为1，以及双曲线的渐近线方程得到的 值，再利用双曲线离心率即可 【解答】解：由于双曲线的一条渐近线与直线 2xy10 垂直，所以双曲线一条渐近 线的斜率为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 双曲线的离心率 故选：A 【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率，以及垂直直线斜率的关系 5 （5 分）若等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1111，则 a4+a6+a8（ ） A2 B C3 D6 第 7 页（共 21 页） 【分析】根据题意，由等差数列的前 n 项和性质可得， 解可得 a6的值，又由 a4+a6+
14、a83a6，分析可得答案 【解答】解：根据题意，因为an为等差数列，所以， 解得 a61， 故 a4+a6+a83a63； 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题 6 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a1，c5，cos，则 b （ ） A2 B C D4 【分析】利用二倍角的余弦函数公式由已知可求 cosB，根据余弦定理即可解得 b 的值 【解答】解：因为 cos， 所以 cosB2cos21， 由余弦定理可得：cosB， 所以解得：b4 故选：D 【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中
15、的应用，考查 了转化思想，属于基础题 7 （5 分）椭圆+1 与曲线1（k8）的（ ） A焦距相等 B离心率相等 C焦点相同 D准线相同 【分析】利用椭圆方程以及双曲线方程，求出 c，然后推出结果 【解答】解：因为椭圆方程为+1，所以 a2，b2，c2，焦点在 x 轴 上 曲线1（k8） ，因为 k8，所以 8k0，k120，曲线方程可写为： 第 8 页（共 21 页） 1（k8） ，12k8k，所以曲线为焦点在 y 轴上的椭圆， a，b，c2，所以焦距相等正确 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 8 （5 分）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱
16、柱）ABCDA1B1C1D1中，ABAD AA11，BADBAA1DAA160，则 AC1的长为（ ） A3 B C6 D 【 分 析 】 由+， 可 得 +2+2+2，即可得出 【解答】解：+， 则+2+2+2 1+1+1+3211cos60 6 故选：D 【点评】本题考查了平行四面体法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 9 （5 分）已知 f（x）2x2+bx+c，不等式 f（x）0 的解集是（1，3） ，若对于任意 x 1，0，不等式 f（x）+t4 恒成立，则 t 的取值范围（ ） A （，2 B （，2 C （，4 D （，4 【分析】根据题
17、意，由不等式的解集分可得1 和 3 是方程2x2+bx+c0 的根，则有 第 9 页（共 21 页） ， 解可得 b、 c 的值， 由此可得不等式 f （x） +t4 化为 t2x24x2， x 1，0，设 g（x）2x24x22（x1）24，由二次函数的性质分析其在区间1， 0上的最小值，进而分析可得答案 【解答】解：根据题意，不等式 f（x）2x2+bx+c0 的解集是（1，3） ， 则1 和 3 是方程2x2+bx+c0 的根，则有， 解可得 b4， c6， 则 f （x） 2x2+4x+6， 不等式 f （x） +t4 化为 t2x24x2， x 1，0， 设 g（x）2x24x22（
18、x1）24，在区间1，0上的最小值为2， 则有 t2； 故选：B 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，涉及二次函数的性质，关键是求出 b、c 的值， 属于基础题 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 表示ABC 的面积，若 ccosB+bcosCasinA，则B（ ） A90 B60 C45 D30 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinA1，结合 A 的范围 可求 A900，由余弦定理、三角形面积公式可求，结合范围 00C900，可 求 C 的值，根据三角形面积公式可求 B 的值 【解答】解：由正弦定理及 ccosB+bcos
19、CasinA， 得 sinCcosB+sinBcosCsin2A，可得：sin（C+B）sin2A， 可得：sinA1， 因为 00A1800， 所以 A900； 由余弦定理、三角形面积公式及， 得， 第 10 页（共 21 页） 整理得， 又 00C900， 所以 C600， 故 B300 故选：D 【点评】本题主要考查正、余弦定理、两角和的正弦函数公式、三角形面积公式在解三 角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 11 （5 分） 已知 x， y 均为正实数， 若 2x与 2y的等差中项为 2， 则 x+2y 的取值范围是 （ ） A （，4） B （0，4） C0，4 D
20、 （，4 【分析】画出约束条件的可行域，利用等差数列的性质以及目标函数的的几何意义求 解即可 【解答】解：由题当且仅当 xy 时“”成立，此时 x+y2； 又 x，y0，作出可行域如下图，当直线分别在点 O 及点 A 时，x+2y 有最小值 0 及最大 值 4， 故 x+2y 的取值范围为（0，4） 故选：B 【点评】本题结合等差中项考查基本不等式及线性规划问题是基本知识的考查 12 （5 分）已知抛物线 y24x，其准线与 x 轴的交点为 C，过焦点 F 的弦交抛物线于 A，B 两点，且AFC150，则 tanACB（ ） A3 B2 C D 【分析】过点 A 分别作 x 轴和准线的垂线，垂
21、足分别为 H，A1通过求解三角形以及两 角和与差的三角函数求解即可 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：如图所示，过点 A 分别作 x 轴和准线的垂线，垂足分别为 H，A1 根据题意，知 AFAA1， 故 同理可得 故 故选：C 【点评】本题考查抛物线方程，定义等知识点考查数形结合思想，转化化归思想的应 用本题亦可采用代数法，求出的 A，B 坐标再用向量法解决 二、填空题：本大题共有二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 75方向 航行 15 海里后，看见灯塔在
22、正西方向，则这时船与灯塔的距离是 5 海里 【分析】以 O 为原点建立直角坐标系，利用方向坐标和直角三角形的边角关系，即可求 得船与灯塔的距离 【解答】解：以 O 为原点建立直角坐标系，如图所示； 设南偏东 30方向为射线 OM， 船沿南偏东 75方向航行 15 海里后到达 A 点， 过 A 作 x 轴平行线，交 y 轴于 D 点，交 OM 于 B 点， 第 12 页（共 21 页） 则DOA30+45，cosDOA， ODOAcos75， 又 sinDOA， ADOAsin75； 又DOB30，tanDOB， BDODtan30； 故答案为：5 【点评】本题考查了解三角形的实际模型应用问题，
23、是基础题 14 （5 分）已知数列an的首项为 3，bn为等差数列，且 bnan+1an（nN*） ，若 b3 2，b910，则 a7 3 【分析】设公差为 d，则 b9b3+6d，从而 d2，进而 bnb3+（n3）d2n8，求出 an+1an2n8，由此利用累加法能求出 a7 【解答】解：因为bn为等差数列，b32，b910， 设公差为 d，所以 b9b3+6d，解得 d2， 所以 bnb3+（n3）d2n8， 故 an+1an2n8， 故 a7a1+（a2a1）+（a3a2）+（a4a3）+（a5a4）+（a6a5）+（a7a6） 3+（6）+（4）+（2）+0+2+43 故答案为：3
24、第 13 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，以及用累加法求通项先根据bn为等差 数列，b3和 b9的值，求解出 bn，再利用累加法求解 a7 15 （5 分）函数的最小值是 5+2 【分析】将代数式 sin2x+cos2x 与函数 f（x）的解析式相乘，并进行分解，利用基本不等 式可求出 f（x）的最小值 【 解 答 】 解 ： 注 意 到sin2x+cos2x 1 ， 且0 sin2x ， cos2x 1 ， 当且仅当时“”成立， 此时，满足题意， 故 f（x）的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑， 属
25、于基础题 16 （5 分）已知点 A，B 的坐标分别是（1，0） ， （1，0） ，直线 A，B 相交于点 M，且它 们的斜率分别为 k1，k2，下列命题是真命题的有 （只填写序号） 若 k1+k22，则 M 的轨迹是椭圆（除去两个点） 若 k1k22，则 M 的轨迹是抛物线（除去两个点） 若 k1k22，则 M 的轨迹是双曲线（除去两个点） 若 k1k22，则 M 的轨迹是一条直线（除去一点） 【分析】设点 M（x，y） ，不妨设 k1k，k22k 则有，消 去参数 k，即可判定； 不妨设 k1k，k22+k 则有，消去参数 k，即可判定； 第 14 页（共 21 页） ，整理得即可判定；
26、，整理得 x3，y0 即可判定 【解答】解：不妨设点 M（x，y） 不 妨 设 k1 k ， k2 2 k 则 有， 消 去 参 数 k ， 得 ，所以错 不妨设 k1k，k22+k 则有，消去参数 k，得 yx21，x 1，所以正确 ，整理得所以对 ，整理得 x3，y0 所以对 故答案为： 【点评】本题考查斜率公式，轨迹方程求法属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知 p：x2+3x40，q： （x+1） （xm）0 （1）若 m2，命题“
27、pq”为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）根据复合命题真假关系进行转化求当命题“pq”为假时的范围即可 （2）根据必要不充分条件与集合包含关系进行转化求解即可 【解答】解： （1）若 m2 时，p：4x1，q：1x2， pq 为真时，p、q 两个命题一真一假或两个都为真，其对立事件为两个都为假，当 p 假 且 q 假时，即 x2 或 x4， 所以 pq 为真时4x2，即 x 的取值范围为4，2） ； （2）若 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 的解集p 的解集， q时，即 m1 时，满足题意； q时，当 m1 时
28、p：4x1，q：1xm，因为 qp，所以 m1 第 15 页（共 21 页） 当 m1 时 p：4x1，q：mx1，因为 qp，所以 m4 所以4m1； 综上，实数 m 的取值范围为4，1 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，求出 命题的等价条件是解决本题的关键 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 （）求数列an的通项公式； （）若，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）利用已知条件，通过 anSnSn1；转化求解数列的通项公式即可 （2）利用裂项消项法转化求解数列的和即可 【解答】解： （1） 当 n2 时，2 分 ；4 分 又当 n
29、1 时，a1S11，不满足上式5 分 6 分 （2）当 n2 时，8 分 ；10 分 当 n1 时，满足上式；11 分 12 分 【点评】本题第一问主要考查 an与 Sn的关系，一定要验 证 n1 的情况；第二问主要考查裂项求和的方法 19 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 sinC+cosC 2， 第 16 页（共 21 页） （）求 C 的大小； （）现给出三个条件：ab；B；c2试从中选择两个可以确定 ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC 的面积 S （只写出一种情况即可） 【分析】 （）由两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结
30、合范围 0 C，可得，即可求得 C 的值 （）方案一：选条件和，由余弦定理可求 b，a 的值，根据三角形面积公式即可 计算得解； 方案二：选条件和，由正弦定理得，根据两角和的正弦函数公式 可求 sinA 的值，根据三角形面积公式即可计算得解若选条件和，可得 sinA1， 这样的三角形不存在 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （）依题意得：， 即，3 分 0C， ， ， ；5 分 （）方案一：选条件和，6 分 由余弦定理 a2+b22abcosCc2，有，8 分 则 b2，10 分 所以12 分 方案二：选条件和，6 分 由正弦定理，得，8 分 A+B+C， ，10 分 第 17 页（共
31、 21 页） 12 分 说明：若选条件和，由得，不成立，这样的三 角形不存在 【点评】本题主要考察解三角形知识，正弦定理余弦定理的应用，属于常规题型，难度 中等 20 （12 分）2018 年是中国改革开放 40 周年，改革开放 40 年来，从开启新时期到跨入新世 纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历 史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌40 年来，我们始终坚持保护环境 和节约资源，坚持推进生态文明建设郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维 护若已知市财政下拨一项专款 100（百万元） ，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态 维护项目，植绿护绿
32、项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金 x（单位：百万元）的 函数 M（单位：百万元） ，M（x），处理污染项目五年内带来的生态受益可表示 为投放资金 x（单位：百万元）的函数 N（单位：百万元） ，N（x）0.2x （1）设分配给植绿护绿项目的资金为 x（百万元） ，则两个生态项目五年内带来的收益总 和为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式和定义域； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出 y 的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【分析】 （1）由题意可得 y 关于 x 的函数解析式和定义域； （2）由题意可得 y50+22，再利
33、用基本不等式即可求出 【解答】解： （1）yM（x）+N（x）+0.2（100x） ，x0，100， （2）由（1）得到 y+0.2（10x+110）50+22 722722052 当且仅当取等号，即 x40 时，取等号 所以 y 的最大值为 52 万元，分别投资给植绿护绿和处理污染两个生态维护项目 40 万和 60 万元 【点评】本题考查了函数模型的选择和应用，考查了基本不等式的应用，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 第 18 页（共 21 页） 21 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是梯形，且 ABCD，ABC90， ABSD2，CD1，BAD60，SASB
34、 （1）求证：平面 SAB平面 ABCD； （2）若 SASB，求二面角 ASDC 的余弦值 【分析】 （1）取 AB 中点 O，连接 BD、DO、SO，证明 DOSODO平面 SAB然后 证明平面 SAB平面 ABCD （2）以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz，求出平面 ASD 的法向量，平面 SCD 的法 向量，通过二面角 ASDC 为钝二面角，路空间向量的数量积求解即可 【解答】解： （1）取 AB 中点 O，连接 BD、DO、SO， 在直角梯形 ABCD 中，BCD90，BAD60，AB2，CD1， OAOB1，DOAB，； BDAB，又BAD60， ABD 为等边三角形 SA
35、SB， SD2，OS2+OD2SD2DOSO ABSOO，DO平面 SAB DO平面 ABCD，平面 SAB平面 ABCD5 分 （2），SOAO 由（1）知，平面 SAB平面 ABCD，SO平面 ABCD， 直线 OD，OB，OS 两两垂直以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz，如图， 则 6 分 第 19 页（共 21 页） 设平面 ASD 的法向量为 （x，y，z） ， 由，得，取 x1，得，8 分 设平面 SCD 的法向量为 （x，y，z） ，由，得，取 x1， 得，10 分 ，11 分 由图可知二面角 ASDC 为钝二面角， 二面角 ASDC 的余弦值为12 分 【点评】第一问考
36、查面面垂直的判定，利用判定定理；第二问通过建系，利用空间向量 进行计算 考查空间几何点线面的位置关系及向量法求解二面角飞平面角飞三角函数值， 属中档常规题 22 （12 分）设椭圆为左右焦点，B 为短轴端点，长 轴长为 4，焦距为 2c，且 bc，BF1F2的面积为 （）求椭圆 C 的方程 （） 设动直线 l： ykx+m 椭圆 C 有且仅有一个公共点 M， 且与直线 x4 相交于点 N 试 探究：在坐标平面内是否存在定点 P，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P？若存在求出点 P 第 20 页（共 21 页） 的坐标，若不存在请说明理由 【分析】 （）由椭圆长轴长为 4，焦距为 2c，且 bc
37、，BF1F2的面积为，列出方 程组，求出 a，b，c，由此能求出椭圆 C 的方程 （）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2120由动直线 l 与椭圆 C 有且只 有一个公共点，求出 M（，） ，由，得 N（4，4k+m） 假设平面内存在 定点 P 满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x 轴上设 P（x1，0） ，由，得 （4x14）+x124x1+30，由此求出存在定点 P（1，0） ，使得以 MN 为直径的圆恒 过点 M 【解答】解： （）椭圆为左右焦点， B 为短轴端点，长轴长为 4，焦距为 2c，且 bc，BF1F2的面积为 由题意知，解得： 故椭圆 C 的方程是+14 分 （
38、）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m21206 分 动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M（x0，y0） ，m0 且0， 即 64k2m24（4k2+3） （4m212）0，化简得 4k2m2+30 （*） 此时 x0，y0kx0+m，M（，） 由，得 N（4，4k+m） 8 分 假设平面内存在定点 P 满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x 轴上 设 P（x1，0） ，则对满足（*）式的 m、k 恒成立 （x1，） ，（4x1，4k+m） ，由，10 分 第 21 页（共 21 页） 得+4x1+30， 整理，得（4x14）+x124x1+30 （*）11 分 由于（*）式对满足（*）式的 m，k 恒成立， ，解得 x11 故存在定点 P（1，0） ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 M12 分 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的 判断与求法，考查椭圆、直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转 化思想，是中档题
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