1、已知集合 A2，1，0，1，2，RBx|0，则 AB（ ） A1，0，1 B1，0 C2，1，0 D0，1，2 2 （5 分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，反设正确的是 （ ） A假设三内角都不大于 60 B假设三内角都大于 60 C假设三内角至多有一个大于 60 D假设三内角至多有两个小于 60 3 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn+1（nN*） ，则 S5（ ） A31 B42 C37 D47 4 （5 分）在ABC 中，B（2，0） ，C（2，0） ，A（x，y） ，给出ABC 满足条件，就能 得到动点 A 的轨迹方程
2、下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ABC 周长为 10 C1：y225 ABC 面积为 10 C2：x2+y24（y0） ABC 中，A90 C3：+1（y0） 则满足条件，的轨迹方程依次为（ ） AC3，C1，C2 BC1，C2，C3 CC3，C2，C1 DC1，C3，C2 5 （5 分）已知 a（x21）dx，b1log23，ccos，则 a，b，c 的大小关系是 （ ） Aabc Bcab Cacb Dbca 6 （5 分）在区间0，8上随机取一个 x 的值，执行如图的程序框图，则输出的 y3 的概率 第 2 页（共 24 页） 为（ ） A B C D 7 （5 分）过圆锥顶点的
3、平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的 体积为（ ） A1 B C D 8 （5 分）已知 m1，x，y 满足约束条件，若目标函数 zax+by（a0， 第 3 页（共 24 页） b0）的最大值为 3，则+（ ） A有最小值 B有最大值 C有最小值 D有最大值 9 （5 分）已知 P，A，B 是双曲线上不同的三点，且 A，B 关于 原点对称，若直线 PA，PB 的斜率乘积，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B C D 10 （5 分）已知圆 C：x2+y21，点 P 为直线+1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切 线 PA，PB，A，B 为切点，则直线 AB 经过定点
4、（ ） A B C D 11 （5 分）函数 f（x）与 g（x）（|x+a|+1）的图象上存在关于 y 轴 对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，32ln2 B32ln2，+） C，+） D （， 12 （5 分）将函数 ysin（x）的图象向左平移 3 个单位，得函数 ysin（x+） （|）的图象（如图） ，点 M，N 分别是函数 f（x）图象上 y 轴两侧相邻的最高点和 最低点，设MON，则 tan（）的值为（ ） A1 B2 C1+ D2+ 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知
5、 （，） ，| |1，| +2 |2，则 在 方向上的投影为 14 （5 分）设函数 f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 第 4 页（共 24 页） 2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2016） 2f（x+2016）f（1）0 的解集为 15 （5 分）从抛物线上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5设抛 物线的焦点为 F，则MPF 的面积为 16 （5 分）设 A（n）表示正整数 n 的个位数，anA（n2）A（n） ，A 为数列an的前 202 项和， 函数 f （x） exe+1， 若函数 g （x） 满足 fg （x） 1， 且
6、bng （n）（nN*） ， 则数列bn的前 n 项和为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17（10 分） ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 向量 （， 1） ， （cosA+1， sinA） ，且 的值为 2+ （1）求A 的大小； （2）若 a，cosB，求ABC 的面积 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，面 PAD底面 ABCD，且 PAD 是边长为 2 的等边三角形，PC，M 在 PC 上
7、，且 PA面 MBD （1）求证：M 是 PC 的中点； （2）在 PA 上是否存在点 F，使二面角 FBDM 为直角？若存在，求出的值；若不 存在，说明理由 19 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an+1Sn+1（nN*，1） ，且 a1， 2a2，a3+3 为等差数列bn的前三项 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分）已知椭圆 E：+1（a）的离心率 e，右焦点 F（c，0） ，过 点 A（，0）的直线交椭圆 E 于 P，Q 两点 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 P 关于 x 轴的
8、对称点为 M，求证：M，F，Q 三点共线； （3）当FPQ 面积最大时，求直线 PQ 的方程 21 （12 分）已知 f（n）1+，g（n），nN* （1）当 n1，2，3 时，试比较 f（n）与 g（n）的大小关系； （2）猜想 f（n）与 g（n）的大小关系，并给出证明 22 （12 分）已知函数 f（x）lnxx （1）证明：对任意的 x1，x2（0，+） ，都有|f（x1）|； （2）设 mn0，比较与的大小，并说明理由 第 6 页（共 24 页） 2018-2019 学年河南省郑州一中高二（下）开学数学试卷（理科）学年河南省郑州一中高二（下）开学数学试卷（理科） （2 月份）月份）
9、参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A2，1，0，1，2，RBx|0，则 AB（ ） A1，0，1 B1，0 C2，1，0 D0，1，2 【分析】解不等式求出RB，根据补集与交集的定义计算即可 【解答】解：集合 A2，1，0，1，2， RBx|0x|x2 或 x1， Bx|2x1 则 AB2，1，0 故选：C 【点评】本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是
10、基础题 2 （5 分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，反设正确的是 （ ） A假设三内角都不大于 60 B假设三内角都大于 60 C假设三内角至多有一个大于 60 D假设三内角至多有两个小于 60 【分析】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于 60”的否定是：三角形的 三个内角都大于 60，由此得到答案 【解答】证明：用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个内角不大于 60”时， 应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于 60”的否定 是：三角形的三个内角都大于 60， 故选：B 【点评】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证
11、明数学命题，把要证的结论进行 第 7 页（共 24 页） 否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题 3 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a12，an+1Sn+1（nN*） ，则 S5（ ） A31 B42 C37 D47 【分析】an+1Sn+1（nN*） ，可得 Sn+1SnSn+1（nN*） ，变形为：Sn+1+12（Sn+1） （nN*） ，利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解： an+1Sn+1 （nN*） ， Sn+1SnSn+1 （nN*） ， 变形为： Sn+1+12 （Sn+1） （nN*） ， 数列Sn+1为等比数列，首项为 3，公比为
12、 2 则 S5+1324，解得 S547 故选：D 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、数列递推关系，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题 4 （5 分）在ABC 中，B（2，0） ，C（2，0） ，A（x，y） ，给出ABC 满足条件，就能 得到动点 A 的轨迹方程 下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 ABC 周长为 10 C1：y225 ABC 面积为 10 C2：x2+y24（y0） ABC 中，A90 C3：+1（y0） 则满足条件，的轨迹方程依次为（ ） AC3，C1，C2 BC1，C2，C3 CC3，C2，C1 DC1，C3，C2 【分析】中可转化为 A 点到 B、
13、C 两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义 法求轨迹方程；中利用三角形面积公式可知 A 点到 BC 距离为常数，轨迹为两条直线； 中A90，可用斜率或向量处理 【解答】解：ABC 的周长为 10，即 AB+AC+BC10， BC4，AB+AC6BC， 故动点 A 的轨迹为椭圆，与 C3对应； ABC 的面积为 10，BC|y|10，即|y|5，与 C1对应； 第 8 页（共 24 页） A90，（2x，y） （2x，y）x2+y240，与 C2对应 故选：A 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直接法、定义法求轨迹方程，是基础题 5 （5 分）已知 a（x21）dx，b1log23，cc
14、os，则 a，b，c 的大小关系是 （ ） Aabc Bcab Cacb Dbca 【分析】估算 a，b，c 的值，即可比较大小 【解答】解：a（x21）dx（x3x）10.667， b1log2310.59，ccos0.866， cab， 故选：B 【点评】本题考查大小比较，考查学生的计算能力比较基础 6 （5 分）在区间0，8上随机取一个 x 的值，执行如图的程序框图，则输出的 y3 的概率 为（ ） A B C D 【分析】利用分段函数，求出输出的 y3 时，x 的范围，以长度为测度求出相应的概率 【解答】解：由题意，0x6，2x13，2x6； 第 9 页（共 24 页） 6x8，无解，
15、 输出的 y3 的概率为， 故选：B 【点评】本题考查程序框图，考查概率的计算，正确求出输出的 y3 时，x 的范围是关 键 7 （5 分）过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的 体积为（ ） A1 B C D 【分析】由三视图可得底面圆的半径为2，圆锥的高为2，即可求出原圆 锥的体积 【解答】解：由三视图可得底面圆的半径为2，圆锥的高为2， 原圆锥的体积为， 故选：D 【点评】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，比较基础 8 （5 分）已知 m1，x，y 满足约束条件，若目标函数 zax+by（a0， 第 10 页（共 24 页） b0）的最大值为 3
16、，则+（ ） A有最小值 B有最大值 C有最小值 D有最大值 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得 a+5b3，然后利用基本不等式 求得+有最小值 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得 A（1，5） ， 化目标函数 zax+by（a0，b0）为 y， 由图可知，当直线 y过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 a+5b 3 +（+） （） 当且仅当 2a25b2时，上式等号成立 故选：A 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 9 （5 分）已
17、知 P，A，B 是双曲线上不同的三点，且 A，B 关于 原点对称，若直线 PA，PB 的斜率乘积，则该双曲线的离心率是（ ） A2 B C D 【分析】设出点 A，B 的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合 kPA 第 11 页（共 24 页） kPB，即可求得结论 【解答】解：由题意，设 A（x1，y1） ，P（x2，y2） ，则 B（x1，y1） kPAkPB ，两式相减可得 kPAkPB，e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，离心率的求解，属基础题 10 （5 分）已知圆 C：x2+y21，点 P 为直线+1 上一动点，过点 P 向圆 C 引两
18、条切 线 PA，PB，A，B 为切点，则直线 AB 经过定点（ ） A B C D 【分析】根据题意设 P 的坐标为 P（42m，m） ，由切线的性质得点 A、B 在以 OP 为直 径的圆 C 上，求出圆 C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦 AB 所在的直线方程， 再求出直线 AB 过的定点坐标 【解答】解：因为 P 是直线+1 的任一点，所以设 P（42m，m） ， 因为圆 x2+y21 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B， 所以 OAPA，OBPB， 则点 A、B 在以 OP 为直径的圆上，即 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦， 则圆心 C 的坐标是（2m，） ，且半径的平
19、方是 r2， 所以圆 C 的方程是（x2+m）2+（y）2， 又 x2+y21， 得， （2m4）xmy+10，即公共弦 AB 所在的直线方程是： （2m4）xmy+1 0， 即 m（2xy）+（4x+1）0， 由得 x，y 第 12 页（共 24 页） 所以直线 AB 恒过定点（，） ， 故选：B 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直 线过定点问题，属于中档题 11 （5 分）函数 f（x）与 g（x）（|x+a|+1）的图象上存在关于 y 轴 对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，32ln2 B32ln2，+） C，+） D （， 【分析
20、】画出函数 f（x）的图象，求出函数 g（x）（|x+a|+1）的最小值，利用已知 条件转化列出不等式求解即可 【解答】解：函数 f（x）的图象如图： g（x）（|x+a|+1），当且仅当 xa 时取等号， 函数 yln（x）与 y（|x+|+1）在 x0 有解，而且 g（x）（|x+a|+1）看作 g （x） （|x|+1）向左平移而得，yln（x），可得切点横坐标为：， 即 x2， 此时 a 取得最小值：ln2（|2+a|+1） ，解得 a32ln2 函数 f（x）与 g（x）（|x+a|+1）的图象上存在关于 y 轴对称的点， 所以实数 a 的取值范围是：32ln2，+） 故选：B 第
21、13 页（共 24 页） 【点评】本题考查函数的零点，函数的图象的画法，考查数形结合以及转化思想的应用 12 （5 分）将函数 ysin（x）的图象向左平移 3 个单位，得函数 ysin（x+） （|）的图象（如图） ，点 M，N 分别是函数 f（x）图象上 y 轴两侧相邻的最高点和 最低点，设MON，则 tan（）的值为（ ） A1 B2 C1+ D2+ 【分析】根据函数图象的变换，求得 的值，由正弦函数的性质，求得 M 和 N 的坐标， 利用余弦定理求得 的值，即可求得 tan（） 【解答】 解： 函数 ysin （x） 的图象向左平移 3 个单位， 可得： ysin（x+3） sin（x
22、+） ， 则 ， M（1，） ，N（3，） ， 则丨 OM 丨2，丨 ON 丨2，丨 MN 丨2， cos， 第 14 页（共 24 页） 由 0，则 ， 则 tan （） tan （） tantan （） （2）2+， tan（）的值2+， 故选：D 【点评】本题考查正弦函数的图象变换，余弦定理，两角差的正切公式，考查计算能力， 属于中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知 （，） ，| |1，| +2 |2，则 在 方向上的投影为 【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得 ，再
23、由 在 方向上的 投影为，计算即可得到所求 【解答】解： （，） ，| |1，| +2 |2， 可得| |1，| +2 |24， 即为 2+4 +424， 即有 1+4 +44， ， 可得 在 方向上的投影为 故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查向量的投影概念， 运算求解能力，属于基础题 14 （5 分）设函数 f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（x） ，且有 2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）f（1）0 的解集为 （ ，2017） 第 15 页（共 24 页） 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的
24、单调性和导数之间的关系，将不等式进行转 化即可得到结论 【解答】解：由 2f（x）+xf（x）x2， （x0） ， 得：2xf（x）+x2f（x）x3， 即x2f（x）x30， 令 F（x）x2f（x） ， 则当 x0 时， 得 F（x）0，即 F（x）在（，0）上是减函数， F（x+2016）（x+2016）2f（x+2016） ，F（1）f（1） ， 即不等式等价为 F（x+2016）F（1）0， F（x）在（，0）是减函数， 由 F（x+2016）F（1）得，x+20161， 即 x2017， 故答案为： （，2017） 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性
25、和导数之间 的关系是解决本题的关键 15 （5 分）从抛物线上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5设抛 物线的焦点为 F，则MPF 的面积为 10 【分析】先设处 P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得 P 点横坐标，代入抛 物线方程求得 P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案 【解答】解：抛物线 x24y 上一点 P 引抛物线准线的垂线， 设 P（x0，y0） 依题意可知抛物线准线 y1， y0514 |x0|4， MPF 的面积为：|PM|x05410 故答案为：10 【点评】本题主要考查了抛物线的应用解题的关键是灵活利用了抛物线的定义 16 （5 分）设
26、A（n）表示正整数 n 的个位数，anA（n2）A（n） ，A 为数列an的前 202 第 16 页（共 24 页） 项和， 函数 f （x） exe+1， 若函数 g （x） 满足 fg （x） 1， 且 bng （n）（nN*） ， 则数列bn的前 n 项和为 n+3（2n+3） （）n 【分析】先根据 n 的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得 A2，再由函数 f（x）为 R 上的增函数，求得 g（x）的解析式，即有 bng（n）1+（2n1） （）n， 再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，化简整理即可得到所求和 【解答】解：n 的个位数为 1 时有：anA（n2）A（n）
27、0， n 的个位数为 2 时有：anA（n2）A（n）422， n 的个位数为 3 时有：anA（n2）A（n）936， n 的个位数为 4 时有：anA（n2）A（n）642， n 的个位数为 5 时有：anA（n2）A（n）550， n 的个位数为 6 时有：anA（n2）A（n）660， n 的个位数为 7 时有：anA（n2）A（n）972， n 的个位数为 8 时有：anA（n2）A（n）484， n 的个位数为 9 时有：anA（n2）A（n）198， n 的个位数为 0 时有：anA（n2）A（n）000， 每 10 个一循环，这 10 个数的和为：0， 2021020 余 2，
28、余下两个数为：a2010，a2022， 数列an的前 202 项和等于：a201+a2020+22， 即有 A2 函数函数 f（x）exe+1 为 R 上的增函数，且 f（1）1， fg（x）1f（1） ， 可得 g（x）1+1+， 则 g（n）1+（2n1） （）n， 即有 bng（n）1+（2n1） （）n， 则数列bn的前 n 项和为 n+1 （）1+3 （）2+5 （）3+（2n1） （）n， 可令 S1 （）1+3 （）2+5 （）3+（2n1） （）n， 第 17 页（共 24 页） S1 （）2+3 （）3+5 （）4+（2n1） （）n+1， 两式相减可得S+2（）2+（）3+
29、（）4+（）n（2n1） （）n+1 +2（2n1） （）n+1， 化简可得 S3（2n+3） （）n， 则数列bn的前 n 项和为 n+3（2n+3） （）n 故答案为：n+3（2n+3） （）n 【点评】本题主要考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，同时考查归纳思想和 函数思想，运用不完全归纳和函数的单调性是解题的关键，属于难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17（10 分） ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 向量 （， 1
30、） ， （cosA+1， sinA） ，且 的值为 2+ （1）求A 的大小； （2）若 a，cosB，求ABC 的面积 【分析】 （1）由已知及平面向量数量积的运算可求 sin（A+）1，结合 A 的范围即可 得解 A 的值 （2）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，进而利用正弦定理可求 b 的值，根据三角 形面积公式即可计算得解 【解答】解： （1）2+ （2）， ， 由，得， 第 18 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，正弦定理， 三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18 （12 分）如图，四
31、棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，面 PAD底面 ABCD，且 PAD 是边长为 2 的等边三角形，PC，M 在 PC 上，且 PA面 MBD （1）求证：M 是 PC 的中点； （2）在 PA 上是否存在点 F，使二面角 FBDM 为直角？若存在，求出的值；若不 存在，说明理由 【分析】 （1）连 AC 交 BD 于 E，连 ME，推导出 E 是 AC 中点，PAME，由此能证明 M 是 PC 的中点 （2）取 AD 中点 O，以 O 为原点，OA，OE，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立 空间直角坐标系，利用向量法求出存在 F，使二面角 FBDM 为直角，此时 【
32、解答】证明： （1）连 AC 交 BD 于 E，连 ME ABCD 是矩形，E 是 AC 中点 又 PA面 MBD，且 ME 是面 PAC 与面 MDB 的交线， PAME，M 是 PC 的中点 解： （2）取 AD 中点 O，由（1）知 OA，OE，OP 两两垂直 以 O 为原点， OA， OE， OP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 （如图） ， 则各点坐标为 第 19 页（共 24 页） 设存在 F 满足要求，且， 则由得：， 面 MBD 的一个法向量为， 面 FBD 的一个法向量为， 由，得，解得， 故存在 F，使二面角 FBDM 为直角，此时 【点评】本
33、题考查点是线段的中点的证明，考查满足条件的点的位置的确定与线段比值 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化 化归思想，是中档题 19 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an+1Sn+1（nN*，1） ，且 a1， 2a2，a3+3 为等差数列bn的前三项 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 【分析】 （1）法一：an+1Sn+1（nN*） ，可得 anSn1+1（n2） ，可得：an+1（+1） an（n2） ，+10，又 a11，a2S1+1+1，利用等比数列的通项公式即可得出 法二：a11，an+
34、1Sn+1（nN*） ，a2S1+1+1，a3S2+12+2+1，可得 4 （+1）1+2+2+1+3，解得 ，再利用递推关系等比数列的通项公式即可得出 （2）由（1）知，anbn（3n2）2n 1，利用错位相减法即可得出 【解答】解： （1）法一：an+1Sn+1（nN*） ，anSn1+1（n2） ， an+1anan，即 an+1（+1）an（n2） ，+10，又 a11，a2S1+1+1， 第 20 页（共 24 页） 数列an是以 1 为首项，公比为 +1 的等比数列，a3（+1）2， 4（+1）1+（+1）2+3，整理得 22+10，解得 1， an2n 1，b n1+3（n1）3
35、n2 法二：a11，an+1Sn+1（nN*） ， a2S1+1+1，a3S2+1（1+1）+12+2+1， 4（+1）1+2+2+1+3，整理得 22+10，解得 1， an+1Sn+1（nN*） ，anSn1+1（n2） ， an+1anan（n2） ，即 an+12an（n2） ，又 a11，a22， 数列an是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列，an2n 1，b n1+3（n1）3n2 （2）由（1）知，anbn（3n2）2n 1，设 T n为数列anbn的前 n 项和， Tn11+421+722+（3n2）2n 1， 2Tn121+422+723+（3n5）2n 1+（3n2）2
36、n 得，Tn11+321+322+32n 1（3n2）2n 1+3（3n2）2n， 整理得：Tn（3n5）2n+5 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、错位相减法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20 （12 分）已知椭圆 E：+1（a）的离心率 e，右焦点 F（c，0） ，过 点 A（，0）的直线交椭圆 E 于 P，Q 两点 （1）求椭圆 E 的方程； （2）若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：M，F，Q 三点共线； （3）当FPQ 面积最大时，求直线 PQ 的方程 【分析】 （1）由椭圆的离心率公式，计算可得 a 与 c 的值，由椭圆的几何性质
37、可得 b 的 值，将 a、b 的值代入椭圆的方程计算可得答案； （2）根据题意，设直线 PQ 的方程为 yk（x3） ，联立直线与椭圆的方程可得（3k2+1） x218k2x+27k260，设出 P、Q 的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐 标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明； （3）设直线 PQ 的方程为 xmy+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3 第 21 页（共 24 页） 0，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，结合根与系数的关系分析用 y1y2表示出FPQ 的面 积，分析可得答案 【解答】解： （1）由， cea2， 则 b2a2c22，
38、 椭圆 E 的方程是 （2）证明：由（1）可得 A（3，0） ，设直线 PQ 的方程为 yk（x3） ， 由方程组，得（3k2+1）x218k2x+27k260， 依题意12（23k2）0，得 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则， ， 由（2x1）y2（x22）y1（2x1） k（x23）（x22） k（x13） ， 得，M，F，Q 三点共线 （3）设直线 PQ 的方程为 xmy+3 由方程组，得（m2+3）y2+6my+30， 依题意36m212（m2+3）0，得 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 第 22 页（共 24 页） ， 令 tm2+3，则， ，即时，S
39、FPQ最大， SFPQ最大时直线 PQ 的方程为 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键由离心率的公式 求出椭圆的方程 21 （12 分）已知 f（n）1+，g（n），nN* （1）当 n1，2，3 时，试比较 f（n）与 g（n）的大小关系； （2）猜想 f（n）与 g（n）的大小关系，并给出证明 【分析】 （1）根据已知，nN*我们易 得当 n1，2，3 时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到 猜想 f（n）g（n） ； （2） 但归纳推理的结论不一定正确， 我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式 f（n） g（n）当 n1 时成立，再假设
40、不等式 f（n）g（n）当 nk（k1）时成立，进而证 明当 nk+1 时，不等式 f（n）g（n）也成立，最后得到不等式 f（n）g（n）对于所 有的正整数 n 成立； 【解答】解： （1）当 n1 时，f（1）1，g（1）1，所以 f（1）g（1） ； 当 n2 时， 所以 f（2）g（2） ； 当 n3 时， 所以 f（3）g（3） （2）由（1） ，猜想 f（n）g（n） ，下面用数学归纳法给出证明： 当 n1，2，3 时，不等式显然成立 假设当 nk（k3）时不等式成立， 第 23 页（共 24 页） 即即+， 那么，当 nk+1 时， 因为， 所以 由、可知，对一切 nN*，都有
41、f（n）g（n）成立 【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步骤为：设 P（n） 是关于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n1 时成立；2） （归纳） 在 P（k） （k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都 成立 22 （12 分）已知函数 f（x）lnxx （1）证明：对任意的 x1，x2（0，+） ，都有|f（x1）|； （2）设 mn0，比较与的大小，并说明理由 【分析】 （1）求出函数的导数，求出 f（x）的最大值，从而求出|f（x）|的最小值，设 G （x），根据函数的单调性证明即可； （
42、2）问题转化为比较 ln与的大小，令 t（t1） ，作差设 G（t）lnt lnt，根据函数的单调性求出 G（t）0，从而比较其大小即可 【解答】 （1）证明：因为 f（x），故 f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+ ）上是减少的， f（x）maxf（1）ln111，|f（x）|min1， 设 G（x），则 G（x）， 故 G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+）上是减少的，故 G（x）maxG（e） 1， G（x）max|f（x）|min， 第 24 页（共 24 页） 所以|f（x1）|对任意的 x1，x2（0，+）恒成立； （2）解：，且， mn0，10，故只需比较 ln与的大小， 令 t（t1） ，设 G（t）lntlnt， 则 G（t）， 因为 t1，所以 G（t）0，所以函数 G（t）在（1，+）上是增加的， 故 G（t）G（1）0，所以 G（t）0 对任意 t1 恒成立， 即 ln， 从而有 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题
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