2019-2020学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）含详细解答

1、若等比数列an的前 n 项和为 Sn，（ ） A3 B7 C10 D15 8 （5 分）设 F1、F2是椭圆 C：+1（ab0）的左右焦点，P 为直线 x上一 点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 9 （5 分）设 x，y 满足约束条件，目标函数 z3x2y 的最大值为（ ） A5 B C D1 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cos2，则ABC 的 形状一定是（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 11 （5 分）给出如下四个命题： 若“pq”为假命题，则 p，q 均为假命题；

2、 命题“若 ab，则 2a2b 1”的否命题为“若 ab，则 2a2b1” ； “xR，x2+11”的否定是“x0R，x02+11” ； 在ABC 中， “AB”是“sinAsinB”的充要条件 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 12 （5 分）已知 x2+y24，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数 列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若命题“tR，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 第 3 页（

3、共 19 页） 14 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若，sinC 2sinB，则 A 角大小为 15 （5 分）若数列an满足 a112，a1+2a2+3a3+nann2an，则 a2019 16 （5 分）若实数 x，y 满足 xy0，且 log2x+log2y1，则的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题小题，共，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知数列an是首项为 1，公比为 q（q0）的等比数列，并且 2a1，a3，a2 成等差数列 （）求 q

4、的值； （）若数列bn满足 bnan+n，求数列bn的前 n 项和 Tn 18（12 分） 命题 p： 函数 ylg （x2+4ax3a2）（a0） 有意义； 命题 q： 实数 x 满足 （1）当 a1 且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）如图，港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处，小岛 B 在港口 O 的北偏东 60的 方向， 且在港口 A 北偏西 30的方向上 一艘科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30 的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O 一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时

5、的 速度驶向小岛 B，在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发， 补给装船时间为 1 小时 （1）求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口 A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？ 20 （12 分）已知 x0，y0，且 x+8yxy0 （1）当 x，y 分别为何值时，xy 取得最小值？并求出最小值； （2）当 x，y 分别为何值时，x+y 取得最小值？并求出最小值 第 4 页（共 19 页） 21 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 （1）求角 B 的大小； （2）若 BABC，D 与 B 在 AC 两

6、侧，DC2DA2，求BCD 面积的最大值 22 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn满足，且 a11， 设 （1）求数列bn的通项公式； （2）证明：对一切正整数 n，有 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）ABC 的

7、内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c已知 a，c2，cosA， 则 b（ ） A B C2 D3 【分析】由余弦定理可得 cosA，利用已知整理可得 3b28b30，从而 解得 b 的值 【解答】解：a，c2，cosA， 由余弦定理可得：cosA，整理可得：3b28b30， 解得：b3 或（舍去） 故选：D 【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了 计算能力和转化思想，属于基础题 2 （5 分）已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100（ ） A100 B99 C98 D97 【分析】根据已知可得 a53，进而求出公差，可得答案 【

8、解答】解：等差数列an前 9 项的和为 27，S99a5 9a527，a53， 又a108， d1， a100a5+95d98， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键 3 （5 分）命题“x（0，1） ，x2x0”的否定是（ ） 第 6 页（共 19 页） Ax0（0，1） ， Bx0（0，1） ， Cx0（0，1） ， Dx0（0，1） ， 【分析】 “全称命题”的否定一定是“特称命题” ，写出结果即可 【解答】解：“全称命题”的否定一定是“特称命题” ， 命题“x（0，1） ，x2x0”的否定是x0（0，1） ， 故选：B 【点评】 本题考查

9、命题的否定“全称量词” 与 “存在量词” 正好构成了意义相反的表述 如 “对所有的都成立”与“至少有一个不成立” ； “都是”与“不都是”等，所以“全 称命题”的否定一定是“存在性命题” ， “存在性命题”的否定一定是“全称命题” 4 （5 分）若椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则该椭圆的标准方程是（ ） A B或 C D或 【分析】根据题意，分析可得 a、c 的值，计算可得 b 的值，分析椭圆的焦点位置，即可 得答案 【解答】解：根据题意，椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则 2c8，2a10， 即 c4，a5， 则 b3， 若椭圆的焦点在 x 轴上，则其标准方程为+1， 第 7 页（共

10、19 页） 若椭圆的焦点在 y 轴上，则其标准方程为+1， 故要求椭圆的标准方程为+1 或+1， 故选：B 【点评】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题 5 （5 分）已知 x2，函数的最小值是（ ） A5 B4 C6 D8 【分析】根据基本不等式的性质判断即可 【解答】解：已知 x2，则 x20， 函数+（x2）+22+26， 当且仅当 x4 时“”成立， 故函数的最小值是 6， 故选：C 【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题 6 （5 分）在ABC 中，A60，b1，SABC，则的值等于 （ ） A B C D 【分析】先利用面积公式求得 c 的值，进而利用余

11、弦定理可求 a，再利用正弦定理求解比 值 【解答】解：A60，b1，SABCbcsinA， c4， a2b2+c22bccosA1+16213， a， 故选：A 【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求 第 8 页（共 19 页） 出边，再利用正弦定理求解 7 （5 分）若等比数列an的前 n 项和为 Sn，（ ） A3 B7 C10 D15 【分析】 根据等比数列的性质可知： 可设其中公比为 q， 根据3 求出 q4， 再代入 进行求解 【解答】解：据3， （q1） ，若 q1 可得据23，故 q1， 3，化简得 1q83（1q4） ，可得 q83q4+2

12、0，解得 q41 或 2，q1，解得 q42， 15 故选：D 【点评】此题主要考查等比数列前 n 项和，利用等比数列的性质，是一道中档题 8 （5 分）设 F1、F2是椭圆 C：+1（ab0）的左右焦点，P 为直线 x上一 点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设直线 x与 x 轴交于点 Q，由已知得|PF2|2|QF2|，由此能 求出椭圆 C 的离心率 【解答】解：如图，设直线 x与 x 轴交于点 Q， 由已知得PF1F2F1PF230，PF1Q60，PQx 轴， |PF2|F1F2|2c， P 为直线 x上一点，|QF2|c， 第

13、 9 页（共 19 页） |PF2|2|QF2|， 5a8c， 椭圆 C 的离心率为 e 故选：A 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质 和数形结合思想的合理运用 9 （5 分）设 x，y 满足约束条件，目标函数 z3x2y 的最大值为（ ） A5 B C D1 【分析】作出不等式组对应的平面区域，z3x2y 化为 y，利用目标函数的 几何意义，通过数形结合即可得到结论 【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图： z3x2y 化为 y，可知目标函数经过可行域 A 时，目标函数取得最大值，由 解得 A（，） ， 此时目标函数 z3x2y 的最大值为：

14、故选：C 第 10 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 10 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cos2，则ABC 的 形状一定是（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 【分析】 在ABC 中， 利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知 cos2， 转化为 cosA ，整理即可判断ABC 的形状 【解答】解：在ABC 中，cos2， + 1+cosA+1，即 cosA， cosAsinCsinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， sinAcosC0，s

15、inA0， cosC0， C 为直角 故选：B 【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的 综合运用，属于中档题 11 （5 分）给出如下四个命题： 若“pq”为假命题，则 p，q 均为假命题； 第 11 页（共 19 页） 命题“若 ab，则 2a2b 1”的否命题为“若 ab，则 2a2b1” ； “xR，x2+11”的否定是“x0R，x02+11” ； 在ABC 中， “AB”是“sinAsinB”的充要条件 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由复合命题的真值表判断；写出原命题的否命题，可判断；写出原命题的 否定命题，可判断； 根据

16、充要条件的定义，可判断； 【解答】解：错误，若 pq 为假命题，则 p，q 中至少一个为假命题； 正确，命题“若 ab，则 2a2b 1”的否命题为“若 ab，则 2a2b1” ； 正确， “xR，x2+11”的否定是“x0R，x02+11” ； 正确，ABC 中，因为“AB”ab2RsinA2RsinBsinAsinB； 故正确的有 故选：C 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条 件，难度中档 12 （5 分）已知 x2+y24，在这两个实数 x，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数 列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（ ） A B C D

17、【分析】根据题意，设插入的三个数为 a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为 x，a， b，c，y，由等差数列的性质可得 b、c 的值，分析可得这个等差数列后三项和为 b+c+y 3b，进而设 x2cos，y2sin，则 b+c+y（x+3y）（cos+3sin） ， 利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值 【解答】解：根据题意，设插入的三个数为 a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为 x， a，b，c，y， 则有 x+ya+c2b， 则 b，c， 则这个等差数列后三项和为 b+c+y3b， 第 12 页（共 19 页） 又由 x2+y24， 设 x2cos， y2sin， 则

18、b+c+y （x+3y） （cos+3sin） sin （+）， 即这个等差数列后三项和的最大值为； 故选：D 【点评】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意等价转化思想的合理运用 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若命题“tR，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 （， 1 【分析】命题“tR，t22ta0”是假命题，则tR，t22ta0 是真命题，可得 0 【解答】解：命题“tR，t22ta0”是假命题， 则tR，t22ta0 是真命题， 4+4a0，解得

19、a1 实数 a 的取值范围是（，1 故答案为： （，1 【点评】本题考查了方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 14 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若，sinC 2sinB，则 A 角大小为 【分析】 先利用正弦定理化简 sinC2sinB， 得到 c 与 b 的关系式， 代入 中得到 a2与 b2的关系式，然后利用余弦定理表示出 cosA，把表示出的关系式分别代入 即可求出 cosA 的值，根据 A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的值 【解答】解：由 sinC2sinB 得：c2b， 所以2b2，即

20、 a27b2， 则 cosA，又 A（0，） ， 第 13 页（共 19 页） 所以 A 故答案为： 【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值， 是一道基础题 15 （5 分）若数列an满足 a112，a1+2a2+3a3+nann2an，则 a2019 【分析】直接利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一 步利用数列的通项公式求出结果 【解答】解：数列an满足 a112，a1+2a2+3a3+nann2an， 当 n2 时，a1+2a2+3a3+（n1）an1（n1）2an1， 得， 所以， ， ， 所有的式子相乘得， 所以（首项符合

21、通项） ， 故， 所以 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠乘法的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 16 （5 分）若实数 x，y 满足 xy0，且 log2x+log2y1，则的最小值为 4 【分析】先根据对数的运算性质求出 xy2，再根据基本不等式求出最小值即可 【解答】解：log2x+log2y1， 第 14 页（共 19 页） log2xy1log22， xy2， （xy）+24，但且仅当 x1+， y1 时取等号， 故的最小值为 4， 故答案为：4 【点评】本题考查了对数的运算性质和基本不等式，属于中档题 三、解答题：本大

22、题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知数列an是首项为 1，公比为 q（q0）的等比数列，并且 2a1，a3，a2 成等差数列 （）求 q 的值； （）若数列bn满足 bnan+n，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （I）直接利用已知条件整理得到关于公比的等式，解之即可求出公比； （II）利用求出的公比，先求出两个数列的通项公式，再对数列bn采用分组求和即可 【解答】解： （I）由条件得 a32a1+a2： 得 q22+q， q2 或 q1（舍） ， q2 （II

23、）an2n 1， bn2n 1+n Tn（1+2+3+n）+（1+21+22+2n 1） +2n1 【点评】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的 应用以及等差数列和等比数列的前 n 项和公式的应用主要考查学生的运算能力 18（12 分） 命题 p： 函数 ylg （x2+4ax3a2）（a0） 有意义； 命题 q： 实数 x 满足 （1）当 a1 且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分条件，求实数 a 的取值范围 第 15 页（共 19 页） 【分析】 （1）求解一元二次不等式化简 p，求解分式不等式化简 q，取交集得答案； （2）由

24、p 是q 的充分条件，得 q 是 p 的充分条件，然后转化为两集合端点值间的关 系求解 【解答】解： （1）由x2+4ax3a20，得 x24ax+3a20， 又 a0，解得 ax3a 则 p：ax3a，a0； 若 a1，则 p：1x3， 由，解得 2x3， 即 q：2x3 若 pq 为真，则 p，q 同时为真，即，解得x|2x3， 实数 x 的取值范围（2，3） ； （2）若p 是q 的充分条件，即 q 是 p 的充分条件， （2，3）（a，3a） ，解得 1a2 实数 a 的取值范围为1，2 【点评】本题考查一元二次不等式与分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其 应用，是中档题 19

25、 （12 分）如图，港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处，小岛 B 在港口 O 的北偏东 60的 方向， 且在港口 A 北偏西 30的方向上 一艘科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 30 的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O 一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的 速度驶向小岛 B，在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发， 补给装船时间为 1 小时 （1）求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口 A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？ 第 16 页（共 19 页） 【分析】 （1）给养快艇从港口 A 到小

26、岛 B 的航行时间，已知其速度，则只要求得 AB 的 路程，再利用路程公式即可求得所需的时间 （2）由（1）知，给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后，从小岛 B 出发与科考船汇合，根据 题意确定各边长和各角的值，然后由余弦定理解决问题 【解答】解： （1）由题意知，在OAB 中，OA120，AOB30，OAB60 于是 AB60，而快艇的速度为 60 海里/小时， 所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 小时 （5 分） （2）由（1）知，给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后，从小岛 B 出发与科考船汇合 为使航行的时间最少，快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行， 设 t 小时后

27、恰与科考船在 C 处相遇（7 分） 在OAB 中，OA120，AOB30，OAB60，所以， 而在OCB 中，BC60t，OC20（2+t） ，BOC30，（9 分） 由余弦定理，得 BC2OB2+OC22OBOCcosBOC， 即， 亦即 8t2+5t130，解得 t1 或（舍去） （12 分） 故 t+23即给养快艇驶离港口 A 后，最少经过 3 小时能和科考船相遇（14 分） 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力余弦定理在解 实际问题时有着广泛的应用，一定要熟练的掌握 20 （12 分）已知 x0，y0，且 x+8yxy0 （1）当 x，y 分别为何值时，xy

28、取得最小值？并求出最小值； （2）当 x，y 分别为何值时，x+y 取得最小值？并求出最小值 【分析】 （1）由已知结合基本不等式可得，解不等式可求； （2） 由已知得， 从而有， 利用基本不等式可求 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）因为 x0，y0，且 x+8yxy0， 所以， 所以 xy32， 当且仅当 x8y，即 x16，y2 时取等号， 于是 xy 的最小值为 32 （2）由已知得， 所以， 当且仅当，即，时取等号 因此 x+y 的最小值为 【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解（2）的关键是利用了“乘 1 法”进行配凑 应用条件，属于基础题 21 （12 分）在A

29、BC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 （1）求角 B 的大小； （2）若 BABC，D 与 B 在 AC 两侧，DC2DA2，求BCD 面积的最大值 【分析】 （1）由正弦定理化简已知等式可得 a2+c2b2ac，由余弦定理可求， 结合范围 B（0，） ，可求 B 的值 （2）令ACD，ADC，ABACBCa，由正弦定理可得 sinasin，由余 弦定理进而可求 acos2cos，根据三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用， 正弦函数的图象和性质可求BCD 面积的最大值 【解答】解： （1）ABC 中，由正弦定理及， 知， 所以 a2+c2b2ac， 由余弦定理知 a2+

30、c2b22accosB， 所以 2accosBac， 所以， 又 B（0，） ， 第 18 页（共 19 页） 所以 （2）令ACD，ADC，ABACBCa， 则， sinasin 又 a222+12221cos， a2cos2a2a2sin254cossin2cos24cos+4， acos2cos 当等号成立 BCD 面积的最大值为 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换 的应用，正弦函数的图象和性质等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转 化思想，属于中档题 22 （12 分）设数列an的前 n 项和为 Sn满足，且 a11， 设 （1）求数

31、列bn的通项公式； （2）证明：对一切正整数 n，有 【分析】 （1）本题所给条件为数列和与通项关系，故用公式法求 an，通过求出 an前两项 即得数列 bn； （2）利用放缩法证明不等式恒成立，此题可采用放大法 第 19 页（共 19 页） 【解答】 （1）， 当 n2 时，有， 两式相减整理得， 则， 即， 当 n1 时，且 S1a11，则 a25， ，满足 故数列bn是首项为 3，公比为的等比数列，即 （2）由（1）知， 则， 当 n2 时，即 3n2n2n， 当 n1 时，上式也成立 综上可知，对一切正整数 n，有 【点评】本题考查数列通项公式的求法和放缩法在数列和不等式中的运用，属于综合题， 熟练掌握数列通项公式和数列求和的求法、灵活使用放缩法是解题关键，是中档题