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    2019-2020学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

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    2019-2020学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

    1、若 ab0,那么下列不等式中不正确的是( ) Aabb2 Baba2 C D 2 (5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若,则ABC 一 定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形 3 (5 分)已知数列an的通项公式是,那么这个数列是( ) A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 4 (5 分)下列函数中,y 的最小值为 2 的是( ) A B Cyex+e x D 5 (5 分)已知等比数列an满足:a1+a79,a2a68,且 anan+1,则 a10等于( ) A B16 C D8 6 (5 分)已知锐角三角形的三边

    2、分别为 5,12,x,则 x 的取值范围是( ) A (7,17) B (7,13) C D 7 (5 分)若 lg(3a)+lgblg(a+b+1) ,则 ab 的最小值为( ) A1 B C D2 8 (5 分)已知数列an的前 n 项积为 Tn,且满足,若,则 T2019为( ) A3 B2 C D 9 (5 分)如图,在ABC 中,B45,AC8,D 是 BC 边上一点,DC5,DA7,则 AB 的长为( ) 第 2 页(共 18 页) A4 B4 C8 D4 10 (5 分)实数 x,y 满足条件当目标函数 zax+by(a,b0)在该约束 条件下取到最小值 4 时,的最小值为( )

    3、 A6 B4 C3 D2 11 (5 分)设等差数列an,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若,则使 的 n 的个数为( ) A3 B4 C5 D6 12 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知 c2,点 P 是 AB 的 中点若 PCab,则ABC 面积的最大值为( ) A B3 C2 D12 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)设 0ab1,则四个数中最小的是 14 (5 分)若实数 x,y 满足,则的取值范围是 15 (5 分)已知数列an的前 n 项和,若此数列

    4、为等比数列,则 a 16(5分) 在锐角ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c若b3csinA, 则tanA+tanB+tanC 的最小值为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)设 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 a35,S749 (1)求数列an的通项公式; (2)设,求数列bn的前 n 项和 Tn 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C“的对边分别为 a,b,c已知 (1)求 sinA 的值; (2)若,求ABC 的面积

    5、 第 3 页(共 18 页) 19 (12 分)为促进全民健身运动,公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡,每张 360 元, 使用规定:不记名,每卡每次仅限 1 人,每天仅限 1 次公司共 90 名员工,公司领导打 算组织员工分批去健身,除需购买若干张健身卡外,每次去俱乐部还要包租一辆汽车, 费用是每次 40 元,如果要使每位员工健身 10 次,那么公司购买多少张健身卡最合算, 共需花费多少元钱? 20 (12 分) (1)设不等式 ax22x2a+10 对于满足|x1|1 的实数 x 都成立,求正实 数 a 的取值范围; (2) 设不等式 ax22x2a+10 对于满足|a|2 的实数 a 都

    6、成立, 求实数 x 的取值范围 21 (12 分)在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 A; (2)若ABC 的内切圆面积为 4,求ABC 面积 S 的最小值 22 (12 分)设 Sn,为正项数列an的前 n 项和,且 2Snan2+an(nN*) 数列bn满足: b12,bn+13bn+2(nN*) (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设 cnan(bn+1) ,求数列cn的前 n 项和 Tn ; (3) 设t+1, 问是否存在整数 t (t0) , 使数列dn为递增数列? 若存在求 t 的值,若不存在说明理由 第 4 页(共 18 页) 2019-

    7、2020 学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)若 ab0,那么下列不等式中不正确的是( ) Aabb2 Baba2 C D 【分析】根据 ab0,取 a2,b1 则可得到选项 【解答】解:由 ab0,取 a2,b1,则,故 C 错误 故选:C 【点评】本题考查了不等式的基本性质,属基础题 2 (

    8、5 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若,则ABC 一 定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】利用正弦定理化边为角,再由两角差的正弦求解 【解答】解:由,得, sinBcosCcosBsinC0, 则 sin(BC)0, BC,BC0,即 BC ABC 一定是等腰三角形 故选:B 【点评】本题考查三角形形状的判定,考查正弦定理及两角差的正弦,是基础题 3 (5 分)已知数列an的通项公式是,那么这个数列是( ) A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列 【分析】要判断数列的单调性,根据数列单调性的定义,只要判断 a

    9、n与 an+1的大小,即 只要判断 an+1an的正负即可 第 5 页(共 18 页) 【解答】解: an+1an对任意的 n 都成立 an是递增数列 故选:A 【点评】本题主要考查了数列的单调性的定义在解题中的应用,解题的关键是要灵活应 用数列的单调性的定义,属于基础试题 4 (5 分)下列函数中,y 的最小值为 2 的是( ) A B Cyex+e x D 【分析】当 x0 时,y;由,可知 在)上单调递增,可判断;由 ex0,结合基本不等式可求 y ex+e x 的最小值;由,可知 0sinx1,结合 yt+在(0,1)上单调 递减可求 【解答】解:当 x0 时,y,故 A 错误; ,

    10、在)上单调递增,故当 x0 时, 函数取得最小值,故 B 错误; ex0, yex+e x 2,当且仅当 x0 时取等号,故 C 正确; , 0sinx1, 由 yt+在(0,1)上单调递减可知,y2,不存在最小值,故 D 错误 故选:C 第 6 页(共 18 页) 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,解题的关键是判断应用条件是否成 立 5 (5 分)已知等比数列an满足:a1+a79,a2a68,且 anan+1,则 a10等于( ) A B16 C D8 【分析】根据等比中项的性质,a2a6a1a7,再结合 a1+a79,即可得到 a1,a7的值, 从而求得 q,即可得到 a10

    11、 【解答】解:依题意,数列an为等比数列,a2a6a1a78, 又a1+a79,且 anan+1, , 所以 q68,所以 q32, 所以 a10a7q3816, 故选:A 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,等比中项的性质,考查分析解决问题的能力 和计算能力,属于基础题 6 (5 分)已知锐角三角形的三边分别为 5,12,x,则 x 的取值范围是( ) A (7,17) B (7,13) C D 【分析】直接利用余弦定理和三角形的三边关系式的应用求出结果 【解答】解:由于三角形为锐角三角形, 所以当 12 为最大边时,解得, 当 x 为最大边时,解得 x13 根据三角形的三边关系式,7x1

    12、7, 所以 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:余弦定理的应用,三角形的三边关系式的应用,主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 7 (5 分)若 lg(3a)+lgblg(a+b+1) ,则 ab 的最小值为( ) A1 B C D2 第 7 页(共 18 页) 【分析】由 lg(3a)+lgblg(a+b+1) ,结合对数的运算性质可得,3aba+b+1,然后 结合基本不等式,解不等式可求 【解答】解:由题意可得, 由 lg(3a)+lgblg(a+b+1) ,可得 3aba+b+1, 由基本不等式可得, , , 1,即 ab1,即 ab 的最小值为 1 故选:A 【

    13、点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,属于基础试题 8 (5 分)已知数列an的前 n 项积为 Tn,且满足,若,则 T2019为( ) A3 B2 C D 【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的周期,进一步求出结果 【解答】 解: 由于, 当时, 解得 a22, a33, , 所以 T4a1a2a3a41,20194504+3 所以 T2019(a1a2a3a4)(a2017a2018a2019)12 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,数列的周期的应用,主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 9 (5 分)如图,在ABC 中,B4

    14、5,AC8,D 是 BC 边上一点,DC5,DA7,则 AB 的长为( ) A4 B4 C8 D4 第 8 页(共 18 页) 【分析】先根据余弦定理求出C 度数,最后根据正弦定理可得答案 【解答】解:在ADC 中,AD7,AC8,DC5, 由余弦定理得 cosC, 因为是三角形内角, C60, 在ABC 中,AC8,B45,C60, 由正弦定理得:AB4 故选:D 【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用,在解决问题的过程中要灵活运用正 弦定理和余弦定理属基础题 10 (5 分)实数 x,y 满足条件当目标函数 zax+by(a,b0)在该约束 条件下取到最小值 4 时,的最小值为( )

    15、 A6 B4 C3 D2 【分析】作出可行域,找到最优解,得到 a,b 的关系,利用基本不等式得出答案 【解答】解:作出约束条件的可行域如图: 由 zax+by(a0,b0)得 yx+, 当直线 yx+经过点 A 时,直线的截距最小,即 z 最小 解方程组得 A(2,1) 第 9 页(共 18 页) 2a+b4则+(+) (2a+b)(4+)(4+4)2, 当且仅当 b2a,即 a1,b2 时取等号 故选:D 【点评】本题考查了简单的线性规划,基本不等式的应用,属于中档题 11 (5 分)设等差数列an,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若,则使 的 n 的个数为( ) A3 B4 C5

    16、D6 【分析】由等差数列的性质可知, 3,即可求解 【解答】解:等差数列an,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且, 则3, , 则 n+11,2,3,4,6,12, n11,5,3,2,1,0 nN*,n0 舍 则 n 的的 n 的个数为 5 个 故选:C 【点评】本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题 12 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知 c2,点 P 是 AB 的 中点若 PCab,则ABC 面积的最大值为( ) A B3 C2 D12 【分析】由一边的中线与边长的关系,分别在两个三角形中用余弦定理求出 a,b 两

    17、边与 C 角的关系,主要面积公式得三角函数的代数式,用三角函数值的范围来求求面积的最 大值 第 10 页(共 18 页) 【解答】解: 如上图所示的三角形ABC,P 是边 AB 的中点,PCab,AB2BP2AP2,设 BPC,则APC, 所以 cosAPCcos, 由题意知,BPC 中,余弦定理 BC2BP2+PC22PBPCcosBPC, 即 a2()2+(ab)22(ab)cos, 同理APC 中,AC2PA2+PC22PAPCcosAPC, 即 b2()2+(ab)2+2(ab)cos, 联立得: a2+b24ab4; 在ABC 中,AB2CA2+CB22CACBcosACB, 即(2

    18、)2b2+a22abcosC8b2+a22abcosC, 由得 ab, 所以面积 Sabsinc, 令 y, y, y 0, 则 cosc1,cosc, ABC 中,cosc, 当 cosc,这时 sinC,y 最大, 即面积 S 最大, S 故选:A 第 11 页(共 18 页) 【点评】本题考查三角形余弦定理的应用,和用三角函数求面积最大值问题,运算量较 大些,属于中档题 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)设 0ab1,则四个数中最小的是 2ab 【分析】 结合不等式的性质及基本不等式可知, a2

    19、+b22ab, 即可判断 【解答】解:0ab1, 则 0ab1, , 由基本不等式可得, (ab)20, a2+b22ab, 2aba2+b2, 因此四个数中最小的是 2ab 故答案为:2ab 【点评】此题考查学生灵活运用不等式的性质比较大小,灵活运用完全平方公式化简求 值,是一道基础题 14 (5 分)若实数 x,y 满足,则的取值范围是 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义即可得到结论 【解答】解:2+, z 的几何意义是区域内的点到 D(1,1)的斜率再加 2, 作出不等式组对应的平面区域如图:A(3,0) ,B(0,4) , 第 12 页(共 18 页) 由图象可知

    20、,当 AD 的斜率最小为,BD 的斜率最大为5, 故 z 的取值范围,7, 故答案为:,7, 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键, 注意要数形结合 15 (5 分)已知数列an的前 n 项和,若此数列为等比数列,则 a 2 【分析】n2 时,anSnSn1根据此数列为等比数列,可得上式对于 n1 时也成立, 即可得出 a 【解答】解:n2 时,anSnSn122n+1+a(22n 1+a)322n1 此数列为等比数列,上式对于 n1 时也成立, 23+a32,解得 a2 故答案为:2 【点评】本题考查了等比数列的前 n 项和与通项公式之间的关系、等比数列

    21、的定义,考 查了推理能力与计算能力,属于基础题 16(5分) 在锐角ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c若b3csinA, 则tanA+tanB+tanC 的最小值为 12 【分析】由题意求得 tanA+tanC3tanCtanA,tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC,化 简 tanA+tanB+tanC,利用基本不等式求得它的最小值 【解答】解:在锐角三角形 ABC 中,sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC b3csinA,sinB3sinCsinA, 第 13 页(共 18 页) sinAcosC+cosAsinC3sinCsinA

    22、, 化简可得 tanA+tanC3tanCtanA tanBtan(A+C)0, tanA+tanCtanB(tanAtanC1) , tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC,且 tanAtanC10 则 tanA+tanB+tanCtanAtanBtanCtanAtanC,令 tanAtanC1m,则 m0, 故 tanA+tanB+tanC (m+1) (m+1) (m+1) 6+3m+6+612, 当且仅当 3m,即 m1 时,取等号,此时,tanAtanC2, 故 tanA+tanB+tanC 的最小值是 12 故答案为:12 【点评】本题主要考查诱导公式,两角和差的正切

    23、公式,基本不等式的应用,属于中档 题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)设 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 a35,S749 (1)求数列an的通项公式; (2)设,求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式 (2)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和 【解答】解: (1)设等差数列an的公差为 d,首项为 a1 由题意可得, 解得, 所以an的通项公式为 an2n1 第 14 页(共 18

    24、 页) (2)由(1)得, 从而 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和 中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 18 (12 分)在ABC 中,角 A,B,C“的对边分别为 a,b,c已知 (1)求 sinA 的值; (2)若,求ABC 的面积 【分析】 (1)直接利用正弦定理的应用求出结果 (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解: (1)在ABC 中,因为 所以由正弦定理得 (2)因为,所以 由余弦定理 c2a2+b22bccosC, 得 整理得 b24b+30,解得 b3 或 b1 所以ABC 的面

    25、积 【点评】本题考查的知识要点:正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用,主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 19 (12 分)为促进全民健身运动,公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡,每张 360 元, 使用规定:不记名,每卡每次仅限 1 人,每天仅限 1 次公司共 90 名员工,公司领导打 算组织员工分批去健身,除需购买若干张健身卡外,每次去俱乐部还要包租一辆汽车, 费用是每次 40 元,如果要使每位员工健身 10 次,那么公司购买多少张健身卡最合算, 共需花费多少元钱? 【分析】 设购买 x 张健身卡, 这项健身活动的总支出为 y, 得到利 用基本不等式求解最值即可

    26、【解答】解:设购买 x 张健身卡,这项健身活动的总支出为 y, 第 15 页(共 18 页) 则 即, 当且仅当即 x10 时取等号 所以公司购买 10 张健身卡最合算,共需花费 7200 元 【点评】本题考查函数与方程的实际应用,基本不等式求解最值,考查计算能力,是中 档题 20 (12 分) (1)设不等式 ax22x2a+10 对于满足|x1|1 的实数 x 都成立,求正实 数 a 的取值范围; (2) 设不等式 ax22x2a+10 对于满足|a|2 的实数 a 都成立, 求实数 x 的取值范围 【分析】 (1)由|x1|1 得 0x2,令 f(x)ax22x2a+1,进而利用函数思想

    27、求 解; (2)原不等式可化为(x22)a(2x1)0,令 g(a)(x22)a(2x1) , 其中 a2,2,则原命题等价于关于 a 的函数在 a2,2上的函数值恒小于 0,进 而求解; 【解答】 (1)由|x1|1 得 0x2, 令 f(x)ax22x2a+1(0x2) , 因为 a0,只需, 解得,即正实数 a 的取值范围是; (2)原不等式可化为(x22)a(2x1)0, 令 g(a)(x22)a(2x1) ,其中 a2,2,则原命题等价于关于的函 a 数, 在 a2,2上的函数值恒小于 0, 只需, 即,解得, 所以,即实数 x 的取值范围是 第 16 页(共 18 页) 【点评】考

    28、查转化思想,将不等式转化为函数求值,以及将不等式中的参数 x 转化为 a 21 (12 分)在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 A; (2)若ABC 的内切圆面积为 4,求ABC 面积 S 的最小值 【分析】 (1)由已知利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得 tanA,结合 A 为 锐角,可求 A 的值 (2)由题意知,可求,利用余弦定理,基本不等式可 求,进而根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解: (1)因为, 所以, 即, 所以,即, 所以 (2)由题意知ABC 内切圆的半径为 2, 如图,内切圆的圆心为 I,M,N 为切点,则, 从而, 由

    29、余弦定理得, 整理得, 解得, 从而 即ABC 面积 S 的最小值为 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形的面积公式,余 弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题 22 (12 分)设 Sn,为正项数列an的前 n 项和,且 2Snan2+an(nN*) 数列bn满足: 第 17 页(共 18 页) b12,bn+13bn+2(nN*) (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设 cnan(bn+1) ,求数列cn的前 n 项和 Tn ; (3) 设t+1, 问是否存在整数 t (t0) , 使数列dn为递增数列? 若存在求 t 的值,若不

    30、存在说明理由 【分析】 (1)直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 (2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果 (3)利用分类讨论思想的应用和函数的恒成立问题的应用求出结果 【解答】解: (1)当 n1 时,解得 a11, 当 n2 时,由,及, 相减得,解得 anan11 或 ann故 ann 由 bn+13bn+2 得 bn+13(bn+1) ,又 b1+13, 故,所以 (2)由(1)得 所以 相减得 从而 (3),若存在 t0,满足dn为递增数列, 即 dn+1dn对任意 nN*恒成立, 由 3n+1+(1)n+2t2n+13n+(1)n+1t2n 得 当 n 为奇数时,由得 t1, 当 n 为偶数时,由得, , 第 18 页(共 18 页) 故 t1 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法的应 用,恒成立问题的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题


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