1、2020 年年 4 月广东省江门市高三数学模拟试卷（文科）月广东省江门市高三数学模拟试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知集合 A1，2，B2，3，PAB，则 P 的子集共有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 2i 是虚数单位，复平面内表示 i（1+2i）的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3学校有 3 个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小 组的可能性相同，
2、则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 6 4数列an中，a12，a23，nN+，an+2an+1an，则 a2020（ ） A1 B5 C2 D3 5执行如图的程序框图，如果输出的 y 的值是 1，则输入的 x 的值是（ ） A2 3 B2 C2 3或 2 D以上都不是 6直角坐标系 xOy 中，点 P（cos，sin）在直线 y2x 上，则(2 + 2) =（ ） A4 5 B 4 5 C3 5 D 3 5 7已知 aln3，bsin3， = 1 3，则（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 8ABCA1B1C1是正三棱柱，若 AB1
3、，AB1BC1，则 AA1（ ） A2 B 2 2 C3 D 3 3 9经过抛物线 y22px（p0）的焦点且倾斜角为 4的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 |AB|1，则 p（ ） A1 B1 2 C1 3 D1 4 10给出下列结论： （1）某学校从编号依次为 001，002，900 的 900 个学生中用系统抽样的方法抽取一 个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为 053，098，则样本中最大的编号为 862 （2）甲组 5 个数据的方差为 5，乙组数据为 5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定 的是甲 （3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接近于 1 （4
4、）对 A、B、C 三种个体按 3：1：2 的比例进行分层抽样调查，若抽取的 A 种个体有 15 个，则样本容量为 30 其中，正确结论的个数是（ ） A3 B2 C1 D0 11直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 4 2 12 = 1的左焦点为 F，A（1，4） ，P 是右支上的动点， 则|PF|+|PA|的最小值是（ ） A8 B9 C10 D12 12已知函数 f（x）|lnx|，若 0ab，且 f（a）f（b） ，则 2a+b 的取值范围是（ ） A3，+） B （3，+） C22，+ ) D(22，+ ) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 1
5、3an是等比数列，若 a12，a21，则数列an的前 n 项和 Sn 14ABCD 是边长为 1 的正方形，E、F 分别是 BC、CD 的中点，则 = 15设 x，y 满足 2+ 2 5， 1， 0. 则 z2x+y 的取值范围是 （用区间表示） 16函数() = 2+(+)2 2+1 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17某贫困地区共有 1500 户居民，其中平原地区 1050 户，山区 450 户为调查该地区 2017 年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫” ，采用分层抽样的方
6、法，收集了 150 户家 庭 2017 年年收入的样本数据（单位：万元） （1）应收集多少户山区家庭的样本数据？ （2）根据这 150 个样本数据，得到 2017 年家庭收入的频率分布直方图（如图所示） ，其 中样本数据分组区间为（0，0.5， （0.5，1， （1，1.5， （1.5，2， （2，2.5， （2.5，3如 果将频率视为概率，估计该地区 2017 年家庭收入超过 1.5 万元的概率； （3）样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，请完成 2017 年家庭收入与地 区的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该地区 2017 年家庭年收入与地区有关”？ 超过 2 万
7、元 不超过 2 万元 总计 平原地区 山区 5 总计 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 18ABC 的角 A、B、C 的对边为 a、b、c，已知 a、b、c 成等差数列， = 7 8 （1）若 a1，求 c； （2）若ABC 的周长为 18，求ABC 的面积 S 19如图，四棱锥 OABCD 的底面是边长为 1 的菱形，OA2，ABC60，OA平面 ABCD，M、N 分别是 OA、BC 的中点 （1）求证：直线 MN平面 OCD； （2）求点 M 到平面 OCD 的
8、距离 20直角坐标系 xOy 中，椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的短轴长为22，离心率为 6 3 （1）求椭圆的方程； （2） 斜率为 1 且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于 P1、 P2两点， P 是椭圆上任意一点， 若 = 1 + 2 （，R） ，证明：2+2为定值 21已知函数 f（x）lnxex 2，x0 （1）求函数 yf（x）的图象在点 x2 处的切线方程； （2）求证：f（x）0 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22已
9、知曲线 C1的参数方程为 = + 1 ， = 2( 1 ). （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 16cos （1）把曲线 C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求 C1与 C2交点的直角坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数() = | + 2 | + | |，a 是非零常数 （1）若 a1，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 a0，求证：() 22 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项
10、中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知集合 A1，2，B2，3，PAB，则 P 的子集共有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 进行交集的运算即可求出 P2，然后即可得出 P 的子集的个数 A1，2，B2，3， PAB2， P 的子集共有 212 个 故选：A 本题考查了列举法的定义， 交集的定义及运算， 子集个数的计算公式， 考查了计算能力， 属于基础题 2i 是虚数单位，复平面内表示 i（1+2i）的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 直接由已知求得对应复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案来源:学&科&网 因为 i（1+2i）2+i 其对应
11、的点为（2，1） 故在第二象限； 故选：B 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3学校有 3 个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小 组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为（ ） A1 2 B1 3 C1 4 D1 6 基本事件总数 n339这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数 m3，由此能求出这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率 学校有 3 个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组， 他们参加各个小组的可能性相同， 基本事件总数 n339 这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组包含的基本事件个数 m
12、3， 则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率 p= = 3 9 = 1 3 故选：B 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4数列an中，a12，a23，nN+，an+2an+1an，则 a2020（ ） A1 B5 C2 D3 根据递推关系求出其周期为 6，进而求得结论 因为数列an中，a12，a23，nN+，an+2an+1an， a3a2a11； a4a3a22； a5a4a33； a6a5a41； a7a6a52a1； a8a7a63a2； 数列an是周期为 6 的数列； 20206336+4； a2020a42； 故选：C 本题主要考查数列递推关
13、系式的应用，解决本题的关键在于求出周期为 6，属于基础题 目 5执行如图的程序框图，如果输出的 y 的值是 1，则输入的 x 的值是（ ） A2 3 B2 C2 3或 2 D以上都不是 根据结果，倒着推，进行判断 若 x1，则 3x11，解之得 x= 2 3； 若 x1，则 x24x+51，解之得 x2； 故选：C 本题考查程序框图、分段函数的性质，属于基础题 6直角坐标系 xOy 中，点 P（cos，sin）在直线 y2x 上，则(2 + 2) =（ ） A4 5 B 4 5 C3 5 D 3 5 由题意利用任意角的三角函数的定义求得 tan 的值，再利用诱导公式、同角三角函数的 基本关系，
14、求得要求式子的值 点 P（cos，sin）在直线 y2x 上， =tan2， 则(2 + 2) = sin2= 2 2+2 = 2 2+1 = 4 4+1 = 4 5， 故选：A 本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基 础题 7已知 aln3，bsin3， = 1 3，则（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出 aln31，bsin3sin2 3 = 1 2，1 = 1 3= 1 3 1 2， bca 故选：D 本题考查指数函数、对数函数与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 8A
15、BCA1B1C1是正三棱柱，若 AB1，AB1BC1，则 AA1（ ） A2 B 2 2 C3 D 3 3 由题意画出图形， 取 AB 的中点 O， 连接 OC， 以 O 为坐标原点， 以 AB 所在直线为 x 轴， 以 OC 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系，设 AA1a，再由1 1 = 0列式求解 a 值，则答案可求 如图， 取 AB 的中点 O，连接 OC，以 O 为坐标原点， 以 AB 所在直线为 x 轴，以 OC 所在直线为 y 轴建立空间直角坐标系， 设 AA1a， 则 A（ 1 2，0，0） ，B1（ 1 2，0，a） ，B（ 1 2，0，0） ，C1（0， 3 2 ，a）
16、， 则1 = (1，0，)，1 = ( 1 2， 3 2 ，) 由 AB1BC1，得1 1 = 1 2 + 2= 0，即 a= 2 2 AA1= 2 2 故选：B 本题考查空间中点、线、面间的距离的求法，训练了向量垂直与数量积关系的应用，是 中档题 9经过抛物线 y22px（p0）的焦点且倾斜角为 4的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 |AB|1，则 p（ ） A1 B1 2 C1 3 D1 4 由题意可得直线 AB 的方程为：yx 2，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合抛物线 的定义可得 4p1，从而求出 p 的值 由题意可知，抛物线焦点坐标为（ 2，0） ， 直线 AB 的方程为：yx
17、 2， 联立方程 = 2 2= 2 消去 y 得：2 3 + 2 4 = 0， xA+xB3p， 由抛物线的定义可知：|AB|xA+xB+p， 4p1，p= 1 4， 故选：D 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题 10给出下列结论： （1）某学校从编号依次为 001，002，900 的 900 个学生中用系统抽样的方法抽取一 个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为 053，098，则样本中最大的编号为 862 （2）甲组 5 个数据的方差为 5，乙组数据为 5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定 的是甲 （3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的
18、值越接近于 1 （4）对 A、B、C 三种个体按 3：1：2 的比例进行分层抽样调查，若抽取的 A 种个体有 15 个，则样本容量为 30 其中，正确结论的个数是（ ） A3 B2 C1 D0 由系统抽样的特点，计算可判断（1） ；由数据的均值公式和方差公式，以及性质可判断 （2） ； 由随机变量的线性相关性与系数 r 的关系，可判断（3） ；由分层抽样的特点可判断（4） 对于（1） ，样本中有两个相邻的编号分别为 053，098，可得间隔为 45，053 为第二组中 的， 则样本中最大的编号为 053+1845863，故（1）错误； 对于（2） ，甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5、6、9
19、、10、5，可得平均数为 7，方差为 4.4， 那么这两组数据中较稳定的是乙，故（2）错误； 对于（3） ，若两个变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1，故（3） 错误； 对于（4） ，A、B、C 三种个体按 3：1：2 的比例进行分层抽样调查， 若抽取的 A 种个体有 15 个，可得抽取的 B 种个体有 5 个，C 种个体有 10 个， 则样本容量为 30，故（4）正确 故选：C 本题考查统计的抽样方法和数据的均值和方差的性质、以及随机变量的线性相关性，考 查运算能力和推理能力，属于基础题 11直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 4 2 12 = 1的左焦点为 F，A（1
20、，4） ，P 是右支上的动点， 则|PF|+|PA|的最小值是（ ） A8 B9 C10 D12 设双曲线的右焦点为 G，由双曲线方程求得 F 与 G 的坐标，再由双曲线的定义可得 |PF|+|PA|2a+|PG|+|PA|，利用|PG|+|PA|AG|求出最小值 由题意得 a2，b= 23，c4，则 F（4，0） ， 右焦点 G （4，0） 由双曲线的定义可得|PF|PG|4， |PF|+|PA|4+|PG|+|PA|4+|AG|4+(1 4)2+ (4 0)2=4+59 故选：B 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程， 以及双曲线的简单性质的应用， 把|PF|+|PA| 化为 2a+|P
21、G|+|PA|是解题的关键，是中档题 12已知函数 f（x）|lnx|，若 0ab，且 f（a）f（b） ，则 2a+b 的取值范围是（ ） A3，+） B （3，+） C22，+ ) D(22，+ ) 先画出函数 f（x）|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出 ab 的关系式，再利用基本不 等式的性质即可求出 2a+b 的取值范围 f（x）|lnx|= ，01 ， 1 ，画出图象： 0ab 且 f（a）f（b） ，0a1b，lnalnb， ln（ab）0，则 ab1 2a+b22 = 22，当且仅当 ab1，2ab0，即 a= 2 2 ，b= 2时取等号 2a+b 的取值范围是22，+）
22、故选：C 本题考查函数的零点与方程的根的关系，熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和 基本不等式的性质是解题的关键，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13an是等比数列，若 a12，a21，则数列an的前 n 项和 Sn 422 n 由等比数列的前两项可求得公比，再代入前 n 项和公式可求出结果 an是等比数列，若 a12，a21，公比 q= 2 1 = 1 2 又1(1 ) 1 = 21(1 2) 11 2 = 4 22 故填：422 n 本题考查等比数列的基本量的求法与前 n 项和公式，属于基础题 14ABCD 是边长为 1 的正方形
23、，E、F 分别是 BC、CD 的中点，则 = 1 根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再求 的值 建立平面直角坐标系，如图所示； 则 A（0，0） ，B（1，0） ，C（1，1） ，D（0，1） ； E（1，1 2） ，F（ 1 2，1） ； 所以 =（1，1 2） ， =（1 2，1） ； 所以 =1 1 2 + 1 2 11 故答案为：1 本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题 15设 x，y 满足 2+ 2 5， 1， 0. 则 z2x+y 的取值范围是 2，5 （用区间表示） 作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过 A 时，z 最小，从而
24、得出目标函数 z2x+y 的取值范围 画 x，y 满足 2+ 2 5， 1， 0. 表示的平面区域，如图： 将目标函数变形为2x+zy， 则 z 表示直线在 y 轴上截距，截距越大，z 越大 作出目标函数对应的直线 L：y2x 由 = 1 = 0可得 A（1，0） 直线 z2x+y 过 A 时，直线的纵截距最小，z 最小， z 的最小值为：2 直线2x+zy 与圆相切于 B 时，z 取得最大值： 5 = | 5 ，解得 z5， 则目标函数 z2x+y 的取值范围是2，5 故答案为：2，5 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值 16函数() = 2+(+)2 2+1 的最大
25、值为 M，最小值为 m，则 M+m 2 根据题意，求出 f（x）的表达式，分析可得 f（x）+f（x）2，即可得函数 f（x）的 图象关于点（0，1）对称，据此分析可得答案 根据题意，() = 2+(+)2 2+1 = 2+1+2 2+1 =1+ 2 2+1 ， f（x）1 2 2+1 ， 则有 f（x）+f（x）2，即函数 f（x）的图象关于点（0，1）对称，来源:学+科+网 若函数 f（x）的最大值为 M，最小值为 m，必有 M+m2；来源:学科网 故答案为：2 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题来源:Zxxk.Com 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或
26、演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17某贫困地区共有 1500 户居民，其中平原地区 1050 户，山区 450 户为调查该地区 2017 年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫” ，采用分层抽样的方法，收集了 150 户家 庭 2017 年年收入的样本数据（单位：万元） （1）应收集多少户山区家庭的样本数据？ （2）根据这 150 个样本数据，得到 2017 年家庭收入的频率分布直方图（如图所示） ，其 中样本数据分组区间为（0，0.5， （0.5，1， （1，1.5， （1.5，2， （2，2.5， （2.5，3如 果将频率视为概率，估计该地区 2017 年家庭
27、收入超过 1.5 万元的概率； （3）样本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，请完成 2017 年家庭收入与地 区的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该地区 2017 年家庭年收入与地区有关”？ 超过 2 万元 不超过 2 万元 总计 平原地区 山区 5 总计 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 （1）由已知可得每户居民被抽取的概率为 0.1，然后求解应收集户山区家庭的户数 （2）由直方图直接求解该地区 2017 年家庭年收入超过 1.5 万元的概
28、率 （3）样本数据中，年收入超过 2 万元的户数为（0.300+0.100）0.515030 户而样 本数据中，有 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，完成列联表，求出 k2，即可判断是否 有 90%的把握认为“该地区 2017 年家庭年收入与地区有关” （1）由已知可得每户居民被抽取的概率为 0.1，故应收集手机 4500.145 户山区家庭 的样本数据 （2） 由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为 （0.500+0.300+0.100） 0.50.45 （3）样本数据中，年收入超过 2 万元的户数为（0.300+0.100）0.515030 户 而样本数据中，有
29、 5 户山区家庭的年收入超过 2 万元，故列联表如下： 超过 2 万元 不超过 2 万元 总计 平原地区 25 80 105 山区 5 40 45 总计 30 120 150 所以2= 150(2540580)2 3012010545 = 200 63 3.1752.706， 有 90%的把握认为“该地区 2017 年家庭年收入与地区有关” 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目 18ABC 的角 A、B、C 的对边为 a、b、c，已知 a、b、c 成等差数列， = 7 8 （1）若 a1，求 c； （2）若ABC 的周长为 18，求ABC 的面积 S （1）由
30、已知结合余弦定理可求； （2）结合已知 a，b，c 的关系及余弦定理可求 c，然后结合同角平方关系及三角形的面 积公式可求； 法二：由已知可得 a，b，c 的比值关系，联立可求 a，b，c 结合同角基本关系及三角形 的面积公式即可求解 （1）依题意， = 1+ 2 ， 由余弦定理得， = 2+22 2 = (1+)2+424 4(1+) = 7 8， 即 c2c20， 解得 c2 或 c1，舍去负值得，c2， （2） （方法一）依题意，a+c2b，a+b+c18，来源:Zxxk.Com 所以 b6，a12c， 由余弦定理得， = 2+22 2 = 62+2(12)2 12 = 7 8， 解得
31、c8， 由 = 7 8且 0A 得， = 15 8 ， ABC 的面积 = 1 2 = 315， （方法二）由条件可得，ABC 的三边长之比为： = 1： 3 2 ：2 = 2：3：4， 由 a+b+c18 得 b6，c8， 由 = 7 8且 0A 得， = 15 8 ， ABC 的面积 = 1 2 = 315 本题主要考查了余弦定理，同角基本关系及三角形的面积公式在求解三角形中的应用， 属于中档试题 19如图，四棱锥 OABCD 的底面是边长为 1 的菱形，OA2，ABC60，OA平面 ABCD，M、N 分别是 OA、BC 的中点 （1）求证：直线 MN平面 OCD； （2）求点 M 到平面
32、 OCD 的距离 （1） 取 OD 的中点 P， 连接 PC、 PM， 由三角形的中位线定理可得 PMNC 是平行四边形， 得 MNPC，再由直线与平面平行的判定可得直线 MN平面 OCD； （2） 连接 ON、 ND， 设点 M 到平面 OCD 的距离为 d， 可得点 N 到平面 OCD 的距离为 d， 然后利用等体积法求点 M 到平面 OCD 的距离 （1）证明：取 OD 的中点 P，连接 PC、PM， M、N 分别是 OA、BC 的中点，PMAD，且 = 1 2 ，NCAD，且 = 1 2， PMNC，且 PMNC，则 PMNC 是平行四边形，得 MNPC， PC平面 OCD，MN平面
33、OCD， 直线 MN平面 OCD； （2）解：连接 ON、ND，设点 M 到平面 OCD 的距离为 d， 由（1）得，点 N 到平面 OCD 的距离为 d， 设三棱锥 OCDN 的体积为 V，则 = 1 3 = 1 3 ， 依题意，= 1 2 = 3 8 ， ACADCD1， = = 5，则= 1 2 5 1 4 = 19 4 由1 3 3 8 2 = 1 3 19 4 ，得点 M 到平面 OCD 的距离 = 57 19 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法 求多面体的体积，是中档题 20直角坐标系 xOy 中，椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）
34、的短轴长为22，离心率为 6 3 （1）求椭圆的方程； （2）斜率为 1 且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于 P1、P2两点，P 是椭圆上任意一点， 若 = 1 + 2 （，R） ，证明：2+2为定值 （1）利用已知条件解得 = 2， = 6，得到椭圆的方程 （2）直线 P1P2的方程为 yx2，由 2 6 + 2 2 = 1 = 2 得，2x26x+30， 设 P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） 、P（x0，y0） ，结合韦达定理，以及向量关系，通过 P、P1、 P2都在椭圆上，转化求解即可 （1）依题意，2 = 22， = = 22 = 6 3 ， 解得 = 2， = 6，椭圆的方程为
35、 2 6 + 2 2 = 1， （2）证明： = 2 2= 2，直线 P1P2的方程为 yx2， 由 2 6 + 2 2 = 1 = 2 得，2x26x+30， 设 P1（x1，y1） 、P2（x2，y2） 、P（x0，y0） ，则 x1+x23，12= 3 2， 由 = 1 + 2 得 x0x1+x2，y0y1+y2， 因为 P、P1、P2都在椭圆上，所以2+ 32 6 = 0，i0，1，2， 6 = 02+ 302= (1+ 2)2+ 3(1+ 2)2 = 2(12+ 312) + 2(22+ 322) + 2(12+ 312) 62+62+3（1+2y1y2） ， 12= (1 2)(2
36、 2) = 12 2(1+ 2) + 4 = 3 2 6 + 4 = 1 2， 所以，62+626，2+21 是定值 本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思 想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力 21已知函数 f（x）lnxex 2，x0 （1）求函数 yf（x）的图象在点 x2 处的切线方程； （2）求证：f（x）0 （1）求出() = 1 2，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程 （2） （方法一）作函数() = 1 ，求出() = 1 1 ，判断函数的单调性，构 造函数() = 2 1 ，() = 2 1
37、，求出函数的最小值，然后推出结果 （方法二）() = 1 2在定义域区间（0，+）单调递减，求解函数的极大值， 导函数的零点，然后转化求解即可 （1）() = 2，() = 1 2， f（2）ln21，(2) = 1 2， 所求切线方程为 (2 1) = 1 2( 2)，即 = 1 2 + 2， （2） （方法一）作函数() = 1 ， （其他适宜函数如() = ( 6 5 + 7 8)、() = 2 ( 6 5 + 7 8)也相应给分） () = 1 1 ， g（e）0；当 0xe 时，g（x）0；当 xe 时，g（x）0， 所以 g（x）g（e）0，即 1 ，等号当且仅当 xe 时成立 作
38、函数() = 2 1 ，() = 2 1 ， h（1）0；当 0x1 时，g（x）0；当 x1 时，g（x）0， 所以 h（x）h（1）0，即 2 1 ，等号当且仅当 x1 时成立 因为 e1，综上所述，x0，lnxex 2，即 f（x）0 （方法二）() = 1 2在定义域区间（0，+）单调递减， (1)(2) = 1 2 (1 1)0，所以，f（x）有唯一零点 x0，且 x0是极大值点， (0) = 0 02，由 1 0 02= 0得， 1 0 = 02，lnx02x0， 代入得，(0) = 2 0 1 0， 因为 1x02，所以0+ 1 0 2，f（x）f（x0）0 本题考查了导数的综合
39、应用及恒成立问题，构造法的应用，函数的单调性的判断，考查 转化思想以及计算能力，是难题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22已知曲线 C1的参数方程为 = + 1 ， = 2( 1 ). （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 16cos （1）把曲线 C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求 C1与 C2交点的直角坐标 （1）首先利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标
40、方程之间进行转换 （2）利用曲线间的位置关系式的应用求出交点的坐标 （1）由 16cos 得，216cos 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y216x （2）由 = + 1 ， = 2( 1 ). 即 + 1 = ， 1 = 1 2 . 得， = 1 2 ( + 1 2 )，1 = 1 2 ( 1 2 ) 相乘得，曲线 C1的直角坐标方程为 4x2y216 由 2 + 2= 16， 42 2= 16. 得，5x216x160 解得 x4 或 = 4 5 x4 时，y248， = 43； = 4 5时， 2 = 336 25 无实数解 所以，C1与 C2交点的直角坐标为(4， 43) 本题考查
41、的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，曲线间的位置 关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数() = | + 2 | + | |，a 是非零常数 （1）若 a1，求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 a0，求证：() 22 （1）a1 时，f（x）|x+2|+|x1|，通过 x2 时，2x1 时，x1 时，化简函数 的解析式取得绝对值符号，求解不等式即可 （2）() |( + 2 ) ( )| = | 2 + |，通过基本不等式求解表达式的最小值即可 （1）a1 时，f（x）|x+2|+|x1|， x2 时，f（x）12x，解 2 1 2 5得3x2，
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