1、2020 届高三届高三 4 月模拟考试数学试题（理科）月模拟考试数学试题（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1设集合 Mx|x2+3x+20，集合 = *|(1 2) 4+，则 MN（ ） Ax|x2 Bx|x1 Cx|x1 Dx|x2 2设复数 z 满足|zi|+|z+i|4，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A 2 4 2 3 = 1 B 2 4 + 2 3 = 1 C 2 4 2 3 = 1 D 2 4 + 2
2、 3 = 1 3已知向量 ， 满足| |4， 在 上投影为2，则| 3 |的最小值为（ ） A12 B10 C10 D2 4某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状 图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事产品岗位的 90 后人数超过总人数的 5% D互联网行业中从事运营岗位的 90 后人数比
3、 80 前人数多 5设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x） ，且函数 f（x）在 x1 处取得极大值， 则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 6 将函数 = (2 4)的图象向左平移 4个单位， 所得图象对应的函数在区间 （m， m） 上无极值点，则 m 的最大值为（ ） A 8 B 4 C3 8 D 2 7记m表示不超过 m 的最大整数，若在 x（1 8， 1 2）上随机取 1 个实数，则使得log2x为 偶数的概率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 8如图所示，边长为 a 的空间四边形 ABCD 中，BCD90，平面 ABD平面 BCD， 则异
4、面直线 AD 与 BC 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 9已知函数 f（x）对xR 满足 f（x+2）f（x） ，f（x+1）f（x） f（x+2） ，且 f（x） 0，若 f（1）4，则 f（2019）+f（2020）（ ） A3 4 B2 C5 2 D4 10 若(3 + 1 ) ( )的展开式中含有常数项， 且 n 的最小值为 a， 则 ; 2 2 = （ ） A36 B81 2 C25 2 D25 11在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2 = + +，则 : :的取值范围是（ ） A （22，+） B （22，4） C(4 3 3
5、，22) D(4 3 3 ，+ ) 12在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，0） ， 动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切过 A 作直线 x+（m1）y+2m50 的垂线，垂足为 B，则|MA|+|MB|的最小值为（ ） A22 B2+2 C5 2 + 1 D32 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡相应题号后的横分把答案填在答题卡相应题号后的横 线上线上 13若( + 6) = 3 3 ，则( 6 2) = 14已知 O 是ABC 的外心，C45， = 2 + ， （m，nR） ，则 1 2 +
6、4 2最 小值为 15已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0）的右顶点为 A，且以 A 为圆心，双曲线虚轴 长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 B，C 两点，若 , 3 ， 2 3 -则双曲线 C 的离心率的取值范围是 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ，古称“角 黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗 人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚 线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六 面体内有一球，则该球体积的最大值为 三、解答题：
7、本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADDCBC1，ABC60，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE平面 ABCD，CF1 （1）证明：BC平面 ACFE； （2）设点 M 在线段 EF 上运动，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为 ，求
8、cos 的取 值范围 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2Snnn2（nN*） （）求数列an的通项公式； （）设 bn= 2，( = 2 1) 2 (1)(1+2)，( = 2) （kN*） ，求数列bn的前 2n 项和 T2n 19近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的 推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付某线路公 交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次， 用x表示活动推出的天数， y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次） ，统计数据如表 1 所示： 表 1： x 1 2 3 4 5 6
9、7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了散点图 （1）根据散点图判断，在推广期内，ya+bx 与 cdx（c，d 均为大于零的常数）哪一个 适宜作为扫码支付 的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） ； （2）根据（1）的判断结果及表 1 中的数据，建立 y 关于 x 的回归方程，并预测活动推 出第 8 天使用扫码支付的人次； （3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下 表 2： 支付方式 现金 乘车卡 扫码 比例 10% 60% 30% 车队为缓解周边居民出行压力， 以80万元的单价购进了一批新车， 根据
10、以往的经验可知， 每辆车每个月的运营成本约为 0.66 万元已知该线路公交车票价为 2 元，使用现金支付 的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8 折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据 统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有1 6的概率享受 7 折优惠，有 1 3的概率享受 8 折优 惠，有1 2的概率享受 9 折优惠预计该车队每辆车每个月有 1 万人次乘车，根据给数据以 事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费 标准，假设这批车需要 n（nNn）年才能开始盈利，求 n 的值 参考数据： 7 1 xiyi 7 1 xiui 100.54 66 1.54 2.
11、711 50.12 3.47 其中其中= 1， = 1 7 7 1 参考公式： 对于一组数据（ui，i） ， （u2，2） ， （un，n） ，其回归直线 = + 的斜率和 截距的最小二乘估计公式分别为： = =1 =1 22 ， = 20在平面直角坐标系中，若 =（x+3，） ， =（x3，） ，且| |+| |4 （）求动点 M（x，y）的轨迹 C 的方程； （）设（）中曲线 C 的左、右顶点分别为 A、B，过点（1，0）的直线 l 与曲线 C 交 于两点 P，Q（不与 A，B 重合） 若直线 PB 与直线 x4 相交于点 N，试判断点 A，Q， N 是否共线，并说明理由 21已知函数 f
12、（x）= ，0x来源:Z,xx,k.Com （）若 xx0时，f（x）取得极小值 f（x0） ，求实数 a 及 f（x0）的取值范围； （）当 a，0m 时，证明：f（x）+mlnx0 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一道作答，并用两题中任选一道作答，并用 2B 铅笔将答题卡铅笔将答题卡 上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首 题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.选修选修
13、 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = = 1 + （ 为参数） ，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（0，02） ，点 A 为曲线 C1上的动点， 点 B 在线段 OA 的延长线上，且满足|OA|OB|6，点 B 的轨迹为 C2 （1）求 C1，C2的极坐标方程； （2）设点 C 的极坐标为（2，0） ，求ABC 面积的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （1）若 f（1）+f（1）1，求 a 的取值范围； （2）若 a0，对x，y（，a，都有不等式() |
14、 + 5 4| + | |恒成立，求 a 的取值范围 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1设集合 Mx|x2+3x+20，集合 = *|(1 2) 4+，则 MN（ ） Ax|x2 Bx|x1 Cx|x1 Dx|x2 根据题意先求出集合 M 和集合 N，再求 MN 集合 Mx|x2+3x+20x|2x1， 集合 = *|(1 2) 4+ =x|2 x22x|x2x|x2， MNx|x2， 故选：A 本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔
15、细解答 2设复数 z 满足|zi|+|z+i|4，z 在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A 2 4 2 3 = 1 B 2 4 + 2 3 = 1 C 2 4 2 3 = 1 D 2 4 + 2 3 = 1 设复数 z 对应的点为 Z，由|zi|+|z+i|4，知点 Z 到点 A（0，1） 、点 B（0，1）的距离 和大于|AB|，由此可得结论，求出方程即可 设复数 z 对应的点为 Z， 则|zi|表示点 Z 到点 A（0，1）的距离，|z+i|表示点 Z 到点 B（0，1）的距离， 又|AB|2， 由|zi|+|z+i|4，知点 Z 到点 A、B 的距离和大于|AB|，z 的关键为
16、椭圆，所以 a2，c 1，则 b= 3， 椭圆的焦点坐标就是 AB， 故 z 在复平面内对应的点的轨迹是： 2 4 + 2 3 = 1 故选：D 该题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键 3已知向量 ， 满足| |4， 在 上投影为2，则| 3 |的最小值为（ ） A12 B10 C10 D2 由平面向量数量积的性质及其运算得：由 在 上投影为2，所以| |cos= | |= 2，所 以 = 8， 又| |cos2， 所以| |2， 则| 3 |= 2 6 + 9 2 = 64 + 9 2 64 + 9 22=10，得解 由 在 上投影为2， 所以| |cos= |
17、|= 2， 所以 = 8， 又| |cos2， 所以| |2， 则| 3 |= 2 6 + 9 2 = 64 + 9 2 64 + 9 22=10， 即| 3 |的最小值为 10， 故选：B 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题 4某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状 图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ） 注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 19801989 年之间出生，80 前指 1979 年及以 前出生 A互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人
18、数的 20% C互联网行业中从事产品岗位的 90 后人数超过总人数的 5% D互联网行业中从事运营岗位的 90 后人数比 80 前人数多 本题可根据两个图形的数据进行观察，比较，以及计算得出结果 由题意，可知： 对于 A：很明显从饼状图中可发现互联网行业从业人员中 90 后占 56%，占一半以上； 对于 B：互联网行业中从事技术岗位的 90 后人数总人数的 0.560.3960.221760.2， 则包括 80 后、80 前更大于总人数的 20%； 对于 C：产品岗位 90 后人数：0.560.0650.03640.05； 对于 D：从事运营岗位的 90 后人数：0.560.170.09520
19、.03 故选：C 本题主要考查对统计图的观察分析能力，以及依据统计图中数据进行计算本题属基础 题 5设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f（x） ，且函数 f（x）在 x1 处取得极大值， 则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 由题设条件知：当 0x1 以及 x0 时，xf（x）的符号；当 x1 时，xf（x） 0；当 x1 时，xf（x）符号由此观察四个选项能够得到正确结果 函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ， 且函数 f（x）在 x1 处取得极大值， 当 x1 时，f（x）0； 当 x1 时，f（x）0； 当 x1 时，f（x）0 当 0x1 时，
20、xf（x）0；x0 时，xf（x）0； 当 x1 时，xf（x）0； 当 x1 时，xf（x）0 故选：D 本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极 值的性质的合理运用 6 将函数 = (2 4)的图象向左平移 4个单位， 所得图象对应的函数在区间 （m， m） 上无极值点，则 m 的最大值为（ ） A 8 B 4 C3 8 D 2 由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，求得 m 的最大值 将函数 = (2 4)的图象向左平移 4个单位， 可得 ysin （2x+ 2 4） sin （2x+ 4） 的图象， 根据所得图象对
21、应的函数在区间 （m， m） 上无极值点， 2m+ 4 2， 且2m+ 4 2， 求得 m 8，则 m 的最大值为 8， 故选：A 本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，属于 基础题 7记m表示不超过 m 的最大整数，若在 x（1 8， 1 2）上随机取 1 个实数，则使得log2x为 偶数的概率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 4 利用几何概型、取整函数的性质直接求解 记m表示不超过 m 的最大整数， 在 x（1 8， 1 2）上随机取 1 个实数， 则使得log2x为偶数的概率为 p= 1 2 1 4 1 2 1 8 = 2 3 故选：A
22、本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 8如图所示，边长为 a 的空间四边形 ABCD 中，BCD90，平面 ABD平面 BCD， 则异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 由题意得 BCCDa，BCD90，从而 BD= 2a，BAD90，取 BD 中点 O， 连结 AO，CO，则 AOBD，COBD，且 AOBOODOC= 2 2 a，从而 AO平面 BCD，延长 CO 至点 E，使 COOE，连结 ED，EA，EB，则四边形 BCDE 为正方形， 即有 BCDE，从而ADE（或其补角）即为异面直线 AD 与 BC 所成
23、角，由此能求出异 面直线 AD 与 BC 所成角的大小 由题意得 BCCDa，BCD90，BD= 2a， BAD90， 取 BD 中点 O，连结 AO，CO， ABBCCDDAa， AOBD，COBD，且 AOBOODOC= 2 2 ， 又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AOBD， AO平面 BCD， 延长 CO 至点 E，使 COOE，连结 ED，EA，EB， 则四边形 BCDE 为正方形，即有 BCDE， ADE（或其补角）即为异面直线 AD 与 BC 所成角， 由题意得 AEa，EDa， AED 为正三角形，ADE60， 异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为
24、60 故选：C 题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算 求解能力，考查空间想象能力，是中档题 9已知函数 f（x）对xR 满足 f（x+2）f（x） ，f（x+1）f（x） f（x+2） ，且 f（x） 0，若 f（1）4，则 f（2019）+f（2020）（ ） A3 4 B2 C5 2 D4 根据题意，由 f（x+1）f（x）f（x+2）分析可得 f（x+2）f（x+1）f（x+3） ，进而可得 f（x+3）= 1 ()，则有 f（x+6）= 1 (+3) =f（x） ，即函数 f（x）是周期为 6 的周期函数； 进而可得 f（2019）+f（2020
25、）f（3）+f（4） ，再利用赋值法求得 f（3）及 f（4） ，相加 即可得答案 根据题意，f（x+1）f（x）f（x+2） ，则有 f（x+2）f（x+1）f（x+3） ， 变形可得 f（x+2）f（x）f（x+2）f（x+3） ， 又由 f（x）0，则有 f（x）f（x+3）1，变形可得 f（x+3）= 1 ()， 则有 f（x+6）= 1 (+3) =f（x） ，即函数 f（x）是周期为 6 的周期函数； f（x）f（x+6） ，即函数 f（x）的周期为 6， 则有 f（2019）f（3+3366）f（3） ，f（2020）f（4+3366）f（4） ， 则 f（2019）+f（202
26、0）f（3）+f（4） ， 对于 f（x+3）= 1 ()，令 x1 可得 f（4）= 1 (1) = 1 4； 对于 f（x+1）f（x）f（x+2）和 f（x+2）f（x） ， 令 x0 可得 f（1）f（0）f（2）4 且 f（0）f（2） ，f（x）0， 则有 f（0）f（2）2，则 f（3）= 1 (0) = 1 2； 故 f（3）+f（4）= 1 4 + 1 2 = 3 4； 故选：A 本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性，属于综合题 10 若(3 + 1 ) ( )的展开式中含有常数项， 且 n 的最小值为 a， 则 ; 2 2 = （ ） A36 B81 2 C25 2 D
27、25 利用二项式定理的通项公式可得 n 的最小值，再利用微积分基本定理及其定积分几何意 义即可得出 (3 + 1 ) ( )的展开式的通项为:1 = (3);( 1 ) = 3; ;5 2， = 0，1， 因为展开式中含有常数项，所以 5 2 = 0，即 = 2 5 为整数， 故 n 的最小值为 5a5 所以 ; 2 2 = 5 ;5 25 2dx= 1 2 52= 25 2 故选：C 本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理及其定积分几何意义，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题 11在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2 = + +，则 : :的取值范
28、围是（ ） A （22，+） B （22，4） C(4 3 3 ，22) D(4 3 3 ，+ ) 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cos2AcosB，结合角的范围可求 2A B，利用三角形内角和定理及已知可求范围 A= 3 （ 6， 4） ，可得 sinA（ 1 2， 2 2 ） ， 进而根据正弦定理，比例的性质即可求解 = + + = ， cos2A+cosCcosAsin2A+sinAsinC，可得：cos2AcosB， 在锐角ABC 中，2AB， A+B+C，可得：3A+C，C（0， 2） ， A= 3 （ 6， 4） ，可得：sinA（ 1 2， 2 2 ） ， a2，
29、: : = （22，4） 故选：B 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，比例的性质 在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 12在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，0） ， 动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切过 A 作直线 x+（m1）y+2m50 的垂线，垂足为 B，则|MA|+|MB|的最小值为（ ） A22 B2+2 C5 2 + 1 D32 根据题意，设 M（x，y） ，又由动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切，则有（:1 2 ） 2（:1 2 1）2+（ 2） 2，变形可得：y24x，即可得 M 的轨
30、迹是抛物线，其焦点为 A （1，0） ，准线为 x1，过点 M 做 MD 与准线垂直，且交准线为与点 D，分析可得直 线 x+（m1）y+2m50 经过定点（3，2） ，设 P（3，2） ，由直线与圆的位置关系 可得 B 在以 AP 为直径的圆上，由抛物线的定义可得又由|MA|MD|，则|MA|+|MB| |MD|+|MB|，结合图形分析可得答案 根据题意，设 M（x，y） ，以 MA 为直径的圆的圆心为（:1 2 ， 2） ， 又由动点 M 满足以 MA 为直径的圆与 y 轴相切，则有（:1 2 ）2（:1 2 1）2+（ 2） 2， 变形可得：y24x， 则 M 的轨迹是抛物线，其焦点为
31、A（1，0） ，准线为 x1， 过点 M 做 MD 与准线垂直，且交准线为与点 D， 设直线 l 为 x+（m1）y+2m50，变形可得 m（y+2）yx+5， 分析可得直线 l 经过定点（3，2） ， 设 P（3，2） ，设 AP 的中点为 C，则 C 的坐标为（2，1） ，|CP|= 2， 若 ABl，则 B 在以 AP 为直径的圆上，该圆的方程为（x2）2+（y1）22， 又由|MA|MD|，则|MA|+|MB|MD|+|MB|， 则当 C、M、D 三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值为圆（x2） 2+（y1）22 上的点到 D 的最小值， 此时|MA
32、|+|MB|min|CD|r32， 故选：D 本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出 M 的轨迹方程，属 于综合题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡相应题号后的横分把答案填在答题卡相应题号后的横 线上线上 13若( + 6) = 3 3 ，则( 6 2) = 1 3 利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解 ( + 6) = 3 3 ， ( 6 2) =cos 2 （ 6 2x） cos2 （x+ 6） 12sin 2 （x+ 6） 12 ( 3 3 )2= 1 3 故答案为：
33、1 3 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用， 考查了计算能力和转化思想，属于基础题 14已知 O 是ABC 的外心，C45， = 2 + ， （m，nR） ，则 1 2 + 4 2最 小值为 16 根据 O 是ABC 的外心， 得出 = = ， 通过数形结合化简所给式子， 得出 4m2+n2 1，代入 1 2 + 4 2，最终通过均值不等式求得该式的最小值 O 是ABC 的外心，| = | = |， = 2 + ， （m，nR） ， 2 = 42 2 + 4 + 2 2， 即 2 = 42 2 + 4 2 ， + 2 2， C45， ， = 360 (1
34、80 45) 2 = 90， 2 = 42 2 + 4 2 90 + 2 2， 2 = (42+ 2) 2， 即 4m2+n21 1 2 + 4 2 =（ 1 2 + 4 2） （4m 2+n2）4+162 2 + 2 2 + 4 8 + 216 2 2 2 2 = 16 （当 且仅当4m2n2时等式成立） 所以 1 2 + 4 2最小值为 16 故答案为：16 本题考查平面向量与三角形外心的结合应用，以及基本不等式的应用，注意认真审题， 属综合考查 15已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0）的右顶点为 A，且以 A 为圆心，双曲线虚轴 长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 B，C
35、两点，若 , 3 ， 2 3 -则双曲线 C 的离心率的取值范围是 23 3 ，2 由题意可得A到渐近线的距离， 再由圆中与半径的关系求出AD的值， 及 , 3 ， 2 3 - 的范围求出BAD 的范围，求出其正弦的范围可得离心率的范围 由题意可得 A（a，0） ，渐近线的方程为：bxay0，由双曲线及渐近线的对称性圆交 bxay0 于 B，C， 过 A 作 ADBC 于 D，由题意可得BAD= 1 2 ， 因为 , 3 ， 2 3 -则BAD 6， 3，所以 sinBAD 1 2， 3 2 则 ADABsinBADbsinBAD， 而由点到直线的距离公式可得 AD= | 2+2 = b， 所
36、以 bbsinBAD，即 e= = 1 2 3 ，2 1即 e 23 3 ，2， 故答案为：23 3 ，2 本题考查点到直线的距离公式及在圆中由圆心角求距离，及双曲线的离心率的公式，属 于中档题 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ，古称“角 黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗 人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚 线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 2 6 ；若该六 面体内有一球，则该球体积的最大值为 86 729 该六面体是由两个全等的正
37、四面体组合而成， 正四面体的棱长为 1， 在棱长为 1 的正四面 体 SABC 中，取 BC 中点 D，连结 SD、AD，作 SO平面 ABC，垂足 O 在 AD 上，求 出 ADSD= 3 2 ，OD= 1 3 = 3 6 ，SO= 2 2= 6 3 ，该六面体的体积 V2VSABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为 O，且该球与 SD 相切，过球心 O 作 OESD，则 OE 就是球半径，由此能求出该球体积的最大值 该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为 1， 如图，在棱长为 1 的正四面体 SABC 中， 取 BC 中点 D，连结 SD、AD， 作 SO
38、平面 ABC，垂足 O 在 AD 上， 则 ADSD=12 (1 2) 2 = 3 2 ，OD= 1 3 = 3 6 ，SO= 2 2= 6 3 ， 该六面体的体积： V2VSABC2 1 3 1 2 1 3 2 6 3 = 2 6 当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为 O，且该球与 SD 相切， 过球心 O 作 OESD，则 OE 就是球半径，来源:学*科*网 Z*X*X*K SOODSDOE，球半径 ROE= = 6 3 3 6 3 2 = 6 9 ， 该球体积的最大值为：V球= 4 3 ( 6 9 )3= 86 729 故答案为： 2 6 ，86 729 本题考查六面体的体积
39、及其内接球的最大体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADDCBC1，ABC60，四边形 ACFE 为矩形，平面 ACFE平面 ABCD，CF1 （1
40、）证明：BC平面 ACFE； （2）设点 M 在线段 EF 上运动，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角为 ，求 cos 的取 值范围 （1）证明 BCAC通过平面 ACFE平面 ABCD，推出 BC平面 ACFE （2）分别以直线 CA，CB，CF 为 x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，求出 平面 MAB 的一个法向量，平面 FCB 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可 （1）证明：在梯形 ABCD 中，因为 ABCD，ADDCCB1，ABC60 所以 AB2，所以 AC2AB2+BC22ABBCcos603， 所以 AB2AC2+BC2，所以 BCAC 因为平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCDAC， 因为 BC平面 ABCD，所以 BC平面 ACFE （2）解：由（1）可建立分别以直线 CA，CB，CF 为 x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间 直角坐标系， 令 = (0 3)，则 C（0，0，0） ，(3，0，0)，B（0，1，0） ，M（，0，1） = (3，1，0)， = (， 1，1) 设 =（x，y，z）为平面 MAB 的一个法向量， 由 = 0 = 0 得3 + = 0 + =
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