1、如图，正棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角 的余弦值为（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 6 （5 分）设函数 f（x），则（ ） Ax，f（x）取得最大值 Bx，f（x）取得最小值 Cx2，f（x）取得最大值 Dx2，f（x）取得最小值 7 （5 分）如果把二次函数 f（x）ax2+bx+c 与其导函数 f（x）的图象画在同一个坐标系 中则下面四组图中一定错误的是（ ） A B C D 8（5 分） 函数 f （x） x3+kx27x 在区间1， 1上单调递减， 则实数 k 的取值范围是 （ ） A （，2 B2，2 C2，+
2、） D2，+） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，请把结果填在答题纸中， ）分，请把结果填在答题纸中， ） 9 （5 分）已知函数 f（x）x2，则 10 （5 分）已知函数，则 f（1） 11 （5 分）已知空间向量 （0，1，1） ， （x，0，1） ，若 ， 的夹角为，则实数 x 的值为 第 3 页（共 24 页） 12 （5 分）直线 ya 与函数 f（x）x33x 的图象有相异的三个公共点，则 a 的取值范围 是 13 （5 分）电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间的关系为， 为使耗电量最小，则其速度应定为 14
3、（5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为体对角线 BD1上动点 则（1）M 到 CC1距离的最小值为 ； （2）M 位于 BD1三等分点处时，M 到各顶点的距离的不同取值有 种 三、解答题（共三、解答题（共 3 小题，满分小题，满分 30 分）分） 15 （10 分）已知抛物线 C 方程：y22px（p0） ，点（1，2）在 C 上，F 为焦点 （）求抛物线 C 的方程和焦点 F 坐标； （）若抛物线 C 上有两个定点 A，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|2，|BF| 5，求原点 O 到直线 AB 的距离 16 （10 分）已知函数 f（x）ax3+bx2
4、+cx，其导函数为 f（x）的部分值如表所示： x 2 0 1 3 8 f（x） 10 6 8 0 90 根据表中数据，回答下列问题： （）实数 c 的值为 ；当 x 时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线 上） （）求实数 a，b 的值 （）求 f（x）的单调区间 17 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD， BC1，AB2，E 为 PA 中点 （）求证：PC平面 BED； （）求二面角 APCD 的余弦值； （）在棱 PC 上是否存在点 M，使得 BMAC？若存在，求的值；若不存在，说明 理由 第 4 页（共 24 页） 一、选择
5、题（本大题共一、选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分，请把所选答案前的字母按规定要求分，请把所选答案前的字母按规定要求 填涂在“答题纸”的相应位置上填涂在“答题纸”的相应位置上.） 18 （6 分）过抛物线 y22x 焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|5，则 AB 的中点 M 到 y 轴的距离等于（ ） A2 B25 C3 D4 19 （6 分）如图，已知直线 ykx 与曲线 yf（x）相切于两点，设函数 g（x）kx+m（m 0） ，则函数 F（x）g（x）f（x） （ ） A有极小值，没有极大值 B有极大值，没有极小值 C至少有两个极小值和
6、一个极大值 D至少有一个极小值和两个极大值 20 （6 分）如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 3，底面边长 A1C1B1C11， 且A1C1B190，D 点在棱 AA1上且 AD2DA1，P 点在棱 C1C 上，则的最 小值为（ ） 第 5 页（共 24 页） A B C D 21 （6 分）已知集合 RnX|X（x1，x2，xn） ，xi0，1，i1，2，n（n2） 对 于 A（a1，a2，an）Rn，B（b1，b2，bn）Rn，定义 A 与 B 之间的距离为 d（A，B）|a1b1|+|a2b2|+|anbn| 若集合 M 满足：MR3，且任意两元素间的距离均为 2，则集合
7、 M 中元素个数的最大值 为（ ） A4 B5 C6 D8 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 2 小题，每个小题小题，每个小题 13 分，满分分，满分 26 分，请把结果填在答题纸中）分，请把结果填在答题纸中）. 22 （13 分）已知离心率为的椭圆 C：+1（ab0）与直线 x2 相交于 P，Q 两点（点 P 在 x 轴上方） ，且|PQ|2点 A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点， 且APQBPQ （）求椭圆 C 的标准方程； （）求四边形 APBQ 面积的取值范围 23 （13 分）对于函数 f（x） ，若存在实数 x0满足 f（x0）x0，则称 x0为函数 f（x）的
8、一个 不动点已知函数 f（x）x3+ax2+bx+3，其中 a，bR （）当 a0 时， （）求 f（x）的极值点； （）若存在 x0既是 f（x）的极值点，又是 f（x）的不动点，求 b 的值； （）若 f（x）有两个相异的极值点 x1，x2，试问：是否存在 a，b，使得 x1，x2均为 f （x）的不动点？证明你的结论 第 6 页（共 24 页） 2018-2019 学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每道小题给出
9、的四个备选答案中，只分，在每道小题给出的四个备选答案中，只 有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相 应位置上应位置上.） 1 （5 分）下列导数公式错误的是（ ） A （sinx）cosx B C D （ex）ex 【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，比较即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A、 （sinx）cosx，故 A 错误； 对于 B、 （lnx），故 B 正确； 对于 C、 （）x 1（1）x2 ，故 C 正确； 对于 D、 （ex）ex，故
10、 D 正确； 故选：A 【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式 2 （5 分）双曲线 x21 的焦点坐标是（ ） A （0，） ， （0，） B （，0） ， （，0） C （0，2） ， （0，2） D （2，0） ， （2，0） 【分析】根据题意，由双曲线的方程求出 a、b 的值，计算可得 c 的值，结合双曲线的焦 点位置，分析可得答案 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 x21， 其中 a1，b，则 c2， 又由双曲线的焦点在 x 轴上，则其焦点坐标为（2，0） （2，0） ； 故选：D 第 7 页（共 24 页） 【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意分析双曲线的焦点位
11、置，属于基础题 3 （5 分）如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，若 ， ， ，则 （ ） A + B + + C D + + 【分析】根据空间向量的加减法运算用已知向量把表示出来即可 【解答】解： 故选：C 【点评】本题考查了用空间已知向量表示空间未知向量以及向量的加减法，属于基础题 型 4 （5 分）若 （a1，a2，a3） ， （b1，b2，b3） ，则是 的（ ） A既不充分也不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D充分不必要条件 【分析】根据空间向量平行的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解： （a1，a2，a3） ， （b1，b2，b3） ，
12、 当时，向量 成立 当 （1，0，0） ， （2，0，0） ，满足 ， 但不成立， 是 的充分不必要条件 故选：D 第 8 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间向量的坐标公式以及空间 向量的共线定理是解决本题的关键 5 （5 分）如图，正棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角 的余弦值为（ ） A B C D 【分析】 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B， 得到的锐角A1BC1就是异面 直线所成的角，在三角形中 A1BC1用余弦定理求解即可 【解答】解如图，连接 BC1，A1C1， A1BC1是异面直
13、线 A1B 与 AD1所成的角， 设 ABa，AA12a，A1BC1Ba，A1C1a， A1BC1的余弦值为， 故选：D 【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理 论证能力，属于基础题 6 （5 分）设函数 f（x），则（ ） Ax，f（x）取得最大值 Bx，f（x）取得最小值 Cx2，f（x）取得最大值 Dx2，f（x）取得最小值 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的 第 9 页（共 24 页） 最小值即可 【解答】解：f（x）， （x0） f（x）+， 令 f（x）0，解得：x2， 令 f（x）0，解得：0x2，
14、故 f（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增， 故 x2 时，f（x）取最小值， 故选：D 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道常规题 7 （5 分）如果把二次函数 f（x）ax2+bx+c 与其导函数 f（x）的图象画在同一个坐标系 中则下面四组图中一定错误的是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的顶点和导函数的解在直线 x上，从而得到答案 【解答】解：二次函数 f（x）ax2+bx+c 的对称轴是 x， 故其导函数 f（x）2ax+b0 的根是， 二次函数的顶点和导函数的解均在直线 x上， 故对于选项 B 是错误的， 故选：B 【点评】本题考查了二次函
15、数的性质，考查数形结合思想，是一道基础题 第 10 页（共 24 页） 8（5 分） 函数 f （x） x3+kx27x 在区间1， 1上单调递减， 则实数 k 的取值范围是 （ ） A （，2 B2，2 C2，+） D2，+） 【分析】 根据题意， 求出函数 f （x） 的导数， 结合函数的导数与函数单调性的关系可得 f （x）3x2+2kx70 在1，1上恒成立，则有，解可得 k 的 取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）x3+kx27x，其导数 f（x）3x2+2kx7， 若函数 f（x）x3+kx27x 在区间1，1上单调递减， 则 f（x）3x2+2kx70 在1
16、，1上恒成立， 则有，解可得2k2， 即 k 的取值范围为2，2； 故选：B 【点评】本题考查函数的单调性的判定，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，请把结果填在答题纸中， ）分，请把结果填在答题纸中， ） 9 （5 分）已知函数 f（x）x2，则 0 【分析】先求出 f（x） ，由f（0） ，能求出结果 【解答】解：f（x）x2， f（x）2x， f（0）0， 故答案为：0 【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的 合理运用 10 （5 分）已知函数，
17、则 f（1） 0 【分析】根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值 【解答】解：函数， f（x）， f（1）， 第 11 页（共 24 页） 故答案为：0 【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础 11 （5 分）已知空间向量 （0，1，1） ， （x，0，1） ，若 ， 的夹角为，则实数 x 的值为 1 或1 【分析】首先根据向量的坐标求出向量的模，进一步利用向量的夹角求出 x 的值 【解答】解：已知， 则：， 由于， 则： 解得：x1 或1 故答案为：1 或1 【点评】本题考查的知识要点：空间向量的夹角，空间向量的数量积和模的运算，属于 基础题型 12
18、 （5 分）直线 ya 与函数 f（x）x33x 的图象有相异的三个公共点，则 a 的取值范围 是 （2，2） 【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数 f （x）x33x 对应的大致图象，平移直线 ya 即可得出结论 【解答】解：令 f（x）3x230， 得 x1， 可求得 f（x）的极大值为 f（1）2， 极小值为 f（1）2， 如图所示，当满足2a2 时，恰有三个不同公共点 故答案为： （2，2） 第 12 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数形结合思想的应用，是对基础知 识的考查，属于基础题 13 （5 分）电动自行车的
19、耗电量 y 与速度 x 之间的关系为， 为使耗电量最小，则其速度应定为 40 【分析】欲求使耗电量最小，则其速度应定为多少，即求出函数的最小值即可，对函数 求导，利用导数求研究函数的单调性，判断出最小值位置，代入算出结果 【解答】解：由题设知 yx239x40， 令 y0，解得 x40，或 x1， 故函数在40，+）上增，在（0，40上减， 当 x40，y 取得最小值 由此得为使耗电量最小，则其速度应定为 40； 故答案为：40 【点评】考查用导数研究函数的单调性求最值，本题是导数一章中最基本的应用题型 14 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为体对角线 BD1
20、上动点 则（1）M 到 CC1距离的最小值为 ； （2）M 位于 BD1三等分点处时，M 到各顶点的距离的不同取值有 4 种 【分析】 （1）M 到 CC1距离的最小值是异面直线 BD1和 CC1间的距离，由此能求出 M 到 CC1距离的最小值； （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出 M 到各顶点的距离的不同取值的种数 【解答】解： （1）M 到 CC1距离的最小值是异面直线 BD1和 CC1间的距离， 第 13 页（共 24 页） 连结 AC，BD，交于点 O， 则 ACBD，ACDD1，AC平面 BDD1， OC
21、BD1，且 OCCC1， M 到 CC1距离的最小值为|OC| 故答案为： （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，D（0，0，0） ， A1（1，0，1） ，B1（1，1，1） ，C1（0，1，1） ，D1（0，0，1） ， M 位于 BD1三等分点处时，设 M（） ， AM，BM， CM，DM1， A1M1，B1M， C1M1，D1M M 到各顶点的距离的不同取值有 4 种 故答案为：4 【点评】本题考查点到直线的距离的最小值的求法，考查点到各顶点的距离的不同取值 的求法，
22、考查空间中线线、线面、面面间的位置位置关系等基础知识，考查学生的空间 想象能力，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题（共三、解答题（共 3 小题，满分小题，满分 30 分）分） 15 （10 分）已知抛物线 C 方程：y22px（p0） ，点（1，2）在 C 上，F 为焦点 （）求抛物线 C 的方程和焦点 F 坐标； 第 14 页（共 24 页） （）若抛物线 C 上有两个定点 A，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|2，|BF| 5，求原点 O 到直线 AB 的距离 【分析】 （）将（1，2）代入抛物线方程，可得 p2，可得抛物线的方程和焦点坐标； （）运用抛物线的定义，可得 A，B
23、 的坐标，AB 的方程，运用点到直线的距离公式， 可得所求值 【解答】解： （）将（1，2）代入抛物线方程可得 42p， 解得 p2，即抛物线的方程为 y24x，F（1，0） ； （）若抛物线 C 上有两个定点 A，B 分别在其对称轴的上、下两侧， 且|AF|2，|BF|5， 由抛物线的定义可得 xA+12，xB+15， 即有 xA1，xB4， 即为 A（1，2） ，B（4，4） ，AB 的斜率为2， AB 的方程为 2x+y40， O 到直线 AB 的距离为 d 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程的求法和运用，以及点到 直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题 16
24、 （10 分）已知函数 f（x）ax3+bx2+cx，其导函数为 f（x）的部分值如表所示： x 2 0 1 3 8 f（x） 10 6 8 0 90 根据表中数据，回答下列问题： （）实数 c 的值为 6 ；当 x 3 时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上） （）求实数 a，b 的值 （）求 f（x）的单调区间 【分析】 （）由极值的定义，通过表格可求解； （）在表格中取两组数据代入解析式即可； （）利用导数求出 f（x）的单调区间 【解答】解： （）6，3 （） ：f（x）3ax2+2bx+c， 第 15 页（共 24 页） 由已知表格可得解得 （） ：由（）可得 f（x）2x2+4
25、x+62（x3） （x+1） ， 因为 x（，1）和 x（3，+）时 f（x）0，x（1，3）时 f（x）0， 所以 f（x）的单调增区间为（1，3） ，单调减区间为（，1）和（3，+） 【点评】本题考查了函数的定义及利用导数求单调区间，属于基础题 17 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PCD平面 ABCD， BC1，AB2，E 为 PA 中点 （）求证：PC平面 BED； （）求二面角 APCD 的余弦值； （）在棱 PC 上是否存在点 M，使得 BMAC？若存在，求的值；若不存在，说明 理由 【分析】 （）设 AC 与 BD 的交点为 F，连结 E
26、F，推导出 EFPC由此能证明 PC平 面 BED （）取 CD 中点 O，连结 PO推导出 POCD，取 AB 中点 G，连结 OG，建立空间 直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出二面角 APCB 的余弦值 （）设 M 是棱 PC 上一点，则存在 0，1使得利用向量法能求出在棱 PC 上存在点 M，使得 BMAC此时， 【解答】 （共 14 分） 证明： （）设 AC 与 BD 的交点为 F，连结 EF 因为 ABCD 为矩形，所以 F 为 AC 的中点 在PAC 中，由已知 E 为 PA 中点， 所以 EFPC 第 16 页（共 24 页） 又 EF平面 BFD，PC平面 BFD， 所以
27、 PC平面 BED （5 分） （）取 CD 中点 O，连结 PO 因为PCD 是等腰三角形，O 为 CD 的中点， 所以 POCD 又因为平面 PCD平面 ABCD， PO平面 PCD，所以 PO平面 ABCD 取 AB 中点 G，连结 OG，由题设知四边形 ABCD 为矩形， 所以 OFCD所以 POOG（1 分） 如图建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 A（1，1，0） ，C（0，1，0） ，P（0，0，1） ，D（0，1，0） ， B（1，1，0） ，O（0，0，0） ，G（1，0，0） （1，2，0） ，（0，1，1） 设平面 PAC 的法向量为 （x，y，z） ， 则，令 z1，得
28、 （2，1，1） 平面 PCD 的法向量为（1，0，0） 设的夹角为 ，所以 cos 由图可知二面角 APCD 为锐角， 所以二面角 APCB 的余弦值为（10 分） （）设 M 是棱 PC 上一点，则存在 0，1使得 因此点 M（0，1） ，（1，1，1） ，（1，2，0） 由，得 1+2（1）0，解得 因为0，1，所以在棱 PC 上存在点 M，使得 BMAC 此时， （14 分） 第 17 页（共 24 页） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法， 是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 4 小题，
29、每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分，请把所选答案前的字母按规定要求分，请把所选答案前的字母按规定要求 填涂在“答题纸”的相应位置上填涂在“答题纸”的相应位置上.） 18 （6 分）过抛物线 y22x 焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|5，则 AB 的中点 M 到 y 轴的距离等于（ ） A2 B25 C3 D4 【分析】由题意知，求出抛物线的参数 p，由于直线过焦点，设出 AB 中点的横坐标 m， 由中点的坐标公式求出 x1+x2，利用弦长公式 x1+x2+p，解方程可得 m，即可得到所求值 【解答】解：由抛物线为 y22x， 可得 p1 设 A、B 两点横坐标分别为
30、x1，x2， 设线段 AB 中点的横坐标为 m， 则m，即 x1+x22m， 由|AB|x1+x2+p2m+15， 解得 m2，可得 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 2 故选：A 【点评】本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，一般可以由公式：|AB|x1 x2|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程但对于过 焦点的弦长注意圆锥曲线定义的应用 19 （6 分）如图，已知直线 ykx 与曲线 yf（x）相切于两点，设函数 g（x）kx+m（m 第 18 页（共 24 页） 0） ，则函数 F（x）g（x）f（x） （ ） A有极小值，没有极大值 B有极大值，没有极小值
31、 C至少有两个极小值和一个极大值 D至少有一个极小值和两个极大值 【分析】F（x）表示两图象上横坐标相同时，纵坐标的差，根据函数图象即可判断出结 论 【解答】解：设 ykx 与 f（x）的切点横坐标分别为 x1，x2， （x1x2） ， 设 f（x）的另一条斜率为 k 的切线与 f（x）图象的切点横坐标为 x3， 如图所示： 而 F（x）kx+mf（x）表示直线 g（x）的点（x，g（x） ） 与 f（x）上的点的（x，f（x） ）的纵坐标的差， 显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增， 在（x3，x2）上单调递减， 在（x2，+）上单调递增， x1，x2为 F（x
32、）的极小值点，x3为 F（x）的极大值点 F（x1） ，F（x2）为 F（x）的极小值，F（x3）为 F（x）的极大值 故选：C 第 19 页（共 24 页） 【点评】本题考查了函数图象的几何意义，函数极值的意义，属于中档题 20 （6 分）如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长为 3，底面边长 A1C1B1C11， 且A1C1B190，D 点在棱 AA1上且 AD2DA1，P 点在棱 C1C 上，则的最 小值为（ ） A B C D 【分析】建立如图所示的直角坐标系，设 P（0，0，z） ，求出和的坐标，求出 ，利用二次函数的性质求出它的最小值 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
33、 则 D（1，0，2） ，B1（0，1，3） ， 设 P（0，0，z） ， 则 （1，0，2z） ，（0，1，3z） ， 0+0+（2z） （3z）， 故当 z时， 取得最小值为， 故选：B 第 20 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础 题 21 （6 分）已知集合 RnX|X（x1，x2，xn） ，xi0，1，i1，2，n（n2） 对 于 A（a1，a2，an）Rn，B（b1，b2，bn）Rn，定义 A 与 B 之间的距离为 d（A，B）|a1b1|+|a2b2|+|anbn| 若集合 M 满足：MR3，且任意两元素间的距离均为
34、2，则集合 M 中元素个数的最大值 为（ ） A4 B5 C6 D8 【分析】由集合的子集得：R3中含有 8 个元素， 先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的 8 个顶点，已知集合 M 中的元素所对应 的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 即 M（0，0，0） ， （1，1，0） ， （1，0，1） ， （0，1，1）或 M（0，0，1） ， （0，1， 0） ， （1，0，0） ， （1，1，1），得解 【解答】解：由 n 元子集个数得：R3中含有 8 个元素，可将其看成正方体的 8 个顶点， 已知集合 M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 所以 M（0
35、，0，0） ， （1，1，0） ， （1，0，1） ， （0，1，1） 或 M（0，0，1） ， （0，1，0） ， （1，0，0） ， （1，1，1）， 故集合 M 中元素个数最大值为 4， 故选：A 【点评】本题考查了集合的子集及阅读能力，属难度较大的题型 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 2 小题，每个小题小题，每个小题 13 分，满分分，满分 26 分，请把结果填在答题纸中）分，请把结果填在答题纸中）. 第 21 页（共 24 页） 22 （13 分）已知离心率为的椭圆 C：+1（ab0）与直线 x2 相交于 P，Q 两点（点 P 在 x 轴上方） ，且|PQ|2点 A，B 是
36、椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点， 且APQBPQ （）求椭圆 C 的标准方程； （）求四边形 APBQ 面积的取值范围 【分析】 （）通过椭圆的离心率，设椭圆方程，利用点在椭圆，求出 b2，然后求出椭圆 方程 （）通过APQBPQ，推出 kPAkPB设直线 PA 的斜率为 k，得到直线 PA：y 1k（x2） （k0） 与椭圆联立，求出 A、B 坐标，设四边形 APBQ 面积为 S，表示 出三角形的面积，利用基本不等式求出最值，也可以利用函数的导数求解面积的范围 【解答】 （本小题满分 14 分） 解： （）由已知得 e，则，设椭圆方程为：+1（b0） 由题意可知点 P（2，1）在椭圆上
37、， 所以解得 b22 故椭圆 C 的标准方程为 （4 分） （）由题意可知，直线 PA，直线 PB 的斜率都存在且不等于 0 因为APQBPQ，所以 kPAkPB 设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PA：y1k（x2） （k0） 由，得（1+4k2）x2+8k（12k）x+16k216k40 依题意，方程有两个不相等的实数根，即根的判别式0 成立 即64k2（12k）24（1+4k2） （16k216k4）0， 化简得 16（2k+1）20，解得 k 因为 2 是方程的一个解，所以 2xA 第 22 页（共 24 页） 所以 xA 当方程根的判别式0 时，k，此时直线 PA 与椭圆相切 由题
38、意，可知直线 PB 的方程为 y1k（x2） 同理，易得 xB 由于点 A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点，APQBPQ， 且能存在四边形 APBQ，则直线 PA 的斜率 k 需满足|t| 设四边形 APBQ 面积为 S，则 由于|t|， 故 S 当|t|时，可得，即 0S4 （此处另解：设 t|k|，讨论函数 f（t）在 t时的取值范围 f（t）4，则当 t时，f（t）0，f（t）单调递增 则当 t时，f（t）（4，+） ，即 S（0，4） 所以四边形 APBQ 面积 S 的取值范围是（0，4） （14 分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，基本不
39、等式以 及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力 23 （13 分）对于函数 f（x） ，若存在实数 x0满足 f（x0）x0，则称 x0为函数 f（x）的一个 不动点已知函数 f（x）x3+ax2+bx+3，其中 a，bR （）当 a0 时， 第 23 页（共 24 页） （）求 f（x）的极值点； （）若存在 x0既是 f（x）的极值点，又是 f（x）的不动点，求 b 的值； （）若 f（x）有两个相异的极值点 x1，x2，试问：是否存在 a，b，使得 x1，x2均为 f （x）的不动点？证明你的结论 【分析】 （） （i）求出函数的导数，通过讨论 b 的范围，求出函数的单调区间，从
40、而求 出函数的极值点， （ii）得到函数 g（x）有且仅有一个零点 x1，即方程 2+x030 的根为 x01， 从而求出 b 的值即可； （） 假设存在， 根据题意得到+a+ （b1） x1+30 ， 3+2ax1+b0 ， 得到 a23b，这与 a23b0 相矛盾！判断结论即可 【解答】解： （）f（x）的定义域为 R，且 f（x）3x2+2ax+b（1 分） 当 a0 时，f（x）3x2+b； （）当 b0 时，显然 f（x）在 R 上单调递增，无极值点（2 分） 当 b0 时，令 f（x）0，解得：x（3 分） f（x）和 f（x）的变化情况如下表： x （， ） （， ） （，+ ）
41、 f（x） + 0 0 + f（x） 所以，x是 f（x）的极大值点；x是 f（x）的极小值点（5 分） （）若 xx0是 f（x）的极值点，则有 3+b0； 若 xx0是 f（x）的不动点，则有+bx0+3x0， 从上述两式中消去 b， 整理得：2+x030（6 分） 设 g（x）2x3+x3 所以 g（x）6x2+10，g（x）在 R 上单调递增 第 24 页（共 24 页） 又 g（1）0，所以函数 g（x）有且仅有一个零点 x1， 即方程 2+x030 的根为 x01， 所以 b33（8 分） （）因为 f（x）有两个相异的极值点 x1，x2， 所以方程 3x2+2ax+b0 有两个不
42、等实根 x1，x2， 所以4a212b0，即 a23b0（9 分） 假设存在实数 a，b，使得 x1，x2均为 f（x）的不动点，则 x1，x2是方程 x3+ax2+（b1）x+30 的两个实根，显然 x1，x20 对于实根 x1，有+a+（b1）x1+30 又因为 3+2ax1+b0 3x1，得 a+（2b3）x1+90 同理可得 a+（2b3）x2+90 所以，方程 ax2+（2b3）x+90 也有两个不等实根 x1，x2（11 分） 所以 x1+x2 对于方程 3x2+2ax+b0，有 x1+x2， 所以，即 a23b， 这与 a23b0 相矛盾！ 所以，不存在 a，b，使得 x1，x2均为 f（x）的不动点（13 分） 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及新定义问题，分类 讨论思想，是一道综合题
浙公网安备33030202001339号