1、如果 ab0，那么下列不等式中正确的是（ ） Ab2ab Baba2 Ca2b2 D|a|b| 7 （4 分）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个 焦点坐标为（2，0） ，则双曲线 C 的方程为（ ） A B C D 8 （4 分）已知数列an是等比数列，则“a2a1”是“数列an为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 （4 分）某采摘园的樱桃前 n 年的总产量 Sn与 n 之间的关系如图所示，从图中记录的结 第 2 页（共 21 页） 果看，前 x 年的平均产量最高，第 y 年的年产量最高，则 x 和 y 的值分别为（ ） A7
2、 和 4 B7 和 8 C10 和 4 D10 和 10 10 （4 分）已知|x|y0将四个数按照一定顺序排列成一个数 列，则（ ） A当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等比数列 B当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等差数列 C当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等比数列 D当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等差数列 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 11 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标为 12 （5 分
3、）在数列中，是它的第 项 13 （5 分）不等式1 的解集为 14 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 CC1中点，则 CD1与平面 ADD1A1 所成角的大小为 ；CD 与 AE 所成角的余弦值为 15 （5 分）设函数 当 a1 时，f（x）在区间（0，+）上的最小值为 ； 若 f（x）在区间（2，+）上存在最小值，则满足条件的一个 a 的值为 第 3 页（共 21 页） 16 （5 分）已知椭圆 C1，抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中心和 C2的顶点均为坐标原 点如表给出坐标的五个点中，有两个点在 C1上，另有两个点在 C2上则椭圆 C1的方 程为 ，
4、C1的左焦点到 C2的准线之间的距离为 x 1 3 2 4 y 0 4 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （13 分）已知等差数列an的公差为 2，且 a1，a3，a4成等比数列 （）求an的通项公式； （）设an的前 n 项和为 Sn，求 S20的值 18 （13 分）已知函数 f（x）x22ax，aR （）当 a1 时，求满足 f（x）0 的 x 的取值范围； （）解关于 x 的不等式 f（x）3a2； （）若对于任意的 x（2，+） ，f（x）0 均成立，求 a
5、 的取值范围 19 （13 分）已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为 F（1， 0） （）求椭圆 C 的标准方程； （）直线 l：yk（x+2）交椭圆 C 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为，求 直线 l 的方程及FAB 的面积 20（14 分） 如图， 四棱锥 SABCD 的底面是直角梯形， ABCD， BADADC90 SD 平面 ABCD，M 是 SA 的中点，ADSDCD2AB2 （）证明：DM平面 SAB； （）求二面角 ASBC 的大小； （）线段 SC 上是否存在一点 E，使得直线 SA平面 BDE若存在，确定 E 点的位置； 若不存在，说明理由 第 4 页（共 21
6、页） 21 （14 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，左顶点 B 与右焦点 F2之 间的距离为 3 （）求椭圆 C 的标准方程； （）设直线 xt（ta）交 x 轴于点 S，过 F2且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 两点 M，N，连接 BM，BN 并延长分别与直线 xt 交于两点 P，Q若PF2SF2QS， 求点 S 的坐标 22 （13 分）已知 a 为实数，数列an满足 a1a， （）当 a0.2 和 a7 时，分别写出数列an的前 5 项； （）证明：当 a3 时，存在正整数 m，使得 0am2； （）当 0a1 时，是否存在实数 a 及正整数 n，使得数列an的前 n 项
7、和 Sn2019？ 若存在，求出实数 a 及正整数 n 的值；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的在每小题给出的四个选项中，只有四个选项中，只有 一项是符合要求的一项是符合要求的. 1 （4 分）椭圆+1 的离心率为（ ） A B C D 【分析】直接利用椭圆的方程，求出 a，c，即可得到椭圆的离心率 【解答】解：椭圆+1，可得
8、a2，b，c1，所以椭圆的离心率是：e 故选：B 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 2 （4 分）命题“对任意的 xR，x210”的否定是（ ） A不存在 xR，x210 B存在 xR，x210 C存在 xR，x210 D对任意的 xR，x210 【分析】运用含有一个量词的命题的否定可解决此问题 【解答】解：根据题意得，命题“对任意的 xR，x210”的否定是存在 xR，x21 0； 故选：C 【点评】本题考查全称命题的否定 3 （4 分）数列an的前 n 项和为 Sn，且 a13，则 S5等于（ ） A32 B48 C62 D93 【分析】由已知可得，数列是以 3 为首
9、项，以 2 为公比的等比数列，再由等比数列的前 n 项和公式求解 【解答】解：由 a13，可知数列是以 3 为首项，以 2 为公比的 等比数列， 第 6 页（共 21 页） 则 故选：D 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和，是基础的计算题 4 （4 分）已知点 A（2，0，1） ，B（4，2，3） ，P 是 AB 中点，则点 P 的坐标为（ ） AP（3，1，2） BP（3，1，4） CP（0，2，1） DP（6，4，5） 【分析】根据题意，由空间中点坐标的计算公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，点 A（2，0，1） ，B（4，2，3） ，P 是 AB 中点， 则点 P 的坐标为（，）
10、 ，即（3，1，2） ； 故选：A 【点评】本题考查空间直角坐标系，涉及中点坐标公式，属于基础题 5 （4 分）平面 经过三点 O（0，0，0） ，A（2，2，0） ，B（0，0，2） ，则平面 的法向 量可以是（ ） A （1，0，1） B （1，0，1） C （0，1，1） D （1，1，0） 【分析】求出（2，2，0） ，（0，0，2） ，设平面 的法向量 （x，y，z） ， 由，能求出平面 的法向量 【解答】解：平面 经过三点 O（0，0，0） ，A（2，2，0） ，B（0，0，2） ， （2，2，0） ，（0，0，2） ， 设平面 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1
11、，1，0） ， 平面 的法向量可以是（1，1，0） 故选：D 【点评】本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 6 （4 分）如果 ab0，那么下列不等式中正确的是（ ） Ab2ab Baba2 Ca2b2 D|a|b| 【分析】由 ab0 即可得出 b2ab，aba2，ab0，进而得出 a2b2，|a|b|， 第 7 页（共 21 页） 即得出选项 C 正确 【解答】解：ab0； b2ab，aba2，ab0； a2b2，|a|b|； C 正确 故选：C 【点评】考查不等式的性质 7 （4 分）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个 焦点坐标为（2，0）
12、 ，则双曲线 C 的方程为（ ） A B C D 【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出 a、b，即可得 到双曲线方程 【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是， 可得，它的一个焦点坐标为（2，0） ，可得 c2，即 a2+b24， 解得 a1，b， 所求双曲线方程为： 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 8 （4 分）已知数列an是等比数列，则“a2a1”是“数列an为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】设等比数列an的公比为 q，则“a2a1”a1（
13、q1）0，或 第 8 页（共 21 页） 由数列an为递增数列，可得，或即可判断出结 论 【解答】解：设等比数列an的公比为 q，则“a2a1”a1（q1）0， 或 由数列an为递增数列，可得，或 “a2a1”是“数列an为递增数列”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、等比数列的通项公式与单调性、简易逻辑的判定方 法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9 （4 分）某采摘园的樱桃前 n 年的总产量 Sn与 n 之间的关系如图所示，从图中记录的结 果看，前 x 年的平均产量最高，第 y 年的年产量最高，则 x 和 y 的值分别为（ ） A7 和 4 B7 和 8 C1
14、0 和 4 D10 和 10 【分析】根据图象表示前 n 年的总产量 Sn与 n 的关系，前 n 年的年平均产量为直线的斜 率， 由图得出斜率最大时对应的 x 值，产量最大的 y 值 【解答】解：前 n 年的总产量 Sn与 n 在图中对应 P（Sn，n）点， 则前 n 年的年平均产量即为直线 OP 的斜率， 由图易得当 n7 时，直线 OP 的斜率最大， 即前 7 年的年平均产量最高，x7； 第 9 页（共 21 页） 又 anSnSn1，所以变化量最大的是第 4 年，即 y4 故选：A 【点评】本题考查了散点图的应用问题，是基础题 10 （4 分）已知|x|y0将四个数按照一定顺序排列成一个
15、数 列，则（ ） A当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等比数列 B当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等差数列 C当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等比数列 D当 x0 时，存在满足已知条件的 x，y，四个数构成等差数列 【分析】根据 x 的符号，确定四个数的大小，结合等比数列和等差数列的性质进行判断 即可 【解答】解：当 x0 时，xy0，此时四个数的大小关系为 xyxx+y， 若 xy，x，x+y 成等比，则满足（）2（xy）x，即 x2y2x2 xy，此时y2xy，则 xy，不满足条件故 A 错误， 若 xy，x，x+y 成等差，则满足
16、 2x+x+y，即xy，平 方得（x2y2）（xy）2，即（xy） （x+y）（xy）2， 则 x+yxy，即 y0，不满足条件故 B 错误， 当 x0 时，xy0，则 y0，x0，x+y0，xy0，此时四个数 xy， x，x+y，中三个为负数，一个为正数，不可能为等比数列，故 C 错误， 当 x0 时，四个数的大小为 xyxx+y， 若 xy，x，x+y，成等差， 2xxy+x+y，此时恒成立，同时 2（x+y）x+，即x+2y， 平方得 x2y2x2+4y2+4xy， 即 5y24xy，即 xy 时，满足等差数列，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了等比数列和等差数列的应用，根据条件
17、判断四个式子的符号，结合 等比数列和等差数列的性质进行排除是解决本题的关键 第 10 页（共 21 页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 11 （5 分）抛物线 y24x 的焦点坐标为 （1，0） 【分析】 先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向， 进而利用抛物线标准方程求得 p， 则焦点方程可得 【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且 2P4， 即 p2，开口向左 焦点坐标为（1，0） 故答案为： （1，0） 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性
18、质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点 所在的位置 12 （5 分）在数列中，是它的第 7 项 【分析】令，解得 n 即可得出 【解答】解：令，解得 n7 是它的第 7 项 故答案为：7 【点评】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 13 （5 分）不等式1 的解集为 x|1x2 【分析】将原不等式转化为0，即（x1） （x2）0，即可求得其解集 【解答】解：1， 0， （x1） （x2）0， 解得：1x2 不等式1 的解集为x|1x2 故答案为：x|1x2 【点评】本题考查分式不等式的解法，移项后通分是关键，考查转化、运算与求解能力， 属于中档题 第 11 页（共
19、 21 页） 14 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 CC1中点，则 CD1与平面 ADD1A1 所成角的大小为 45 ；CD 与 AE 所成角的余弦值为 【分析】由 CDADD1A1，得CD1D 是平面则 CD1与平面 ADD1A1所成角，由此能求 出平面则 CD1与平面 ADD1A1所成角的大小； 由 CDAB，得BAE 是 CD 与 AE 所成角 （或所成角的补角） ，由此能求出 CD 与 AE 所成角的余弦值 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 CC1中点， CDADD1A1， CD1D 是平面则 CD1与平面 ADD1A1所成角， C
20、DDD1，CDDD1， CD1D45， 平面则 CD1与平面 ADD1A1所成角的大小为 45； CDAB，BAE 是 CD 与 AE 所成角（或所成角的补角） ， 设 AB2，则 AE3， CD 与 AE 所成角的余弦值为 cosBAE 故答案为：45， 【点评】本题考查线面角、异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 15 （5 分）设函数 当 a1 时，f（x）在区间（0，+）上的最小值为 2 ； 第 12 页（共 21 页） 若 f（x）在区间（2，+）上存在最小值，则满足条件的一个 a 的值为 5
21、【分析】由基本不等式可得 f（x）的最小值； 求得 f（x）的导数和单调性、极小值，由题意可得极小值且为最小值，可得 a 的范围 【解答】解：当 a1 时，f（x）x+22，当且仅当 x1 时，取得最小值 2； 若 f（x）在区间（2，+）上存在最小值， 由 f（x）的导数为 f（x）1， 当 x时，f（x）0，f（x）递增；0x时，f（x）0，f（x）递减， 可得 f（x）在 x处取得极小值，由题意可得且为最小值， 即有2，可得 a4 可取 a5 故答案为：2，5 【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数，考查化简运算能力和 推理能力，属于基础题 16 （5 分）已知椭圆 C
22、1，抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中心和 C2的顶点均为坐标原 点如表给出坐标的五个点中，有两个点在 C1上，另有两个点在 C2上则椭圆 C1的方 程为 ，C1的左焦点到 C2的准线之间的距离为 x 1 3 2 4 y 0 4 【分析】由表可知：抛物线 C2焦点在 x 轴的正半轴，设抛物线 C2：y22px（p0） ，则 有2p（x0） ， （3，2） ， （4，4）在 C2上，代入求得 2p4，即可求得抛物 线方程，求得准线方程，设 C1：+1（ab0） ，把点（2，0） ， （，） 代入，即可求得椭圆方程，求得左焦点坐标，即可求得 C1的左焦点到 C2的准线之间的 距离 【解答】
23、解：由表可知：抛物线 C2焦点在 x 轴的正半轴， 第 13 页（共 21 页） 设抛物线 C2：y22px（p0） ， 则有2p（x0） ， 据此验证四个点知（3，2） ， （4，4）在 C2上，代入求得 2p4， 抛物线 C2的标准方程为 y24x则焦点坐标为（1，0） ，准线方程为：x1， 设椭圆 C1：+1（ab0） ， 把点（2，0） ， （，）代入得，a2，+1， 解得 b1， C1的标准方程为+y21； 由 c， 左焦点（，0） ， C1的左焦点到 C2的准线之间的距离1 故答案为：+y21，1 【点评】本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用， 考查计
24、算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （13 分）已知等差数列an的公差为 2，且 a1，a3，a4成等比数列 （）求an的通项公式； （）设an的前 n 项和为 Sn，求 S20的值 【分析】（） 由 a1， a3， a4成等比数列， 可得 可得， 进而得出 （II）利用求和公式即可得出 【解答】解： （）因为 a1，a3，a4成等比数列，所以（2 分） 所以，（4 分） 第 14 页（共 21 页） 又an的公差为 2，所以， 解得 a18（7 分
25、） 所以an的通项公式为 an2n10（9 分） （）（11 分） 10（a1+a1+19d）10（16+192）220（13 分） 所以，S20的值为 220 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 18 （13 分）已知函数 f（x）x22ax，aR （）当 a1 时，求满足 f（x）0 的 x 的取值范围； （）解关于 x 的不等式 f（x）3a2； （）若对于任意的 x（2，+） ，f（x）0 均成立，求 a 的取值范围 【分析】 （）根据题意，当 a1 时，f（x）x22x，所以 f（x）0，即 x22x0， 解可得 x 的取
26、值范围，即可得答案； （）根据题意，由 f（x）3a2，得 x22ax3a20，变形可得（x3a） （x+a）0， 按 a 的取值范围分情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案； （）f（x）0，即 x22ax0，变形可得 2axx2，结合 x 的范围可得在 x（2， +）上恒成立；据此分析可得答案 【解答】解： （）根据题意，当 a1 时，f（x）x22x， 所以 f（x）0，即 x22x0，解得 0x2 所以 f（x）0 的解集为（0，2） ； （）由 f（x）3a2，得 x22ax3a20， 所以 （x3a） （x+a）0， 当 a0 时，解集为（a，3a） ； 当 a0 时，解集为空
27、集； 当 a0 时，解集为（3a，a） （）f（x）0，即 x22ax0，变形可得 2axx2 又由 x（2，+） ，则在 x（2，+）上恒成立； 第 15 页（共 21 页） 则有 a1 即 a 的取值范围是（，1 【点评】本题考查二次函数的性质以及一元二次不等式的解法，涉及函数恒成立问题， 属于基础题 19 （13 分）已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为 F（1， 0） （）求椭圆 C 的标准方程； （）直线 l：yk（x+2）交椭圆 C 于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为，求 直线 l 的方程及FAB 的面积 【分析】 （）由已知条件得出，结合 c1，可得出 a、b、c 的值
28、，从而得出椭 圆 C 的标准方程； （）设点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定 理，结合韦达定理求出线段 AB 的横坐标，可得出 k 的值，进而得出直线 l 的方程，然后 利用弦长公式求出线段 AB 的长度， 利用点到直线的距离公式求出FAB 的高， 最后利用 三角形的面积公式可求出FAB 的面积 【解答】解： （）因为长轴是短轴的倍，所以 因为焦点 F 的坐标为（1，0） ，所以 c1 结合 a2b2+c2， 得 所以椭圆方程为 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由得（2k2+1）x2+8k2x+8k220 则 因为线段
29、 AB 中点的横坐标为， 第 16 页（共 21 页） 所以 解得 ，即（符合题意） 所以直线 l 的方程为， 因为 点 F 到直线 l 的距离 所以FAB 的面积 即FAB 的面积等于 1 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题的应用，同时 考查可计算能力与推理能力，属于中等题 20（14 分） 如图， 四棱锥 SABCD 的底面是直角梯形， ABCD， BADADC90 SD 平面 ABCD，M 是 SA 的中点，ADSDCD2AB2 （）证明：DM平面 SAB； （）求二面角 ASBC 的大小； （）线段 SC 上是否存在一点 E，使得直线 SA平面 BDE若存
30、在，确定 E 点的位置； 若不存在，说明理由 【分析】 （）推导出 SDDA，SDDC，DADC，以 D 为原点建立空间直角坐标系， 利用向量法能证明 DM平面 SAB （）求出平面 SBC 的法向量和平面 SAB 的法向量，利用向量法能求出二面角 ASB C 大小 （）求出平面 BDE 的法向量，利用向量法能求出存在点 E 为线段 SC 靠近 S 点的三等 第 17 页（共 21 页） 分点，使得直线 SA平面 BDE 【解答】 （本小题满分 14 分） 证明： （）因为 SD平面 ABCDDA，DC平面 ABCD 所以 SDDA，SDDC，又 DADC 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标
31、系 由题意得 D（0，0，0） ，A（2，0，0） ，B（2，1，0） ，C（0，2，0） ，S（0，0，2） ，M （1，0，1） ， 所以， 所以， 所以 DMSA，DMAB， 所以 DM平面 SAB 解： （）设平面 SBC 的法向量为 （x，y，z） ， 因为 所以，即， 令 x1，则 y2，z2于是 （1，2，2） 因为 DM平面 SAB，所以为平面 SAB 的法向量， 又 所以 cos 因为所求二面角为钝角，所以二面角 ASBC 大小为 135o （）设， ， ， 设平面 BDE 的法向量 n2（x0，y0，z0） ， 第 18 页（共 21 页） 则，即， 令 x01，y02，于
32、是 （1，2，） ， 如果直线 SA平面 BDE， 那么0，解得 所以，存在点 E 为线段 SC 靠近 S 点的三等分点，使得直线 SA平面 BDE 【点评】本题考查线面垂直、二面角的大小、满足线面平行的点是否存在的判断与求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （14 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，左顶点 B 与右焦点 F2之 间的距离为 3 （）求椭圆 C 的标准方程； （）设直线 xt（ta）交 x 轴于点 S，过 F2且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相交于 两点 M，N，连接 BM，BN 并延长分别与直线 xt 交于两点 P
33、，Q若PF2SF2QS， 求点 S 的坐标 【分析】 （）根据已知条件列有关 a、b、c 的方程组，求出 a、b、c 的值，从而得出椭 圆 C 的标准方程； （）设点 M（x1，y1） 、N（x2，y2） ，求出点 S 的坐标，设直线 l 的方程为 xmy+1，将 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， 列出韦达定理， 将直线 BM 和直线 BN 的方程表示出 来，分别与直线 xt 的方程联立，求出点 P、Q 的坐标，将条件PF2SF2QS 转化为 PF2QF2，于是得到，结合向量的数量积运算并代入韦达定理，通过计算 第 19 页（共 21 页） 求出 t 的值，从而得出点 S 的坐标 【解
34、答】解： （）由题意可知 且 a+c3， 解得 a2，c1 所以 b2a2c23 所以椭圆的方程是 （）设 M，N 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 直线 l 的方程为 xmy+1， 易知点 S（t，0） ， 将直线 l 的方程与椭圆方程联立，消去 x，得（3m2+4）y2+6my90 所以 ， 设 P，Q 两点的坐标分别为（t，yP） ， （t，yQ） ， 由 B，M，P 三点共线，得：，从而； 由 B，N，Q 三点共线，得 ，从而； 因为PF2SF2QS，所以 所以 ，即 ， 整理得 第 20 页（共 21 页） 又 x1my1+1，x2my2+1， 所以 （*） 将，代
35、入（*） ，整理得 解之，得 t4 或 t0（舍） 所以 S 点的坐标为（4，0） 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，考查计 算能力与转化能力，属于难题 22 （13 分）已知 a 为实数，数列an满足 a1a， （）当 a0.2 和 a7 时，分别写出数列an的前 5 项； （）证明：当 a3 时，存在正整数 m，使得 0am2； （）当 0a1 时，是否存在实数 a 及正整数 n，使得数列an的前 n 项和 Sn2019？ 若存在，求出实数 a 及正整数 n 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （）当 a0.2 和 a7 时，利用数列递推式依次求出数列
36、an的前 5 项； （） 当 a3 时， an+1an3 可知在数列an中直到第一个小于等于 3 的项出现之前， 数列an是以 a 为首项，3 为公差的递减的等差数列写出通项公式，可得当 n 足够大 时，总可以找到 n0，使然后分与两类分析； （）分 a0，0a1 及 a1 三类，分别写出 Sn后分析 【解答】 （）解：当 a0.2 时，a10.2，a23.8，a30.8，a43.2，a50.2； 当 a7 时，a17，a24，a31，a43，a51 （）证明：当 a3 时，an+1an3 所以，在数列an中直到第一个小于等于 3 的项出现之前，数列an是以 a 为首项，3 为公差的递减的等差
37、数列 即 ana+（n1） （3）a+33n 所以，当 n 足够大时，总可以找到 n0，使 （1）若，令 mn0，则存在正整数 m，使得 0am2 （2）若，由，得， 第 21 页（共 21 页） 令 mn0+1，则存在正整数 m，使得 0am2 综述所述，则存在正整数 m，使得 0am2 （）当 a0 时，a10，a24，a31，a43，a51， 当 n1 时，S102019， 当 n2 时，（kN） ， 令 2n12019，n1010，而此时 n2k+1 为奇数，所以不成立； 又 2n2019 不成立，所以不存在正整数 n，使得 Sn2019 当 0a1 时，a1a，a2a+4，a3a+1
38、，a4a+3，a5a， 所以数列an的周期是 4， 当 n4k+1，kN 时，Sn8k+a2（n1）+a2n+a2； 当 n4k+2，kN 时，Sn2（n2）+a+（a+4）2n； 当 n4k+3，kN 时，Sn2（n3）+a+（a+4）+（a+1）2na+3； 当 n4（k+1） ，kN 时，Sn2n 所以（kN） 所以 Sn或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数 n，使得 Sn2019 当 a1 时，a11，a23，a31，a43，a51， （kN） ，不存在正整数 n，使得 Sn2019 综述所述，不存在实数 a 正整数 n，使得 Sn2019 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能 力，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题
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