1、已知 a0b下列不等式恒成立的是（ ） Aa+b0 B1 C1 D 2 （5 分）在等差数列an中，a21，a45，则公差 d（ ） A1 B2 C3 D4 3 （5 分）椭圆 C：1 的焦距和离心率分别为（ ） A2 和 B1 和 C2 和 D1 和 4 （5 分）等比数列an中，a39，a51，则 a6的值为（ ） A B C D 5 （5 分）若双曲线的实轴长为 2，则其渐近线方程为（ ） Ayx B C Dy2x 6 （5 分）已知 RtABC 的斜边长为 2则下列关于ABC 的说法中，正确的是（ ） A周长的最大值为 2+2 B周长的最小值为 2+2 C面积的最大值为 2 D面积的最
2、小值为 1 7 （5 分）已知抛物线 x22py（p0）的准线被双曲线1 截得的弦长为 6，则该 抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，） B （0，32） C （0，） D （0，2） 8 （5 分）已知平面区域 ：，若圆 C： （xa2）+（yb2）r2（r0） 与 x 轴和直线 y（x+1）均相切，且圆心 C，则的最小值为（ ） 第 2 页（共 22 页） A0 B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请把结果填在答题纸上的相应位置请把结果填在答题纸上的相应位置. 9 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若
3、 S56，S615，则 a5 10 （5 分）已知双曲线的渐近线方程是 y2x，那么此双曲线的离心率 为 11 （5 分）等比数列an中，a11，且 a2a4+a36，则 a5 12 （5 分）已知 A（2，2） ，B（0，2） ，C（2，0） ，则表示ABC 内部区域含边界） 的不等式组为 13 （5 分）已知直线 L：yxt 与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两个不同点，O 为坐标原 点，若3，则 t 的值为 14 （5 分）已知数列an满足 ak+12|ak|d（d 为常数，k1，2n，nN*，n3） ，给出 下列四个结论： 若数列an是周期数列，则周期必为 2； 若 d0，则数列a
4、n必是常数列： 若 d0，则数列an是递增数列： 若 d0，则数列an是有穷数列， 其中，所有错误结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分，解答应写出文字说明过程或演算分，解答应写出文字说明过程或演算 步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.） 15 （10 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已如 S11，S23， （）求 an和 Sn； （）证明：对任意 nN*，bn1 16 （10 分）某商家耗资 4500 万元购进一批 VR（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始 投入使用，由
5、于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用 200 万元，从第二年开始，每 年的维修保并费用比上一年增 40 万元该设备使用后，每年的总收人为 2800 万元 （）求盈利额 y（万元）与使用年数 x 之间的函数关系式； （）该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？ 第 3 页（共 22 页） 17 （10 分）已知椭圆 E：（ab0）的离心率为，过右焦点 F（1，0）作两 条互相垂直的直线 l1，l2，分别交椭圆 E 于 A、B 和 C、D 四点设 AB、CD 的中点为 M、 N （）求椭圆 E 的方程； （）直线 MN 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由
6、， 四、不定项选择题（本大题共四、不定项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 可能有项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置可能有项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 18 （6 分）下列结论中，所有正确的结论有（ ） A若，则 ac2bc2 B若 a，b，R+，则 C当 x（0，）时 D若 a，bR*，a+b1，则 19（6 分） 已知数列an， bn均为递增数列， an的前 n 项和为 Sn， bn的前 n 项和为 Tn 且 满足 an+
7、an+12n，bnbn+12n（nN*） ，则下列说法正确的有（ ） A0a11 B1b1 CS2nT2n DS2nT2n 20 （6 分）已知点 P 是双曲线 E：的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右 焦点，PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的有（ ） A点 P 的横坐标为 BPF1F2的周长为 CF1PF2小于 DPF1F2的内切圆半径为 五、填空题（本大题共五、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.请把结果填在答题纸上的相应位置请把结果填在答题纸上的相应位置.） 21 （6 分）已知柄圆上存在相异两点关于直线 yx+t 对称，请写出
8、两个符合条 件的实数 t 的值： 第 4 页（共 22 页） 22 （6 分）已知 f（n）1+（nN*） 用数学归纳法证明 f（2n），请补 全证明过程： （1）当 n1 时，f（21）1+； （2）假设 nk 时命题成立，即 f（2k），则当 nk+1 时， f（2k+1）f（2k）+ ， 即当 nk+1 时，命题成立 综上所述，对任意 nN*，都有 f（2n）成立 23 （6 分）曲线 E 是平面内到定点 A（1，0）的距离与到定直线 x1 的距离之积为 8 的 动点 P 的轨迹， 则 x 的取值范围是 ； 曲线 E 上的点到原点的最小距离是 六、解答题（本大题共六、解答题（本大题共 1
9、 小题，满分小题，满分 14 分解箐应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案分解箐应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置写在答题纸上的相应位置.） 24 （14 分）正整数数列an的前 n 项和为 Sn，前 n 项积 Tn，若（i1，2，n） ， 则称数列an为“Z 数列” （）判断下列数列是否是 Z 数列，并说明理由； 2，2，4，8；8，24，40，56 （）若数列an是 Z 数列，且 a22求 S3和 T3； （）是否存在等差数列是 Z 数列？请阐述理由 第 5 页（共 22 页） 2019-2020 学年北京市人大附中高二（上）期中数学试卷学年北京市人大附中高二（
10、上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1 （5 分）已知 a0b下列不等式恒成立的是（ ） Aa+b0 B1 C1 D 【分析】0b，说明 a，b 异号，a 为负，b 为正，观察法判断即可 【解答】解：a0b，说明 a，b 异号，a 为负，b 为正， 显然 A，C，D 不成立，B 成立
11、， 故选：B 【点评】考查不等式的基本性质，基础题 2 （5 分）在等差数列an中，a21，a45，则公差 d（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由题目给出的已知条件，直接代入等差数列的通项公式求公差 【解答】解：在等差数列an中，由 a21，a45， 得 等差数列an的公差 d2 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题 3 （5 分）椭圆 C：1 的焦距和离心率分别为（ ） A2 和 B1 和 C2 和 D1 和 【分析】利用椭圆的标准方程，求出 a，b，c 然后求解即可 【解答】解：椭圆 C：1，可得 a2，b，c1， 所以椭圆的焦距为：2
12、，离心率为：， 故选：C 第 6 页（共 22 页） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （5 分）等比数列an中，a39，a51，则 a6的值为（ ） A B C D 【分析】直接利用等比数列的定义求出公比，进一步利用通项公式的应用求出结果 【解答】解：设公比为 q 的等比数列an中，a39，a51， 所以，解得， 所以 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 5 （5 分）若双曲线的实轴长为 2，则其渐近线方程为（ ） Ayx B C Dy2x 【分析】直接利用双曲线的标准方程
13、求出实轴长，即可求出 a，然后求解渐近线方程 【解答】解：双曲线的实轴长为 2，可得 a1，所以双曲线 x2y21 （a0）的实轴长为 2，则其渐近线方程为：yx 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 6 （5 分）已知 RtABC 的斜边长为 2则下列关于ABC 的说法中，正确的是（ ） A周长的最大值为 2+2 B周长的最小值为 2+2 C面积的最大值为 2 D面积的最小值为 1 【分析】首先利用勾股定理求出三角形 a2+b2c24，进一步利用基本不等式的应用求 出三角形的周长和面积的最值 【解答】解：RtABC 的斜边长为 2则下 a2+b2c24， 由于（
14、a+b）22（a2+b2）8，所以 则ABC 的周长的最大值为 2 第 7 页（共 22 页） 另 a2+b22ab，所以 ab1，则， 故选：A 【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的变换及应用，主要考查学生对直角三角形 知识的理解和应用，重在转换和计算，属于基础题 7 （5 分）已知抛物线 x22py（p0）的准线被双曲线1 截得的弦长为 6，则该 抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，） B （0，32） C （0，） D （0，2） 【分析】首先求出抛物线的准线方程，进一步利用准线与双曲线的位置关系的应用建立 等量关系，最后求出抛物线的方程，进一步求出焦点的坐标 【解答】解：抛物线 x
15、22py（p0）的准线方程为 y，设准线与双曲线的交点坐 标为（x，y） ， （x0，y0） ， 所以把 y代入双曲线的方程解得 x， 由于所截的弦长为 6，故 2，解得 p4（负值舍去） 故 x28y，所以抛物线的焦点的坐标为（0，2） ， 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线关系式的应用，主要考查学生对圆锥曲线的定 义的理解和应用，重在考查学生的综合应用能力和转换能力，属于中档题 8 （5 分）已知平面区域 ：，若圆 C： （xa2）+（yb2）r2（r0） 与 x 轴和直线 y（x+1）均相切，且圆心 C，则的最小值为（ ） A0 B C D 【分析】依题意，圆心（a，b）满足
16、可行域 ，且在直线上，令，结 合图象可知，通过齐次化可以把所求式子转化为 第 8 页（共 22 页） ，进而利用函数思想得解 【解答】解：作出可行域 如图， 依题意，又（a，b）， ，即， 令，其表示可行域 内满足的点（a，b）与原点连线的斜率，由图可 知， 则， 令，则 ， 显然当时， 故选：C 【点评】本题考查简单的线性规划问题，同时也涉及了点到直线的距离公式，斜率的定 义以及函数最值的求法等知识点，考查齐次化思想及换元思想的运用，考查数形结合思 想及运算求解能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.请把结果填在
17、答题纸上的相应位置请把结果填在答题纸上的相应位置. 9 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S56，S615，则 a5 【分析】由等差数列an的前 n 项和为 Sn，a6S6S521，S55a36， 第 9 页（共 22 页） 求出公差，代入即可 【解答】解：由等差数列an的前 n 项和为 Sn， a6S6S521，S55a36， 所以， ， 故答案为： 【点评】考查等差数列的性质和前 n 项和公式，基础题 10 （5 分）已知双曲线的渐近线方程是 y2x，那么此双曲线的离心率为 【分析】由焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y2x，知双曲线的标准方程可设为 ，由此能求出此双
18、曲线的离心率 【解答】解：焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y2x， 设双曲线方程为，0， 双曲线的标准方程为 ， a2，b24，c25， 此双曲线的离心率 e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题解题时要认真审题，注意双曲线 渐近线方程的合理运用 11 （5 分）等比数列an中，a11，且 a2a4+a36，则 a5 4 【分析】直接利用等比数列的定义的应用和一元二次方程的解法的应用求出公比，进一 步求出结果 【解答】解：设公比为 q 的等比数列an中，由于 a11，且 a2a4+a36， 第 10 页（共 22 页） 所以， 整理得 q4+q260，解得 q22
19、 或3（负值舍去） ， 所以 故答案为：4 【点评】本题考查的知识要点：等比数列的定义的应用和通项公式的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12 （5 分）已知 A（2，2） ，B（0，2） ，C（2，0） ，则表示ABC 内部区域含边界） 的不等式组为 【分析】利用两点坐标求出三角形三边对应的直线方程，结合平面区域与直线的关系建 立不等式组即可 【解答】解：AC 对应的方程为 ，得 x2y20； BC 对应的方程为+1，得 x+y20； AB 对应的方程为，得 2xy+20； 画出图形，如图所示； 则平面区域满足 x2y20，且 2xy+20，x+y20； 所以
20、对应不等式组为 第 11 页（共 22 页） 故答案为： 【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的问题，结合两点式求出对应直 线方程是解题的关键 13 （5 分）已知直线 L：yxt 与抛物线 C：y24x 交于 A，B 两个不同点，O 为坐标原 点，若3，则 t 的值为 1 或 3 【分析】首先利用直线与圆锥曲线的位置关系式的应用，建立一元二次方程，再利用根 和系数的关系式的应用求出 t 的值 【解答】解：直线 L：yxt 与抛物线 C：y24x 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两个不 同点， 则：整理得 x2（2t+4）x+t20， 所以 x1+x22t+4， 由于，
21、所以 x1x2+y1y23，即 x1x2+（x1t） （x2t）3， 整理得 t24t+30，解得 t1 或 3， 由于（2t+4）24t20，即 t1 故 t1 或 3 符合题意 所以 t1 或 3 故答案为：1 或 3 【点评】本题考查的知识要点：直线与圆锥曲线的应用，主要考查一元二次方程根和系 数关系式的应用，重在考察学生的运算能力和综合应用能力，属于中档题 14 （5 分）已知数列an满足 ak+12|ak|d（d 为常数，k1，2n，nN*，n3） ，给出 下列四个结论： 若数列an是周期数列，则周期必为 2； 若 d0，则数列an必是常数列： 若 d0，则数列an是递增数列： 若
22、d0，则数列an是有穷数列， 第 12 页（共 22 页） 其中，所有错误结论的序号是 【分析】本题主要考查数列的递推公式，作为填空题，可以采用特殊值法，找出反例 【解答】解：对于，若 d0，ak+1ak1，这一数列是周期数列，但周期不是必为 2， 因此错误； 对于，若 d0，则有 ak+12|ak|，显然数列1，1，1，1满足题意，但该数列 不是常数列，因此错误； 对于，当数列中有连续三项为 1，2，时，d30，但该数列不是递增数列，因 此错误； 对于，当 a1，d时，满足题设条件，依题意有 an，该数列是无穷数列， 因此错误； 故答案为： 【点评】本题考查了数列的基本性质，概念与递推公式，
23、对学生的分析能力和推理能力 有较高要求，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分，解答应写出文字说明过程或演算分，解答应写出文字说明过程或演算 步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.） 15 （10 分）等比数列an的前 n 项和为 Sn，已如 S11，S23， （）求 an和 Sn； （）证明：对任意 nN*，bn1 【分析】 （） 根据题意， 设等比数列an的公比为 q， 由等比数列的通项公式可得 a11， a1+a21+q3，解可得 q 的值，进而分析可得答案； （） 由 （） 的
24、结论求出数列bn的通项公式， 由作差法分析可得数列bn为递增数列， 据此分析可得答案 【解答】解： （）根据题意，设等比数列an的公比为 q， 若 S11，S23，即 a11，a1+a21+q3，则 q2， 则有 ana1qn 12n1， Sn2n1； （）证明：由（1）的结论，Sn2n1，则 bn，bn+1； 第 13 页（共 22 页） 则有 bn+1bn， 则数列bn为递增数列，则 bnb11； 故有 bn1 【点评】本题考查等比数列的通项公式以及性质的应用，涉及数列的函数特征，属于基 础题 16 （10 分）某商家耗资 4500 万元购进一批 VR（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始
25、 投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用 200 万元，从第二年开始，每 年的维修保并费用比上一年增 40 万元该设备使用后，每年的总收人为 2800 万元 （）求盈利额 y（万元）与使用年数 x 之间的函数关系式； （）该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？ 【分析】 （）y2800x4500200x40； （）先求出平均利润，然后利用基本不等式即可求解 【解答】解： （）由题意，前 x 年每年的维修保养费用构成首项为 200，公差为 40 的等 差数列， 所以前 x 年的总维修保养费用为 200x40， 则 y2800x4500200x4020x2+
26、2620x4500； （） 20x+26202620（20x+）2620226202 3002020， 当仅当 20x，即 x15 时取等， 所以当该设备使用 15 年时，商家的年平均盈利额最大，最大为 2020 万元 【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题 17 （10 分）已知椭圆 E：（ab0）的离心率为，过右焦点 F（1，0）作两 条互相垂直的直线 l1，l2，分别交椭圆 E 于 A、B 和 C、D 四点设 AB、CD 的中点为 M、 N （）求椭圆 E 的方程； （）直线 MN 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由， 第 14 页（共 22 页
27、） 【分析】 （）根据焦点坐标可知 c，再利用离心率可求出 a，进而求出椭圆方程； （）设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出 M，N 的坐标，分类讨论，确定直线 MN 的方程，即可得到结论 【解答】解： （）由题知 c1，根据 e，得 a2，所以 b2413，所以椭 圆 E 的方程为； （）设 l1：yk（x1） ，l2：y（x1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ， 联立，整理得（3+4k2）x28k2x+4k2120，x1+x2，所以 x0 ，y0， 即 M（，） ； 同理可得 N（，） ， 当 k21 时，直线 MN 的方程为 x，则 MN 过点（，0） ，
28、当 k21 时， 直线 MN 的斜率 kMN， 则 MN 方程为 y+ （x） ， 整理得 y（x） ，所以过点（，0） ， 则直线 MN 恒过定点（，0） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点， 考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键 四、不定项选择题（本大题共四、不定项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 可能有项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位可能有项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置置
29、.） 18 （6 分）下列结论中，所有正确的结论有（ ） A若，则 ac2bc2 第 15 页（共 22 页） B若 a，b，R+，则 C当 x（0，）时 D若 a，bR*，a+b1，则 【分析】直接利用不等式的性质和基本不等式和的应用求出结果 【解答】解：对于选项 A：由于，所以 ab，故 ac2bc2，故正确 对于选项 B：当为真分数时，不等式成立，当为假分数时，不等式不成立，故错误 对于选项 C：x（0，）时，当且仅当时，等 号成立，故选项 C 正确 对于选项 D：若 a，bR*，a+b1，所以4，故正确 故选：ACD 【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式和的应用，
30、主要考查 学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 19（6 分） 已知数列an， bn均为递增数列， an的前 n 项和为 Sn， bn的前 n 项和为 Tn 且 满足 an+an+12n，bnbn+12n（nN*） ，则下列说法正确的有（ ） A0a11 B1b1 CS2nT2n DS2nT2n 【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出 a1，b1的取值范围，在求出其前 2n 项和的表达式即可判断大小； 【解答】解：数列an为递增数列； a1a2a3； an+an+12n， ； 0a11；故 A 正确 S2n（a1+a2）+（a3+a4）+（a2n1+a2n）2+6+10+2（
31、2n1）2n2； 数列bn为递增数列； 第 16 页（共 22 页） b1b2b3； bnbn+12n ； ； 1b1，故 B 正确 T2nb1+b2+b2n （b1+b3+b5+b2n1）+（b2+b4+b2n） ； 对于任意的 nN*，S2nT2n；故 C 正确，D 错误 故选：ABC 【点评】本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力属于中档题 20 （6 分）已知点 P 是双曲线 E：的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、右 焦点，PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的有（ ） A点 P 的横坐标为 BPF1F2的周长为 CF1PF2小于 DPF1F2的内切圆半径
32、为 【分析】设F1PF2的内心为 I，连接 IP，IF1，IF2，求得双曲线的 a，b，c，不妨设 P （m，n） ，m0，n0，运用三角形的面积公式求得 P 的坐标，运用两直线的夹角公式 可得 tanF1PF2，由两点的距离公式，可得PF1F2的周长， 设PF1F2的内切圆半径为 r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算 r 【解答】解：设F1PF2的内心为 I，连接 IP，IF1，IF2， 第 17 页（共 22 页） 双曲线 E：的 a4，b3，c5， 不妨设 P（m，n） ，m0，n0， 由PF1F2的面积为 20，可得|F1F2|ncn5n20，即 n4， 由1，可得 m，故 A
33、正确； 由 P（，4） ，且 F1（5，0） ，F2（5，0） ， 可得 k，k， 则 tanF1PF2（0，） ， 则F1PF2，故 C 正确； 由|PF1|+|PF2|+， 则PF1F2的周长为+10，故 B 正确； 设PF1F2的内切圆半径为 r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）|F1F2|4， 可得r40，解得 r，故 D 正确 故选：ABCD 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用， 考查方程思想和运算能力，属于中档题 五、填空五、填空题（本大题共题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.请把结果填在答
34、题纸上的相应位置请把结果填在答题纸上的相应位置.） 第 18 页（共 22 页） 21 （6 分）已知柄圆上存在相异两点关于直线 yx+t 对称，请写出两个符合条 件的实数 t 的值： 0； 【分析】根据对称性可知线段 AB 被直线 yx+t 垂直平分，且 AB 的中点 M（x0，y0）在 直线 yx+t 上，故可设直线 AB 的方程为 yx+b，联立方程 AB 方程与椭圆方程，整 理可得关于 x 的一元二次方程，结合方程的根与系数关系可求中点 M，由0 可求 b 的范围，由中点 M 在直线 yx+t 可得 b，t 的关系，从而可求 t 的范围，即可得到结论 【解答】解：设椭圆上存在关于直线
35、yx+t 对称的两点为 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， 根据对称性可知线段 AB 被直线 yx+t 垂直平分，且 AB 的中点 M（x0，y0）在直线 y x+t 上，且 KAB1， 故可设直线 AB 的方程为 yx+b 联立方程，整理可得 5x24bx+2b220 x1+x2，y1+y22b（x1+x2）， 由16b220（2b22）0，可得b， x0，y0 AB 的中点 M（，）在直线 yx+t 上， +t，t， t不妨 t 为：0， 故答案为：0； 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是灵活应用已知中的对称 性设出直线方程，且由中点在 yx+t 上建立 t，
36、b 之间的关系，还要注意方程的根与系数 的关系的应用，是中档题 22 （6 分）已知 f（n）1+（nN*） 用数学归纳法证明 f（2n），请补 全证明过程： 第 19 页（共 22 页） （1）当 n1 时，f（21）1+； （2）假设 nk 时命题成立，即 f（2k），则当 nk+1 时， f（2k+1）f（2k）+ ， 即当 nk+1 时，命题成立 综上所述，对任意 nN*，都有 f（2n）成立 【分析】由当 nk 时，可知当 nk+1 时，f（2k+1） +，从而得到答案 【解答】解：当 nk 时， 当 nk+1 时， 故答案为： 【点评】本题考查了利用数学归纳法证明不等式，考查了逻辑
37、推理能力，属中档题 第 20 页（共 22 页） 23 （6 分）曲线 E 是平面内到定点 A（1，0）的距离与到定直线 x1 的距离之积为 8 的 动点 P 的轨迹， 则 x 的取值范围是 3， 3 ； 曲线 E 上的点到原点的最小距离是 3 【分析】设 P（x，y） 写出曲线 E 的方程，当 y20，解得 x 的取值范围；点到原点的 距离平方为：d2x2+y2x2+（x1）2求出最小值，再开方，就可得出结论 【解答】解：设 P（x，y） ， 到定点 A（1，0）的距离与到定直线 x1 的距离之积为 8， 曲线 E：， 曲线 E：y2， y20，即0， 3x3 曲线 E 上的点到原点的距离平
38、方为： d2x2+y2x2+， 令 f（x）， （3x3） 当 x（3，1）时，f（x）0，f（x）递增， 当 x（1，3）时，f（x）0，f（x）递减， f（x）minf（3）f（3）9， 曲线 E 上的点到原点的最小距离是 d3 故答案为：3，3，3 【点评】本题主要考查新定义，求点的轨迹方程，属于中档题 六、解答题（本大题共六、解答题（本大题共 1 小题，满分小题，满分 14 分解箐应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案分解箐应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置写在答题纸上的相应位置.） 24 （14 分）正整数数列an的前 n 项和为 Sn，前 n 项积 Tn
39、，若（i1，2，n） ， 则称数列an为“Z 数列” （）判断下列数列是否是 Z 数列，并说明理由； 2，2，4，8；8，24，40，56 第 21 页（共 22 页） （）若数列an是 Z 数列，且 a22求 S3和 T3； （）是否存在等差数列是 Z 数列？请阐述理由 【分析】 （）根据题目所给定义，验证其是否满足即可判断； （）根据“Z 数列”定义，结合整数的概念，即可得到所求； （）假设存在等差数列an为是 Z 数列，由等差数列的定义可得至少存在三项 a，b，c 成等差数列，运用整数的性质和 Z 数列的定义，变形可判断存在性 【解答】解： （）由题意可知 S12，S24，S38，S41
40、6，T12，T24，T3 16，T4128， 所以1，1，2，8， 所以是 Z 数列； 由题意可知 S18， S232， S372， S4128， T18， T2192， T37680， T4430080， 所以1，6，106.67N*， 所以不是 Z 数列； （）数列an是 Z 数列，且 a22设kN*，即 2a1ka1+2k， 所以（2k）a12k，即 a1N*，所以 k1，则 a12， 则tN*，则 a3N*，t1，2，3， 所以当 t1 时，显然不成立， 当 t2 时，a34，成立， 当 t3 时，a312，成立， 所以当 a34，S38，T316；当 a312，S316，T348；
41、（）假设存在等差数列an为是 Z 数列， 由等差数列的定义可得至少存在三项 a， b， c 成等差数列， 即有1，N*， N*， 由 a+c2b，可得N*，可得 a，c 中至少有一个为 3 的倍数， 第 22 页（共 22 页） 可设 a3，则cN*，只要3N*，可得 b6，c9，即 3，6，9 成等差数列，且为 Z 数列； 若 a6，则2cN*，只要6N*，可得 b6，c6，即 6，6，6 成等差数列，且为 Z 数列； 或 b12，c18，即 6，12，18 成等差数列，且为 Z 数列；或 b30，c54，即 6，30， 54 成等差数列，且为 Z 数列； 同样 a9，12，3n（nN*） ，可得 b，c 的值，使得它们成等差数列，且为 Z 数列 综上可得存在等差数列是 Z 数列 【点评】本题为数列的创新题目，考查了学生对已学知识的升华分析应用，考查运算能 力和推理能力，属于难题
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