1、2020 届山东省高三新高考模拟数学原创试卷（一）届山东省高三新高考模拟数学原创试卷（一） 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知集合 Mx|2x4，Nx|x25x60，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|1x4 Cx|2x6 Dx|2x2 2已知复数 z 满足1 1+ =i，则|z|（ ） A1 B2 C2 D22 3 “m2”是“直线 x+ym0 与圆 x2+y22 相切”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件
2、 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y= 2 3x，则该双曲线的 离心率为（ ） A313 13 B 13 3 C 3 3 D3 5已知 alog30.3，blog0.30.2，c0.30.2，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 6函数 f（x）= (31)2 3+1 的部分图象大致为（ ） A B C D 7已知角 a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P（x0， y0） ，若 2 3 4 ，则（ ） Ax0+y00 Bx02y0 C0 0 y0 Dx0y00
3、8如图，已知三棱锥 ABCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离 PR 与到棱 AB 的距离 PQ 相等，设PBA，PBC，则（ ） A 为定值 B 为定值 C 为定值 D 为定值 二、多项选择题（本題共二、多项选择题（本題共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分对的得分，部分对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9已知函数 f（x）= 3( 2)，2， 31， 2 则（ ） Af（5）1 Bf（f（5） ）1 Cf
4、（3）9 Df（f（3） ）log37 10某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下 22 列联表 男 女 合计 爱好拳击 35 22 57 不爱好拳击 15 28 43 合计 50 50 100 经计算得 K2= 100(35281522)2 50505743 6.895之后又对被研究者的身高进行了统计， 得到男、女身高分别近似服从正态分布 N（175，16）和 N（164，9） ，则下列选项中正 确的是（ ） P（K2k） 0.50 0.05 0.010 0.005 0.001 k 0.455 3.841 6.635 7.897 10.828 A在犯错误的概率不超过
5、 1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关” B在 100 个男生中，至少有一个人爱好打拳击 C男生身高的平均数为 175，男生身高的标准差为 16 D女生身高的平均数为 164，女生身高的标准差为 3 11已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有 50 名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的 学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的 是（ ） A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低 B三个班的平均成绩，丙班最低 C三个班中成绩在 60 分以下的人数，丙班最多；80 分以上的人数，乙班最多 D模拟考试的最高分出现在乙班 12抛物线有如下光学性质：由其焦点射出
6、的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴 的方向射出已知抛物线 y24x 的焦点为 F，一束平行于 x 轴的光线 l1从点 M（3，1） 射入，经过抛物线上的点 P（x1，y1）反射后，再经抛物线上另一点 Q（x2，y2）反射后， 沿直线 l2射出，则下列结论中正确的是（ ） Ax1x21 BkPQ= 4 3 C|PQ|= 25 4 Dl1与 l2之间的距离为 4 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知 =（1，2） ，向量 0 ，且 ，则 = （写出一个正确答案即可） 14在中国古代的音乐理论中， “宫、商、角、徵、羽
7、”这五个音阶在确定第一个音阶之后， 其余的音阶可采用“三分损益法”生成例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为 81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为 81（1 1 3）54，能发出第三个基准音 的乐器的长度为 54（1+ 1 3）72，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一， 以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到 12 个，称为“十二律”假设能发出第一个基 准音的乐器的长度为 a1，那么能发出第 6 个基准音的乐器的长度是 15在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，ABBC1，BD= 5，则三棱锥 A BCD 的体积为 ，其外接球的表面积为 16已知函数 yf（x+1
8、）是 R 上的奇函数，若函数 y2（x1）3的图象与 yf（x）的图 象有 5 个交点，则所有交点的横坐标之和是 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题共小题共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，已知 2bsinAatanB （1）求 B； （2）若 a+c4，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Snn2+ 2（R） （1）证明：数列an为等差数列； （2）若 a22，数列bn满足 bn= 2，4 3 4
9、 2， = 4 ， （kN*） ，求数列bn的前 4n 项和 T4n 19已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点为 F（3，0） ，以椭圆的四个顶点为 顶点的四边形的面积为 4 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 是否存在直线 l， 同时满足以下两个条件： 过点 F； 与椭圆 C 交于 M、 N 两点， 线段 MN 的中点为 P，且|OP|= 1 2|MN|？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明 理由 20如图 1，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且 ACCD，AC 与 BD 交于点 O，将ACD 沿对角线 AC 折起，使得点 D 到图 2 的点 E 的
10、位置，BOE60，点 M 为线段 OB 的 中点 （1）证明：ABME； （2）N 为线段 BE 上一动点，当二面角 NACB 为 30时，求直线 AN 与平面 ACE 所 成角的正弦值 21现有甲、乙两个足球场的待建项目，其中甲足球场需要新建，乙足球场需要改建某建 筑公司要在竞标建设甲足球场和乙足球场之间做出决策如果估算两个项目均能获益， 则选择获益大的；如果估算两个项目均不能获益，则公司就放弃竞标如果竞标建设甲 足球场，则需要 1000 元的竞标费用，此时有 20%的概率贏得合同，且赢得合同后会带来 约 50000 元的净利润；如果没有贏得合同，就会损失 1000 元的竞标费用如果竞标建设
11、 乙足球场，则需要 500 元的竞标费用，此时有 25%的概率贏得合同，且贏得合同后会带 来约 40000 元的净利润；如果没有赢得合同，就会损失 500 元的竞标费用 （1）从估算来看，竞标建设甲足球场和乙足球场，哪个更赚钱？ （2）竞标建设甲足球场赢得合同的概率是根据以往经验估计的，在其他条件不变的情况 下， 竞标建设甲足球场赢得合同的概率增加到多少时， 公司可以决策竞标建设甲足球场？ （精确到 0.01%） （3）竞标建设甲足球场的净利润也是根据以往经验估计的，在其他条件不变的情况下， 竞标建设甲足球场的净利润增加到多少元时，公司可以决策竞标建设甲足球场？ 22已知函数 f（x）exx（
12、其中 e271828为自然对数的底数） （1）证明：对任意的 xR 都有 f（x）0； （2）设 g（x）f（x）cosx+x（cosxsinx） （x（0，） ） （i）若存在 x0 2，） ，使得不等式 g（x0）m 成立，求实数 m 的取值范围； （ii）求函数 g（x）的零点个数 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知集合 Mx|2x4，Nx|x25x60，则 MN（ ） Ax|2x3 Bx|1x4 Cx|
13、2x6 Dx|2x2 可以求出集合 N，然后进行交集的运算即可 Mx|2x4，Nx|1x6， MNx|1x4 故选：B 本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属 于基础题 2已知复数 z 满足1 1+ =i，则|z|（ ） A1 B2 C2 D22 由1 1+ = ，得 = 1 1+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计 算得答案 由1 1+ = ， 得 = 1 1+ = (1)(1) (1+)(1) = 则|z|1 故选：A 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3 “m2”是“直线 x+ym0 与圆 x2+y2
14、2 相切”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 先化简命题，由圆心到直线的距离等于半径，求出参数，进而判断充要性 当直线 x+ym0 与圆 x2+y22 相切， 则圆心到直线的距离等于半径， |0+0| 2 =2， 解之得 m2， 则 m2 是 m2 的充分不必要条件， 故选：B 本题考查充要性，以及直线与圆的关系，属于基础题 4已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y= 2 3x，则该双曲线的 离心率为（ ） A313 13 B 13 3 C 3 3 D3 根据双曲线的渐近线方程得出 a、b 数量关系，再求出 c
15、 与 a 的关系，计算双曲线的离心 率 双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y= 2 3x， 即 = 2 3， b= 2 3a， c=2+ (2 3) 2 = 13 3 a， 双曲线的离心率为 e= = 13 3 = 13 3 故选：B 本题考查了双曲线的渐近线与离心率计算问题，是基础题 5已知 alog30.3，blog0.30.2，c0.30.2，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab来源:Zxxk.Com 根据 a，b，c 与 0，1 的大小关系比较即可 依题意，0log31log30.3a， blog0.30.2log0.30.31， c0.
16、30.20.301，所以 0c1， 故 acb， 故选：B 本题考查了大小比较，考查了指数、对数函数的性质，考查分析解决问题的能力，属于 基础题 6函数 f（x）= (31)2 3+1 的部分图象大致为（ ） A B C D 利用函数为奇函数，排除 A，C；利用 f（2）0，结合选项即可得出正确选项 函数的定义域为 （， 0） （0， +） ， 且() = (31)()2 3+1 = (13)2 3+1 = ()， 函数 f（x）为奇函数，可排除 A、C； 又(2) = 44 5 0， 综上，可知选项 B 符合题意 故选：B 本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题 7已
17、知角 a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P（x0， y0） ，若 2 3 4 ，则（ ） Ax0+y00 Bx02y0 C0 0 y0 Dx0y00 根据三角函数的定义，分别进行判断即可 由三角函数的定义得 x0cos，y0sin， 则 tan= 0 0， Ax0+y0sin+cos= 2sin（+ 4） ， 2 3 4 ，3 4 + 4 ，此时x0+y00，故 A 错误， Bx02y0cos2sin1sin2sin（sin+ 1 2） 2+5 4， 2 3 4 ，sin（ 2 2 ，1） ，x02y00，故 B 错误， Ctan= 0 0 0，y0sin
18、0，0 0 y0，正确，故 C 正确， Dx0cos0，y0sin0，则 x0y00，故 D 错误， 故选：C 本题主要考查三角函数定义的应用，结合三角函数的定义以及单位圆的定义是解决本题 的关键难度中等 8如图，已知三棱锥 ABCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离 PR 与到棱 AB 的距离 PQ 相等，设PBA，PBC，则（ ） A 为定值 B 为定值 C 为定值 D 为定值 由题意先将PBA，PBC 找到，然后利用所在的直角三角形，将它们的正弦值 表示出来，再将已知的 PQPR 代入，可知 是定值从而确定答案 如图，过点 P 作 PTBC 于 T，连接 RT， 设P
19、RT，则 为二面角 ABCD 的平面角，且 为定值 在 RtPBQ 中， = ， 在 RtPBT 中， = ， = ，又 PRPQ， = = (定值) 故选：A 本题考查了空间二面角、线面角以及线线角的求法，属于中档题 二、多项选择题（本題共二、多项选择题（本題共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分对的得分，部分对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9已知函数 f（x）= 3( 2)，2， 31， 2 则（ ） Af（5）1 Bf（
20、f（5） ）1 Cf（3）9 Df（f（3） ）log37 根据题意，由函数的解析式依次分析选项，求出 f（5） 、f（f（5） ） 、f（3） 、f（f（3） ）的 值，分析即可得答案 根据题意，函数 f（x）= 3( 2)，2， 31， 2 ，依次分析选项： 对于 A，f（5）log3（52）log331，A 正确； 对于 B，f（f（5） ）f（1）301，B 正确； 对于 C，f（3）log3（32）log310，C 错误； 对于 D，f（f（3） ）f（0）3 1=1 3，D 错误； 故选：AB 本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题 10某机构在研究性别
21、与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下 22 列联表 男 女 合计 爱好拳击 35 22 57 不爱好拳击 15 28 43 合计 50 50 100 经计算得 K2= 100(35281522)2 50505743 6.895之后又对被研究者的身高进行了统计， 得到男、女身高分别近似服从正态分布 N（175，16）和 N（164，9） ，则下列选项中正 确的是（ ） P（K2k） 0.50 0.05 0.010 0.005 0.001 k 0.455 3.841 6.635 7.897 10.828 A在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关” B在 100
22、 个男生中，至少有一个人爱好打拳击 C男生身高的平均数为 175，男生身高的标准差为 16 D女生身高的平均数为 164，女生身高的标准差为 3 根据题意算出数据，进行判断 K26.8956.635，A 对， 显然 B 错， 男生标准差为 4，C 错， 显然 D 对， 故选：AD 本题考查简易逻辑，以及方差的计算，属于基础题 11已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有 50 名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的 学生成绩的各分数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的 是（ ） A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低 B三个班的平均成绩，丙班最低 C三个班中成绩在 60
23、分以下的人数，丙班最多；80 分以上的人数，乙班最多 D模拟考试的最高分出现在乙班 由折线图得乙班成绩的中位数最大，丙班成绩的中位数最低，丙班的平均成绩最低，80 分以上的人数甲班最多，最高分出现在甲班 对于 A，由折线图得乙班成绩的中位数最大，丙班成绩的中位数最低，故 A 正确； 对于 B，由折线图得丙班的平均成绩最低，故 B 正确； 在 C 中，由折线图得，80 分以上的人数甲班最多，故 C 错误； 在 D 中，由折线图得最高分出现在甲班，故 D 错误 故选：AB 本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 12抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线
24、经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴 的方向射出已知抛物线 y24x 的焦点为 F，一束平行于 x 轴的光线 l1从点 M（3，1） 射入，经过抛物线上的点 P（x1，y1）反射后，再经抛物线上另一点 Q（x2，y2）反射后， 沿直线 l2射出，则下列结论中正确的是（ ） Ax1x21 BkPQ= 4 3 C|PQ|= 25 4 Dl1与 l2之间的距离为 4 由抛物线的光学性质可知， 直线 PQ 经过点 F， 于是根据二级结论12= 2 4 可判断选项 A； 点 P 与 M 均在直线 l1上，于是可求出点 P 的坐标，再结合12= 2 4 可得点 Q 的坐标， 然后利用斜率公式即可判断选项
25、B； 根据抛物线的定义可知，|PQ|x1+x2+p，可判断选项 C； 由于 l1与 l2平行，所以 l1与 l2之间的距离 d|y1y2|，可判断选项 D 如图所示， 由抛物线的光学性质可知， 直线 PQ 过焦点 F （1， 0） ， 12= 2 4 = 1， 即选项 A 正确； 由题意可得，点 P 的坐标为(1 4，1)，点 Q 的坐标为（4，4） ， = 41 41 4 = 4 3，即选项 B 正确； 由抛物线的定义可知，|PQ|= 1+ 2+ = 1 4 + 4 + 2 = 25 4 ，即选项 C 正确； l1与 l2平行， l1与 l2之间的距离 d|y1y2|5，即选项 D 错误；
26、故选：ABC 本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的 能力和作图分析问题的能力，属于中档题 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13已知 =（1，2） ，向量 0 ，且 ，则 = （2，1） （写出一个正确答案即 可） 设 =（x，y） ，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得 x+2y0，从而得 到答案 已知 =（1，2） ，向量 0 ，且 ， =0 设 =（x，y） ，则 x+2y0，故可令 x2，y1， 则 =（2，1） ，答案不唯一， 故答案为： （2，1） 本题主要考查两
27、个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题 14在中国古代的音乐理论中， “宫、商、角、徵、羽”这五个音阶在确定第一个音阶之后， 其余的音阶可采用“三分损益法”生成例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为 81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为 81（1 1 3）54，能发出第三个基准音 的乐器的长度为 54（1+ 1 3）72，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一， 以此类推，后来按照这种方法将音阶扩充到 12 个，称为“十二律”假设能发出第一个基 准音的乐器的长度为 a1，那么能发出第 6 个基准音的乐器的长度是 1281 243 直接根据其规律求解即可 由其规律依次先减
28、少三分之一，后增加三分之一，以此类推， 可得：第 6 个基准音的乐器的长度是：a1 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 = 1281 243 ； 故答案为：1281 243 本题考查了归纳推理的应用以及计算能力，属于基础题 15在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，BCCD，ABBC1，BD= 5，则三棱锥 A BCD 的体积为 1 3 ，其外接球的表面积为 6 取 AD 的中点 O，连结 OB、OC由线面垂直的判定与性质，证出 ABBD 且 ACCD， 得到ABD与ACD是具有公共斜边的直角三角形， 从而得出OAOBOCOD= 1 2AD， 所以 A、B、C、D 四点在以 O 为球心
29、的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出 AD 长，即可得到三棱锥 ABCD 外接球的半径大小 由题易得 CD2； 三棱锥 ABCD 的体积为 V= 1 3AB 1 2BCCD= 1 3； 取 AD 的中点 O，连结 OB、OC AB平面 BCD，CD平面 BCD，ABCD， 又BCCD，ABBCB，CD平面 ABC， AC平面 ABC，CDAC， OC 是 RtADC 的斜边上的中线，OC= 1 2AD 同理可得：RtABD 中，OB= 1 2AD， OAOBOCOD= 1 2AD，可得 A、B、C、D 四点在以 O 为球心的球面上 RtABD 中，AB1 且 BD= 5，可得 AD= 6
30、， 由此可得球 O 的半径 R= 6 2 ， 三棱锥 ABCD 的外接球表面积为 4R26 故答案为：1 3，6 本题已知三棱锥的底面为直角三角形，求三棱锥 ABCD 的外接球的表面积着重考查 了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球内接多面体等知识，属于中档题 16已知函数 yf（x+1）是 R 上的奇函数，若函数 y2（x1）3的图象与 yf（x）的图 象有 5 个交点，则所有交点的横坐标之和是 5 根据条件求得两个函数都关于（1，0）中心对称，则其交点也关于（1，0）对称，可得 结论 因为 yf（x+1）是 R 上的奇函数；所以 f（x）的图象的对称中心是（1，0） ， 又因为函数 y2（x
31、1）3的图象的对称中心也为（1，0） ； 所以：函数 y2（x1）3的图象与 yf（x）的图象的交点关于（1，0）成中心对称， 设交点的横坐标分别为：x1，x2，x3，x4，x5， 且 x1x2x3x4x5； 故有：1+5 2 = 2+4 2 =x31； x1+x2+x3+x4+x55 故答案为：5 本题考查函数的性质应用，函数的对称性的应用，考查转化及计算能力 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题共小题共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，已知 2bsinAat
32、anB （1）求 B； （2）若 a+c4，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积 （1） 由正弦定理， 同角三角函数基本关系式化简已知等式， 结合 sinA0， 可求 cosB= 1 2， 结 合范围 B（0，） ，可求 B 的值 （2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求 b 的最小值，可求ABC 周长的最小值，进 而利用三角形的面积公式即可求解来源:Zxxk.Com （1）2bsinAatanB， 2bsinA= ，由正弦定理可得 2sinBsinAsinA ， sinA0， 可得 cosB= 1 2， B（0，） ， B= 3 （2）b2a2+c22accosB（a+c）23a
33、c163ac，即 3ac16b2， 16b23（+ 2 ）2，解得 b2，当且仅当 ac2 时，取等号， bmin2，ABC 周长的最小值为 6，此时，ABC 的面积 S= 1 2acsinB= 3 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形 的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Snn2+ 2（R） （1）证明：数列an为等差数列； （2）若 a22，数列bn满足 bn= 2，4 3 4 2， = 4 ， （kN*） ，求数列bn的前 4n 项和 T4n 本题第（1）题先利用公式
34、an= 1， = 1 1， 2计算出数列a n的通项公式，然后运用 定义法可证明数列an为等差数列； 第（2）题先通过第（1）题的结论及 a22 可计算出参数 的值，即可得到数列an的 通项公式，进一步可得数列bn的通项公式，然后运用分组求和法，拼凑法，以及等差 数列和等比数列的求和公式计算出数列bn的前 4n 项和 T4n （1）证明：由题意，当 n1 时，a1S1+ 1 2， 当 n2 时，anSnSn1n2+ 2 （n1）2+ 1 2 =2n+ 1 2 ， 当 n1 时，a1+ 1 2也满足上式， 故 an2n+ 1 2 ，nN* 当 n2 时，anan12n+ 1 2 2（n1）+ 1
35、 2 2， 数列an是以 + 1 2为首项，2 为公差的等差数列 （2）解：由（1）知，a24+ 1 2 3+ 1 2 =2，解得 = 1 2， an1+n1n，nN* bn= 2，4 3 4 2， = 4 ，kN* T4nb1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+b4n3+b4n2+b4n1+b4n 21+22+23+24+25+26+27+28+2（4n3）+2（4n2）+2（4n 1）+24n 21+2+3+4+5+6+7+8+（4n3）+（4n2）+（4n1）+4n2（4+8+4n） +（24+28+24n） 2 4(4+1) 2 8（1+2+n）+（16+162+16n） 4n
36、（4n+1）8 (+1) 2 + 1616+1 116 = 24(+1) 15 +12n2 16 15 本题主要考查数列求通项公式，等差数列的判别，数列求和问题考查了转化与化归思 想，分类讨论思想，以及逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 19已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点为 F（3，0） ，以椭圆的四个顶点为 顶点的四边形的面积为 4 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 是否存在直线 l， 同时满足以下两个条件： 过点 F； 与椭圆 C 交于 M、 N 两点， 线段 MN 的中点为 P，且|OP|= 1 2|MN|？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说
37、明 理由 （1）由题意可得 c，由三角形的面积公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，b，进而得 到椭圆方程； （2）讨论直线 l 的斜率不存在，判断不成立；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 为 yk（x3） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立椭圆方程，运用判别式大于 0，以及韦 达定理和向量垂直的条件：数量积为 0，计算化简可得 k，即可判断是否存在直线 l （1）由题意可得 c= 3，2ab4，由 a2b2c2，解得 a2，b1， 则椭圆的方程为 2 4 +y21； （2）当直线 l 的斜率不存在时，|OP|= 3，|MN|1，不合题意 当直线 l 的斜率存在时
38、，设直线 l 的方程为 yk（x3） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由|OP|= 1 2|MN|，可得 ，联立 = ( 3) 2+ 42= 4 可得（1+4k2）x283k2x+12k24 0， 由16（1+k2）0，x1+x2= 832 1+42，x1x2= 1224 1+42 ， y1y2k2（x13） （x23）k2x1x2+33（x1+x2）， 由 ，可得 =0，即 x1x2+y1y20， 则（1+k2）x1x23k2（x1+x2）+3k20， 即（1+k2） 12 24 1+42 3k2（83 2 1+42）+3k 20， 化为 11k240，解得 k211 11 ，
39、所以存在过 F 的直线 l，使得|OP|= 1 2|MN|， 此时直线 l 的方程为 y= 211 11 （x3）或 y= 211 11 （x3） 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和向量垂直的条件： 数量积为 0，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 20如图 1，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且 ACCD，AC 与 BD 交于点 O，将ACD 沿对角线 AC 折起，使得点 D 到图 2 的点 E 的位置，BOE60，点 M 为线段 OB 的 中点 （1）证明：ABME； （2）N 为线段 BE 上一动点，当二面角 NACB 为 30时，求直线 AN 与平
40、面 ACE 所 成角的正弦值 （1）由四边形 ABCD 为菱形，可得 ACOE，ACOB，利用线面垂直的判定与性质定 理可得：MEAC在EOB 中，根据条件可得“”EOB 为等边三角形利用性质可 得：EMOB，利用线面垂直的判定与性质定理可得 ABME （2）取 AB 的中点 H，连接 MH，可得 OBMH建立如图所示的空间直角坐标系连 接 ON，可得BON 是二面角 NACB 的平面角，大小为 30又BOE60，ON 为BOE 的平分线， N 为 BE 的中点 设平面 ACE 的法向量为 = （x， y， z） ， 可得 = =0，利用 cos ， = | | |，设直线 AN 与平面 AC
41、E 所成角为 ，可得 sin |cos ， | （1）证明：由四边形 ABCD 为菱形，可知：ACOE，ACOB， 又OBOEO，ACP 平面 OBE，又 ME平面 OBE， MEAC在EOB 中，OEOB，BOE60 EOB 为等边三角形 M 为 OB 的中点， EMOB，又 ACOBO，来源:Z&xx&k.Com ME平面 ABC AB平面 ABC， ABME （2）解：取 AB 的中点 H，连接 MH，则 MHOA，ACBO，OBMH 建立如图所示的空间直角坐标系连接 ON，AC平面 BOE，ACOB，ACON， 则BON 是二面角 NACB 的平面角，大小为 30 又BOE60，ON
42、为BOE 的平分线，N 为 BE 的中点 M（0，0，0） ，A（1， 3 2 ，0） ，B（0， 3 2 ，0） ，C（1， 3 2 ，0） ，E（0，0，3 2） ，N （0， 3 4 ，3 4） ，则 =（2，0，0） ， =（1， 3 2 ，3 2） ， =（1，33 4 ，3 4） ， 设平面 ACE 的法向量为 =（x，y，z） ，则 = =0，则2x0，x+ 3 2 y+ 3 2z 0，取 =（0，3，1） cos ， = | | | = 9 4+ 3 4 13 2 2 = 313 26 ，设直线 AN 与平面 ACE 所成角为 ，则 sin|cos ， |= 313 26 本题考查了菱形与等边三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、数 量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21现有甲、乙两个足球场的待建项目，其中甲足球场需要新建，乙足球场需要改建某建 筑公司要在竞标建设甲
浙公网安备33030202001339号