1、2020 年中考数学一模试卷年中考数学一模试卷 一、选择题 1下列各数中最小的是（ ） A B3 C D0 22020 年 3 月 2 日的数据显示，我国口罩日产能从 2 月初的约 2000 万只，增长到了 1.1 亿只而在 2019 年，中国口罩原料之一的聚丙烯产能 2549 万吨，产量为 2096.3 万吨， 约占全球 30%数据“2096.3 万”用科学记数法可表示为（ ） A20.963106 B2.0963107 C0.20963108 D2.0963108 3如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A B C D 4以下问题，不适合采用全面调查方式的是（
2、） A调查全班同学对商丘“京雄商”高铁的了解程度 B“冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测 C为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计 D了解梁园区全体中小学生对“冠状病毒”的知晓程度 5 如图， CD 为AOB 的角平分线， 射线 OE 经过点 O 且AOE90， 若DOE63， 则BOC 的度数是（ ） A63 B33 C28 D27 6 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 7若方程 x22xk0 没有实数根，则 k 的值可以为（ ） A1 B0 C1 D2 8如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为 4 份，另一个转盘平均分为 3 份，两个转盘分
3、别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字 之和为 5 的概率是（ ） A B C D 9如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），BAO，ABO 的平分线相交于点 C，过点 C 作 CDx 轴交 AB 于点 D，则点 D 的坐标为（ ） A（ ，2） B（ ，1） C（ ，2） D（ ，1） 10如图 1，在ABC 中，B90，C30，动点 P 从点 B 开始沿边 BA、AC 向点 C 以恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以恒定的速度移动，两点同时 到达点 C，设BPQ 的面积为 y（cm2）运动时间为 x（s），y 与 x 之间关系
4、如图 2 所 示，当点 P 恰好为 AC 的中点时，PQ 的长为（ ） A2 B4 C2 D4 二、填空题 11 （ ） 2 12 如图， 在ABC 中， ACB90， 分别以点 A 和点 B 为圆心， 以相同的长 （大于 AB） 为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E若 AC 3，AB5，则 DE 等于 13点 P1（2，yl），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数 yx22x+c 的图象上， 则 y1，y2，y3 的大小关系是 14如图，RtABC 中，ACB90，ABC30，AC2，将ABC 绕点 C 顺时针 旋转，点 A、
5、B 的对应点分别为 A1、B1，当点 A1恰好落在 AB 上时，弧 BB1与点 A1构成 的阴影部分的面积为 15如图，矩形 ABCD 中，点 P 为 AD 上一个动点，以 PB 为对称轴将APB 折叠得到 EPB，点 A 的对称点为点 E，射线 BE 交矩形 ABCD 的边于点 F，若 AB4，AD6，当 点 F 为矩形 ABCD 边的中点时，AP 的长为 三、解答题(共 8 个小题，满分 75 分） 16先化简，再求值：（ ） ，其中 x 是整数且3x1 17当前，商丘市正在围绕打响“游商丘古都城，读华夏文明史”文化旅游品牌，加快推进 商丘景点保护性修复与宣传工作，以此带动以文化为核心的全
6、域旅游跨越发展，打造华 夏历史文明商丘传承创新区随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已 成为人们的一种生活时尚， 某中学开展以 “我最喜欢的商丘风景区” 为主题的调查活动， 围绕“在森林公园、日月湖、汉梁公园和睢阳古城”四个风景区中，你最喜欢哪一个？ （必选且只选一个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调 查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问 题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有 3000 名学生，请你估计最喜欢日月湖风景区的学生有多少名 18如图，在 RtABC
7、中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 M，交 CB 延长线于点 N，连接 OM，OC1 （1）求证：AMMD； （2）填空： 若 DN ，则ABC 的面积为 ； 当四边形 COMD 为平行四边形时，C 的度数为 19 “马踏飞燕”作为商丘的地标性雕塑被拆分为两座雕塑，安放在紧邻高速公路出站口的 平原路和华商大道交叉口，不光临近古城景区，也靠近火神台，恰恰实现了商丘市的城 市文化宣传的目的“人们来到商丘，一下高速，就看到商丘的地标，就能够感受到商 丘的火文化” 某中学数学兴趣小组准备测量安放后的雕塑相关数据，如图，小明从 A 点测得“火球” 最高点
8、E 的仰角为 430，此处恰好看不到“马踏飞燕”雕塑的最高点 F，小明向雕塑 走 140m 到达点 B，此时测得点 E 的仰角为 45已知两雕塑的距离为 50m，求两座雕 塑 EC、FD 的高度（A、B、C、D 在同一直线上）（精确到 1m，参考值：sin430 0.07，cos4300.99，tan4300.08） 20如图，反比例函数 y （x0）的图象与直线 ymx 交于点 C，直线 l：y4 分别交两 函数图象于点 A（1，4）和点 B，过点 B 作 BDl 交反比例函数图象于点 D （1）求反比例函数的解析式； （2）当 BD2AB 时，求点 B 的坐标； （3）在（2）的条件下，直
9、接写出不等式 mx 的解集 21 商丘市梁园区紧紧围绕十九大报告提出的阶段性目标任务， 深化农业供给侧结构性改革， 调整种植结构，深入进行了四大结构调整，分别是：水池铺乡的辣椒产业、刘口乡的杂 果基地，孙福集乡的山药、莲藕产业，双八镇的草莓产业目前，这四种产业享誉省内 外 某外地客商慕名来商丘考查，他准备购入山药和草莓进行试销，经市场调查，若购进山 药和草莓各 2 箱共花费 170 元，购进山药 3 箱和草莓 4 箱共花费 300 元 （1）求购进山药和草莓的单价； （2）若该客商购进了山药和草莓共 1000 箱，其中山药销售单价为 60 元，草莓的销售单 价为 70 元设购进山药 x 箱，获
10、得总利润为 y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 由于草莓的保鲜期较短， 该客商购进草莓箱数不超过山药箱数的 ， 要使销售这批山药 和草莓的利润最大，请你帮该客商设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值 22如图 1，点 B 在直线 l 上，过点 B 构建等腰直角三角形 ABC，使BAC90，且 AB AC，过点 C 作 CD直线 l 于点 D，连接 AD （1）小亮在研究这个图形时发现，BACBDC90，点 A，D 应该在以 BC 为直 径的圆上，则ADB 的度数为 ，将射线 AD 顺时针旋转 90交直线 l 于点 E， 可求出线段 AD，BD，CD 的数量关系为 ； （2） 小亮将等
11、腰直角三角形 ABC 绕点 B 在平面内旋转， 当旋转到图 2 位置时， 线段 AD， BD，CD 的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若 CD 长为 1，当ABD 面积取得最大值时，请直接写 AD 的长 23如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线 l 交抛物线于点 B，交 y 轴于点 C（0，4）点 P 是抛物线上一个动点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 关于直线 OB 的对称点恰好落在直线 l 上，求点 P 的坐标； （3） M 是线段 OB 上的一个动点， 过点 M 作直线 MNx 轴， 交抛物线于点 N 当以 M、 N
12、、B 为顶点的三角形与OBC 相似时，直接写出点 N 的坐标 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的， 将正确选项的代号字母填入题后括号内 1下列各数中最小的是（ ） A B3 C D0 【分析】先估算出 的大小，然后比较 、3、 的大小，然后依据两个负数绝对值大 的反而小，比较即可 解：459， 2 3 3， 3 零大于负数， 3 0 最小的是 故选：A 22020 年 3 月 2 日的数据显示，我国口罩日产能从 2 月初的约 2000 万只，增长到了 1.1 亿只而在 2019 年，中国口罩原料之一的聚丙烯产能 2549 万吨，产量
13、为 2096.3 万吨， 约占全球 30%数据“2096.3 万”用科学记数法可表示为（ ） A20.963106 B2.0963107 C0.20963108 D2.0963108 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 解：将 2096.3 万用科学记数法表示为：209630002.0963107， 故选：B 3如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案 解：它的俯视图是： 故选：C 4以下问题，不适合采用全面调查方式的是（ ）
14、A调查全班同学对商丘“京雄商”高铁的了解程度 B“冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测 C为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计 D了解梁园区全体中小学生对“冠状病毒”的知晓程度 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调 查得到的调查结果比较近似解答即可 解：A、了解全班同学对商丘“京雄商”高铁的了解程度适合采用全面调查方式，故不符 合题意； B、冠状病毒”疫情期间，对所有疑似病例病人进行病毒检测适合采用全面调查方式，故 不符合题意； C、为准备开学，对全班同学进行每日温度测量统计适合采用全面调查方式，故不符合题 意； D、了解梁园区全体中
15、小学生对“冠状病毒”的知晓程度不适合采用全面调查方式，故符 合题意， 故选：D 5 如图， CD 为AOB 的角平分线， 射线 OE 经过点 O 且AOE90， 若DOE63， 则BOC 的度数是（ ） A63 B33 C28 D27 【分析】先根据平角的定义求出AOC 的度数，再利用角平分线定义即可求解 解：AOE90，DOE63， AOC180AOEDOE27， CD 为AOB 的角平分线， BOCAOC27 故选：D 6 的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可 解： 由得 x1，由得 x3， 故此不等式组
16、的解集为1x3， 在数轴上的表示如选项 B 所示 故选：B 7若方程 x22xk0 没有实数根，则 k 的值可以为（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】根据根的 0 判别式即可求出答案 解：由题意可知：44（k）4+4k0， k1， 故选：D 8如图是两个可以自由转动的转盘，其中一个转盘平均分为 4 份，另一个转盘平均分为 3 份，两个转盘分别标有数字；同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字 之和为 5 的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两数字之和为 5 的结果数，然 后根据概率公式求解 解：画树状图为： 共有 12 种等可能
17、的结果数，其中两数字之和为 5 的结果数为 3， 所以指针所指区域内的数字之和为 5 的概率 故选：C 9如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），BAO，ABO 的平分线相交于点 C，过点 C 作 CDx 轴交 AB 于点 D，则点 D 的坐标为（ ） A（ ，2） B（ ，1） C（ ，2） D（ ，1） 【分析】延长 DC 交 y 轴于 F，过 C 作 CGOA 于 G，CEAB 于 E，根据角平分线的性 质得到 FCCGCE，求得 DHCGCF，设 DH3x，AH4x，根据勾股定理得到 AD5x，根据平行线的性质得到DCACAG，求得DCADAC，得到 CDHG AD5x，列
18、方程即可得到结论 解：延长 DC 交 y 轴于 F，过 C 作 CGOA 于 G，CEAB 于 E， CDx 轴， DFOB， BAO，ABO 的平分线相交于点 C， FCCGCE， DHCGCF， A（8，0），B（0，6）， OA8，OB6， tanOAB ， 设 DH3x，AH4x， AD5x， CDOA， DCACAG， DACGAC， DCADAC， CDHGAD5x， 3x+5x+4x8， x ， DH2，OH ， D（ ，2）， 故选：A 10如图 1，在ABC 中，B90，C30，动点 P 从点 B 开始沿边 BA、AC 向点 C 以恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边
19、 BC 向点 C 以恒定的速度移动，两点同时 到达点 C，设BPQ 的面积为 y（cm2）运动时间为 x（s），y 与 x 之间关系如图 2 所 示，当点 P 恰好为 AC 的中点时，PQ 的长为（ ） A2 B4 C2 D4 【分析】点 P、Q 的速度比为 3： ，根据 x2，y6 ，确定 P、Q 运动的速度，即 可求解 解：设 ABa，C30，则 AC2a，BC a， 设 P、Q 同时到达的时间为 T， 则点 P 的速度为 ，点 Q 的速度为 ，故点 P、Q 的速度比为 3： ， 故设点 P、Q 的速度分别为：3v、 v， 由图 2 知，当 x2 时，y6 ，此时点 P 到达点 A 的位置
20、，即 AB23v6v， BQ2 v2 v， y ABBQ 6v2 v6 ，解得：v1， 故点 P、Q 的速度分别为：3， ，AB6v6a， 则 AC12，BC6 ， 如图当点 P 在 AC 的中点时，PC6， 此时点 P 运动的距离为 AB+AP12，需要的时间为 1234， 则 BQ x4 ，CQBCBQ6 4 2 ， 故点 P 作 PHBC 于点 H， PC6， 则 PHPCsinC6 3， 同理 CH3 ， 则 HQCHCQ3 2 ， PQ 2 ， 故选：C 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11 （ ） 2 12 【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案
21、 解：原式3912 故答案为：12 12 如图， 在ABC 中， ACB90， 分别以点 A 和点 B 为圆心， 以相同的长 （大于 AB） 为半径作弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E若 AC 3，AB5，则 DE 等于 【分析】根据勾股定理求出 BC，根据线段垂直平分线性质求出 AEBE，根据勾股定理 求出 AE，再根据勾股定理求出 DE 即可 解：在 RtACB 中，由勾股定理得：BC 4， 连接 AE， 从作法可知：DE 是 AB 的垂直平分线， 根据性质得出 AEBE， 在 RtACE 中，由勾股定理得：AC2+CE2AE2， 即 32
22、+（4AE）2AE2， 解得：AE ， 在 RtADE 中，AD AB ，由勾股定理得：DE 2+（ ） 2（ ）2， 解得：DE 故答案为： 13点 P1（2，yl），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数 yx22x+c 的图象上， 则 y1，y2，y3 的大小关系是 yly2y3 【分析】先根据二次项系数为负，得出函数图象开口向下；再求出其对称轴，根据横坐 标离对称轴的远近即可作出判断 解：二次函数 yx22x+c 的二次项系数 a1， 函数图象开口向下 又对称轴为 x1， yly2y3 点故答案为：yly2y3 14如图，RtABC 中，ACB90，ABC30，AC2，将ABC
23、 绕点 C 顺时针 旋转，点 A、B 的对应点分别为 A1、B1，当点 A1恰好落在 AB 上时，弧 BB1与点 A1构成 的阴影部分的面积为 2 【分析】解直角三角形求出 AB 和 BC，求出ACA160，可得等边CA1A，根据面积 差得阴影部分的面积 解：在 RtABC 中，ACB90，ABC30，AC2， AB2AC4， 由勾股定理得：BC 2 ，A60， 由旋转得：CAA1C， CA1A 是等边三角形， ACA160， A1CB30， B1CB60， 弧 BB1与点 A1构成的阴影部分的面积SABC 扇形 SACB 扇形 2 ， 故答案为：2 15如图，矩形 ABCD 中，点 P 为
24、AD 上一个动点，以 PB 为对称轴将APB 折叠得到 EPB，点 A 的对称点为点 E，射线 BE 交矩形 ABCD 的边于点 F，若 AB4，AD6，当 点 F 为矩形 ABCD 边的中点时，AP 的长为 或 【分析】分两种情形：如图 1 中，当点 F 是 AD 的中点时如图 2 中，当点 F 是 CD 的 中点时，延长 AD 交 BF 的延长线于 H分别求解即可 解：如图 1 中，当点 F 是 AD 的中点时， 四边形 ABCD 是矩形， A90，AB6，AF3， BF 5， 由翻折可知：ABBE4，设 PAPEx，则 PF3x，EF541， 在 RtPEF 中，PE2+EF2PF2，
25、x2+12（3x）2， x ， PA 如图 2 中，当点 F 是 CD 的中点时，延长 AD 交 BF 的延长线于 H C90，BC6，CFDF2， BF 2 ， DHBC， HFBC， DFHBFC，DFFC， DHFCBF（AAS）， DHBC6，FHBF2 ， ABBE4， EF2 4，EH2 4+2 4 4， 设 PAPEy，则 PD6y，PH6y+612y， 在 RtPEH 中，PE2+EH2PH2， y2+（4 4）2（12y） 2， y ， PA ， 综上所述，PA 的长为 或 故答案为 或 三、解答题(共 8 个小题，满分 75 分） 16先化简，再求值：（ ） ，其中 x 是
26、整数且3x1 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，根据3x1 求出 x 的值，代入 原式进行计算即可 解：原式 ， x 是整数且3x1，并且 x1，2 取 x0， 原式 1 17当前，商丘市正在围绕打响“游商丘古都城，读华夏文明史”文化旅游品牌，加快推进 商丘景点保护性修复与宣传工作，以此带动以文化为核心的全域旅游跨越发展，打造华 夏历史文明商丘传承创新区随着社会经济的发展和城市周边交通状况的改善，旅游已 成为人们的一种生活时尚， 某中学开展以 “我最喜欢的商丘风景区” 为主题的调查活动， 围绕“在森林公园、日月湖、汉梁公园和睢阳古城”四个风景区中，你最喜欢哪一个？ （必选且只选一
27、个）”的问题，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调 查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问 题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有 3000 名学生，请你估计最喜欢日月湖风景区的学生有多少名 【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计图求出总人数即可； （2）根据题意作出图形即可； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果 解：（1）1020%50（名）， 答：本次调查共抽取了 50 名学生； （2）501020128（名）， 补全条形统计图如图所示， （3）3000 1200（名）， 答：估计
28、最喜欢日月湖风景区的学生有 1200 名 18如图，在 RtABC 中，以 BC 为直径的O 交 AC 于点 D，过点 D 作O 的切线交 AB 于点 M，交 CB 延长线于点 N，连接 OM，OC1 （1）求证：AMMD； （2）填空： 若 DN ，则ABC 的面积为 ； 当四边形 COMD 为平行四边形时，C 的度数为 45 【分析】（1）连接 OD，根据切线的性质得到ODMABC90，根据全等三角形 的判定定理得到RtBOMRtDOM （HL） ， 求得BMDM， DOMBOM ， 根据圆周角定理得到BOMC，于是得到结论； （2） 由于 tanDON ， 求得DON60， 根据圆周角定
29、理得到C30， 求得 AB BC ，根据三角形的面积公式即可得到结论； 根据平行四边形的性质和圆周角定理即可得到结论 【解答】（1）证明：连接 OD， DN 为O 的切线， ODMABC90， 在 RtBOM 与 RtDOM 中， ， RtBOMRtDOM（HL）， BMDM，DOMBOM ， C ， BOMC， OMAC， BOOC， BMAM， AMDM； （2）解：ODOC1，DN ， tanDON ， DON60， C30， BC2OC2， AB BC ， ABC 的面积为 AB BC 2 ； 当四边形 COMD 为平行四边形时，C 的度数为 45， 理由：四边形 COMD 为平行四边
30、形， DNBC， DONNDO90， C DON45， 故答案为： ，45 19 “马踏飞燕”作为商丘的地标性雕塑被拆分为两座雕塑，安放在紧邻高速公路出站口的 平原路和华商大道交叉口，不光临近古城景区，也靠近火神台，恰恰实现了商丘市的城 市文化宣传的目的“人们来到商丘，一下高速，就看到商丘的地标，就能够感受到商 丘的火文化” 某中学数学兴趣小组准备测量安放后的雕塑相关数据，如图，小明从 A 点测得“火球” 最高点 E 的仰角为 430，此处恰好看不到“马踏飞燕”雕塑的最高点 F，小明向雕塑 走 140m 到达点 B，此时测得点 E 的仰角为 45已知两雕塑的距离为 50m，求两座雕 塑 EC、
31、FD 的高度（A、B、C、D 在同一直线上）（精确到 1m，参考值：sin430 0.07，cos4300.99，tan4300.08） 【分析】首先证明 ECCB，设 ECBCx，构建方程求出 x，再解直角三角形求出 DF 即可 解：在 RtCEB 中，ECB90，EBC45， CEBCBE45， CECB，设 CEEBxm，则 AC（x+50）m， tanA ， 0.08 ， 解得 x12， EC12m， 在 RtADF 中，tanA ， 0.08 ， DF12m， 答：两座雕塑 EC、FD 的高度度约为 12m 20如图，反比例函数 y （x0）的图象与直线 ymx 交于点 C，直线 l
32、：y4 分别交两 函数图象于点 A（1，4）和点 B，过点 B 作 BDl 交反比例函数图象于点 D （1）求反比例函数的解析式； （2）当 BD2AB 时，求点 B 的坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出不等式 mx 的解集 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题 （2）设 B（n，4），则 D（n， ），根据 BD2AB，构建方程即可解决问题 （3）求出直线 l 与反比例函数的图象的交点 C，利用图象法即可解决问题 解：（1）A（1，4）在 y 上， 4 ， k4， 反比例函数的解析式为 y （2）设 B（n，4），则 D（n， ）， BD2AB， 4 2（n1）， 整理得：n23n
33、+20， 解得 n1（舍弃）或 2， B（2，4） （3）B（2，4）， 42m， m2， 直线 l 的解析式为 y2x， 由 ，解得 或 （舍弃）， C（ ，2 ）， 观察图象可知：不等式 mx 的解集为 0x 21 商丘市梁园区紧紧围绕十九大报告提出的阶段性目标任务， 深化农业供给侧结构性改革， 调整种植结构，深入进行了四大结构调整，分别是：水池铺乡的辣椒产业、刘口乡的杂 果基地，孙福集乡的山药、莲藕产业，双八镇的草莓产业目前，这四种产业享誉省内 外 某外地客商慕名来商丘考查，他准备购入山药和草莓进行试销，经市场调查，若购进山 药和草莓各 2 箱共花费 170 元，购进山药 3 箱和草莓
34、4 箱共花费 300 元 （1）求购进山药和草莓的单价； （2）若该客商购进了山药和草莓共 1000 箱，其中山药销售单价为 60 元，草莓的销售单 价为 70 元设购进山药 x 箱，获得总利润为 y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 由于草莓的保鲜期较短， 该客商购进草莓箱数不超过山药箱数的 ， 要使销售这批山药 和草莓的利润最大，请你帮该客商设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值 【分析】 （1） 设购进山药的单价为 x 元， 购进草莓的单价为 y 元， 列出方程组求解即可； （2）把（1）得出的数据代入即可解答； 根据题意可以得到 x 的取值范围，然后根据一次函数的性质即可求得
35、w 的最大值和相 应的进货方案 解：（1）设购进每箱山药的单价为 x 元，购进每箱草莓的单价为 y 元， 根据题意得 ， 解得 ， 答：每箱山药的单价为 40 元，每箱草莓的单价为 45 元； （2）由题意可得， y（6040）x+（7045）（1000x）5x+25000； 由题意可得， ， 解得：x750， 又 y5x+25000，k50， y 随 x 的增大而减小， 当 x750 时，y 达到最大值，即最大利润 y5750+2500021250（元）， 此时 1000x1000750250（箱）， 答：购进山药 750 箱，草莓 250 箱时所获利润最大，利润最大为 21250 元 22
36、如图 1，点 B 在直线 l 上，过点 B 构建等腰直角三角形 ABC，使BAC90，且 AB AC，过点 C 作 CD直线 l 于点 D，连接 AD （1）小亮在研究这个图形时发现，BACBDC90，点 A，D 应该在以 BC 为直 径的圆上，则ADB 的度数为 45 ，将射线 AD 顺时针旋转 90交直线 l 于点 E， 可求出线段 AD，BD，CD 的数量关系为 CD+BD AD ； （2） 小亮将等腰直角三角形 ABC 绕点 B 在平面内旋转， 当旋转到图 2 位置时， 线段 AD， BD，CD 的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若 CD 长为 1，当ABD 面积取
37、得最大值时，请直接写 AD 的长 【分析】（1）由BAC90，且 ABAC，可得ACBABC45，由BAC BDC90，推出 A、B、C、D 四点共圆，所以ADBACB45；由题意知 EABDAC，所以 BECD，由 AEAD，EAD90，可知ADE 是等腰直角三角 形，推出 CD+DBEB+BDDE AD； （2） 如图 2， 将 AD 绕点 A 顺时针旋转 90交直线 l 于点 E 易证EABDAC （SAS） ， 则 BECD， 由 AEAD， EAD90， 所以ADE 是等腰直角三角形， 则 DE AD， 由 BDCDBDBEDE，推出 BDCD AD； （3）当点 D 在线段 AB
38、的垂直平分线上且在 AB 的左侧时，ABD 的面积最大 解：（1）如图，在图 1 中 BAC90，且 ABAC， ACBABC45， BACBDC90， A、B、C、D 四点共圆， ADBACB45； 由题意可知，EADBAC90， EABDAC， 又 AEAD，ABAC， EABDAC（SAS）， BECD， AEAD，EAD90， ADE 是等腰直角三角形， DE AD， CD+DBEB+BDDE， CD+DB AD； 故答案为 45，CD+DB AD； （2）线段 AD，BD，CD 的数量关系会变化，数量关系为 BDCD AD 理由如下： 如图 2，将 AD 绕点 A 顺时针旋转 90交
39、直线 l 于点 E 则DAECAB90， DACEAB， 又 ADAE，ACAB， EABDAC（SAS）， BECD， AEAD，EAD90， ADE 是等腰直角三角形， DE AD， BDCDBDBEDE， BDCD AD； （3）由（2）知，CDABEA， CDAAEB， DEA45， AEB18045135， CDAAEB135， CDA+ABC135+45180， A、B、C、D 四点共圆， 于是作 A、B、C、D 外接圆O，如图 3 当点 D 在线段 AB 的垂直平分线上且在 AB 的左侧时，ABD 的面积最大 作 DGAB，则 DG 平分ADB，DBDA，在 DA 上截取一点 H
40、，使得 CDDH1， ADBACB45， GDB22.5，DBG67.5， DBC67.54522.5， HCBDHCHBC4522.522.5， HCBHBC， HBCH ， ADBDDH+BH1 23如图，抛物线 yax2+bx+c 经过 O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线 l 交抛物线于点 B，交 y 轴于点 C（0，4）点 P 是抛物线上一个动点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 关于直线 OB 的对称点恰好落在直线 l 上，求点 P 的坐标； （3） M 是线段 OB 上的一个动点， 过点 M 作直线 MNx 轴， 交抛物线于点 N 当以 M、 N、B 为顶点的三角形与O
41、BC 相似时，直接写出点 N 的坐标 【分析】（1）依题意设抛物线解析式为 yax（x4），把 B（5，5）代入求得解析式； （2）先求出直线 BC 解析式和 OB 解析式，可求直线 l 关于直线 OB 对称的直线解析式， 联立方程组可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解 解：（1）设抛物线的解析式为：yax（x4），且过点 B（5，5） 55a a1， 抛物线解析式为：yx（x4）x24x； （2）点 B（5，5），点 C（0，4），O（0，0） 直线 BC 解析式为：y x4， 直线 OB 解析式为：yx， 直线 l 关于直线 OB 对称的直线解析式为 y x ， 联立方程组可得： 或 点 P（ ， ）； （3）如图， 点 B（5，5），点 C（0，4），O（0，0） OC4，BO5 ， 设点 M（m，m），则点 N（m，m24m）， MN5mm2，BM （5m）， MNy 轴， BMNBOC135 以 M、N、B 为顶点的三角形与OBC 相似， 或 ， 若 ，则 ， m15（舍去），m2 ， 点 N 的坐标为（ ， ）， 若 ，则 ， m15（舍去），m2 ， 点 N 坐标为（ ， ）， 综上所述：点 N 坐标为：（ ， ）或（ ， ）
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