1、2020 年高考（文科）数学二诊试卷（年高考（文科）数学二诊试卷（A 卷）卷） 一、选择题 1已知集合 A1，0，1，2，3，Bx|log2x1，则 AB（ ） A1，2 B1，0，1，2 C1，2，3 D1，0，1，2，3 2设复数 z 满足 z1i，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 3 观察式子： 1 ， 1 ， 1 ， ， 则可归纳出式子为 （ ） A1 B1 C1 D1 4已知 alog52，blog72，c0.5a2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Babc Ccba Dcab 5某教育机构随机某校 20 个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人
2、数，根据所得数据 的茎叶图，以组距为 5 将数据分组成0，5），5，10），10，15），15，20），20， 25），25，30），30，35），35，40时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎 叶图可能是（ ） A B C D 6我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨如图所示为一个刍童 的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为 2，则该刍 薨的表面积为（ ） A B40 C D 7已知 ，向量 在向量 上的投影为 1，则 与 的夹角为（ ） A B C D 8 已知函数 ， ， ， 将函数 f （x） 的图象向左平移 个 单位长度， 得到
3、函数 g （x） 的部分图象如图所示， 则 是 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9如图两个同心球，球心均为点 O，其中大球与小球的表面积之比为 3：1，线段 AB 与 CD 是夹在两个球体之间的内弦，其中 A、C 两点在小球上，B、D 两点在大球上，两内弦均 不穿过小球内部 当四面体 ABCD 的体积达到最大值时， 此时异面直线 AD 与 BC 的夹角 为 ，则 （ ） A B C D 102019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID19）疫情，并快速席卷我国其他地 区，传播速度很快，因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，
4、所以目前 没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最 大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺 炎患者、 无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等 “四类” 人员， 强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊 患者的密切接触者” ， 这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行 “核糖核酸” 检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性的概率 均为 p（0p1）且相互独立，该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的 概率为 f（p
5、），当 pp0时，f（p）最大，则 p0（ ） A1 B C D1 11已知 F 为双曲线 1（a0，b0）的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶 点， 过F， A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B， 若 （ 1） ， 则此 双曲线的离心率是（ ） A B C2 D 12已知函数 f（x）的导函数为 f（x），且对任意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+3）f （x）（e 是自然对数的底数），且 f（0）1，若关于 x 的不等式 f（x）m0 的解集 中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（ ） Ae2，0） B（e，0 Ce，0） D（e2，0 二、填空题微博橙子辅导（共
6、4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13等差数列an中，a2+a7+a1224，则 S13 14 已知圆 C 的圆心是抛物线 x24y 的焦点， 直线 4x3y20 与圆 C 相交于 A、 B 两点， 且|AB|6，则圆 C 的标准方程为 15 已知两矩形 ABCD 与 ADEF 所在的平面互相垂直， AB1， 若将DEF 沿直线 FD 翻折， 使得点 E 落在边 BC 上（即点 P），则当 AD 取最小值时，边 AF 的长是 ；此时 四面体 FADP 的外接球的半径是 16 设函数 f （x） x+alnx （aR） 的两个极值点分别为 x1， x2， 若 2 恒成立，则实数 a 的取
7、值范围是 三、解答题微博橙子辅导（共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a35，S749 （I）求数列an的通项公式； （II）设 ，Tn 为数列bn的前 n 项和，求证：Tn3 18如图，在四面体 ABCD 中，ABACDBDC，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，且 （1）若 EF平面 ABD，求实数 的值； （2）求证：平面 BCD平面 AED 19据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、商贸、公司和自主创业等六大行业.2020 届该学院有数学与应用数学
8、、计算机科学 与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人现采用 分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向 （I）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的 18 人中，含有“自主创业”就业意向的有 6 人，且就业意向至少有三个行业的学生有 7 人为方便统计，将至少有三个行业就业意 向的这 7 名学生分别记为 A，B，C，D，E，F，G，统计如下表： 学生 就业意向 A B C D E F G 公务员 教师 金融 商贸 公司 自主创业 其中“”表示有该行业就业意向，“”表示无该行业就业意向
9、（1）试估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数； （2）现从 A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访设 M 为事件“抽 取的 2 人中至少有一人有自主创业意向”，求事件 M 发生的概率 20已知函数 f（x）lnx ， ， （1）讨论 F（x）g（x）f（x）的单调性； （2）若不等式 h（x）f（x）对任意 x（0，+）恒成立，求 m 的取值范围 21在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（1，1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直 线 AP 与 BP 的斜率之积等于 （）求动点 P 的轨迹方程； （）设直线 AP 和 BP 分别与直线
10、x3 交于点 M，N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 微博橙子辅导做的第一个题目计分 22如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 Ox， 极坐标系中 A （ ， ） ， B （ ， ） ， C （ ， ） ， D （ ， ） ， 弧 ， ， ， 所在圆的圆心分别为（ ， ），（1，），（ ， ），（1，0），曲线 C1是弧 ， 曲线 C2是弧 ，曲线 C3是弧 ，曲线 C4是弧 （1）分别写出 C1
11、，C2，C3，C4的极坐标方程； （2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），点 P 的直角坐标为（2，2），若直 线 l 与曲线 C1有两个不同交点 M，N，求实数 的取值范围，并求出|PM|+|PN|的取值范 围 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）求 的最小值； （2）证明： 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的） 1已知集合 A1，0，1，2，3，Bx|log2x1，则 AB（ ） A1，2 B1，0，1，2 C1，2，3 D1，0，1，2， 3 【分析】Bx|log2x1x|0x2，可直接求
12、出 AB 解：Bx|log2x1x|0x2， A1，0，1，2，3， AB1，2 故选：A 【点评】 本题考查了解对数不等式和交集的运算， 熟练掌握对数的运算性质是解题关键， 属基础题 2设复数 z 满足 z1i，则 z 的共轭复数的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】由已知求出 ，则答案可求 解：由 z1i， 得 则 z 的共轭复数的虚部为 1 故选：B 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3 观察式子： 1 ， 1 ， 1 ， ， 则可归纳出式子为 （ ） A1 B1 C1 D1 【分析】根据题意，由每个不等式的左边的最后一项的通项公式，以及
13、右边式子的通项 公式，可得答案 解：根据题意，1 ，1 ，1 ， 第 n 个式子的左边应该是，1 ， 右边应该是： ，并且 n 满足不小于 2， 所以第 n 个式子为：1 ，n2， 故选：C 【点评】 本题考查了归纳推理， 培养学生分析问题的能力 归纳推理的一般步骤是： （1） 通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一 般性命题（猜想） 4已知 alog52，blog72，c0.5a2，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Abac Babc Ccba Dcab 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解：1log25log27， 1log52log72，
14、 又 0.5a20.512， 则 cab， 故选：A 【点评】本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础 题 5某教育机构随机某校 20 个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据 的茎叶图，以组距为 5 将数据分组成0，5），5，10），10，15），15，20），20， 25），25，30），30，35），35，40时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎 叶图可能是（ ） A B C D 【分析】根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论 解：由频率分布直方图可知：第一组的频数为 200.0151 个， 0，5）的频数为 200.015
15、1 个， 5，10）的频数为 200.0151 个， 10，15）频数为 200.0454 个， 15，20）频数为 200.0252 个， 20，25）频数为 200.0454 个， 25，30）频数为 200.0353 个， 30，35）频数为 200.0353 个， 35，40频数为 200.0252 个， 则对应的茎叶图为 A， 故选：A 【点评】本题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决 本题的关键，比较基础 6我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨如图所示为一个刍童 的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为 2 和 4，高为
16、2，则该刍 薨的表面积为（ ） A B40 C D 【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 解：三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为： ， 几何体的表面积为，2 16+12 故选：D 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键 7已知 ，向量 在向量 上的投影为 1，则 与 的夹角为（ ） A B C D 【分析】根据条件可得出 ， ，从而得出 ， ，这样根据向量 夹角的范围即可求出夹角 解： 在 上的投影为： ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 故选：A 【点评】考查投影的计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法 8
17、 已知函数 ， ， ， 将函数 f （x） 的图象向左平移 个 单位长度， 得到函数 g （x） 的部分图象如图所示， 则 是 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 由题意可知， g （x） Acos （ ） 由图象可知A， T， ， 把代入 （ ， 0） 后可得 ，进而可得即 g（x）cos（2x ），f（x）cos（2x ）cos（2x ），利 用三角函数知识分析充分性和必要性即可 解：由题意可知，g（x）Acos（ ）， 由图象知，A1， T （ ） ，解得 T，所以 2； 代入（ ，0）后可得：cos（ ）0， k ，kZ， 所以
18、 k ，kZ， 因为| ，所以 ， 即 g（x）cos（2x ）， f（x）cos（2x ）cos（2x ） 当 f（x） 时，cos（2x ） ； cos（2x ）2cos（x ） 21 ，解得 cos（x ） ， g（ ）cos（x ）cos（x ） ， 当 时， g（ ）cos2（ ） cosx cos（x ） ， 所以 cos（x ） ， 所以 f（x）cos（2x ）cos2（x ）cos2（x ）2cos 2（x ） 12（ ）21 故 是 的必要不充分条件 故选：B 【点评】 本题考查三角函数中充要条件的判断， 先求出解析式， 再进行充要条件的分析， 属于中档题 9如图两个同心球
19、，球心均为点 O，其中大球与小球的表面积之比为 3：1，线段 AB 与 CD 是夹在两个球体之间的内弦，其中 A、C 两点在小球上，B、D 两点在大球上，两内弦均 不穿过小球内部 当四面体 ABCD 的体积达到最大值时， 此时异面直线 AD 与 BC 的夹角 为 ，则 （ ） A B C D 【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为 ： ，内切球和外接球的表面 积之比为 1： 3， 符合题意中的小球和大球的比例 判断当四面体 ABCD 体积最大时， AB， CD 的位置关系，作出异面直线 AD，BC 所成的角 ，解直角三角形求得 解：设正方体的边长为 2，则其内切球半径为 1，外接球的
20、半径为 ， 内切球和外接球的表面积之比为 1：3，符合题意中的小球和大球的比例， 依题意 CD，AB 最长为 ，AC 最长为小球的直径 2 三角形的面积 ，若 a，b 为定值，则 时面积取得最大值 画出图象如下图所示，其中 A，C 分别是所在正方形的中心， O 是正方体内切球与外接球的球心，CDAD1，CDAD1，CB1AB，CB1AB ，故此时四面体 ABCD 的体积最大 CEAB，CEAB，四边形 ABCE 为平行四边形， BCAC，ADE 是异面直线 BC 和 AD 所成 角，ADE， ADAE，设 G 是 DE 的中点，则 AGDE， ， 故选：A 【点评】本题考查了几何体与球的外切和
21、内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能 力，属中档题 102019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID19）疫情，并快速席卷我国其他地 区，传播速度很快，因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前 没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最 大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺 炎患者、 无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等 “四类” 人员， 强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊 患者的密切接触者” ， 这种情况下医护人员要对
22、其家庭成员随机地逐一进行 “核糖核酸” 检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性的概率 均为 p（0p1）且相互独立，该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的 概率为 f（p），当 pp0时，f（p）最大，则 p0（ ） A1 B C D1 【分析】先求出概率，再求最大值，借助于不等式求解 解：设事件 A 为：检测了 5 个人确定为“感染高危户”； 设事件 B 为：检测了 6 个人确定为“感染高危户”； P（A）p（1p）4，P（B）p（1p）5， 即 f（p）p（1p）4+p（1p）5p（2p）（1p）4， 设 x1p0，则 g（x）f（p）（1x）（
23、1+x）x4（1x2）x4， g（x）（1x2）x4 当且仅当 22x2x2，即 时取等号 即 故选：A 【点评】本题考查概率，以及求函数最值，属于中档题 11已知 F 为双曲线 1（a0，b0）的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶 点， 过F， A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B， 若 （ 1） ， 则此 双曲线的离心率是（ ） A B C2 D 【分析】设 F（c，0），A（0，b），渐近线方程为 y x，求出 AF 的方程与 y x 联立可得 B（ ， ），利用 （ 1） ，可得 a，c 的关系，即可求出双曲 线的离心率 解：设 F（c，0），A（0，b），渐近线方程为
24、 y x，则 直线 AF 的方程为 1，与 y x 联立可得 B（ ， ）， （ 1） ， （c，b）（ 1）（ ， b）， c（ 1） ， e ， 故选：A 【点评】 本题考查双曲线的性质， 考查向量知识的运用， 考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题 12已知函数 f（x）的导函数为 f（x），且对任意的实数 x 都有 f（x）ex（2x+3）f （x）（e 是自然对数的底数），且 f（0）1，若关于 x 的不等式 f（x）m0 的解集 中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（ ） Ae2，0） B（e，0 Ce，0） D（e2，0 【分析】由题意可得，f（x）+f（x）ex（2x+3
25、），考虑构造 g（x）exf（x），对其 求导，结合已知可求 g（x），进而可求 f（x），结合导数分析其性质，即可求解 解：由题意可得，f（x）+f（x）ex（2x+3）， 令 g（x）exf（x），则 g（x）exf（x）+f（x）2x+3， 故 g（x）x2+3x+c， 又 g（0）f（0）1c， 所以 g（x）x2+3x+1，f（x） ， ， 当 x1 或 x2 时，f（x）0，函数单调递减，当2x1 时，f（x）0，函 数单调递增， 故当 x1 时，函数取得极大值 f（1） ，当 x2 时，函数取得极小值 f（2） e2， 又 f（1）e，f（0）1，f（3）e3且 x1 时，f（x
26、）0， 结合函数的图象，要使得 f（x）m0 的解集中恰有两个整数， 则 f（1）m0，即em0， 故实数 m 的取值范围是（e，0 故选：B 【点评】本题主要考查了利用导数求解不等式的参数范围问题，体现了转化思想及分类 讨论思想的应用，属于中档题 二、填空题微博橙子辅导（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13等差数列an中，a2+a7+a1224，则 S13 104 【分析】由题意和等差数列的性质可得 a7的值，由等差数列的求和公式和性质可得 S13 13a7，代入计算可得 解：等差数列an中 a2+a7+a1224， 由等差数列的性质可得 3a7a2+a7+a1224， 解得
27、a78， S13 13a7104， 故答案为：104 【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题 14 已知圆 C 的圆心是抛物线 x24y 的焦点， 直线 4x3y20 与圆 C 相交于 A、 B 两点， 且|AB|6，则圆 C 的标准方程为 x2+（y1）210 【分析】由题意可知，圆心 C（0，1），再利用点到直线距离公式求出圆心到直线 4x 3y20 的距离，再利用勾股定理即可求解 解：由题意可知，圆心 C（0，1）， 圆心 C（0，1）到直线 4x3y20 的距离 d ， 又直线 4x3y20 与圆 C 相交于 A、B 两点，且|AB|6， 圆 C 的半径 r ， 圆 C 的
28、标准方程为：x2+（y1）210， 故答案为：x2+（y1）210 【点评】本题主要考查了直线与圆相交的问题，是中档题 15 已知两矩形 ABCD 与 ADEF 所在的平面互相垂直， AB1， 若将DEF 沿直线 FD 翻折， 使得点 E 落在边 BC 上（即点 P），则当 AD 取最小值时，边 AF 的长是 ；此时四 面体 FADP 的外接球的半径是 【分析】 由已知中矩形 ABCD 与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直， 将DEF 沿 FD 翻折， 翻折后的点 E 恰与 BC 上的点 P 重合设 AB1，FAx（x1），ADy，我们利用勾 股定理分别求出 BP，PC，根据 BCBP+PC，
29、可以得到 x，y 的关系式，利用换元法结 合二次函数的性质，可得答案四面体 FADP 的外接球的球心为 DF 的中点，即可求 出四面体 FADP 的外接球的半径 解：设 FAx（x1），ADy， 矩形 ABCD 与矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，AB1，FAx（x1），ADy， FEFPADBCy，ABDC1，FADEDPx 在 RtDCP 中，PC 在 RtFAP 中，AP 在 RtABP 中，BP BCBP+PC y 整理得 y2 ，令 x 2 则 y2 ， 则当 t ，即 x 时，y 取最小值 2 四面体 FADP 的外接球的球心为 DF 的中点，DF ，四面体 FADP 的 外接球
30、的半径是 故答案为： ， 【点评】本题考查的知识点是空间两点之间的距离计算，由于本题是几何与代数知识的 综合应用，运算量比较大，而且得到的 x，y 的关系比较复杂，因此要用换元法，简单表 达式 16 设函数 f （x） x+alnx （aR） 的两个极值点分别为 x1， x2， 若 2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ae 【分析】由函数 f（x） x+alnx（aR）有两个极值点分别为 x1，x2，可知 f（x）不 单调，利用导数求得 a 的范围，运用韦达定理可得 ax1+x2x2 2，作差 f（x1） f （x2） ， 再由条件， 结合恒成立思想， 运用函数的单调性， 构造函数 F （x
31、） x lnx （x 1），通过求导，判断单调性可得 x2e，即可得到 a 的范围 解：函数 f（x） x+alnx（aR）有两个极值点分别为 x1，x2， f（x）的定义域为（0，+），f（x） 1 ， 令 g（x）x2ax+1，其判别式a24 当2a2 时，0，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，不合题意 当 a2 时，0，g（x）0 的两根都小于零，在（0，+）上，f（x）0，则 f （x）在（0，+）上单调递减，不合题意 当 a2 时，0，设 g（x）0 的两个根 x1，x2都大于零， 令 x1 ，x2 ，x1x21， 当 0xx1时，f（x）0，当 x1xx2时，f（x）0，
32、当 xx2时，f（x）0， 故 f（x）分别在（0，x1），（x2，+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增， a 的取值范围是（2，+） 则 ax1+x2x2 2， f （x1） f （x2） x1+alnx1 （ x2+alnx2） （x2x1） +a （lnx1lnx2） ， 1+a 2+a 若 2 恒成立，则2+a 2， ， 不妨设 x1x2，则 x1x2 （lnx1lnx2） 又 x1 ， x2 （2lnx2）， x2 lnx20（x21）恒成立 记 F（x） x lnx（x1），F（x） 1 ， 记 x1 ，x2 ， F（x）在（1，x2）上单调递增，在（x2，+）上单调递减，
33、且易知 0x11x2e又 F（1）0，F（e）0， 当 x（1，e）时，F（x）0；当 xe，+）时，F（x）0 故由式可得，x2e，代入方程 g（x2）x22ax2+10， 得 ax2 e （ax2 在 x2e，+）上递增） 又 a2，a 的取值范围是 ae 故答案为：ae 【点评】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的 思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算 能力，属于难题 三、解答题微博橙子辅导（共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17已知 Sn为等差数列an的前 n 项和，a35，S7
34、49 （I）求数列an的通项公式； （II）设 ，Tn 为数列bn的前 n 项和，求证：Tn3 【分析】（）直接利用递推关系式求出数列的通项公式 （）利用（）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出结果 解：（）设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， 则： ， 解得：a11，d2， 故： 证明：（）由于：an2n1， 所以 ， 则： 得： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数 列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18如图，在四面体 ABCD 中，ABACDBDC，点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上，且 （1）
35、若 EF平面 ABD，求实数 的值； （2）求证：平面 BCD平面 AED 【分析】（1）因为 EF平面 ABD，所以 EF平面 ABC，EFAB，由此能够求出实数 的值 （2）因为 ABACDBDC，点 E 是 BC 的中点，所以 BCAE，BCDE，由此能够 证明平面 BCD平面 AED 解：（1）因为 EF平面 ABD，易得 EF平面 ABC， 平面 ABC平面 ABDAB， 所以 EFAB， 又点 E 是 BC 的中点，点 F 在线段 AC 上， 所以点 F 为 AC 的中点， 由 得 ； （2）因为 ABACDBDC，点 E 是 BC 的中点， 所以 BCAE，BCDE， 又 AED
36、EE，AE、DE平面 AED， 所以 BC平面 AED， 而 BC平面 BCD， 所以平面 BCD平面 AED 【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证 能力 19据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、商贸、公司和自主创业等六大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学 与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人现采用 分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向 （I）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （）国家鼓励大学生自主创业
37、，在抽取的 18 人中，含有“自主创业”就业意向的有 6 人，且就业意向至少有三个行业的学生有 7 人为方便统计，将至少有三个行业就业意 向的这 7 名学生分别记为 A，B，C，D，E，F，G，统计如下表： 学生 就业意向 A B C D E F G 公务员 教师 金融 商贸 公司 自主创业 其中“”表示有该行业就业意向，“”表示无该行业就业意向 （1）试估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数； （2）现从 A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访设 M 为事件“抽 取的 2 人中至少有一人有自主创业意向”，求事件 M 发生的概率 【分析】（）利用分层
38、抽样直接求解 （）（1）利用样本数据能估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数 （2）A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中有 4 人有自主创业意向，从 A，B，C，D，E，F， G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访基本事件总数 n 21，事件 M 包含的基本个数 m 18，由此能求出事件 M 发生的概率 解：（）某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、商贸、公司和自 主创业等六大行业 2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业， 毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人 现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取
39、 18 人调查学生的就业意向 应从该学院数学与应用数学毕业生中抽取：18 3 人， 计算机科学与技术毕业生中抽取：18 6 人， 金融工程毕业生中抽取：18 9 人 （）（1）估计该学院 2020 届毕业生中有自主创业意向的学生人数为： （70+140+210）140 人 （2）A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中有 4 人有自主创业意向， 从 A，B，C，D，E，F，G 这 7 人中随机抽取 2 人接受采访 基本事件总数 n 21， 设 M 为事件“抽取的 2 人中至少有一人有自主创业意向”， 事件 M 包含的基本个数 m 18， 事件 M 发生的概率 P（M） 【点评】本题考查概率的求
40、法，考查分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查 运算求解能力，是基础题 20已知函数 f（x）lnx ， ， （1）讨论 F（x）g（x）f（x）的单调性； （2）若不等式 h（x）f（x）对任意 x（0，+）恒成立，求 m 的取值范围 【分析】（1） 表示出F （x） 并求导， 当a0时， F （x） 0， 当a0时， ， 时， F （x） 0， ， 时，F（x）0，由此即可得出单调性情况； （2）原问题等价于 在 x（0，+）上恒成立，构造函数 ， 利用导数求出函数 G（x）的最大值即可 解：（1） ， ， 当 a0 时，F（x）0，此时 F（x）在（0，+）上单调递减； 当a0时，
41、 可知当 ， 时， F （x） 0， F （x） 单调递减， 当 ， 时， F （x） 0，F（x）单调递增； 综上，当 a0 时，F（x）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，F（x）在 ， 上单 调递减，在 ， 上单调递增； （2）依题意，mxex1lnx+x 在 x（0，+）上恒成立，即 在 x（0，+ ）上恒成立， 设 ， 则 ， 令 p （x） lnxx， 则 ， p（x）在（0，+）上单调递减，且 ， ， 故存在 ， ，使得 p（x0）lnx0x00，即 lnx0+x00，即 ， 当 x（0，x0）时，p（x）0，G（x）0，当 x（x0，+）时，p（x）0，G（x） 0， ， 实
42、数 m 的取值范围为 m1 【点评】 本题考查利用导数研究函数的单调性， 极值及最值， 考查不等式的恒成立问题， 考查分离变量法以及分类讨论思想的运用，考查运算能力，属于中档题 21在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（1，1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直 线 AP 与 BP 的斜率之积等于 （）求动点 P 的轨迹方程； （）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x3 交于点 M，N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】（）设点 P 的坐标为（x，y），先分别求出直线 AP 与 BP 的斜率，再利用直 线
43、 AP 与 BP 的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点 P 的轨迹方程； （）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得： 根据角相等消去三角函数得比例式， 最后得到关于点 P 的纵坐标的方程， 解之即得 解：（）因为点 B 与 A（1，1）关于原点 O 对称，所以点 B 得坐标为（1，1） 设点 P 的坐标为（x，y） 化简得 x2+3y24（x1） 故动点 P 轨迹方程为 x2+3y24（x1） （）解：若存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点 P 的坐标为（x0，y0） 则 因为 sinAPBsinMPN， 所以 所以 即（3x0）2|x021|，解得 因为 x02+3y024，所以 故存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为（ ， ） 【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 微博橙子辅导做的第一个题目计分 22如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 Ox， 极坐标系中 A （ ， ） ，
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