1、2020 年高考（理科）数学（4 月份）模拟试卷 一、选择题. 1已知集合 Mx|2x2+3x+50，N1，0，1，2，3，则集合 MN 中元素的个数 为（ ） A1 B2 C3 D4 2在复平面内，复数 z 对应的点（ ） A在第二象限 B在虚轴上 C在直线 x+y0 上 D在直线 xy0 上 3已知焦点在 y 轴上的双曲线 C1的焦距为 10 ，且与双曲线 C2： 1 的渐近线相 同，则 C1的实轴长为（ ） A3 B8 C6 D8 42019 年 10 月 31 日，工信部宣布全国 5G 商用正式启动，三大运营商公布 5G 套餐，中 国正式跨入 5G 时代！ 某通信行业咨询机构对包括我国
2、华为在内的三大 5G 设备商进行了 全面评估和比较，其结果如雷达图所示，则下列说法不正确的是（ ） A华为的研发投入超过 A 设备商与 R 设备商 B三家设备商的产品组合指标得分相同 C在参与评估的各项指标中，A 设备商均优于 R 设备商 D除产品组合外，华为其他 4 项指标均超过 A 设备商与 R 设备商 5 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 S4log23， S8log212， 则 a9+a10+a11+a12 （ ） A4log23 B4log32 C4 D4log23 6古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将 一线段 MN 分为两线段
3、MG，GN，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与另一段 GN 的 比例中项，即满足 0.618，后人把这个数称为“黄金分割”数，把 点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点如图，在正方形 ABCD 中，E，F 是线段 AB 的两 个 “黄金分割” 点 在矩形 ABCD 内任取一点 M， 则该点落在DEF 内的概率为 （ ） A B C D 2 7执行如图所示程序框图，若输入的 k8，则输出的 S 的值为（ ） A B C D 8如图，圆 O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 为劣弧 AC 的中点，则 （ ） A B C D 92019 年国际泳联游泳锦标赛在韩国光州举行，最终中国队
4、收获 16 枚金牌，位列金牌榜 第振奋人心！在这届国际游泳锦标赛的 200 米男子自由泳决赛中，中国某游泳名将的成 绩是 1 分 44.93 秒，若该名将游泳时每划的距离略低于自身的身高（整个过程视为匀速， 且每划的距离视为近似相等），则他在这次决赛中前 20 秒的总划数可能为（ ） A15 B21 C27 D33 10关于函数 f（x）|sinx|+|cosx|有下述几个结论： f （x） 为偶函数； 函数 f （x） 的最小正周期为 ； f （x） 的值域为1， ； x0R， f（x0） 1 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 11 已知椭圆 C： 1（a4） 与圆 O：x
5、 2+y225 恰有两个公共点，若点 P 在 C 上， 且位于第一或第四象限，点 F 为 C 的右焦点，则 的取值范围为（ ） A（10， ） B（16， C（16，10） D ，16） 12设函数 f（x）的定义域为 I，若存在a，bI，使得 f（x）在区间a，b上的值域为ka， kb（kN*），则称 f（x）为“k 倍函数”已知函数 f（x）log3（3xm）为“3 倍函 数”，则实数 m 的取值范围为（ ） A（0， ） B（ ，0） C（ ，+） D（， ） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13在曲线 f（x） 的所有切线中，切线斜率的最小值为 14已知等差数列an的前
6、n 项和为 Sn，若 a29，S540，则 Sn的最大值为 152020 年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开发区等 城区修建了方舱医院，专门收治新型冠状病毒肺炎感染的轻症患者现将 6 名志愿者分 配到汉阳、江岸、硚口这 3 个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志 愿者，则不同的分配方法有 种（用数字作答） 16如图所示，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BCD60，现将ABD 沿对角线 BD 折 起，得到三棱锥 PBCD则当二面角 PBDC 的大小为 时，三棱锥 PBCD 的外 接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1
7、7在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c且满足 （1）求证：A，C，B 成等差数列； （2）若ABC 的面积为 ，其外接圆半径 R ，求 a+b 的值 18已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ADCD，ABCD，且 PAPCPD3， CDAD2AB4，O 为 AC 的中点 （1）求证：OPBC； （2）求直线 DP 与平面 PBC 所成角的正弦值 19在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上的射影为 N，动点 P 满足 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲
8、线 C 于点 A，B 和 D，E，记 OAB，ODE 的面积分别为 S1，S2，问： 是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 20已知函数 f（x）mx2（m+2）x+lnx，其中 m 为正实数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若存在 x ，1，使得不等式 f（x）2 成立，求 m 的取值范围 21如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人 日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务A 市教育主管部门 为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了 100 人， 并将这 100 人在本月的网络
9、外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外 卖消费金额不超过 3000 元）： 消费金额（单位：百元） 0，5 （5，10 （10，15 （15，20 （20，25 （25，30 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额 Z（单位：元）近似地服从 正态分布 N （， 2） ， 其中 近似为样本平均数 x （每组数据取区间的中点值， 660） 现 从该市任取20名大学生， 记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X， 求 X 的数学期望； （2）A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生
10、每 人发放价值 100 元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动规则是：在某张方 格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、第 60 格共 61 个方格棋子开始在第 0 格， 然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是 ，其中 P 01），若掷出正 面，将棋子向前移动一格（从 k 到 k+1），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从 k 到 k+2）重复多次，若这枚棋子最终停在第 59 格，则认为“闯关成功”，并赠送 500 元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第 60 格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励， 活动结束 设棋子移到第 n 格的概率为 Pn，求证：当 1n59 时，
11、PnPn1是等比数列； 若某大学生参与这档 “闯关游戏” ， 试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小， 并说明理由 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6827， P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐 标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点为 极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 24cos+5 （1）求证：直线 l 与圆 C 必有两个公共点； （2）已知点 M 的直角坐标
12、为（1，0），直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，若|MA|MB| 1，求 cos 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|+2|x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集 M； （2）记不等式 f（x）|2x+1|x23x+t 的解集为 N，若 MN，求实数 t 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知集合 Mx|2x2+3x+50，N1，0，1，2，3，则集合 MN 中元素的个数 为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】可以求出集合 M，然后进行交集的运算即可求出 MN
13、，然后即可得出 MN 中的元素个数 解： ，N1，0，1，2，3， MN0，1，2，其中的元素个数为 3 故选：C 2在复平面内，复数 z 对应的点（ ） A在第二象限 B在虚轴上 C在直线 x+y0 上 D在直线 xy0 上 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 所对应的点的坐标得答案 解： ， 故其对应的点为（1，1），在直线 xy0 上 故选：D 3已知焦点在 y 轴上的双曲线 C1的焦距为 10 ，且与双曲线 C2： 1 的渐近线相 同，则 C1的实轴长为（ ） A3 B8 C6 D8 【分析】依题意可设双曲线 C1的方程为 ，则 ，解得即可求出 解：依题意可设双曲线
14、C1的方程为 ， 则 ，即 2， 所以 C1的实轴长为 故选：B 42019 年 10 月 31 日，工信部宣布全国 5G 商用正式启动，三大运营商公布 5G 套餐，中 国正式跨入 5G 时代！ 某通信行业咨询机构对包括我国华为在内的三大 5G 设备商进行了 全面评估和比较，其结果如雷达图所示，则下列说法不正确的是（ ） A华为的研发投入超过 A 设备商与 R 设备商 B三家设备商的产品组合指标得分相同 C在参与评估的各项指标中，A 设备商均优于 R 设备商 D除产品组合外，华为其他 4 项指标均超过 A 设备商与 R 设备商 【分析】根据图表数据进行判断 解：雷达图中是越外面其指标值越优，由
15、图可知 ABD 均正确，而对于 C 选项，A 设备商 与 R 设备商互有优劣 故选：C 5 已知等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 S4log23， S8log212， 则 a9+a10+a11+a12 （ ） A4log23 B4log32 C4 D4log23 【分析】 根据 Sn是等比数列an的前 n 项和， 则 Sk， S2kSk， S3kS2k也成等比数列 利 用等比数列的性质代入数值计算即可 解：在等比数列an中， 当公比为 1 时，与题意不符； 当公比不为 1 时，由等比数列的性质可知 S4，S8S4，S12S8也成等比数列， 所以 ， 即 ， 所以 故选：B 6古希腊数学
16、家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将 一线段 MN 分为两线段 MG，GN，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与另一段 GN 的 比例中项，即满足 0.618，后人把这个数称为“黄金分割”数，把 点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点如图，在正方形 ABCD 中，E，F 是线段 AB 的两 个 “黄金分割” 点 在矩形 ABCD 内任取一点 M， 则该点落在DEF 内的概率为 （ ） A B C D 2 【分析】分别求出对应的面积，进而求得结论 解：设正方形 ABCD 的边长为 1，则 ， ， 所求的概率为 正方形 故选：C 7执行如图所示程序框图，若输入
17、的 k8，则输出的 S 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 解：根据程序框图的循环语句可知 故选：B 8如图，圆 O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 为劣弧 AC 的中点，则 （ ） A B C D 【分析】 根据等边三角形外心的性质得出 ， 再根据三点共线的基本性质， 求解 即可 解：由题，圆 O 是等边三角形 ABC 的外接圆， ， 点 D 为劣弧 AC 的中点， ， ，又因为 和 有公共点 ，所以 B，O，D 三点共线 圆 O 中， 故选：A
18、 92019 年国际泳联游泳锦标赛在韩国光州举行，最终中国队收获 16 枚金牌，位列金牌榜 第振奋人心！在这届国际游泳锦标赛的 200 米男子自由泳决赛中，中国某游泳名将的成 绩是 1 分 44.93 秒，若该名将游泳时每划的距离略低于自身的身高（整个过程视为匀速， 且每划的距离视为近似相等），则他在这次决赛中前 20 秒的总划数可能为（ ） A15 B21 C27 D33 【分析】这名游泳名将每秒钟划水的距离约为 1.9若 20 秒的总划数为 21， 可得平均每秒钟的划数，进而得出每划的距离与自身的身高比，即可结论 解：这名游泳名将每秒钟划水的距离约为 ， 若 20 秒的总划数为 21，则平
19、均每秒钟的划数为 1.05， 则 ，符合每划的距离略低于自身的身高这条件，而其他选项不符合条件 故选：B 10关于函数 f（x）|sinx|+|cosx|有下述几个结论： f （x） 为偶函数； 函数 f （x） 的最小正周期为 ； f （x） 的值域为1， ； x0R， f（x0） 1 其中正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用及利用整体思想的应 用求出函数的值域 解：对于，f（x）f（x），f（x）是偶函数，故正确； 对于， 因为 ， 故 是 f（x）的一个周期，即存在更小的正实数 T，使 f（x+T）f（x），正确； 对
20、于，当 ， 时， ， ，且当 ， 时， ， ， ，由函数的周期性可知，f（x）的值域为 ， ，故 正确； 对于，由知不存在 ， ，所以错误 故选：C 11 已知椭圆 C： 1（a4） 与圆 O：x 2+y225 恰有两个公共点，若点 P 在 C 上， 且位于第一或第四象限，点 F 为 C 的右焦点，则 的取值范围为（ ） A（10， ） B（16， C（16，10） D ，16） 【分析】 根据条件可求得椭圆方程为 ， 表示出 （m ） 2 ， 根据 m 取值可得其范围 解：由题设可得圆 O 过 C 的长轴的两个端点，即 a5，故 C 的方程为 设 P（m，n）（0m5），则 ，则 所 以 ，
21、 ， 因为 0m5，所以当 时， 取得最大值为 ， 当 m 趋近于 0 时， 的值趋近于16， 所以 的取值范围为 ， 故选：B 12设函数 f（x）的定义域为 I，若存在a，bI，使得 f（x）在区间a，b上的值域为ka， kb（kN*），则称 f（x）为“k 倍函数”已知函数 f（x）log3（3xm）为“3 倍函 数”，则实数 m 的取值范围为（ ） A（0， ） B（ ，0） C（ ，+） D（， ） 【分析】由函数 为“3 倍函数”，且函数 单调 递增，得 ，可得 有两个不等的实数根，设 t3 x，则 问题转化为关于 t 的方程 t3tm 有两个不等的正实数根记 g（t）t3t（t0
22、）， 利用导数研究函数的单调性即可得出 解：由函数 为“3 倍函数”，且函数 单调递增， 得 ， 有两个不等的实数根，设 t3x，则问题转化为关于 t 的方程 t3tm 有两个不等的正 实数根 记 g（t）t3t（t0），则 ， 令 g（t）0，得 ， 当 t0 时， ， 故可画出函数 yg（t）与 ym 的草图，如下图所示： 由图可知， ， ， ， 时，有两个交点，即 3 3x3x+m0 有两 个不等的实数根 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13在曲线 f（x） 的所有切线中，切线斜率的最小值为 4 【分析】先对函数求导数，然后对导数利用基本不等式求最小值即可 解：
23、，（当且仅当 时取等号） 故答案为：4 14已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a29，S540，则 Sn的最大值为 55 【分析】直接由题意列式，求得该等差数列的通项公式，根据 n11 时，an0，得前 11 项或前 10 项的和最大，利用前 N 项和公式计算即可 解：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d， ，解得 ana1+（n1）d11n 令 an11n0，解得 n11，又 nN*， （Sn）maxS11S10 55 152020 年在抗击新型冠状病毒期间，武汉市在汉阳、江岸、硚口、洪山、武汉开发区等 城区修建了方舱医院，专门收治新型冠状病毒肺炎感染的轻症患者现将 6 名志愿
24、者分 配到汉阳、江岸、硚口这 3 个城区去负责药品的分发工作，若每个城区，至少有一名志 愿者，则不同的分配方法有 540 种（用数字作答） 【分析】根据题意，按分配人数的不同分 3 种情况讨论，求出每种情况的方案数目，由 加法原理计算可得答案 解：根据题意，分 3 种情况讨论： 若按照 1：1：4 进行分配有 种方案； 若按照 1：2：3 进行分配有 种方案； 若按照 2：2：2 进行分配有 种方案 由分类加法原理，所以共有 90+360+90540 种分配方案 故答案为：540 16如图所示，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BCD60，现将ABD 沿对角线 BD 折 起，得到三棱锥 PB
25、CD则当二面角 PBDC 的大小为 时，三棱锥 PBCD 的外 接球的表面积为 【分析】 由题意画出图形， 找出BCD 外接圆的圆心及三棱锥 PBCD 的外接球心为 O， 通过求解三角形求出三棱锥 PBCD 的外接球的半径，则答案可求 解：易知PBD，BCD 为边长为 2 的等边三角形取BDC 的外心为 O1， 设 O 为球心，连接 OO1，则 OO1平面 BDC，取 BD 的中点 M，连接 PM，O1M，过 O 作 OGPM 于点 G 易知PMC 为二面角 PBDC 的平面角，即 ，于是得 连接 OP，OC，设 OPR连接 MC，则 O1，M，C 三点共线，易知 ， 所以 ， 所以 在 Rt
26、PGO 中，GP2+GO2OP2，即 ， 所以 球 故答案为： 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c且满足 （1）求证：A，C，B 成等差数列； （2）若ABC 的面积为 ，其外接圆半径 R ，求 a+b 的值 【分析】 （1） 由已知结合正弦定理进行化简可求 C， 然后结合三角形的内角和定理可证； （2） 由已知结合三角形的面积公式可求 ab， 然后结合余弦定理及正弦定理进行化简可求 解：（1）由已知得 a（2sinBsinCcosB）cosA（2ccosB+b）， 即 acosB+bcosA2asinBsinC2c
27、cosAcosB 由正弦定理，得 sinAcosB+sinBcosA2sinC（cosAcosBsinAsinB）， 即 sin（A+B）2sinCcos（A+B），sinC2sinCcosC 又 C（0，），sinC0， ， ， ， 即 A，C，B 成等差数列 （2） ， ab4 由正弦定理得 c2RsinC2， 由余弦定理得： ， 4（a+b）23ab，即 16（a+b）2，故 a+b4 18已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ADCD，ABCD，且 PAPCPD3， CDAD2AB4，O 为 AC 的中点 （1）求证：OPBC； （2）求直线 DP 与平面 PBC 所成角的正弦值
28、【分析】 （1） 通过计算推出 POAC， 连接 OD， 证明 OPOD， 得到 OP平面 ABCD 然 后证明 OPBC （2）以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴，y 轴，过点 D 且与 OP 平行的直线 为 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 求出平面 BCP 的一个法向量，设直线 DP 与平面 PBC 所成角为 ，利用空间向量的数量 积求解即可 解：（1）因为 ADCD， 所以 ， 又 PAPC3，O 为 AC 的中点， 所以 ， ， 连接 OD，在 RtACD 中，O 为 AC 的中点， 所以 因为 OD2+OP2PD2， 所以 OPOD， 又 ODACO， 所以
29、 OP平面 ABCD 又 BC平面 ABCD， 所以 OPBC （2）如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴，y 轴，过点 D 且与 OP 平行 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 BCP 的一个法向量为 ， ， ， 由 ，可得 ， 令 x1，可得 ， ， 设直线 DP 与平面 PBC 所成角为 ， 则 ， 即直线 DP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 19在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上的射影为 N，动点 P 满足 （1
30、）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲线 C 于点 A，B 和 D，E，记 OAB，ODE 的面积分别为 S1，S2，问： 是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 【分析】（1） 设点 P （x， y） ， M （x0 ， y 0） ， 代入抛物线方程， 结合 ， 得 ， 然后 求解曲线 C 的方程 （2）由（1）知曲线 C 为抛物线，点 F（1，0）为抛物线 C 的焦点，当直线 AB 的斜率 为 0 或不存在时，均不适合题意 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB：xmy+1（m0），与 y24x
31、联立消 x 得，y24my40设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，表示 三角形的面积，推出 化简求解即可 解：（1）设点 P（x，y），M（x0，y0）， 则 ，且 N（x0，0）， 由 ，得 即 ，代入 ， 得 9y236x，即 y24x 所以曲线 C 的方程为 y24x （2）由（1）知曲线 C 为抛物线，点 F（1，0）为抛物线 C 的焦点， 当直线 AB 的斜率为 0 或不存在时，均不适合题意 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时， 设直线 AB：xmy+1（m0），与 y24x 联立消 x 得，y24my40 由0 得 m一、选择题，且 m0， 设 A
32、（x1，y1），B（x2，y2）， 则 y1+y24m，y1y24 所以 原点到直线 AB 的距离 ， 所以 同理可求得 所以 所以 因此 为定值 4 20已知函数 f（x）mx2（m+2）x+lnx，其中 m 为正实数 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若存在 x ，1，使得不等式 f（x）2 成立，求 m 的取值范围 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解； （2）由已知可得， ， 时，f（x）min2，结合导数及 m 的范围讨论函数的单调 性，结合单调性可求函数的最小值，可求 解：（1）f（x）的定义域为（0，+） 令 f（x）0，得 ， 当 时，即 m2
33、 时， 令 f（x）0，得 ，或 ； 令 f（x）0，得 ， 故 f（x）在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单 调递增 当 时，即 m2 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）在区间（0，+）上单调递增； 当 时，即 0m2 时，令 f（x）0，得 ，或 ； 令 f（x）0，得 ， 故 f（x）在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单 调递增 综上：当 m2 时，f（x）在区间 ， 上单调递增，在区间 ， 上单调递减，在区 间 ， 上单调递增； 当 m2 时，f（x）在区间（0，+）上单调递增； 当 0m2 时，f（x）在区间 ， 上单调递增，
34、在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单调递增 （2）若存在 ， ，使得不等式 f（x）2 成立， 则 ， 时，f（x）min2 由（1）可知，当 ，即 m2 时，函数 f（x）在区间 ， 上单调递增， ，解得 m4（1ln2）， m2； 当 ，即 1m2 时， 由（1）知 f（x）在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单调递增， 令 ， ， ， 则 ， 函数 h（t）在区间 ， 上单调递增h（t）h（1）2 恒成立，1m2 当 ，即 0m1 时， 函数 f（x）在区间 ， 上单调递减，f（x）minf（1）2，f（x）min2 不成立 综上所述，m 的取值范围是（1，+） 21如今我们的互联
35、网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人 日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务A 市教育主管部门 为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了 100 人， 并将这 100 人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外 卖消费金额不超过 3000 元）： 消费金额（单位：百元） 0，5 （5，10 （10，15 （15，20 （20，25 （25，30 频数 20 35 25 10 5 5 （1）由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额 Z（单位：元）近似地服从 正态分布 N （， 2） ， 其中
36、 近似为样本平均数 x （每组数据取区间的中点值， 660） 现 从该市任取20名大学生， 记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X， 求 X 的数学期望； （2）A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每 人发放价值 100 元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动规则是：在某张方 格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、第 60 格共 61 个方格棋子开始在第 0 格， 然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是 ，其中 P 01），若掷出正 面，将棋子向前移动一格（从 k 到 k+1），若掷出反面，则将棋子向前移动两
37、格（从 k 到 k+2）重复多次，若这枚棋子最终停在第 59 格，则认为“闯关成功”，并赠送 500 元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第 60 格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励， 活动结束 设棋子移到第 n 格的概率为 Pn，求证：当 1n59 时，PnPn1是等比数列； 若某大学生参与这档 “闯关游戏” ， 试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小， 并说明理由 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6827， P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973 【分析】（1）先算出一名学生的消费金额落在 390 元至 2370 元之间的概率，然后根据 20
38、 名大学生消费金额恰在 390 元至 2370 元之间的人数 X 服从二项分布，套公式求期望 即可 （2）关键是分析出从每次掷出硬币，只有两种闯关模式即向前一格或两格，据此结合 概率即可得到 Pn2，Pn1，Pn之间的递推关系，即可证明等比数列 累加法求和方法，分别算出 P59，P60比较即可 解：（1） ， 因为 Z 服从正态分布 N（1050，6602）， 所以 所以 XB（20，0.8186）， 所以 X 的数学期望为 E（X）200.818616.372 （2）棋子开始在第 0 格为必然事件，P01 第一次掷硬币出现正面，棋子移到第 1 格，其概率为 ，即 棋子移到第 n（2n59）格
39、的情况是下列两种，而且也只有两种： （）棋子先到第 n2 格，又掷出反面，其概率为 ； （）棋子先到第 n1 格，又掷出正面，其概率为 ， 所以 ， 即 ，且 ， 所以当 1n59 时，数列PnPn1是首项 ，公比为 的等比数列 由知 ， ， ， ， ， 以上各式相加，得 ， 所以 ， ， ， ， 所以闯关成功的概率为 ， 闯关失败的概率为 ， 所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐 标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）以坐标原点为 极点，以 x 轴的
40、正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 24cos+5 （1）求证：直线 l 与圆 C 必有两个公共点； （2）已知点 M 的直角坐标为（1，0），直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，若|MA|MB| 1，求 cos 的值 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 解：（1）圆 C 的极坐标方程为 24cos+5 由 2x2+y2，cosx，得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x50 法一：将直线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入 x2+y24x50， 得 t
41、22tcos80，（*）4cos2+320， 方程（*）有两个不等的实数解 直线 l 与圆 C 必有两个公共点 法二：直线 l 过定点（1，0），（1，0）在圆 C 内， 直线 l 与圆 C 必有两个公共点 （2）记 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 由（1）可知 t1+t22cos，t1t280，|MA|MB|t1+t2|2|cos|1， 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x+1|+2|x1| （1）求不等式 f（x）3 的解集 M； （2）记不等式 f（x）|2x+1|x23x+t 的解集为 N，若 MN，求实数 t 的取值范围 【分析】（1）利用绝对值求出 f（x）的最小值，然后由取等号的条件确定 f（x）3 的 解集 M； （2）先求出 f（x）|2x1|的表达式，然后由 MN，知 xM 时，22xx23x+t，进 一步将问题转化为恒成立问题即可 解：（1）f（x）|2x+1|+|2x2|2x+1+22x|3， 当且仅当（2x+1）（2x2）0，即 时取等号， f（x）3 的解集为 （2）根据题意，当 xM 时，f（x）|2x+1|2|x1|22x， 若 MN，则必有 xM 时，22xx23x+t， 即 x2x+t20，在 ， 时恒成立， ，解得 ， 即实数 t 的取值范围为 ，
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