1、2020 年高考数学一模试卷年高考数学一模试卷 一、选择题. 1已知 i 是虚数单位，复数 ，则 z 的共轭复数 的虚部为（ ） Ai B1 Ci D1 2已知集合 AxR|log2x2，集合 BxR|x1|2，则 AB（ ） A（0，3） B（1，3） C（0，4） D（，3） 3 已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 （单位： 元） 服从正态分布 N （2000， 1002），则该市某居民手机支付的消费额在（1900，2200）内的概率为（ ） 附：随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6826，P（ 2+2）0.9544，P（3+3）0.9974 A0.97
2、59 B0.84 C0.8185 D0.4772 4设 a20.2，bsin2，clog20.2，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab 5已知函数 f（x） ， ， （e2.718为自然对数的底数），若 f（x）的零点 为 ，极值点为 ，则 +（ ） A1 B0 C1 D2 6已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等，点 E，F 分别在线段 PA，PC 上，且 EF底 面 ABCD，则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 7在同一直角坐标系下，已知双曲线 C： ， 的离心率为 ，双曲 线 C 的一个焦点到一条
3、渐近线的距离为 2， 函数 的图象向右平移 单位后 得到曲线 D，点 A，B 分别在双曲线 C 的下支和曲线 D 上，则线段 AB 长度的最小值为 （ ） A2 B C D1 8某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新 题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的 概率均为 ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率 （ ） A B C D 二 多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的
4、得 0 分 9 已知向量 ， ， ， ， ， ， 设 ， 的夹角为 ， 则 （ ） A| | | B C D135 10已知函数 ，xR，则（ ） A2f（x）2 Bf（x） 在区间（0，）上只有 1 个零点 Cf（x） 的最小正周期为 Dx 为 f（x）图象的一条对称轴 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，数列 的前 n 项和为 ， ，则下列选项正确的为（ ） A数列an+1是等差数列 B数列an+1是等比数列 C数列an的通项公式为 DTn1 12 已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上下底面均为正方形， 其中 AB2 ， A 1B1 ， 2，则下述
5、正确的是（ ） A该四棱合的高为 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱合外接球的表面积为 16 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13若x（0，+），4x+x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 14已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）为奇函数，f（0）1，则 f（2） 15已知 aN，二项式 展开式中含有 x2项的系数不大于 240，记 a 的取值集合为 A，则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 个 162020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，3）是圆 Q 的圆心，圆 Q
6、过坐标原点 O；点 L、S 均在 x 轴上，圆 L 与圆 S 的半 径都等于 2，圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O （1）若直线 l 与圆 L、圆 S 均相切，则 l 截圆 Q 所得弦长为 ； （2）若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于 d，则 d 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 设等差数列an的前 n 项和为 Sn， 等比数列bn的前 n 项和为 Tn 已知 a1b12， S26， S312， ，nN * （1）求an，bn的通项公式； （2）是否存在正整数 k，使得 Sk6k 且 ？若存在，求出
7、k 的值；若不存在，请说 明理由 18在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，2b2（b2+c2a2）（1tanA） （1）求角 C； （2）若 ，D 为 BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度 条件：ABC 的面积 S4 且 BA； 条件： 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 19在如图所示的四棱锥 EABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BCE 为边长为 2 的等边三角形，ABAE，点 F，O 分别为 AB，BE 的中点，OF 是异面直线 AB 和 OC 的 公垂线 （1）证明：平面 ABE平面 BCE； （2）记 OCDE 的重心为
8、G，求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值 20某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广 大消费者喜爱 （1）已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元） 9 12 17 21 27 求成交额 y （百亿元） 与时间变量 x （记 2015 年为 x1， 2016 年为 x2， 依此类推） 的线性回归方程，并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）； （2）在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上
9、 分别参加 A、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 A、B 两店订 单“秒杀”成功的概率分别为 p、q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 X （i）求 X 的分布列及 E（X）； （ii）已知每个订单由 k（k2，kN*）件商品 W 构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的 商品 W 总数量为 Y， 假设 ， ， 求 E （Y） 取最大值时正整数 k 的值 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ；a 21已知 O 为坐标原点，椭圆 C： 的左，右焦点分别为点 F1，F2，F2 又恰为抛物线 D：y24x 的焦点，以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个
10、公共点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 与 D 相交于 A，B 两点，记点 A，B 到直线 x1 的距离分别为 d1，d2， |AB|d1+d2直线 l 与 C 相交于 E，F 两点，记OAB，OEF 的面积分别为 S1，S2 （i）证明：EFF1的周长为定值； （ii）求 的最大值 22已知函数 f（x）axlnxx2+2 的图象在点（1，1）处的切线方程为 y1 （1）当 x（0，2）时，证明：0f（x）2； （2）设函数 g（x）xf（x），当 x（0，1）时，证明：0g（x）1； （3）若数列an满足： ， ， 证明： 参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小
11、题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1已知 i 是虚数单位，复数 ，则 z 的共轭复数 的虚部为（ ） Ai B1 Ci D1 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出 解： 2i，则 z 的共轭复数 2+i 的虚部为 1 故选：B 2已知集合 AxR|log2x2，集合 BxR|x1|2，则 AB（ ） A（0，3） B（1，3） C（0，4） D（，3） 【分析】先求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 解：集合 AxR|log2x2x|0x4， 集合 BxR|x1|2x|1x3， ABx|0x3（0，3） 故选：A 3 已知某
12、市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 （单位： 元） 服从正态分布 N （2000， 1002），则该市某居民手机支付的消费额在（1900，2200）内的概率为（ ） 附：随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6826，P（ 2+2）0.9544，P（3+3）0.9974 A0.9759 B0.84 C0.8185 D0.4772 【分析】由已知可得 2000，100，然后结合与 2原则求解 解： 服从正态分布 N（2000，1002）， 2000，100， 则 P（19002200）P（+） P（2+2）P（ +） 0.6826 （0.95440.6826）0.818
13、5 故选：C 4设 a20.2，bsin2，clog20.2，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab 【分析】把它们和 0，1 比较，可得出结果 解：a20.21，0bsin21，clog20.20， 则 abc， 故选：A 5已知函数 f（x） ， ， （e2.718为自然对数的底数），若 f（x）的零点 为 ，极值点为 ，则 +（ ） A1 B0 C1 D2 【分析】令 f（x）0 可求得其零点，即 的值，再利用导数可求得其极值点，即 的 值，从而可得答案 解：f（x） ， ， ， 当 x0 时，f（x）0，即 3x90，解得 x2； 当 x0 时
14、，f（x）xex0 恒成立， f（x）的零点为 2 又当 x0 时，f（x）3x9 为增函数，故在0，+）上无极值点； 当 x0 时，f（x）xex，f（x）（1+x）ex， 当 x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0， x1 时，f（x）取到极小值，即 f（x）的极值点 1， +211 故选：C 6已知四棱锥 PABCD 的所有棱长均相等，点 E，F 分别在线段 PA，PC 上，且 EF底 面 ABCD，则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】连接 AC，BD，设 ACBDO，由线面平行的性质定理推得 EFAC，运用线 面垂直的判定定
15、理可得 AC平面 PBD， 再由线面垂直的性质定理和平行线的性质， 即可 得到所求角 解：连接 AC，BD，设 ACBDO， 则 EF平面 PAC，平面 PAC平面 ABCDAC， 由 EF底面 ABCD，可得 EFAC， 由四边形 ABCD 为菱形，可得 ACBD， 由 O 为 AC 的中点，PAPC，可得 POAC， 又 BDOPO，可得 AC平面 PBD，则 ACPB， 又 EFAC，可得 EFPB， 即异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 90 故选：D 7在同一直角坐标系下，已知双曲线 C： ， 的离心率为 ，双曲 线 C 的一个焦点到一条渐近线的距离为 2， 函数 的图象向右平
16、移 单位后 得到曲线 D，点 A，B 分别在双曲线 C 的下支和曲线 D 上，则线段 AB 长度的最小值为 （ ） A2 B C D1 【分析】显然双曲线是等轴双曲线，结合焦点到渐近线的距离求出系数 a，b再画出曲 线 D 的图象和双曲线的图象，观察图象可得解 解：因为离心率为 ，所以该双曲线是等轴双曲线，可设 C 方程为 所以 c ，故焦点为（ ， ），渐近线 yx， 取（0， ）到 xy0 的距离为 2，得 ，解得 ab2 所以双曲线方程为 函数 的图象向右平移 单位后得到曲线 D 的方程为： 同一坐标系做出曲线 C、D 的图象： 由图可知，当 B 点为 ycos2x 与 y 轴的交点（0
17、，1），A 点为双曲线的下顶点（0， 2）时，|AB|最小为 1 故选：D 8某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新 题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答已知某位参赛者答对每道题的 概率均为 ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率 （ ） A B C D 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次概率计算公式能求出该参赛者答 完三道题后至少答对两道题的概率 解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创 新题型”三类题型， 每类题型均指定一道题让参赛者回答某位参赛者
18、答对每道题的概率均为 ，且各次答对 与否相互独立， 则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率： P（ ） 3 故选：A 二 多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 在每小题给出的四个选项中,有多项符 合题目要求 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9 已知向量 ， ， ， ， ， ， 设 ， 的夹角为 ， 则 （ ） A| | | B C D135 【分析】根据题意，求出 、 的坐标，据此分析选项，综合即可得答案 解：根据题意， （1，1）， （3，1），则 （1，1）， （2，0）， 依次分析选项： 对于 A，| | ，| |2，则| | |
19、不成立，A 错误； 对于 B， （1，1）， （1，1），则 0，即 ，B 正确； 对于 C， （2，0）， （1，1）， 不成立，C 错误； 对于D， （1， 1） ， （2， 0） ， 则 2， | | ， | |2， 则cos ， 则 135，D 正确； 故选：BD 10已知函数 ，xR，则（ ） A2f（x）2 Bf（x） 在区间（0，）上只有 1 个零点 Cf（x） 的最小正周期为 Dx 为 f（x）图象的一条对称轴 【分析】利用二倍角公式和三角函数的性质对每一个选项进行判断即可 解：已知函数 sin2xcos2x2sin（2x ）， xR， 则 A、2f（x）2 正确， B、当 2
20、x k，kZ，即 x ，kZ，f（x） 在区间（0，）上只有 2 个零点， 则 f（x） 在区间（0，）上只有 1 个零点错误， C、f（x） 的最小正周期为 ，正确 D、 当 x 时， 函数 sin2xcos2x2sin （2x ） 2，xR，所以 x 为为 f（x）图象的一条对称轴，正确 故选：ACD 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1Sn+2an+1，数列 的前 n 项和为 ， ，则下列选项正确的为（ ） A数列an+1是等差数列 B数列an+1是等比数列 C数列an的通项公式为 DTn1 【分析】由数列的递推式可得 an+1Sn+1Sn2an+1，两边加 1 后，
21、运用等比数列的定义 和通项公式可得 an， ，由数列的裂项相 消求和可得 Tn 解：由 Sn+1Sn+2an+1 即为 an+1Sn+1Sn2an+1， 可化为 an+1+12（an+1），由 S1a11，可得数列an+1是首项为 2，公比为 2 的等比 数列， 则 an+12n，即 an2n1， 又 ，可得 T n 1 1 1， 故 A 错误，B，C，D 正确 故选：BCD 12 已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上下底面均为正方形， 其中 AB2 ， A 1B1 ， 2，则下述正确的是（ ） A该四棱合的高为 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱合外接球的表面积为 16
22、 【分析】根据棱台的性质，补全为四棱锥，根据题中所给的性质，进行判断 解： 由棱台性质，画出切割前的四棱锥， 由于 AB2 ，A 1B1 ，可知SA1B1 与SAB 相似比为 1：2； 则 SA2AA14，AO2，则 SO2 ，则 OO1 ，该四棱合的高为 ，A 对； 因为 SASCAC4，则 AA1与 CC1夹角为 60，不垂直，B 错； 该四棱台的表面积为 SS上底+S下底+S侧8+4+4 12+6 ，C 错； 由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在 OO1上， 在平面 B1BOO1上中，由于 OO1 ，B1O11，则 OB12OB，即点 O 到点 B 与点 B1的距离相等，则 rOB2
23、，该四棱合外接球的表面积为 16，D 对， 故选：AD 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13若x（0，+），4x+x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （，4 【分析】直接根据基本不等式求解最值即可求得结论 解：因为x（0，+），4x+x14x 2 4a 恒成立； a4； 故答案为：（，4 14已知函数 f（x）的定义域为 R，f（x+1）为奇函数，f（0）1，则 f（2） 1 【分析】根据题意，分析可得函数 f（x）的图象关于点（1，0）对称，据此可得 f（2） f（0），即可得答案 解：根据题意，函数 f（x+1）为奇函数，则函数 f（x）的图象关于点（1
24、，0）对称， 则有 f（x）f（2x）， 又由 f（0）1，则 f（2）f（0）1； 故答案为：1 15已知 aN，二项式 展开式中含有 x2项的系数不大于 240，记 a 的取值集合为 A，则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 18 个 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，根据题意求得 r 的值，可得 A，再利用排列组合的知识求出结果 解：二项式 展开式的通项公式为 Tr+1 （a+1）r x62r， 令 62r2，求得 r2，可得展开式中含有 x2项的系数为 （a+1）215（a+1）2 再根据含有 x2项的系数不大于 240，可得 15（a+1）224
25、0，求得41a41 再根据 aN，可得 a0，1，2，3，即 A0，1，2，3 ， 则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共 33218， 故答案为：18 162020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，3）是圆 Q 的圆心，圆 Q 过坐标原点 O；点 L、S 均在 x 轴上，圆 L 与圆 S 的半 径都等于 2，圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O （1）若直线 l 与圆 L、圆 S 均相切，则 l 截圆 Q 所得弦长为 3 ； （2）若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于 d，则 d 【分析】（1）设出共
26、切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程求解即可； （2） 设出方程， 分别表示出圆心到直线的距离 d1 ， d2 ， d3 ， 结合弦长公式求得 k，m 即可 解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（4，0），（4，0）， 设公切线方程为 ykx+m（k0）且 k 存在，则 ，解得 k ，m0， 故公切线方程为 y x，则 Q 到直线 l 的距离 d ， 故 l 截圆 Q 的弦长2 3； （2）设方程为 ykx+m（k0）且 k 存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： d1 ，d2 ，d3 ， 则 d24（4d12）4（4d22）4（9d32）， 即有（ ）2（ ）2，4（ ）29
27、（ ） 2， 解得 m0，代入得 k2 ， 则 d24（4 ） ，即 d ， 故答案为：3； 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 设等差数列an的前 n 项和为 Sn， 等比数列bn的前 n 项和为 Tn 已知 a1b12， S26， S312， ，nN * （1）求an，bn的通项公式； （2）是否存在正整数 k，使得 Sk6k 且 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说 明理由 【分析】（1）设等差数列an的公差为 d，在等差数列an中，由已知求解公差 d，进一 步求得首项，可得等差数列的通项公式；由 a1b12 求得 b1，结合已知求
28、得 b2，可得等 比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知， ，由 Sk6k 解得 k 范围，再由 ，解得 k 范围，即可判断出结论 解：（1）设等差数列an的公差为 d，在等差数列an中， S26，S312，a3S3S26， 又S2a1+a2a32d+a3d123d6，d2 从而 a1a32d2，则 an2+2（n1）2n； 由 a1b12，得 b1T11 ，设数列bn的公比为 q， q ，则 ； （2）由（1）知， ， Skk（k+1）6k，整理得 k25k0，解得 0k5 又 ，即 ，解得 k3 存在正整数 k4，使得 Sk6k 且 18在ABC 中，a，b，c 分别为
29、内角 A，B，C 的对边，2b2（b2+c2a2）（1tanA） （1）求角 C； （2）若 ，D 为 BC 中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度 条件：ABC 的面积 S4 且 BA； 条件： 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】（1）2b2（b2+c2a2）（1tanA）利用余弦定理可得；2b22bccosA （1 tanA）化为 bc（cosAsinA），再利用正弦定理、和差公式即可得出 （2）选择条件，cosB ，可得 sinB 利用核查公司可得 sinAsin（B+C）， 由正弦定理可得：a 在ABD 中，由余弦定理可得 AD 解：（1）2b2（b2+
30、c2a2）（1tanA）2b22bccosA （1tanA）bc（cosA sinA）， 由正弦定理可得：sinBsinC（cosAsinA），sin（A+C）sinCcosAsinCsinA， sinAcosCsinCsinA0，tanC1，解得 C （2）选择条件，cosB ，sinB sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC ，由正弦定理可得：a 2 在ABD 中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22AB BDcosB， 解得 AD 19在如图所示的四棱锥 EABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BCE 为边长为 2 的等边三角形，ABAE，点 F，O 分别为
31、 AB，BE 的中点，OF 是异面直线 AB 和 OC 的 公垂线 （1）证明：平面 ABE平面 BCE； （2）记 OCDE 的重心为 G，求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值 【分析】（1）O 为 BE 的中点，利用等边三角形的性质可得 OCBE，根据 OF 是异面 直线 AB 与 OC 的公垂线，可得 OCOF可得 OC平面 ABE进而得出：平面 ABE 平面 BCE （2）根据 F，O 为中点，可得 OFAE，又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线，可得 OFAB， AEAB 可得： OA平面 BCE 建立如图所示的空间直角坐标系 设平面 ABCD 的一个法向量为 （
32、x，y，z），可得 0，由 C，E，D 的坐标可得 CED 的重心 G 设直线 AG 与平面 ABCD 所成角为 ， 则 sin|cos ， | 【解答】（1）证明：O 为 BE 的中点，等边BCE 中，OCBE， 又OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线，OCOF 又 OFBEO，OF，BE平面 ABE， OC平面 ABE OC平面 BCE，平面 ABE平面 BCE； （2）解：F，O 为中点，OFAE， 又 OF 是异面直线 AB 与 OC 的公垂线，OFAB，AEAB ABE 是等腰直角三角形 连接 AO，ABAE ，OA1 OABE，OA平面 ABE，平面 ABE平面 BCE；平面
33、 ABE平面 BCEBE OA平面 BCE建立如图所示的空间直角坐标系A（0，0，1），B（1，0，0）， C（0， ，0），E（1，0，0）， 四边形 ABCD 为平行四边形，设 D（a，b，c）， ，（1， ，0）（a，b，c1），D（1， ，1） 设平面 ABCD 的一个法向量为 （x，y，z）， （1，0，1）， （1， ，0） 0， x+z0，x y0，取 （ ，1， ） 由 C，E，D 的坐标可得CED 的重心 G（ ， ， ）， （ ， ， ）， 设直线AG与平面ABCD所成角为， 则sin|cos ， | 20某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节，当天有多
34、项优惠活动，深受广 大消费者喜爱 （1）已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元） 9 12 17 21 27 求成交额 y （百亿元） 与时间变量 x （记 2015 年为 x1， 2016 年为 x2， 依此类推） 的线性回归方程，并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）； （2）在 2020 年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上 分别参加 A、B 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 A、B 两店订 单“秒杀”成功的概率分别为 p、q
35、，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 X （i）求 X 的分布列及 E（X）； （ii）已知每个订单由 k（k2，k一、选择题*）件商品 W 构成，记该同学的爸爸和妈 妈抢购到的商品 W 总数量为 Y，假设 ， ，求 E（Y）取最大值时正 整数 k 的值 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ；a 【分析】 （1）计算 、 ，求出系数 和 a，写出线性回归方程，利用方程计算 x6 时 的 值即可； （2）（i）由题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数 学期望值； （ii）根据题意求出 E（Y）的解析式，利用换元法和求导法计算 E（Y）取最大值
36、时正整 数 k 的值 解：（1）由题意，计算 （1+2+3+4+5）3， （9+12+17+21+27）17.2， xiyi19+212+317+421+527303； 1 2+22+32+42+5255， 所以 4.5； a 17.24.533.7， 所以 y 与 x 的线性回归方程是 4.5x+3.7， 当 x6 时， 4.56+3.730.7， 所以预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额为 30.7 百亿元； （2）（i）由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2； 计算 P（X0）（1p）（1q）， P（X1）（1p）q+（1q）p， P（X2）pq； 所以 X 的
37、分布列为： X 0 1 2 P （1p）（1q） （1p）q+（1q）p pq 计算数学期望值为 E（X） 0 （1p） （1q） +1（1p）q+ （1q） p+2pqp+q； （ii） 因为 YkX， 所以 E （Y） kE （X） k （p+q） k （ ） 2sin ； 令 t （0， ，设 f（t）2sintt，则 E（Y）f（t）； 因为 f（t）2cost2（cost ），且 t（0， ； 所以当 t （0， ）时，f（t）0，f（t）单调递增； 当 t （ ， ）时，f（t）0，f（t）单调递减； 所以当 t ，即 k3 时，f（t）f（ ） ； 所以 E（Y）取最大值时正整数
38、 k 的值为 3 21已知 O 为坐标原点，椭圆 C： 的左，右焦点分别为点 F1，F2，F2 又恰为抛物线 D：y24x 的焦点，以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l 与 D 相交于 A，B 两点，记点 A，B 到直线 x1 的距离分别为 d1，d2， |AB|d1+d2直线 l 与 C 相交于 E，F 两点，记OAB，OEF 的面积分别为 S1，S2 （i）证明：EFF1的周长为定值； （ii）求 的最大值 【分析】（1）由已知求得 F2（1，0），可得 c1，又以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有 两个公共点，知 bc，从而
39、求得 a 与 b 的值，则答案可求； （2）（i） 由题意， x1为抛物线D的准线， 由抛物线的定义知， |AB|d1+d2|AF2|+|BF2|， 结合|AB|AF2|+|BF2|，可知等号当且仅当 A，B，F2三点共线时成立可得直线 l 过定点 F2，根据椭圆定义即可证明|EF|+|EF1|+|FF1|为定值； （ii） 若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x1， 求出|AB|与|EF|可得 ； 若直线 l 的斜率存在，可设直线方程为 yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3， y3），F（x4，y4），方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长 公式
40、求得|AB|，|EF|，可得 （0， ），由此可 知， 的最大值为 【解答】（1）解：F2为抛物线 D：y24x 的焦点的焦点，故 F2（1，0）， c1，又以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 仅有两个公共点，知 bc， a ，b1 椭圆 C 的标准方程为 ； （2）（i）证明：由题意，x1 为抛物线 D 的准线， 由抛物线的定义知，|AB|d1+d2|AF2|+|BF2|， |AB|AF2|+|BF2|，等号当且仅当 A，B，F2三点共线时成立 直线 l 过定点 F2，根据椭圆定义得： |EF|+|EF1|+|FF1|EF2|+|EF1| ； （ii）解：若直线 l 的斜率不存在，则直线 l
41、的方程为 x1， |AB|4，|EF| ， ； 若直线 l 的斜率存在，可设直线方程为 yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 ，得 k 2x2（2k2+4）x+k20 ， 设 E（x3，y3），F（x4，y4）， 联立 ，得（1+2k2）x24k2x+2k220 则 ， |EF| 则 （0， ）， 综上可知， 的最大值为 22已知函数 f（x）axlnxx2+2 的图象在点（1，1）处的切线方程为 y1 （1）当 x（0，2）时，证明：0f（x）2； （2）设函数 g（x）xf（x），当 x（0，1）时，证明：0g（x）1； （3）若数列an满足： ， ， 证明： 【分析】
42、（1）由已知结合导数的几何意义可求 a，然后结合导数可求函数的单调性，进 而可求 f（x）的范围； （2）先对 g（x）求导，结合导数及（1）的结论可求函数 g（x）的范围，即可证； （3）结合（1）（2）的结论，结合对数的运算性质可证 【解答】证：（1）f（x）a（1+lnx）2x，f（1）a20， 故 a2，f（x）2xlnxx2+2，f（x）2（lnx+1x）， 令 h（x）2（lnx+1x），则 ， 当 x（0，1）时，h（x）0，函数单调递增，当 x（1，2）时，h（x）0，函数 单调递减， 所以 h（x）h（1）0，即 f（x）0， 所以 f（x）在（0，2）上单调递减， 所以 f
43、（x）f（2）4ln220， 又因为 h（x）lnx+1x0，所以 lnxx1， 所以 f（x）2xlnxx2+22x（x1）x2x22x+2（x1）2+12， 故 x（0，2）时，0f（x）2； （2）因为 g（x）f（x）+xf（x）4xlnx+2x+23x22（2xlnxx2+2）+（x2+2x 2）2f（x）+（x2+2x2）， 由（1）可知 f（x）在（0，1）上单调递减，所以 f（x）f（1）1， 又因为 x（0，1）时，x2+2x2（2，1）， 所以 g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递增，g（x）g（1）1， 由（1）可知 f（x）0，x（0，1）， 所以 g（x）xf（x）0， 综上，0g（x）1， （3）由（1）（2）可知，若 x（0，1），1f（1）f（x）f（2），若 x（1，2）， 0f（2）f（x）f（1）1， 0a11， 所以 a2f（a1）（1，2），a3f（a2）（0，1）， a2k1（0，1），a2k（1，2）， 当 n2k 时，a1 a2an
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