1、达州市普通高中达州市普通高中 2020 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试数学试题数学试题（文科文科） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要 求的求的.
2、1.已知集合24Axx，1Bx x，则AB （ ） A.1,2 B.2,4 C.4, D.2,4 2.复数 2 1 i i （ ） A. 13 22 i B. 13 22 i C. 13 22 i D. 13 22 i 3.命题“ 0 0x， 2 00 10xx ”的否定是（ ） A.0x ， 2 10xx B.0x ， 2 10xx C.0x ， 2 10xx D.0x ， 2 10xx 4.函数 2 1 lnf xxx x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5.在甲乙丙丁四位志愿者中随机选两人，去社区给困难户送生活必需品，恰好选到丙和丁的概率是（ ） A. 1 3 B. 1 4
3、C. 1 5 D. 1 6 6.在公差不为零的等差数列 n a中， 1 1a ， 5 a是 2 a， 14 a的等比中项，则 7 a （ ） A.12 B.13 C.14 D.15 7.已知双曲线的两条渐近线的方程是20xy和20xy，则双曲线离心率是（ ） A.6 B.2 C.6或 30 5 D.3或 6 2 8.在ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设ABa，ACb，则AP （ ） A. 11 33 ab B. 22 33 ab C. 33 44 ab D. 11 66 ab 9.已知 2 2log a a， 1 2 1 2 b b ，n1sicc，则实数a，b，
4、c的大小关系是（ ） A.bac B.abc C.cba D.acb 10.如图，四面体各个面都是边长为 1 的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是 上底面圆心，圆柱的侧面积是（ ） A. 2 3 B. 3 2 4 C. 2 2 3 D. 2 2 11.已知方程 2 2 3sinsin3200 2 x x 在区间0,内只有一个实根，则的取值范围 （ ） A. 1 7 , 3 3 B. 7 13 , 66 C. 4 10 , 33 D. 1 13 , 66 12.已知函数 1,0 1 ,0 xx f x f xx ， 3 g xaxf x.若函数 g x恰有两个非负零点，则
5、实数a的 取值范围是（ ） A. 4 1, 27 B. 114 , 27 827 C. 114 ,1, 27 827 11 ,1, 27 8 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分. 13.设, x y满足约束条件 20 0 360 xy xy xy ，则zxy的最小值是 . 14.函数 1 1 2 1 22 x x f x ，若1.2ft，则 f t . 15.等比数列 n a的前n项和为 n S，若 1 3n n Sm ，则实数m的值是 . 16.过点2,0Q的直线与抛物线 2 :2C yx的一个交点是A，与y轴交于D点，且2DADQ，
6、P为抛 物线C上一动点，则PA PD的最小值是 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生每个试题考生都都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据考生根据要求作答要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.ABC的内角, ,A B C对边分别为, ,a b c，2coscos0acBbC. （1）求B； （2）若2,cB的角平分线1BD ，求ABC的面积 ABC S. 18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行
7、防疫知识培训，所有职工选择网络在 线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了 140 人的培训成绩， 统计发现样本中 40 个成绩来自线 下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图 线下培训茎叶图 在线培训直方图 （1）写出线下培训茎叶图中成绩的中位数，估算在线培训直方图的中位数（保留一位小数） ； （2）得分 90 分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式 有关？ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0.050 0.010
8、0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 19.如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，2PAACCB，2 2AB ，D是BC中点，E 是PD中点，F是线段AB上一动点. （1）当F为AB中点时，求证：平面CEF 平面PAB； （2）当EF平面PAC时，求 P CDF V. 20.已知动点P到两点 3,0， 3,0的距离之和为 4，点P在x轴上的射影是 C，2CQCP. （1）求动点Q的轨迹方程； （2）过点 3,0的直线交点P的轨迹于点,A B，交点Q的轨迹于点,M N，求 21 4 MNAB的最大 值. 21.函数 sin x f xexax. （1）若0x为 f x的
9、极值点，求实数a； （2）若 1f x 在0,上恒成立，求实数a的范围. （二）选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 3cos : 1sin xt C yt （t为参数） ，其中0,.在以O为极点，x轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线 2: 4sinC. （1）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与 2 C相交于点,A B两点，点3,1P，求PA PB. 23.选修 4
10、-5：不等式选讲 设 124f xxx . （1）解不等式 5f x ； （2）若, ,a b c均为正实数， f x最小值为m，a b cm ，求 111 111abc . 达州市普通高中达州市普通高中 2020 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试 文科数学参考答案及评分参考文科数学参考答案及评分参考 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分参考制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
11、数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再得分. 3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：一、选择题： 1.B 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C 11.D 12.C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分. 13.2 14.0.8 15. 1 3 16.9 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解： （1）2coscos0acBb
12、C， 在ABC中，由正弦定理得，2sinsincossincos0ACBBC， 2sincossincossincos0ABCBBC， 2sincossin0ABBC. A B C，2sincossin0ABA. A为三角形内角，sin0A， 12 cos 23 BB . （2）在ABC中，BD为角B的角平分线， 2 3 B ， 3 ABD ， 在ABD中，,2,1 3 AABDBBD ，由余弦定理可得3AD ， 222 ABBDAD，ABD为直角三角形. 即BDAC，故ABC为等腰三角形，22 3ACAD， 11 1 2 33 22 ABC ASBDC . 18.解： （1）线下培训的茎叶图
13、的中位数是 79； 设在线培训中位数为x 0.005 100.010 100.020 100.035800.5x解得84.3x， 即估计在线培训中位数是 84.3. （2）根据题意得列联表： 优秀 非优秀 合计 线下培训 5 35 40 在线培训 30 70 100 合计 35 105 140 2 1405 7030 3514 4.667 35 105 100 403 k . 4.6673.841有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关. 19.（1）证明： 222 ACBCAB， ABC为等腰直角三角形，当F为AB中点时，CFAB. PA 平面,ABC CF 平面,ABCPACF. PAAB
14、A且都在平面PAB中，CF平面PAB. CF 平面CEF，平面CEF 平面PAB. （2）解：如图取G为CD中点，连接FG，EG. EG为三角形PDC中位线，EGPC， PC 平面,PAC EG不在平面PAC内， EG平面,PACEF平面PAC， EGEFE且都在平面EFG内， 平面EFG平面,PAC FGAC， 3 1 BFBG AFCG ，F为线段AB靠近点A的四等分点. 11131 21 23222 P CDFCDF VPA S . 20.解： （1）点P到两点 3,0 ,3,0的距离之和为 4， 点P的轨迹是以 3,0 ,3,0为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 点P的轨迹方程是 2 2
15、1 4 x y. 设点Q坐标为, x y，因2CQCP所以点P的坐标为, 2 y x ， 2 2 1 42 xy ， 化简得点Q的轨迹方程为 22 4xy. （2）若ABx轴，则12ABMN， 21 0 4 MNAB. 若直线AB不与x轴垂直， 设直线AB的方程为3ykxk， 即30kxyk， 则坐标原点到直线AB 的距离 2 1 3 k d k ， 2 2 2 2 44 4 4 1 k MNd k . 设 1122 ,A x yB x y.将3ykxk代入 2 2 1 4 x y，并化简得， 2222 148 31240kxk xk. 2 12 2 8 3 14 k xx k ， 2 12
16、2 124 1 4 k x x k . 2 22 12121 2 114ABkxxkxxx x 2 2 22 2 222 4 124 8 344 1 141414 k kk k kkk 2 2 42 2 2 2 2 1999 1 1 44511 45 2 45 k MNAB kk k k k k ， 当且仅当 2 2 1 4k k 即 2 2 k 时，等号成立. 综上所述， 21 4 MNAB最大值为 1. 21.解： （1） cos x fxexa，令 0 0cos00fea，2a 当2a 时 2 x f xesinxx， cos2 x fxex， 当0x时，01 x e， cos20 x
17、fxex； 当0x时，令 cos2 x g xfxex， sin0 x g xex， 即 g x为增函数， 0 0cos020g xge， 0fx， 综上0x时， 0fx；0x时， 0fx， 2a 时，0x为 f x的极值点. （2） 0 0sin001fea ， 0 0cos02feaa； 由（1）知0,x时， fx为增函数， 当20a，即2a时， 020fxfa， f x为增函数， 01f xf，即 1f x 在0,上恒成立 当20a，即2a时， 020fa，24a，ln20a ln2 ln2cos2cos20 a faeaaaa 0 0,x，使 0 0fx， 当 0, xx， 0 0fx
18、， f x为增函数； 当 0 0,xx 0 0fx， f x为减函数， 0 01f xf，与 1f x 在0,上恒成立相矛盾，2a 不成立 综上2a时， 1f x 在0,上恒成立. 所以，实数a的范围是2,. 22.解： （1） 1 tan3tan10 2 :Cxy ，或3 2 x ； 2 2 2 2:4Cxy （2）将 1 3cos : 1sin xt C yt 代入 2 2 2 2:4Cxy， 得 22 3cos1sin24tt， 2 6cos2sin60tt 设,A B两点对应的参数为 1 t， 2 t， 则 121 2 6PA PBtttt，6PA PB. 23.解： （1）1245xx 当1x时，1 245xx ，解得0x，01x ； 当12x时，1 245xx 解得2x，12x ； 当2x时，1 245xx ，解得 1010 ,2 33 xx， 综上不等式解集为 10 0, 3 . （2） 53 ,1 3,12 35,2 x x f xxx xx ，1m，即1a b c ， 1111111 111 1114111 abc abcabc 11111119 111 41111114 bcacab aabbcc . 当 1 3 abc时取等号， 111 111abc 最小值为 9 4 .
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