1、达州市普通高中达州市普通高中 2020 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试 数学试题数学试题（理科理科） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的
2、求的. 1.已知集合24Axx，1Bx x，则AB （ ） A.1,2 B.2,4 C.4, D.2,4 2.复数 2 1 i z i ，则z在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在公差不为零的等差数列 n a中， 1 1a ， 5 a是 2 a， 14 a的等比中项，则 7 a （ ） A.13 B.49 C. 6 2 D. 7 21 4.函数 2 1 lnf xxx x 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 10 1 1 x 的展开式中 3 x的系数是（ ） A.252 B. 252 C. 210 D.210 6.已知双曲线的两
3、条渐近线的方程是20xy和20xy，则双曲线离心率是（ ） A.6 B.2 C.6或 30 5 D.3或 6 2 7.已知8,2a ，则命题 2 000 0,10xxax 为假命题的概率（ ） A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 8.已知 2 2log a a， 1 2 1 2 b b ，n1sicc，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A.bac B.abc C.cba D.acb 9.甲烷，化学式 4 CH，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料.甲烷分子结构为正四 面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体） ，碳原子位于正四面体的中心，4 个氢原子分别位
4、于 正四面体的 4 个顶点.若相邻两个氢原子间距离为a， 则相邻的碳、 氢原子间的距离是 （不计原子大小）（ ） A. 6 2 a B. 6 3 a C. 6 4 a D. 6 5 a 10.在ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P， 设B Ea，CDb， 则AP （ ） A. 22 33 ab B. 44 33 ab C. 33 44 ab D. 55 44 ab 11.已知方程 2 2 3sinsin3200 2 x x 在区间0,内只有一个实根，则的取值范围 （ ） A. 1 7 , 3 3 B. 7 13 , 66 C. 4 10 , 33 D. 1 13 , 6
5、6 12.己知 a0，函数 f（x）=| 12.已知0a，函数 2 3 ,0 3 2,0 x x fx a xx x ， 2 a g x x 和点 ,0P m f mm，将y轴左半平面 沿y轴翻折至与y轴右半平面垂直.若0,1n ，直线xn分别与曲线 yf x， yg x相交于点 A B，PAPB，PAB面积为 2，则实数a的取值范围为（ ） A. 2 3 ,1 9 B. 2 3 0, 9 C.0,1 D. 3 0, 9 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.设, x y满足约束条件 20 0 360 xy xy xy ，则z
6、xy的最小值是 . 14.函数 1 1 2 1 22 x x f x ，若1.2ft，则 f t . 15.等比数列 n a的前n项和为 n S，若 1 3n n Sm ，则实数m的值是 . 16.已知F是抛物线 2 :4C xy的焦点.O是坐标原点，A是C上一点，OFA外接圆B（B为圆心） 与C的准线相切，则过点B与C相切的直线的斜率 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题
7、为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.ABC的内角, ,A B C对边分别为, ,a b c，2coscos0acBbC. （1）求B； （2）若2,cB的角平分线1BD ，求ABC的面积 ABC S. 18.某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在 线培训和线下培训中的一种方案进行培训.随机抽取了 140 人的培训成绩， 统计发现样本中 40 个成绩来自线 下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： 线下培训茎叶图在线培训直方图 线下培训茎叶图 在线培训直方图 （1）得分 90 分及以上为成绩优秀，完
8、成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式 有关？ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 （2）成绩低于 60 分为不合格.在样本的不合格个体中随机再抽取 3 个，其中在线培训个数是，求分布 列与数学期望. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd 2 0 P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 19.如图，在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，2PAACCB，2 2AB ，D是BC中点，E 是PD中点，F是线段AB上一动点. （1）当F为AB中点时，求证：平面CEF 平面PAB； （2）当EF平面PAC时，
9、求二面角EFD C的余弦值. 20.已知动点P到两点 3,0， 3,0的距离之和为 4，点P在x轴上的射影是 C，2CQCP. （1）求动点Q的轨迹方程； （2）过点 3,0的直线交点P的轨迹于点,A B，交点Q的轨迹于点,M N，求 21 4 MNAB的最大 值. 21.函数 ln1cosf xxxax. （1）若0x为 f x的极值点，求实数a； （2）若 1f x 在1,0上恒成立，求实数a的范围. （二）选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-
10、4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 3cos : 1sin xt C yt （t为参数） ，其中0,.在以O为极点，x轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线 2: 4sinC. （1）求 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与 2 C相交于点,A B两点，点3,1P，求PA PB. 23.选修 4-5：不等式选讲 设 124f xxx . （1）解不等式 5f x ； （2）若, ,a b c均为正实数， f x最小值为m，a b cm ，求 111 111abc . 达州市普通高中达州市普通高中 2020 届第二次诊断性测试届第二次诊断性测试 理科数学参
11、考答案及评分参考理科数学参考答案及评分参考 评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分参考制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响 的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重 的错误，就不再得分. 3.解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题：一、选择题： 1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.A 8.B 9.C 10
12、.A 11.D 12.B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.2,6 14.0.8 15. 1 3 16. 2 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解： （1）2coscos0acBbC， 在ABC中，由正弦定理得，2sinsincossincos0ACBBC， 2sincossincossincos0ABCBBC， 2sincossin0ABBC. A B C，2sincossin0ABA. A为三角形内角，sin0A， 12
13、cos 23 BB . （2）在ABC中，BD为角B的角平分线， 2 3 B ， 3 ABD ， 在ABD中，,2,1 3 AABDBBD ，由余弦定理可得3AD ， 222 ABBDAD，ABD为直角三角形. 即BDAC，故ABC为等腰三角形，22 3ACAD， 11 1 2 33 22 ABC ASBDC . 18.解： （1）根据题意得列联表： 优秀 非优秀 合计 线下培训 5 35 40 在线培训 30 70 100 合计 35 105 140 2 1405 7030 3514 4.667 35 105 100 403 k . 4.6673.841有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有
14、关. （2）在抽出的样本中，线下培训不合格 3 个，线上培训不合格 5 个，在这 8 个中抽取 3 个含在线培训个数 为.0，1，2，3 3 3 3 8 1 0 56 C P C ， 21 35 3 8 15 1 56 C C P C ， 12 35 3 8 3015 2 5628 C C P C ， 3 5 3 8 105 3 5628 C P C . 的分布列为： 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 115301015 01231.875 565656568 E . 19.（1）证明： 222 ACBCAB， ABC为等腰直角三角形，当F为AB中点时，CFAB.
15、 PA 平面,ABC CF 平面,ABCPACF. PAABA且都在平面PAB中，CF平面PAB. CF 平面CEF，平面CEF 平面PAB. （2） 解： 过点C作z轴垂直于平面ABC， 建立如图的空间直角坐标系，0,0,0C，2,0,0A，0,2,0B， 2,0,2P，0,1,0D。 1 1,1 2 E . F在线段AB上，.0,1AFAB， 22 ,2 ,0F，0,1,0是平面PAC的法向量， 当EF平面PAC时，: 0,1,00EF解得 1 4 ，即 3 1 ,0 2 2 F . 1 0,0,1n 为平面CDF的法向量. 设 2 , ,nx y z为平面EFD的法向量 1 1,1 2
16、DE ， 31 ,0 22 DF ， 2 2 0 0 nDE nDF ， 1 0 2 31 0 22 xyz xy ，不妨设1x ， 1 3 1 2 x y z ， 2 1 1,3, 2 n . 12 12 12 1 41 2 cos, 4141 1 4 n n n n nn . 二面角EFD C的余弦值为 41 41 . 20.解： （1）点P到两点 3,0 ,3,0的距离之和为 4， 点P的轨迹是以 3,0 ,3,0为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 点P的轨迹方程是 2 2 1 4 x y. 设点Q坐标为, x y，因2CQCP所以点P的坐标为, 2 y x ， 2 2 1 42 xy ，
17、化简得点Q的轨迹方程为 22 4xy. （2）若ABx轴，则12ABMN， 21 0 4 MNAB. 若直线AB不与x轴垂直， 设直线AB的方程为3ykxk， 即30kxyk， 则坐标原点到直线AB 的距离 2 1 3 k d k ， 2 2 2 2 44 4 4 1 k MNd k . 设 1122 ,A x yB x y.将3ykxk代入 2 2 1 4 x y，并化简得， 2222 148 31240kxk xk. 2 12 2 8 3 14 k xx k ， 2 12 2 124 1 4 k x x k . 2 22 12121 2 114ABkxxkxxx x 2 2 22 2 22
18、2 4 124 8 344 1 141414 k kk k kkk 2 2 42 2 2 2 2 1999 1 1 44511 45 2 45 k MNAB kk k k k k ， 当且仅当 2 2 1 4k k 即 2 2 k 时，等号成立. 综上所述， 21 4 MNAB最大值为 1. 21.解： （1） cos x fxexa，令 00 f 即 1 sin00 0 1 a ，1a . 1 sin11 1 fxxx x ， 当10x 时，设 1 sin1 1 g xfxx x ， 2 1 cos0 1 gxx x ，故 fx为减函数， 00fxf ， 当0x时， 1 1 1x ，sin0
19、x， 0fx 综上1a 时，0x为 f x的极值点成立，所以1a . （2）由（1）知 1 sin 1 fxxa x ，当10x 时， fx为减函数 01fxfa ， 1a 时， 010fxfa ， f x为增函数， 01f xf 1a 时， fx为减函数， 00 f ； 11 1sin10f aa 存在 0 1,0x 使 0 0fx， 0,0 xx， 00 f ， f x递减， 0 01f xf，与 1f x 矛盾. 综上1a 时 1f x 恒成立. 所以，实数a的范围是,1. 22.解： （1） 1 tan3tan10 2 :Cxy ，或3 2 x ； 2 2 2 2:4Cxy （2）将
20、1 3cos : 1sin xt C yt 代入 2 2 2 2:4Cxy， 得 22 3cos1sin24tt， 2 6cos2sin60tt 设,A B两点对应的参数为 1 t， 2 t， 则 121 2 6PA PBtttt，6PA PB. 23.解： （1）1245xx 当1x时，1 245xx ，解得0x，01x ； 当12x时，1 245xx 解得2x，12x ； 当2x时，1 245xx ，解得 1010 ,2 33 xx， 综上不等式解集为 10 0, 3 . （2） 53 ,1 3,12 35,2 x x f xxx xx ，1m，即1a b c ， 1111111 111 1114111 abc abcabc 11111119 111 41111114 bcacab aabbcc . 当 1 3 abc时取等号， 111 111abc 最小值为 9 4 .
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