1、南通市南通市 2020 届高三阶段性练习届高三阶段性练习 数学数学 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1已知集合 2 2, 1,0,1 ,0MNx xx ，则MN= . 2已知复数 2 ai i 为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值是 . 3 某同学5次数学练习的得分依次为114,116,114,114,117，则这5次得分 的方差是 . 4根据如图所示的伪代码，当输入的x为1时，最后输出的m的值是 . 5在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 22 22 10
2、,0 xy ab ab 的离心 率为5，则该双曲线的渐近线的方程是 . 6某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同 学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 . 7将函数 sin 2 3 f xx 的图象向右平移个单位得到函数 g x的图象.若 g x为奇函 数，则的最小正值是 . 8已知非零向量b与a的夹角为120，且2, 24aab则b= . 9已知等比数列 n a的各项均为正数，且 132 8 ,6a aa成等差数列，则 78 56 2 2 aa aa 的值是 . 10 在平面直角坐标系xOy中， 已知过点-10,0的圆M与圆 22 660x
3、yxy相切于原点， 则圆M的半径是 . 11唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的 智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体 (假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示.已知球的半径为 R，酒杯内壁表面积为 2 14 3 R.设酒杯上部分(圆柱)的体积为 1 V， 下部分(半球)的体积为 2 V，则 1 2 V V 的值是 . 12 已知函数 log1 a f xx a的图象与直线1yk xkR相交.若其中一个交点的纵 坐标为1,则ka的最小值是 . 13已知函数 2 24 ,0 1 2,0 x x x f x xx 若关于x
4、的不等式 10f xmxmmR 的解集 是 123 ,x xx ， 123 xxx，则m的取值范围是 . 14如图，在ABC中， 3 2 ACBC，点,M N分别在,AC BC上，且 1 3 AMAC， 1 2 BNBC .若BM与AN相交于点P，则 CP AB 的取 值范围是 . 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 在斜三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若b
5、Cacos2，且BACsinsinsin 2 ，求 B 的值； （2）若0cos3)2(cosBBA，求CAtantan的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱柱 111 CBAABC 中，平面 11A ACC平面 11B BCC，侧面 11B BCC是矩形， 点 E，F 分别为BC， 11B A的中点 求证： （1）BC 1 AC； （2）EF平面 11A ACC 17 （本小题满分 14 分） 如图，某森林公园内有一条宽为 100 米的笔直的河道（假设河道足够长） ，现拟在河道内围 出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为ABC，A到河两岸距离 AE， AD 相等， B，C
6、 分别在两岸上，ABAC.为方便游客观赏，拟围绕ABC区域在水面搭建景观桥.为了 使桥的总长度 l（即ABC的周长）最短，工程师设计了以下两种方案： 方案方案 1：设ABD，求出 l 关于的函数解析式)(f，并求出)(f的最小值. 方案方案 2：设xEC 米，求出 l 关于 x 的函数解析式)(xg，并求出)(xg的最小值. 请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分） 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）短轴的两个顶点与右 焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距
7、离为3 3 8 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 直线)00(:mkmkxyl，与椭圆 C 交于 P， Q 两点，设直线 OP，OQ 的斜率分别为 1 k， 2 k.已知 21 2 kkk. 求 k 的值； 当OPQ的面积最大时，求直线PQ的方程. 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，1 1 a， 2 121 nnnn SSSa， Nn，R （1）若3，1 2 a,求 3 a的值； （2）若数列 n a的前 k 项成公差不为 0 的等差数列，求 k 的最大值； （3）若0 2 a，是否存在R，使 n a为等比数列？若存在，求出所有符合题意的的 值；若
8、不存在，请说明理由 20 （本小满分 16 分） 对于定义在 D 上的函数 f（x） ，若存在Rk，使kxxf)(恒成立，则称)(xf为“)(km型 函数” ；若存在Rk，使kxxf)(恒成立，则称)(xf为“)(kM型函数”. 已知函数)(ln)21 ()(Raxaxxf. （1）设函数1)()( 1 xfxh（1x）.若0a，且)( 1 xh为“)(km型函数” ，求 k 的取值 范围； （2）设函数 x xfxh 1 )()( 2 .证明：当 2 1 a，)( 2 xh为“) 1 (M型函数” ； （3）若Za，证明存在唯一整数a，使得)(xf为“) 4 1 (m型函数” 南通市南通市
9、2020 届高三阶段性练习届高三阶段性练习 数学数学(附加题附加题) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵A的逆矩阵 1 A 2 3 1 2 . （1）求矩阵A； （2）若向量= 1 2 ，计算A2. B.选修选修4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方
10、程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 ty tx 2 1 2 3 1， （t为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为) 3 cos(4 ,设P为曲线C上的动点， 求点P到直线l的距离的最大值. C.选修选修4-5：不等式选讲不等式选讲（本小题满分10分） 若实数x，y，z满足132zyx，求 222 zyx的最小值. 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤写出文字
11、说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线 2 20ypx p， 过点4 ,0Mp的直线l交 抛物线于 1122 ,A x yB x y两点.当AB垂直于x轴时，OAB的面积为2 2. （1）求抛物线的方程: （2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T. 证明: 12 y y为定值: 若OA TB，求直线l的斜率. 23.（本小题满分10分） 设*,.nN kN nk （1）化简: 1 11 1 2 kk nn kk nn CC CC ； （2）已知 2 22 0122 1- n n n xaa xa xa x.记 2 1 1. n k
12、k k F nn a . Read x If x 0 Then m 2x +1 Else （第 4 题） 证明: F n 能被2 +1n整除. 南通市 2020 届高三阶段性练习 数学数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 已知集合21 0 1M ， ， 2 0Nx xx ，则MN 【答案】1 0 ， 2 已知复数 i 2i a 为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数a的值是 【答案】 1 2 3 某同学 5 次数学练习的得分依次为 114，116，114，114，117， 则这 5 次得分的方差是 【答案】 8 5 4 根据如图所示的伪代码，当输入的x为1时，
13、最后输出的m的值 是 【答案】 3 2 5 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 22 1 y x ab (00)ab，的离心率为5，则该双曲线 的渐近线的方程是 【答案】2yx 6 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从 4 道题中随机抽取 2 道作答若该同学会 其中的 3 道题，则抽到的 2 道题他都会的概率是 【答案】 1 2 7 将函数 ( )sin 2 3 f xx的图象向右平移个单位得到函数( )g x的图象若( )g x为奇函数， 则的最小正值是 【答案】 6 8 已知非零向量b与a的夹角为120，且| |2a，|2 +| 4ab，则|b 【答案】4 9 已知等比
14、数列 n a的各项均为正数， 且 1 8a， 3 a， 2 6a成等差数列， 则 78 56 2 2 aa aa 的值是 【答案】16 10在平面直角坐标系xOy中，已知过点( 10 0)，的圆M与圆 22 660xyxy相切于原点， 则圆M的半径是 【答案】5 2 11唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的 智慧与工艺它的盛酒部分可以近似地看作是半球与 圆 柱 的 组 合 体 （ 假 设 内 壁 表 面 光 滑 ， 忽略杯壁厚度） ，如图 2 所示已知球的半径为R， 酒 杯 内 壁 表 面 积 为 214 3 R 设 酒 杯 上 部 分（圆柱）的
15、体积为 1 V，下部分（半球）的体积 （第 11 题 图 1） （第 11 题 图 2） 为 2 V，则 1 2 V V 的值是 【答案】2 12已知函数( )log(1) a f xx a的图象与直线(1)yk x()kR相交若其中一个交点的纵坐 标为 1，则ka的最小值是 【答案】3 13已知函数 2 24 0 1 ( ) (2)0 x x x f x xx ， ， ， 若关于x的不等式( )10()f xmxmm R的解集是 123 ()()xxx， 123 xxx，则m的取值范围是 【答案】(0 2)(2 3)， 14 如图， 在ABC中， 3 2 ACBC， 点MN，分别在AC BC
16、，上， 且 1 3 AMAC， 1 2 BNBC 若BM与AN相交于点P，则 CP AB 的取值范围是 【答案】 1 (2) 5 ， 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15 （本小题满分 14 分） 在斜三角形ABC中，角A B C， ，的对边分别为a b c， （1）若2 cosaCb，且 2 sinsinsinCAB，求B的值； （2）若cos(2)3cos0ABB，求tantanAC的值 （第 14 题） P N M C BA 【解】 （1）在ABC 中，由余弦定理得 222 2 2 abc ab ab ， 化简得 22 ac，即ac 2 分 因为 2 sinsinsinC
17、AB，且2 sinsinsin abc R ABC （R为ABC外接圆半径） ， 所以 2 cab， 4 分 所以cab，所以ABC为正三角形， 所以 3 B 6 分 （2）因为cos(2)3cos0ABB，且()BAC， 所以cos ()3cos ()0A CAC， 8 分 所以cos()3cos()ACAC ， 10 分 即coscossinsin3coscos3sinsinACACACAC ， 所以2coscossinsinACAC， 12 分 因为斜三角形ABC中， 2 A ， 2 C ，所以cos0A ，cos0C ， 所以tantan2AC 14 分 16 （本小题满分 14 分）
18、 如图，在三棱柱 111 ABCA B C中，平面 11 ACC A 平面 11 BCC B，侧面 11 BCC B是矩形，点 EF，分别为 11 BCA B，的中点 求证：（1） 1 BCAC； （2）EF平面 11 ACC A 【证】 （1）因为侧面 11 BCC B是矩形，所以 1 BCCC， 因为平面 11 ACC A 平面 11 BCC B， 平面 11 ACC A平面 111 BCC BCC，BC 平面 11 BCC B， 所以BC 平面 11 ACC A 4 分 因为 1 AC 平面 11 ACC A， 所以 1 BCAC 6 分 （2）取 11 A C的中点G，连结FG，CG
19、在 111 A B C中，F，G分别是 11 A B， 11 A C的中点， 所以 11 FGB C，且 11 1 2 FGB C 8 分 在矩形 11 BCC B中，E是BC的中点， 所以 11 ECB C，且 11 1 2 ECB C 所以ECFG，且ECFG 10 分 所以四边形EFGC为平行四边形， 所以EFGC 12 分 又因为EF 平面 11 ACC A，GC 平面 11 ACC A， A C A1 C1 B B1 E G F （第 16 题） 所以EF平面 11 ACC A 14 分 17. (本小题满分 14 分) 如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够
20、长） ，现拟在河道内围出 一块直角三角形区域养殖观赏鱼 三角形区域记为ABC，A到河两岸的距离AE AD，相等， B C，分别在两岸上，ABAC 为方便游客观赏， 拟围绕ABC区域在水面搭建景观桥 为 了使桥的总长度l（即ABC的周长）最短，工程师设计了以下两种方案： 方案方案 1：设ABD，求出l关于的函数解析式( )f，并求出( )f的最小值 方案方案 2：设ECx米，求出l关于x的函数解析式( )g x，并求出( )g x的最小值 请从以上两种方案中自选一种解答 （注： 如果选用了两种方案解答， 则按第一种解答计分） 【解】方案方案 1： （1）因为ABAC， 所以90EACBAD， 在
21、RtABD中，90ABDBAD， 所以EACABD ，(0) 2 ， 2 分 因为50ADAE， 在RtADB和RtAEC中，AB= 50 sin ，AC= 50 cos ， 4 分 所以 225050 ()() sincos BC 22 11 50 sincos 50 sincos ， （第 17 题） B C D E A 所以 111 50() sincossincos f sincos1 50() sincos ，其中(0) 2 ， 7 分 （2）方法一：设sincost，则sincos= 2sin() 4 t ， 因为(0) 2 ，所以(12t， 9 分 因为 2 12sincost
22、，所以 2 1 sincos 2 t 所以 2 50(1) 100 1 1 2 t y t t ， 12 分 所以当2t 时， min 100 ( )100100 2 21 f 答：景观桥总长的最小值为(100100 2)米 14 分 方法二： 2 50(cossin)( 1sincossincos ) ( ) (sincos ) f ， 10 分 因为(0) 2 ，所以1sincossincos0 ， 2 (sincos )0， 当(0) 4 ，时，cossin0，( )0f，( )f单调递减， 当() 42 ，时，cossin0，( )0f，( )f单调递增 12 分 所以当 4 时，(
23、)f取得最小值，最小值为(100100 2)米 答：景观桥总长度的最小值为(100100 2)米 14 分 【解】方案方案 2： （1）因为ABAC， 所以90EACBAD， 在RtABD中，90ABDBAD， 所以EACABD 所以RtCAERtABD， 所以 ACEC ABAD 2 分 因为ECx， 222 2500ACAEECx，50AD ， 所以 2 50 2500x AB x 4 分 2 222 2 2500 2500 5000BCABACxx x x ， 所以 2 250 25250000 ( )2500() x g x x x x x ，0x 7 分 （2）因为0x ， 所以(
24、)g x 2 250 2502500 2252 0 00 x x x x x 10 分 2500 210050() x x 2500 2100100 2102050x x 12 分 当且仅当 2 250 2500 2500 x x x ，且 2500 x x ， 即50x 时取“” 所以 min ( )100 100 2g x， 答：景观桥总长的最小值为(100100 2)米 14 分 18 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 2 2 22 :1 y x C ab (00)ab，短轴的两个顶点与右焦点 的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为83 3 （1）求椭圆C的
25、标准方程； （2）直线: l ykxm(00)km，与椭圆C交于P Q，两点，设直线OP OQ，的斜率分别 为 12 kk，已知 2 12 kk k 求k的值； 当OPQ的面积最大时， 求直线PQ的方程 【解】 （1）设椭圆的焦距为2c，则 222 =cab 因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形， 所以3cb 又两准线间的距离为 8 3 3 ，则 2 28 3 3 a c ， 所以21ab， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y 3 分 （2）设 11 ()P xy， 22 ()Q xy， 联立 2 2 1 4 ykxm x y ， ， 消去y得 222 (41)8440k
26、xkmxm， x y O （第 18 题图） Q P 2222 644(41)(44)0k mkm，化简得 22 41mk， 所以 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m xx k ， 又OP的斜率 1 1 1 y k x ，OQ的斜率 2 2 2 y k x ， 所以 22 212121212 12 121212 ()()()y ykxm kxmk x xkm xxm kkk x xx xx x ， 6 分 化简得 2 12 ()0km xxm， 所以 2 2 8 0 41 km kmm k 又因为0m ，即 2 41k ， 又0k ，所以 1 2 k 8 分
27、由得 1 2 k ，直线PQ的方程为 1 2 yxm， 且 12 2xxm ， 2 12 22x xm， 2 2m 又0m ，所以02m 所以 22 1212 ()()PQxxyy 2 121212 55 ()4 22 xxxxxx 2 52m， 10 分 点O到直线PQ的距离 2 2 2 5 1 1 2 m dm ， 12 分 所以 22 222 (2) 112 52(2)1 222 5 OPQ mm SPQ dmmmm 当且仅当 22 2mm，即1m 时，OPQ的面积最大， 所以，直线PQ的方程为 1 1 2 yx 16 分 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的前n项和为 n
28、 S， 1 1a ， 2 121nnnn aSSS ，n NR， （1）若3 ， 2 1a ，求 3 a的值； （2）若数列 n a的前k项成公差不为 0 的等差数列，求k的最大值； （3） 若 2 0a ， 是否存在R， 使 n a为等比数列？若存在， 求出所有符合题意的的值； 若不存在，请说明理由 【解】记 2 121nnnn aSSS 为（）式 （1）当3 时， （）式为 2 121 3 nnnn aSSS ， 令1n 得， 2 2132 3aSSS，即 2 2112312 3()()aaaaaaa， 由已知 1 1a ， 2 1a ，解得 3 3a 2 分 （2）因为前 k 项成等差数
29、列，设公差为d，则 2 1ad ， 3 12ad ， 若3k ，则 2 2Sd， 3 33Sd 在（）式中，令1n 得， 2 2132 aSSS，所以 2 (1)33(2)ddd ， 化简得 2 1(1)ddd ， 4 分 若4k ，则 4 46Sd， 在 （） 式中， 令2n 得， 2 3243 aSSS， 所以 2 (1 2 )(2)(46 )(33 )dddd， 化简得 2 321(1 2 )ddd ， 得， 2 2ddd，因为公差不为 0，所以0d ， 所以21d ，代入得， 2 20dd，所以2d ，3 所以4k 符合题意 6 分 若5k ，则 12345 11357aaaaa ，
30、345 3815SSS ，, 在 （） 式中， 令3n 得， 435 33 ( 5)( 3)( 15)60aS S ， 22 4 ( 8)64S ， 所以 2 4354 3aS SS，所以k的最大值为 4 8 分 （3）假设存在R，使 n a为等比数列， 设前 3 项分别为 2 1 q q，则 2 123 111SSq Sqq ， （）式中，令1n 得， 22 (1)(1)qqqq，化简得(1)0q， 因为 2 0qa，所以1， 10 分 此时（）式为 2 121 () nnnnn SSSSS ，即 112 (1)(1) nnnn SSS S （） ， 由 1 1S ， 22 11Sa ，得
31、3 1S ， 由 23 1SS ，得 4 1S ， 依次类推，10 n S，所以（）等价于 21 1 11 nn nn SS SS ， 所以数列 1 1 n n S S 为常数列， 所以 12 2 1 11 n n SS a SS ， 14 分 于是2n时， 12 21 1 1 nn nn Sa S Sa S ， ， 两式相减得 12nn aaa ， 因为 221 aaa，所以 12nn aaa ()n N， 又 12 0aa ，所以 1 2 n n a a a （非零常数） ， 所以存在1，使 n a为等比数列 16 分 20 （本小题满分 16 分） 对于定义在D上的函数( )f x，若存
32、在kR，使( )f xkx恒成立，则称( )f x为“( )m k型 函数” ；若存在kR，使( )f xkx恒成立，则称( )f x为“( )M k型函数” 已知函数( )(12)lnf xaxx()aR （1）设函数 1( ) ( )1h xf x(1)x若0a ，且 1( ) h x为“( )m k型函数” ，求k的取值范围； （2）设函数 2 1 ( )( )h xf x x 证明：当 1 2 a 时， 2( ) h x为“(1)M型函数” ； （3）若aZ，证明存在唯一整数a，使得( )f x为“ 1 4 m型函数” 【解】 （1）0a 时， 1( ) ln1h xx 因为 1( )
33、 h x为“( )m k型函数” ，所以 1( ) h xkx恒成立，即 ln1x k x 恒成立 设 ln1 ( ) x g x x (1)x，则 2 ln ( )0 x g x x 恒成立， 所以( )g x在1)，上单调递减，所以( )(1)1g xg， 所以k的取值范围是(1)， 3 分 （2）当 1 2 a 时，要证 2( ) h x为“(1)M型函数” ， 即证 1 (1)lnxxx x ，即证 1 (1)ln0xxx x 方法一：令 1 ( )(1)lnR xxxx x ， 则 222 11111 ( )ln(1)1lnln x R xxxxx xx xxx ， 当1x 时，ln
34、0x ， 21 0 x x ，则( )0R x； 当01x时，ln0x ， 21 0 x x ，则( )0R x； 所以( )R x在(0 1)，上单调递减，在(1 + )，上单调递增， 6 分 则( )(1)R xR，又(1)0R，所以( )0R x ， 所以 2( ) h x为“(1)M型函数” 8 分 方法二：令 2 11 ( )lnF xx x x ，则 2 233 1122 ( )0 xx F x x xxx ， 所以函数( )F x在(0 + )，上单调递增，又(1)0F， 所以当01x时，( )0R x，当1x 时，( )0R x， 所以( )R x在(0 1)，上单调递减，在(
35、1 + )，上单调递增， 6 分 以下同方法一 （3）函数( )f x为“ 1 4 m型函数”等价于 1 ( )(12)ln0 4 p xaxxx恒成立， 当0a时， ee (e)(12 e)10 44 pa，不合题意； 当2a时， 12111 ( )1(4e)0 ee4ee4 a p ，不合题意； 10 分 当1a 时， 方法一： 1 ( )(12 )ln 4 p xxxx， 当1x或 1 0 2 x 时， 1 ( )00 4 p xx 12 分 当 1 1 2 x时，120x，由（2）知 1 ln x x x ， 所以 2 (12 )(1) 11 ( )(32)0 44 x x p xxx
36、 xx ， 综上，存在唯一整数1a ，使得( )f x为“ 1 4 m型函数” 16 分 方法二： 1 ( )(12 )ln 4 p xxxx， 12119 ( )2ln2ln 44 x p xxx xx ， 记 19 ( )2ln 4 xx x ，则 2 21 ( )0x x x ， 所以( )( )xp x在(0 + )，上单调递减 易得ln1xx ， 所以 2881729917 2ln 222( 21)23 20 24444 p ； 又因为 199 2ln22120 244 p ， 所以存在唯一零点 0 21 22 x ，使得 00 0 19 ()2ln0 4 p xx x ， 且 0
37、x为( )p x的最大值点， 12 分 所以 0 0 000000 0 19 (12) 4 11117 ()(12)ln2 42428 x x p xxxxxx x ， 注意到 117 2 28 yx x 在 21 22 ，上单调递增， 所以 0 2117117 ()23 20 2824 2 p xp， 所以( )0p x 综上，存在唯一整数1a ，使得( )f x为“ 1 4 m型函数” 16 分 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换（本小
38、题满分 10 分） 已知矩阵A的逆矩阵 1 32 = 21 A （1）求矩阵A； （2）若向量 2 1 ，计算 2 A 【解】 （1）设矩阵= ab cd A，则 1 1323232 21221 0 0 abacbd cdacbd A A， 故 321 20 320 21 ac ac bd bd ， ， ， ， 解得 1 2 2 3 a b c d ， ， ， ， 则矩阵 12 = 23 A 5 分 （2）由矩阵 12 = 23 A，得 2 121258 = 2323813 A 8 分 所以 2 5822 81313 A 10 分 B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平
39、面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程 3 1 2 1 2 xt yt ， （t 为参数）在以坐标原点为 极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 4cos 3 设 P 为曲线 C 上动点，求点 P 到直线l距离的最大值 【解】 由 4cos 3 得 2 4 cos=2 cos2 3 sin 3 ， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 22 30xyxy， 即 22 (1)(3)4xy，圆心(1,3)，半径2r 3 分 由直线l的参数方程 3 1 2 1 2 xt yt ， 得13xy ， 所以直线l的普通方程为310xy 6 分 所以圆心(1,3)到直线l的距离 3 2 d
40、 ， 8 分 所以点 P 到直线l距离的最大值为 37 2 22 10 分 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 若实数x y z，满足231xyz，求 222 xyz的最小值 【解】由柯西不等式，得 2222222 (23 )(123 ) ()xyzxyz， 5 分 即 222222 23123xyzxyz， 因为231xyz，所以 2221 14 xyz， 当且仅当 123 y xz ，即 113 14714 xyz，时取等号 综上， 222 xyz的最小值为 1 14 10 分 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时
41、应写 出 文字说明、证明过程或演算步骤 22(本小题满分 10 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 2(0)ypx p，过点(40)Mp，的直线l交抛 物线于 1122 ()()A xyB xy，两点当AB垂直于x轴时，OAB的面积为2 2 （1）求抛物线的方程； （2）设线段AB的垂直平分线交x轴于点T 证明： 12 y y为定值； 若OATB，求直线l的斜率 【解】（1）当AB垂直于x轴时，(42 2 )App，(42 2 )Bpp， 所以OAB的面积为 211 4 248 22 2 22 AB OMppp， 因为0p ，所以 1 2 p ， 所以抛物线的方程为 2 yx 3 分 （2） 由题意可知直线l与x轴不垂直 x y O （第 22 题） A B T M 由（1）
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