1、（精品资料）（精品资料）20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题六专题六 图形图形 运动中的计算说理问题运动中的计算说理问题 类型一 【计算说理盈利问题】 【典例指引 1】某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发， 批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件） （x 为正整数）之间满 足如图所示的函数关系 （1）直接写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发 量为多少件时，工厂获利最大？最大利润
2、是多少？ 【举一反三】 某商场销售一种商品的进价为每件 30 元，销售过程中发现月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系 如图所示 （1）根据图象直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 （2）设这种商品月利润为 W（元） ，求 W 与 x 之间的函数关系式 （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 类型二 【计算解决图形的几何变换问题】 【典例指引 2】如图 1，抛物线 yax2+（a+2）x+2（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 P（m，0） （0m4） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，
3、交抛物线于点 M （1）求 a 的值； （2）若 PN：MN1：3，求 m 的值； （3）如图 2，在（2）的条件下，设动点 P 对应的位置是 P1，将线段 OP1绕点 O 逆时针旋转得到 OP2，旋 转角为 （0 90 ） ，连接 AP2、BP2，求 AP2+ 3 2 BP2的最小值 【举一反三】 如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已 知 OA=6，OB=10点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0，2） ， 点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度 沿线段 ACCB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合 时停止运
4、动，运动时间为 t 秒 （1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式； （2）如图，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标 （3）点 P 在运动过程中是否存在使 BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在， 请说明理由 类型三 【计算解决特殊三角形的存在性问题】 【典例指引 3】已知抛物线 2 286yxx与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C. （1）求点A，点C的坐标； （2）我们规定：对于直线 111 :lyk xb，直线 222 :lyk xb，若 12 1kk ，则直线 12 ll；反过
5、来 也成立.请根据这个规定解决下列问题： 直线3 21xy与直线34xy是否垂直？并说明理由； 若点P是抛物线 2 286yxx的对称轴上一动点，是否存在点P与点A，点C构成以AC为直角边 的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【举一反三】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=- 3 4 x2+ 9 4 x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交 于点 C：连接 BC，点 P 为线段 BC 上方抛物线上的一动点，连接 OP 交 BC 于点 Q （1）如图 1，当 PQ OQ 值最大时，点 E 为线段 AB 上一点，在线段 BC 上
6、有两动点 M，N（M 在 N 上方） ，且 MN=1，求 PM+MN+NE- 3 5 BE 的最小值； （2）如图 2，连接 AC，将 AOC 沿射线 CB 方向平移，点 A，C，O 平移后的对应点分别记作 A1，C1，O1， 当 C1B=O1B 时，连接 A1B、O1B，将 A1O1B 绕点 O1沿顺时针方向旋转 90 后得 A 2O1B1在直线 x= 1 2 上是 否存在点 K，使得 A2B1K 为等腰三角形？若存在，直接写出点 K 的坐标；不存在，请说明理由 类型四 【计算解决图形面积的最值问题】 【典例指引 4】如图 1，已知抛物线 y ax 2 bx c 经过 A3,0,B 1,0
7、，C 0,3 三点，其顶点为 D，对 称轴是直线 l ， l 与 x 轴交于点 H . （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求PBC 周长的最小值； （3）如图 2，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A, D 不重合） ，过 E 点作平行于 y 轴的直线交 抛物线于点 F ，交 x 轴于点 G ，设点 E 的横坐标为 m ，四边形 AODF 的面积为 S 。 求 S 与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标，若不存在，请说明理由。 【举一反三】 如图，直线 l：y3x+3 与 x 轴、y 轴分别相
8、交于 A、B 两点，抛物线 yax22ax+a+4（a0）经过点 B， 交 x 轴正半轴于点 C （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点 M 的横坐标为 m， ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值及此时动点 M 的坐标； （3）将点 A 绕原点旋转得点 A，连接 CA、BA，在旋转过程中，一动点 M 从点 B 出发，沿线段 BA以每 秒 3 个单位的速度运动到 A，再沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度运动到 C 后停止，求点 M 在整个运 动过程中用时最少是多少？ 【新
9、题训练】 1 东坡商贸公司购进某种水果成本为 20 元/kg， 经过市场调研发现， 这种水果在未来 48 天的销售单价P（元 /kg）与时间t（天）之间的函数关系式 1 30(124) 2 48(2548) tt P tt 剟 剟 ，t为整数，且其日销售量y(kg)与时间t （天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 日销售量y（kg） 118 114 108 100 80 （1）已知y与t之间的变化符合一次函数关系，试求在第 30 天的日销售量； （2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 2某种进价为每件 40 元的商品，通过调查发现，当销售单价在 40 元至 65
10、 元之间(4065x)时，每月 的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x的函数关系式； (2)设每月获得的利润为P(元)，求P与x之间的函数关系式； (3)若想每月获得 1600 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ (4)当销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 A 的坐标为（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，作直线 BC动点 P 在 x 轴上运动，过点 P 作 PMx 轴，交抛物线于点 M，交直线 BC 于点 N，设
11、点 P 的横坐标为 m （1）求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式； （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，若 CMN 是以 MN 为腰的等腰直角三角形时，求 m 的值； （3）当以 C、O、M、N 为顶点的四边形是以 OC 为一边的平行四边形时，求 m 的值 4如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求 点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、
12、M、A 为顶点的三角形 BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 5如图 a，已知抛物线 y= 1 2 x2+bx+c 经过点 A(4，0) 、C(0，2)，与 x 轴的另一个交点为 B （1）求出抛物线的解析式. （2）如图 b，将 ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180 得到 BAC，试判断四边形 BCAC 的形状.并证明你的 结论. （3）如图 a,在抛物线上是否存在点 D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与 ABC 全等？若存在， 请直接写出点 D 的坐标；若不存在请说明理由. 6如图，已知直线 y2x+4 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，抛物线 y
13、2x2+bx+c 过 A，B 两点，点 P 是 线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D，抛物线的顶点为 M，其对称轴交 AB 于点 N （1）求抛物线的表达式及点 M、N 的坐标； （2）是否存在点 P，使四边形 MNPD 为平行四边形？若存在求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 7如图，抛物线 ya（x+2） （x4）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且ACOCBO （1）求线段 OC 的长度； （2）若点 D 在第四象限的抛物线上，连接 BD、CD，求 BCD 的面积的最大值； （3）若点 P 在平面内，当以点 A、C、B、P 为顶点
14、的四边形是平行四边形时，直接写出点 P 的坐标 8如图，抛物线 2 yax2axc（a0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0， 4） ，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长； （3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶 点的三
15、角形和 AEM 相似？若存在， 求出此时 m 的值， 并直接判断 PCM 的形状； 若不存在， 请说明理由 92018 年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019 年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价 y1（元） 与月份 x（1x12，且 x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示每千克猪肉的成本 y2（元）与月份 x（1x12，且 x 为整数）之间满足二次函数关系，且 3 月份每千克猪肉的成本全年最低，为 9 元，如图所 示 月份 x 3 4 5 6 售价 y1/元 12 14 16 18 （1）求 y1与 x 之间的函数关系式 （2）求 y2与 x 之间的函数关系式 （3）设销售每千
16、克猪肉所获得的利润为 w（元） ，求 w 与 x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉 所第获得的利润最大？最大利润是多少元？ 10如图，在平面直角坐标系中，ACB=90 ，OC=2OB，tanABC=2，点 B 的坐标为（1，0） 抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、B 两点 （1）求抛物线的解析式； （2） 点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点， 过点 P 作 PD 垂直 x 轴于点 D， 交线段 AB 于点 E， 使 PE 最大 求点 P 的坐标和 PE 的最大值 在直线 PD 上是否存在点 M，使点 M 在以 AB 为直径的圆上；若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请 说
17、明理由 11如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 yxbxc与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，对 称轴为直线 x=2，点 A 的坐标为（1，0） （1）求该抛物线的表达式及顶点坐标； （2）点 P 为抛物线上一点（不与点 A 重合） ，联结 PC当PCB=ACB 时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点 D，点 P 关 于 x 轴的对应点为点 Q，当 ODDQ 时，求抛物线平移的距离 12如图，已知抛物线 yx2bxc 过点 A(3, 0)、点 B(0, 3)点 M(m, 0)在线段 OA 上（与点
18、 A、O 不重 合） ，过点 M 作 x 轴的垂线与线段 AB 交于点 P，与抛物线交于点 Q，联结 BQ （1）求抛物线表达式； （2）联结 OP，当BOPPBQ 时，求 PQ 的长度； （3）当 PBQ 为等腰三角形时，求 m 的值 13定义：由两条与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如 图，抛物线 C1与抛物线 C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线 C1与抛物线 C2与 x 轴有相同的交点 M， N（点 M 在点 N 的左侧） ，与 y 轴的交点分别为 A，B 且点 A 的坐标为（0，3） ，抛物线 C2的解析式为 y mx2+4mx12m
19、， （m0） （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式； （2）求 M，N 两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线 C1上是否存在一点 P，使得 PAM 的面积最大？若存在，求出 PAM 的面积 的最大值；若不存在，说明理由 14如图，抛物线 2 yaxbxc与 x 轴相交于 A（3，0） 、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 B 在 x 轴的负半轴上，且OA3OB. （1）求抛物线的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求ACP的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在线段OC上是否存在一点 M，使
20、2 BMCM 2 的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的 M 点的坐标；若不存在，请说明理由. 15如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+6 经过点 A（3，0）和点 B（2，0） ，直线 yh（h 为常数，且 0h6）与 BC 交于点 D，与 y 轴交于点 E，与 AC 交于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AE，求 h 为何值时， AEF 的面积最大 （3）已知一定点 M（2，0） ，问：是否存在这样的直线 yh，使 BDM 是等腰三角形？若存在，请求出 h 的值和点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 16如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 交 y 轴于点
21、A(0，4)，交 x 轴于点 B(4，0)，点 P 是抛物线上一动点， 试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接 AP (1)求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； (2)若 AQPAOC，求点 P 的横坐标； (3)如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将 APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q，请直接 写出当点 Q落在坐标轴上时点 P 的坐标 17如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（m，0）两点，与 y 轴相交于点 C（0， 3） ，抛物线的顶点为 D （1）求 B、D 两点的坐标； （2）若
22、 P 是直线 BC 下方抛物线上任意一点，过点 P 作 PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 M，设 F 为 y 轴一 动点，当线段 PM 长度最大时，求 PH+HF+ 1 2 CF 的最小值； （3）在第（2）问中，当 PH+HF+ 1 2 CF 取得最小值时，将 OHF 绕点 O 顺时针旋转 60 后得到 OHF， 过点 F作 OF的垂线与 x 轴交于点 Q，点 R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 S， 使得点 D、Q、R、S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 S 的坐标，若不存在，请说明理由 18如图，抛物线 yax2+bx4 经过 A（3，0） ，B（5
23、，4）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB，AC，BC （1）求抛物线的表达式； （2）求 ABC 的面积； （3） 抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 ABM 是直角三角形？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由 （精品资料）（精品资料）20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题六专题六 图形图形 运动中的计算说理问题运动中的计算说理问题 类型一 【计算说理盈利问题】 【典例指引 1】某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元，工厂将该产品进行网络批发， 批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件） （x 为正整数）之间满 足如图所示的函数关
24、系 （1）直接写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若一次性批发量不低于 20 且不超过 60 件时，求获得的利润 w 与 x 的函数 关系式，同时当批发 量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 当02 0x且 x 为整数时，40y ； 当6020x且 x 为整数时， 1 50 2 yx ； 当60x 且 x 为整数时，y=20； （2）一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元 【解析】 【分析】 （1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整数； （2）根据利润=（售价-成本） 件数，列出
25、利润的表达式，求出最值 【详解】 （1）当020x且 x 为整数时，40y ； 当6020x且 x 为整数时， 1 50 2 yx ； 当60x且 x 为整数时，20y ； （2）当6020x且 x 为整数时， 1 50 2 yx ， 1 (16)50 16 2 wyxxx ， 2 1 34 2 wxx 2 1 (34)578 2 wx 1 0 2 当 x=34 时，w 最大，最大值为 578 答：一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元 【名师点睛】 本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运用性质是解决问题的关键 【举一反三】 某商场销售一种商品的
26、进价为每件 30 元，销售过程中发现月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系 如图所示 （1）根据图象直接写出 y 与 x 之间的函数关系式 （2）设这种商品月利润为 W（元） ，求 W 与 x 之间的函数关系式 （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】 （1）y 180(4060) 3300(6090) xx xx ； （2）W 2 2 2105400(4060) 33909000(6090) xxx xxx ;（3）这种商品 的销售单价定为 65 元时，月利润最大，最大月利润是 3675 【解析】 【分析】 （1）当 40x60 时，设 y 与
27、 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，当 60x90 时，设 y 与 x 之间的函数关系式 为 y=mx+n，解方程组即可得到结论； （2）当 40x60 时，当 60x90 时，根据题意即可得到函数解析式； （3）当 40x60 时，W=-x2+210x-5400，得到当 x=60 时，W最大=-602+210 60-5400=3600，当 60x90 时， W=-3x2+390x-9000，得到当 x=65 时，W最大=-3 652+390 65-9000=3675，于是得到结论 【详解】 解： （1）当 40x60 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b， 将（40，140
28、） ， （60，120）代入得 40140 60120 kb kb ， 解得： 1 180 k b ， y 与 x 之间的函数关系式为 yx+180； 当 60x90 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ymx+n， 将（90，30） ， （60，120）代入得 9030 60120 mn mn ， 解得： 3 300 m n ， y3x+300； 综上所述，y 180(4060) 3300(6090) xx xx ； （2）当 40x60 时，W（x30）y（x30） （x+180）x2+210x5400， 当 60x90 时，W（x30） （3x+300）3x2+390x9000， 综
29、上所述，W 2 2 2105400(4060) 33909000(6090) xxx xxx ； （3）当 40x60 时，Wx2+210x5400， 10，对称轴 x 210 2 105， 当 40x60 时，W 随 x 的增大而增大， 当 x60 时，W最大602+210 6054003600， 当 60x90 时，W3x2+390x9000， 30，对称轴 x 390 6 65， 60x90， 当 x65 时，W最大3 652+390 6590003675， 36753600， 当 x65 时，W最大3675， 答：这种商品的销售单价定为 65 元时，月利润最大，最大月利润是 3675
30、【点睛】 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用根据题意分情况建立二次 函数的模型是解题的关键 类型二 【计算解决图形的几何变换问题】 【典例指引 2】如图 1，抛物线 yax2+（a+2）x+2（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 P（m，0） （0m4） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 M （1）求 a 的值； （2）若 PN：MN1：3，求 m 的值； （3）如图 2，在（2）的条件下，设动点 P 对应的位置是 P1，将线段 OP1绕点 O 逆时针旋转得到 OP2，旋 转角为
31、（0 90 ） ，连接 AP2、BP2，求 AP2+ 3 2 BP2的最小值 【答案】(1) 1 2 (2) 3 (3) 145 2 【解析】 分析： （1）把 A 点坐标代入可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值； （2）由OABPAN 可用 m 表示出 PN，且可表示出 PM，由条件可得到关于 m 的方程，则可求得 m 的 值； （3）在 y 轴上取一点 Q，使 2 3 2 OQ OP ，可证得P2OBQOP2，则可求得 Q 点坐标，则可把 AP2+ 3 2 BP2 化为 AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当 A、P2、Q 三点在一条线上时有最小值，则可求得答案 详解： （1）A（4
32、，0）在抛物线上， 0=16a+4（a+2）+2，解得 a=- 1 2 ； （2）由（1）可知抛物线解析式为 y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2，令 x=0 可得 y=2， OB=2， OP=m， AP=4-m， PMx 轴， OABPAN， OBPN OAPA ，即 2 44 PN m ， PN= 1 2 （4-m） ， M 在抛物线上， PM=- 1 2 m2+ 3 2 m+2， PN：MN=1：3， PN：PM=1：4， - 1 2 m2+ 3 2 m+2=41 2 （4-m） ， 解得 m=3 或 m=4（舍去） ； （3）在 y 轴上取一点 Q，使 2 3 2 OQ OP ，如图
33、， 由（2）可知 P1（3，0） ，且 OB=2， 2 3 2 OP OB ，且P2OB=QOP2， P2OBQOP2， 2 2 3 2 QP BP ， 当 Q（0， 9 2 ）时 QP2= 3 2 BP2， AP2+ 3 2 BP2=AP2+QP2AQ， 当 A、P2、Q 三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值， A（4，0） ，Q（0， 9 2 ） ， AQ= 22 9145 4 += 22 （ ），即 AP2+ 3 2 BP2的最小值为 145 2 【名师点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角 形三边关系等知识在（2）中用 m 分别表示出
34、 PN 和 PM 是解题的关键，在（3）确定出取得最小值时的 位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是（3）中构造三角形相似，难度较大 【举一反三】 如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形 OACB 的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已 知 OA=6，OB=10点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0，2） ， 点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度 沿线段 ACCB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合 时停止运动，运动时间为 t 秒 （1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式； （2）如图，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应
35、点 B恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标 （3）点 P 在运动过程中是否存在使BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若 不存在， 请说明理由 【答案】 （1）y= 4 3 x+2； （2）y= 4 3 x+2； （2）S=2t+16，点 P 的坐标是（10 3 ，10） ； （3）存在，满足题 意的 P 坐标为（6，6）或（6，2 7+2）或（6，1027） 【解析】 分析： （1）设直线 DP 解析式为 y=kx+b，将 D 与 B 坐标代入求出 k 与 b 的值，即可确定出解析式； （2）当 P 在 AC 段时，三角形 ODP 底 OD 与高为固定值，求出此时面积；当 P
36、 在 BC 段时，底边 OD 为 固定值，表示出高，即可列出 S 与 t 的关系式； 设 P（m，10） ，则 PB=PB=m，根据勾股定理求出 m 的值，求出此时 P 坐标即可； （3）存在，分别以 BD，DP，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出 P 坐标即可 详解： （1）如图 1， OA=6，OB=10，四边形 OACB 为长方形， C（6，10） 设此时直线 DP 解析式为 y=kx+b， 把（0，2） ，C（6，10）分别代入，得 2 610 b kb ，解得 4 3 2 k b 则此时直线 DP 解析式为 y= 4 3 x+2； （2）当点 P 在线段 AC
37、 上时，OD=2，高为 6，S=6； 当点 P 在线段 BC 上时，OD=2，高为 6+102t=162t，S= 1 2 2 （162t）=2t+16； 设 P（m，10） ，则 PB=PB=m，如图 2， OB=OB=10，OA=6， AB= 22 OBOA =8， BC=108=2， PC=6m， m2=22+（6m）2，解得 m=10 3 则此时点 P 的坐标是（ 10 3 ，10） ； （3）存在，理由为： 若BDP 为等腰三角形 ，分三种情况考虑：如图 3， 当 BD=BP1=OBOD=102=8， 在 RtBCP1中，BP1=8，BC=6， 根据勾股定理得：CP1= 22 86 =
38、2 7， AP1=102 7，即 P1（6，1027） ； 当 BP2=DP2时，此时 P2（6，6） ； 当 DB=DP3=8 时， 在 RtDEP3中，DE=6， 根据勾股定理得：P3E= 22 86 =2 7， AP3=AE+EP3=2 7+2，即 P3（6，27+2） ， 综上，满足题意的 P 坐标为（6，6）或（6，2 7+2）或（6，1027） 点睛：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等 腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键 类型三 【计算解决特殊三角形的存在性问题】 【典例指引 3
39、】已知抛物线 2 286yxx与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧） ，与y轴交于点C. （1）求点A，点C的坐标； （2）我们规定：对于直线 111 :lyk xb，直线 222 :lyk xb，若 12 1kk ，则直线 12 ll；反过来 也成立.请根据这个规定解决下列问题： 直线321xy与直线34xy是否垂直？并说明理由； 若点P是抛物线 2 286yxx的对称轴上一动点，是否存在点P与点A，点C构成以AC为直角边 的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）点A坐标为( 3,0)，点C坐标为(0,6)； （2） 不垂直，理由详见解析；存在，点P的
40、坐 标为 1 ( 2,) 2 或( 2,7). 【解析】 【分析】 （1）令0y ，求出 x 的值，根据点A在点B的左侧求出 A 的坐标，令0x，求出 y 的值即可求出 C 的 坐标； （2）分别求出两条直线的斜率，然后根据两斜率的积不等于-1 即可证明两直线不垂直；根据点A，点 C的坐标求出直线 AC 的函数表达式，然后对PAAC时与PCAC时两种情况分别讨论计算即可. 【详解】 解： （1）当0y 时， 2 2860xx，解得 1 1x ， 2 3x 点A在点B的左侧， 点A坐标为( 3,0) 当0x时，6y 点C坐标为(0,6). （2）不垂直；由321xy，得 31 22 yx ，由3
41、4xy，得 14 33 yx 311 1 232 直线321xy与直线34xy不垂直； 存在. 8 2 2 2 抛物线 2 286yxx的对称轴为直线2x. 设直线:AC ykxb，根据题意得 30 6 kb b ,解得 2 6 k b 直线AC的函数表达式为26yx 分两种情况：）当PAAC时，如图，根据新定义可设 1 : 2 PA yxm 点A坐标为( 3,0) 1 0( 3) 2 m 3 2 m 直线PA的函数表达式为 13 22 yx ，当2x时， 131 ( 2) 222 y 此时点P坐标为 1 ( 2,) 2 ； ）当PCAC时，如图，根据新定义可设 1 : 2 PC yxn 点C
42、坐标为(0,6) 1 60 2 m ，6m 直线PA的函数表达式为 1 6 2 yx ，当2x时， 1 ( 2)67 2 y ， 此时点P坐标为( 2,7)； 综上，点P的坐标为 1 ( 2,) 2 或( 2,7). 【名师点睛】 本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，直角三角形的性质，以及待定系数法 求一次函数解析式，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键 【举一反三】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=- 3 4 x2+ 9 4 x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交 于点 C：连接 BC，点 P 为线段 BC 上方抛物线
43、上的一动点，连接 OP 交 BC 于点 Q （1）如图 1，当 PQ OQ 值最大时，点 E 为线段 AB 上一点，在线段 BC 上有两动点 M，N（M 在 N 上方） ，且 MN=1，求 PM+MN+NE- 3 5 BE 的最小值； （2）如图 2，连接 AC，将AOC 沿射线 CB 方向平移，点 A，C，O 平移后的对应点分别记作 A1，C1，O1， 当 C1B=O1B 时，连接 A1B、O1B，将A1O1B 绕点 O1沿顺时针方向旋转 90 后得A 2O1B1在直线 x= 1 2 上是否 存在点 K，使得A2B1K 为等腰三角形？若存在，直接写出点 K 的坐标；不存在，请说明理由 【答案
44、】 （1） 17 5 ； （2）K1 （ 1 2 ， 25 8 ） ，K2（ 1 2 ，-2） ，K3（ 1 2 ，-5） ，K4（ 1 2 ， 7 2 ） 【解析】 【分析】 （1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求出直线 BC 解析式，过 P 作 PTy 轴交 BC 于 T， 构造PTQACQ，设点 P 的横坐标为 m，通过相似三角形性质得出 PQ OQ 关于 m 的函数表达式，利用二 次函数最值即可； （2）存在先求出AOC 沿射线 CB 方向平移，并能使 C1B=O1B 时A1O1B 各顶点的坐标，在求出A1O1B 绕点 O1沿顺时针方向旋转 90 后得A2O1B1的各顶点坐
45、标，最后按照A2B1K 为等腰三角形进行分类讨论即 可 【详解】 解： （1）在抛物线 y=- 3 4 x2+ 9 4 x+3 中，令 x=0，得 y=3，C（0，3） ； 令 y=0，得- 3 4 x2+ 9 4 x+3=0，解得：x1=-1，x2=4，B（4，0） 设直线 BC 解析式为 y=kx+b，将 B（4，0） ，C（0，3） ；代入并解得：k= 3 4 ，b=3 直线 BC 解析式为 y= 3 4 x+3； 过 P 作 PTy 轴交 BC 于 T，设 P（t， 2 3 4 t+ 9 4 t+3） ，则 T（t， 3 4 t+3） ，如图所示： PT=（ 2 3 4 t+ 9 4
46、t+3）-（ 3 4 t+3）= 2 3 4 t+3t，OC=3； PTy 轴 PTQACQ PQ OQ = PT OC = 2 1 4 t+t= 2 1 (2)1 4 t 当 t=2 时， PQ OQ 值最大；此时，P（2， 9 2 ） ，PT=3； 在 RtBOC 中，BC= 22 OBOC =5， 当 NEBC 时，NE= 3 5 BE，此时，NE- 3 5 BE=0 最小， MN=1，PM+MN 的最小值即 PM 最小值 PMBC 时，PM 最小 过 P 作 PMBC 于 M，PMT=BOC=90 PTM=BCO PM OB PT BC = 4 5 PM= 4 5 PT=12 5 ， 故 PM+MN+NE- 3 5 BE 的最小值= 17 5 ； （2）存在在AOC 中，AOC=90 ，OA=1，OC=3，AC= 10 如图 2， 由平移得：C1O1=OC=3，A1O1=OA=1，A1C1=AC= 10， C1B=O1B，C1O1OB C1G= 1 2 C1O1= 3 2 BG=2，OG=2 C1（2， 3 2 ） ，O1（2， 3 2 ） ，A
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