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    (精品资料)2020年中考数学压轴题突破专题十图形变换综合题探究专题解析版

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    (精品资料)2020年中考数学压轴题突破专题十图形变换综合题探究专题解析版

    1、(精品资料)(精品资料)20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题十专题十 图形图形 变换综合题探究专题变换综合题探究专题 类型一 【图形的平移】 【典例指引 1】1两个三角板 ABC,DEF 按如图所示的位置摆放,点 B 与点 D 重合,边 AB 与边 DE 在同 一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,CDEF90 ,ABCF30 ,AC DE4 cm.现固定三角板 DEF,将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移,当点 C 落在边 EF 上时停止运动设 三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y (cm2) (1)当点 C 落在边 E

    2、F 上时,x_cm; (2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (3)设边 BC 的中点为点 M,边 DF 的中点为点 N,直接写出在三角板平移过程中,点 M 与点 N 之间距离的 最小值 【举一反三】 如图, 将两块全等的三角板拼在一起, 其中ABC 的边 BC 在直线 l 上, ACBC 且 AC=BC; EFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF 与边 AC 重合,EFFP 且 EF=FP (1)在图中,通过观察、测量,猜想直接写出 AB 与 AP 满足的数量关系和位置关系,不要说明理由; (2)将三角板EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时,EP 交 AC 于点

    3、Q,连接 AP、BQ猜想写出 BQ 与 AP 满足的数量关系和位置关系,并说明理由 类型二 【图形的轴对称-折叠】 【典例指引 2】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中,点(3,0),点(0,4),点(0,0).是 边上的一点(点不与点,重合),沿着折叠该纸片,得点的对应点. ()如图,当 = 30时,求点的坐标; ()如图,当点落在轴上时,求点的坐标; ()当与坐标轴平行时,求点的坐标(直接写出结果即可). 【举一反三】如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,将该矩形沿 AE 折叠,使点 D 落在边 BC 上的点 F 处,过点 F 作 FGCD,交 AE 于点 G,连接 D

    4、G (1)求证:四边形 DEFG 为菱形; (2)若 CD=8,CF=4,求 CE DE 的值 类型三 【图形的旋转】 【典例指引3】 如图 1, 点 O是正方形 ABCD 两对角线的交点, 分别延长 OD到点G, OC到点E, 使OG=2OD, OE=2OC,然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG,连接 AG,DE (1)求证:DEAG; (2)正方形 ABCD 固定,将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角(0 360 )得到正方形 OEFG,如 图 2 在旋转过程中,当OAG是直角时,求 的度数; 若正方形 ABCD 的边长为 1,在旋转过程中,求 AF长的最大值和此时 的度数

    5、,直接写出结果不必说明 理由 【举一反三】 (1) (问题发现) 如图 1,在 Rt ABC 中,ABAC2,BAC90 ,点 D 为 BC 的中点,以 CD 为一边作正方形 CDEF, 点 E 恰好与点 A 重合,则线段 BE 与 AF 的数量关系为 (2) (拓展研究) 在(1)的条件下,如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转,连接 BE,CE,AF,线段 BE 与 AF 的数量关系有无变 化?请仅就图 2 的情形给出证明; (3) (问题发现) 当正方形 CDEF 旋转到 B,E,F 三点共线时候,直接写出线段 AF 的长 类型四 【图形的位似】 【典例指引 4】如图,二次函数 y=x23

    6、x 的图象经过 O(0,0) ,A(4,4) ,B(3,0)三点,以点 O 为位 似中心,在 y 轴的右侧将 OAB 按相似比 2:1 放大,得到 OAB,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象经 过 O,A,B三点 (1)画出 OAB,试求二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的表达式; (2)点 P(m,n)在二次函数 y=x23x 的图象上,m0,直线 OP 与二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象 交于点 Q(异于点 O) 连接 AP,若 2APOQ,求 m 的取值范围; 当点 Q 在第一象限内,过点 Q 作 QQ平行于 x 轴,与二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图

    7、象交于另一点 Q, 与二次函数 y=x23x 的图象交于点 M,N(M 在 N 的左侧) ,直线 OQ与二次函数 y=x23x 的图象交于点 P QPMQBN,则线段 NQ 的长度等于 【举一反三】如图所示,网格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形,我们把以格点间连线为边的三角 形称为“格点三角形”,图中的 ABC 是格点三角形在建立平面直角坐标系后,点 B 的坐标为(1,1) (1)把 ABC 向下平移 5 格后得到 A1B1C1,写出点 A1,B1,C1的坐标,并画出 A1B1C1; (2)把 ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 180 后得到 A2B2C2,写出点 A2,B2,C2的

    8、坐标,并画出 A2B2C2; (3)把 ABC 以点 O 为位似中心放大得到 A3B3C3,使放大前后对应线段的比为 12,写出点 A3,B3,C3 的坐标,并画出 A3B3C3. 【新题训练】 1在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形) ABC 的顶点 A,C 的坐标分别为(4,5) , (1,3) (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系; (2)写出点 B 的坐标 ; (3)将 ABC 向右平移 5 个单位长度,向下平移 2 个单位长度,画出平移后的图形 ABC; (4)计算 ABC的面积 (5)在 x 轴上存在一点 P,使 P

    9、A+PC 最小,直接写出点 P 的坐标. 2如图(1) ,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为(1,0) , (3,0) ,将线段 AB 先向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度,得到线段 CD,连接 AC,BD,构成平行四边形 ABDC (1)请写出点 C 的坐标为 ,点 D 的坐标为 ,S四边形ABDC ; (2)点 Q 在 y 轴上,且 S QABS四边形ABDC,求出点 Q 的坐标; (3)如图(2) ,点 P 是线段 BD 上任意一个点(不与 B、D 重合) ,连接 PC、PO,试探索DCP、CPO、 BOP 之间的关系,并证明你的结论 3 (问题情境)在综合实

    10、践课上,同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动,如图,先将一张长为 4, 宽为 3 的矩形纸片沿对角线剪开,拼成如图所示的四边形,则拼得的四边形 的周长是_. (操作发现)将图中的沿着射线方向平移,连结、,如图.当 的平移距离是的长度时,求四边形的周长. (操作探究)将图中的继续沿着射线方向平移,其它条件不变,当四边形是菱形时, 将四边形沿对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的 ABCD3AD4BD ABCD ABEDBADBCAFCEABE 1 2 BEAECF ABEDBABCD ABCD 矩形周长. 4如图,在的正方形方格中,每个小正方形的边长都为

    11、 1,顶点都在网格线交点处的三角形, 是一个格点三角形 在图中,请判断与是否相似,并说明理由; 在图中,以 O 为位似中心,再画一个格点三角形,使它与的位似比为 2:1 在图中,请画出所有满足条件的格点三角形,它与相似,且有一条公共边和一个公共角 5已知:是的高,且 . (1)如图 1,求证:; (2)如图 2,点 E 在 AD 上,连接,将沿折叠得到,与相交于点,若 BE=BC,求的大小; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接,过点作,交的延长线于点,若, ,求线段的长. 图 1. 图 2. 图 3. 6如图,长方形在平面直角坐标系的第一象限内,点 在轴正半轴上,点在轴的正半 轴上,点、分

    12、别是、的中点,点的坐标为. 6 6ABC 1ABCDEF 2ABC 3ABC ADABCBDCD BADCAD BEABEBEA BE A BACF BFC EFCCGEFEFG10BF 6EG CF OABC xOy A x C y DEOCBC30CDEE2,a (1)求的值及直线的表达式; (2) 现将长方形沿折叠, 使顶点落在平面内的点处, 过点作轴的平行线分别交轴 和于点,. 求的坐标; 若点为直线上一动点,连接 ,当为等腰三角形,求点的坐标. (说明:在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半) 7如图 1,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点

    13、O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n, ABD+ADB=ACB (1)填空:BAD 与ACB 的数量关系为_; (2)求的值; (3)将 ACD 沿 CD 翻折,得到 ACD(如图 2) ,连接 BA,与 CD 相交于点 P若 CD=,求 PC 的长 8如图,直线:y+4 与 x 轴、y 轴分别別交于点 M、点 N,等边 ABC 的高为 3,边 BC 在 x 轴 上,将 ABC 沿着 x 轴的正方向平移,在平移过程中,得到 A1B1C1,当点 B1与原点 O 重合时,解答下列 问题: a DE OABCDECCC yx BCFG C PDEPCPC DP 30 m n 5+1

    14、2 3 3 x (1)点 A1的坐标为 (2)求 A1B1C1的边 A1C1所在直线的解析式; (3)若以 P、A1、C1、M 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出 P 点坐标 9已知: ABC 和 ADE 均为等边三角形,连接 BE,CD,点 F,G,H 分别为 DE,BE,CD 中点 (1)当 ADE 绕点 A 旋转时,如图 1,则 FGH 的形状为 ,说明理由; (2)在 ADE 旋转的过程中,当 B,D,E 三点共线时,如图 2,若 AB=3,AD=2,求线段 FH 的长; (3)在 ADE 旋转的过程中,若 AB=a,AD=b(ab0) ,则 FGH 的周长是否存在最大值和最小值,

    15、若 存在,直接写出最大值和最小值;若不存在,说明理由 10综合与实践 问题背景 折纸是一种许多人熟悉的活动,将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的,但将一边三等分就不 是那么容易了,近些年,经过人们的不懈努力,已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法,最 著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法,现在被数学界称之为芳贺折纸三定理其中,芳贺折纸第 一定理的操作过程及内容如下(如图 1) : 操作 1:將正方形 ABCD 对折,使点 A 与点 D 重合,点 B 与点 C 重合再将正方形 ABCD 展开,得到折痕 EF; 操作 2: 再将正方形纸片的右下角向上翻折, 使点 C 与点 E

    16、重合, 边 BC 翻折至 BE 的位置, 得到折痕 MN, BE 与 AB 交于点 P则 P 即为 AB 的三等分点,即 AP:PB=2:1 解决问题 (1)在图 1 中,若 EF 与 MN 交于点 Q,连接 CQ求证:四边形 EQCM 是菱形; (2)请在图 1 中证明 AP:PB=2:l 发现感悟 若 E 为正方形纸片 ABCD 的边 AD 上的任意一点,重复“问题背景”中操作 2 的折纸过程,请你思考并解决 如下问题: (3)如图 2若 =2则= ; (4)如图 3,若=3,则= ; (5)根据问题(2) , (3) , (4)给你的启示,你能发现一个更加一般化的结论吗?请把你的结论写出

    17、来, 不要求证明 11在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时 针旋转矩形,得到矩形,点,的对应点分别为,. ()如图,当点落在边上时,求点的坐标; ()如图,当点落在线段上时,与交于点. 求证; 求点的坐标. ()记为矩形对角线的交点,为的面积,求的取值范围(直接写出结果即可). DE AE AP BP DE AE AP BP AOBC (0,0)O(5,0)A(0,3)B A AOBCADEFOBCDEF DBCD DBEADBCH ADBAOB H KAOBCSKDES 12已知 O 为直线 MN 上一点,OPMN,在等腰 Rt ABO 中,ACOP 交 OM 于

    18、C,D 为 OB 的中点,DEDC 交 MN 于 E (1) 如图 1,若点 B 在 OP 上,则AC OE(填“”,“”或“”);线段 CA、CO、CD 满足的等量关系 式是 ; (2) 将图 1 中的等腰 Rt ABO 绕 O 点顺时针旋转(),如图 2,那么(1)中的结论是否成立? 请说明理由; (3) 将图 1 中的等腰 Rt ABO 绕 O 点顺时针旋转(),请你在图 3 中画出图形,并直接写出线段 CA、CO、 CD 满足的等量关系式 ; 13如图 1,在中,点 ,分别在边,上,连 接,点,分别为,的中点. (1)观察猜想 图 1 中,线段与的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探

    19、究证明 把绕点逆时针方向旋转到图 2 的位置,连接,判断的形状,并说明理 由; (3)拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转,若,请直接写出面积的最大值. 14已知MAN=135 ,正方形 ABCD 绕点 A 旋转 (1)当正方形 ABCD 旋转到MAN 的外部(顶点 A 除外)时,AM,AN 分别与正方形 ABCD 的边 CB,CD 的延长线交于点 M,N,连接 MN 90BAO 045 如图 1,若 BM=DN,则线段 MN 与 BM+DN 之间的数量关系是 ; 如图 2,若 BMDN,请判断中的数量关系是否仍成立?若成立, 请给予证明;若不成立,请说明理由; (2) 如图 3, 当正方形 AB

    20、CD 旋转到MAN 的内部 (顶点 A 除外) 时, AM, AN 分别与直线 BD 交于点 M, N,探究:以线段 BM,MN,DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形,并说明理由 15已知:如图,是由一个等边 ABE 和一个矩形 BCDE 拼成的一个图形,其点 B,C,D 的坐标分别为(1, 2),(1,1),(3,1) (1)直接写出 E 点和 A 点的坐标; (2)试以点 B 为位似中心,作出位似图形 A1B1C1D1E1,使所作的图形与原图形的位似比为 31; (3)直接写出图形 A1B1C1D1E1的面积 16如图 1,将长为 10 的线段 OA 绕点 O 旋转 90 得到 OB,

    21、点 A 的运动轨迹为,P 是半径 OB 上一动 点,Q 是上的一动点,连接 PQ. 发现:POQ_时,PQ 有最大值,最大值为_; 思考: (1)如图 2,若 P 是 OB 中点,且 QPOB 于点 P,求的长; (2) 如图 3, 将扇形 AOB 沿折痕 AP 折叠, 使点 B 的对应点 B恰好落在 OA 的延长线上, 求阴影部分面积; 探究:如图 4,将扇形 OAB 沿 PQ 折叠,使折叠后的弧 QB恰好与半径 OA 相切,切点为 C,若 OP6,求 点 O 到折痕 PQ 的距离 AB AB BQ 17 (本小题 10 分) 将一个直角三角形纸片 ABO,放置在平面直角坐标系中,点 A(,

    22、0) ,点 B(0, 1) ,点 O(0,0) 过边 OA 上的动点 M(点 M 不与点 O,A 重合)作 MNAB 于点 N,沿着 MN 折叠该纸 片,得顶点 A 的对应点 A设 OM =m,折叠后的 AMN 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为 S 图 ()如图,当点 A与顶点 B 重合时,求点 M 的坐标; ()如图,当点 A落在第二象限时,AM 与 OB 相交于点 C,试用含 m 的式子表示 S; ()当 S=时,求点 M 的坐标(直接写出结果即可) 18如图 1,一副直角三角板满足 AB=BC,AC=DE,ABC=DEF=90 ,EDF=30 操作:将三角板 DEF 的直角顶点 E

    23、放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上,再将三角板 DEF 绕点 E 旋转,并使 边 DE 与边 AB 交于点 P,边 EF 与边 BC 于点 Q 探究一:在旋转过程中, (1)如图 2,当时,EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?并给出证明; (2)如图 3,当时,EP 与 EQ 满足怎样的数量关系?并说明理由; (3)根据你对(1) 、 (2)的探究结果,试写出当时,EP 与 EQ 满足的数量关系式为 ,其 3 3 24 1 CE EA 2 CE EA CE m EA 中 m 的取值范围是 (直接写出结论,不必证明) 探究二:若且 AC=30cm,连接 PQ,设 EPQ 的面积为 S(cm2

    24、) ,在旋转过程中: (1)S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由 (2)随着 S 取不同的值,对应 EPQ 的个数有哪些变化,求出相应 S 的值或取值范围 类型一 【图形的平移】 【典例指引 1】1两个三角板 ABC,DEF 按如图所示的位置摆放,点 B 与点 D 重合,边 AB 与边 DE 在同 一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,CDEF90 ,ABCF30 ,AC DE4 cm.现固定三角板 DEF,将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移,当点 C 落在边 EF 上时停止运动设 三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分

    25、的面积为y (cm2) (1)当点 C 落在边 EF 上时,x_cm; (2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (3)设边 BC 的中点为点 M,边 DF 的中点为点 N,直接写出在三角板平移过程中,点 M 与点 N 之间距离的 最小值 【答案】(1)10;(2)见解析; (3)3 . 【解析】 分析: (1)由锐角三角函数,得到 BG 的长,进而得出 GE 的长,又矩形的性质可求解; (2)分类讨论:当 0t4 时,根据三角形的面积公式可得答案;当 4t8 时,当810x时,根 2 CE EA 据面积的和差求解; (3)根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短,可得 M 在线

    26、段 NG 上,根据三角形的中位线,可得 NG 的长,根据锐角三角函数,可得 MG 的长,然后根据线段的和差求解. 详解:(1)如图: 作 CGAB 于 G 点 在 RtABC 中,由 AC=4,ABC=30,得 BC= tan30 AC o =4 3 在 RtBCG 中,BG=BCcos30 =6 四边形 CGEH 是矩形, CH=GE=BG+BE=6+4=10cm, 故答案为:10 . (2)当04x时,如解图 GDB60 ,GBD30 , DBx,DG x,BGx, 重叠部分的面积 y DG BG x xx2 48x时,如解图 BDx,DG x,BGx,BEx4, EH (x4) 重叠部分

    27、的面积 ySBDGSBEH DG BG BE EH, 即 y x x (x4) (x4), 化简得: 2 34 38 3 2433 yxx 当810x时,如解图 AC4,BC4 ,BDx,BEx4, EG (x4) 重叠部分的面积 ySABCSBEG AC BC BE EG, 即 y 4 4 (x4) (x4), 化简得: 2 34 316 3 633 yxx 综上所述, 2 2 2 3 (04) 8 34 38 3 (48) 2433 34 316 3 810 633 xx yxxx xxx (3) 3 【名师点睛】此题主要考查了几何变换综合,利用锐角三角函数和矩形的性质,利用三角形的面积,

    28、 面积的和差,分类讨论是解题关键,以防遗漏,利用垂线段最短,三角形的中位线定理,锐角三角函数 解答即可. 【举一反三】 如图, 将两块全等的三角板拼在一起, 其中ABC 的边 BC 在直线 l 上, ACBC 且 AC=BC; EFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF 与边 AC 重合,EFFP 且 EF=FP (1)在图中,通过观察、测量,猜想直接写出 AB 与 AP 满足的数量关系和位置关系,不要说明理由; (2)将三角板EFP 沿直线 l 向左平移到图的位置时,EP 交 AC 于点 Q,连接 AP、BQ猜想写出 BQ 与 AP 满足的数量关系和位置关系,并说明理由 【答案】 (1)

    29、AB=AP 且 ABAP, (2)BQ 与 AP 所满足的数量关系是 AP=BQ,位置关系是 APBQ 【解析】 分析: (1)根据等腰直角三角形性质得出 AB=AP,BAC=PAC=45 ,求出BAP=90 即可; (2)求出 CQ=CP,根据 SAS 证BCQACP,推出 AP=BQ,CBQ=PAC,根据三角形内角和定 理求出CBQ+BQC=90 ,推出PAC+AQG=90 ,求出AGQ=90 即可 详解: (1)AB=AP 且 ABAP。理由如下: ACBC 且 AC=BC,ABC 为等腰直角三角形, BAC=ABC=(180 ACB)=45 又ABC 与EFP 全等,同理可证PEF=4

    30、5 , BAP=45 +45 =90 ,AB=AP 且 ABAP (2)BQ 与 AP 所满足的数量关系是 AP=BQ,位置关系是 APBQ,理由如下: 延长 BQ 交 AP 于 G,由(1)知,EPF=45 ,ACP=90 , PQC=45 =QPC,CQ=CP ACB=ACP=90 ,AC=BC,在BCQ 和ACP 中, , BCQACP(SAS) , AP=BQ,CBQ=PAC ACB=90 ,CBQ+BQC=90 CQB=AQG,AQG+PAC=90 , AGQ=180 90 =90 ,APBQ 1 2 BCAC BCQACP CQCP 点睛:本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的

    31、性质和判定,三角形的内角和定理等知识点,主要 考查了学生的推理能力和猜想能力,题目比较好 类型二 【图形的轴对称-折叠】 【典例指引 2】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中,点(3,0),点(0,4),点(0,0).是 边上的一点(点不与点,重合),沿着折叠该纸片,得点的对应点. ()如图,当 = 30时,求点的坐标; ()如图,当点落在轴上时,求点的坐标; ()当与坐标轴平行时,求点的坐标(直接写出结果即可). 【答案】()点 B的坐标为(23,2) ;() 点 P 的坐标为( 12 7 , 12 7 ) ;() 点 B的坐标为( 16 5 , 12 5 ) 或( 12 5 ,- 1

    32、6 5 ). 【解析】()如图,过 B作 BCx 轴于 C,由 B 点坐标可得 OB 的长,根据折叠的性质可得BOP= POB=30,OB=OB,即可求出BOC=30 ,利用BOC 的正弦和余弦值求出 BC 和 OC 的长即可得点 B 的坐标;()过 P 作 PDx 轴, 由折叠性质可知BOP=BOP=45 ,可得 PD=OD,DA=3-OD,利用OAB 的正切值即可求出 PD 的值,进而可得点 P 的坐标;()分两种情况讨论:当 PB/x 轴时,过 B作 BEx 轴于 E,根据平行线的性质和折叠的性质可得BOE=OBA,利用BOE 的正弦和余弦求出 BE 和 OE 的 长即可得点 B的坐标;

    33、当 PB/y 轴时,PBx 轴,设 PB交 x 轴于 F,根据折叠性质可得B=OBA, 利用B的正弦和余弦即可求出 OF 和 BF 的长,即可得点 B的坐标. 【详解】()如图,过 B作 BCx 轴于 C, A(3,0) ,B(0,4) , OB=4,OA=3, 沿着折叠该纸片,得点的对应点. BOP=POB=30,OB=OB=4, BOC=30 , BC=OBsin30 =2,OC= OBcos30 =2 3, 点 B的坐标为(23,2) ()如图,过点 P 作 PDx 轴于 D, OPB是OPB 沿 OP 折叠得到,点落在轴上, BOP=BOP=45 , PD=OD, AD=OA-OD=3

    34、-OD, tanPAD= = 3= = 4 3, PD=OD=12 7 , 点 P 的坐标为(12 7 ,12 7 ). ()如图,当 PB/x 轴时,过 B作 BEx 轴于 E, OPB是OPB 沿 OP 折叠得到, PBO=OBA,OB=OB=4, OA=3,OB=5, AB=5, PB/x 轴, PBO=BOE, BOE=OBA, sinBOE=sinOBA= = 3 5,cosBOE= = 4 5, BE=OBsinBOE=12 5 ,OE=OBcosBOE=16 5 , 点 B的坐标为(16 5 ,12 5 ). 如图,当 PB/y 轴时,则 PBx 轴,设 PB交 x 轴于 F,

    35、B=OBA, sinB=3 5,cosB= 4 5, OF=OBsinB=12 5 ,BF=OBcosB=16 5 , 点 B在第四象限, 点 B的坐标为(12 5 ,-16 5 ). 综上所述:点 B的坐标为(16 5 ,12 5 )或(12 5 ,-16 5 ). 【名师点睛】 本题考查折叠的性质、平行线的性质及锐角三角函数的定义,正确得出折叠后的对应边和对应角并熟练掌 握三角函数的定义是解题关键. 【举一反三】如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,将该矩形沿 AE 折叠,使点 D 落在边 BC 上的点 F 处,过点 F 作 FGCD,交 AE 于点 G,连接 DG (1)求

    36、证:四边形 DEFG 为菱形; (2)若 CD=8,CF=4,求 CE DE 的值 【答案】 (1)证明见试题解析; (2) 3 5 【解析】(1) 由折叠的性质, 可以得到 DG=FG, ED=EF, 1=2, 由 FGCD, 可得1=3, 再证明 FG=FE, 即可得到四边形 DEFG 为菱形; (2)在 RtEFC 中,用勾股定理列方程即可 CD、CE,从而求出 CE DE 的值 【详解】解: (1)证明:由折叠的性质可知:DG=FG,ED=EF,1=2, FGCD, 2=3, FG=FE, DG=GF=EF=DE, 四边形 DEFG 为菱形; (2)设 DE=x,根据折叠的性质,EF=

    37、DE=x,EC=8x, 在 RtEFC 中, 222 FCECEF,即 222 4(8)xx, 解得:x=5,CE=8x=3, CE DE = 3 5 考点:1翻折变换(折叠问题) ;2勾股定理;3菱形的判定与性质;4矩形的性质;5综合题 类型三 【图形的旋转】 【典例指引3】 如图 1, 点O是正方形 ABCD 两对角线的交点, 分别延长 OD到点G, OC到点E, 使 OG=2OD, OE=2OC,然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG,连接 AG,DE (1)求证:DEAG; (2)正方形 ABCD 固定,将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角(0 360 )得到正方形 OE

    38、FG,如 图 2 在旋转过程中,当OAG是直角时,求 的度数; 若正方形 ABCD 的边长为 1,在旋转过程中,求 AF长的最大值和此时 的度数,直接写出结果不必说明 理由 【答案】 (1)见解析; (2)30 或 150 , AF 的长最大值为 2 2 2 ,此时 0 315 【解析】 (1)延长 ED 交 AG 于点 H,易证AOGDOE,得到AGO=DEO,然后运用等量代换证明 AHE=90 即可; (2)在旋转过程中,OAG成为直角有两种情况: 由 0 增大到 90 过程中,当OAG=90时,=30 , 由 90 增大到 180 过程中,当OAG=90时,=150 ; 当旋转到 A、O

    39、、F在一条直线上时,AF的长最大,AF=AO+OF= 2 2 +2,此时 =315 【详解】(1)如图 1,延长 ED 交 AG 于点 H, 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点, OA=OD,OAOD, OG=OE, 在AOG 和DOE 中, 90 OAOD AOGDOE OGOE , AOGDOE, AGO=DEO, AGO+GAO=90 , GAO+DEO=90 , AHE=90 , 即 DEAG; (2)在旋转过程中,OAG成为直角有两种情况: () 由 0 增大到 90 过程中,当OAG=90时, OA=OD= 1 2 OG= 1 2 OG, 在 RtOAG中,sinAGO=

    40、OA OG = 1 2 , AGO=30 , OAOD,OAAG, ODAG, DOG=AGO=30 , 即 =30 ; () 由 90 增大到 180 过程中,当OAG=90时, 同理可求BOG=30, =18030=150. 综上所述,当OAG=90时,=30 或 150 . 如图 3,当旋转到 A. O、F在一条直线上时,AF的长最大, 正方形 ABCD 的边长为 1, OA=OD=OC=OB= 2 2 , OG=2OD, OG=OG= 2, OF=2, AF=AO+OF= 2 2 +2, COE=45, 此时 =315 . 【名师点睛】 本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角

    41、三角函数的定义,掌握正方形的四条边相等、四个 角相等,旋转变换的性质是解题的关键,注意特殊角的三角函数值的应用 【举一反三】 (1) (问题发现) 如图 1,在 RtABC 中,ABAC2,BAC90 ,点 D 为 BC 的中点,以 CD 为一边作正方形 CDEF,点 E 恰好与点 A 重合,则线段 BE 与 AF 的数量关系为 (2) (拓展研究) 在(1)的条件下,如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转,连接 BE,CE,AF,线段 BE 与 AF 的数量关系有无变 化?请仅就图 2 的情形给出证明; (3) (问题发现) 当正方形 CDEF 旋转到 B,E,F 三点共线时候,直接写出线段

    42、AF 的长 【答案】 (1)BE= 2AF; (2)无变化; (3)31 或3+1 【解析】 (1)先利用等腰直角三角形的性质得出 AD= 2 ,再得出 BE=AB=2,即可得出结论; (2)先利用三角函数得出 2 2 CA CB ,同理得出 2 2 CF CE ,夹角相等即可得出ACFBCE,进而得出 结论; (3)分两种情况计算,当点 E 在线段 BF 上时,如图 2,先利用勾股定理求出 EF=CF=AD= 2,BF=6, 即可得出 BE= 62,借助(2)得出的结论,当点 E 在线段 BF 的延长线上,同前一种情况一样即可 得出结论 【详解】解: (1)在 RtABC 中,AB=AC=2

    43、, 根据勾股定理得,BC= 2AB=22, 点 D 为 BC 的中点,AD= 1 2 BC= 2, 四边形 CDEF 是正方形,AF=EF=AD= 2, BE=AB=2,BE= 2AF, 故答案为 BE= 2AF; (2)无变化; 如图 2,在 RtABC 中,AB=AC=2, ABC=ACB=45 ,sinABC= 2 2 CA CB , 在正方形 CDEF 中,FEC= 1 2 FED=45 , 在 RtCEF 中,sinFEC= 2 2 CF CE , CFCA CECB , FCE=ACB=45 ,FCEACE=ACBACE,FCA=ECB, ACFBCE, BECB AFCA = 2

    44、,BE=2AF, 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化; (3)当点 E 在线段 AF 上时,如图 2, 由(1)知,CF=EF=CD= 2, 在 RtBCF 中,CF= 2,BC=22, 根据勾股定理得,BF= 6,BE=BFEF=62, 由(2)知,BE= 2AF,AF=31, 当点 E 在线段 BF 的延长线上时,如图 3, 在 RtABC 中,AB=AC=2,ABC=ACB=45 ,sinABC= 2 2 CA CB , 在正方形 CDEF 中,FEC= 1 2 FED=45 , 在 RtCEF 中,sinFEC= 2 2 CF CE , CFCA CECB , FCE=ACB=45 ,FCB+ACB=FCB+FCE,FCA=ECB, ACFBCE, BECB AFCA = 2,BE=2AF, 由(1)知,CF=EF=CD= 2, 在 RtBCF 中,CF= 2,BC=22, 根据勾股定理得,BF= 6,BE=BF+EF=6+2, 由(2)知,BE= 2AF,AF=3+1 即:当正方形 CDEF 旋转到 B,E,F 三点共线时候,线段 AF 的长为 31 或3+1 类型四 【图形的位似】 【典例指引 4】如图,二次函数 y=x23x 的图象经过 O(0,0) ,A(4,4) ,B(3,0)三点,以点 O 为位 似中心,在 y 轴的右侧将OAB


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