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    (精品资料)2020年中考数学压轴题突破专题九动态几何定值问题解析版

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    (精品资料)2020年中考数学压轴题突破专题九动态几何定值问题解析版

    1、(精品资料)(精品资料)20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题九专题九 动态动态 几何定值问题几何定值问题 类型一 【线段及线段的和差为定值】 【典例指引1】 已知: ABC是等腰直角三角形, BAC90 , 将 ABC绕点C顺时针方向旋转得到 ABC, 记旋转角为 ,当 90 180 时,作 ADAC,垂足为 D,AD 与 BC 交于点 E (1)如图 1,当CAD15 时,作AEC 的平分线 EF 交 BC 于点 F 写出旋转角 的度数; 求证:EA+ECEF; (2)如图 2,在(1)的条件下,设 P 是直线 AD 上的一个动点,连接 PA,PF,若 AB 2,求

    2、线段 PA+PF 的最小值 (结果保留根号) 【举一反三】 如图(1) ,已知 =90MON ,点P为射线ON上一点,且 =4OP,B、C为射线OM和ON上的两个动点 (OCOP) ,过点P作PABC,垂足为点A,且=2PA,联结BP (1)若 1 2 PAC ABOP S S 四边形 时,求tan BPO的值; (2)设PCx, AB y BC 求y与x之间的函数解析式,并写出定义域; (3)如图(2),过点A作BP的垂线,垂足为点H,交射线ON于点Q,点B、C在射线OM和ON上运动 时, 探索线段OQ的长是否发生变化?若不发生变化, 求出它的值。 若发生变化, 试用含 x 的代数式表示OQ

    3、 的长 类型二 【线段的积或商为定值】 【典例指引 2】 如图, 矩形ABCD中,2,5,1ABBCBP, 0 90MPN, 将M P N绕点P从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F.当PN旋转 至PC处时,MPN的旋转随即停止. (1)特殊情形:如图,发现当PM过点A时,PN也恰好过点D,此时ABP是否与PCD相似?并 说明理由; (2)类比探究:如图,在旋转过程中, PE PF 的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理 由; (3)拓展延伸:设AEt时,EPF的面积为S,试用含t的代数式表示S; 在旋转过程中,若1t 时,求对

    4、应的EPF的面积; 在旋转过程中,当EPF的面积为 4.2 时,求对应的t的值. 【举一反三】 如图 1,已知直线 ya 与抛物线 2 1 4 yx交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧),交 y 轴于点 C (1)若 AB4,求 a 的值 (2)若抛物线上存在点 D(不与 A、B 重合),使 1 2 CDAB,求 a 的取值范围 (3)如图2,直线ykx2与抛物线交于点E、 F,点P是抛物线上的动点,延长PE、 PF分别交直线y2于M、 N 两点,MN 交 y 轴于 Q 点,求 QM QN 的值。 图 1 图 2 类型三 【角及角的和差定值】 【典例指引 3】如图,在 ABC 中,ABC60

    5、 ,BAC60 ,以 AB 为边作等边 ABD(点 C、D 在边 AB 的同侧) ,连接 CD (1)若ABC90 ,BAC30 ,求BDC 的度数; (2)当BAC2BDC 时,请判断 ABC 的形状并说明理由; (3)当BCD 等于多少度时,BAC2BDC 恒成立 【举一反三】 如图 1,抛物线 2 : 2Wyax的顶点为点A,与x轴的负半轴交于点D,直线AB交抛物线 W 于另一点 C,点B的坐标为1,0 (1)求直线AB的解析式; (2)过点C作CEx轴,交x轴于点E,若AC平分DCE,求抛物线 W 的解析式; (3) 若 1 2 a , 将抛物线 W 向下平移0m m个单位得到抛物线

    6、1 W, 如图 2, 记抛物线 1 W的顶点为 1 A, 与x轴负半轴的交点为 1 D,与射线BC的交点为 1 C问:在平移的过程中, 11 tan DC B是否恒为定值? 若是,请求出 11 tan DC B的值;若不是,请说明理由 类型四 【三角形的周长为定值】 【典例指引 4】如图,现有一张边长为2 2的正方形 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与点 A、 点 D 重合) ,将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF, 连接 BP,BH. (1)求证:EPBEBP ; (2)求证:APBBPH ; (3)当点 P 在

    7、边 AD 上移动时, PDH 的周长是否发生变化?不变化,求出周长,若变化,说明理由; (4)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式. 【举一反三】如图,在等腰直角三角形 ABC 中,C90 ,AB8 2,点 O 是 AB 的中点.将一个边长足 够大的 Rt DEF 的直角顶点 E 放在点 O 处,并将其绕点 O 旋转,始终保持 DE 与 AC 边交于点 G,EF 与 BC 边交于点 H. (1)当点 G 在 AC 边什么位置时,四边形 CGOH 是正方形. (2)等腰直角三角 ABC 的边被 Rt DEF 覆盖部分的两条线段 CG 与 CH 的长度之

    8、和是否会发生变化, 如不发 生变化,请求出 CG 与 CH 之和的值:如发生变化,请说明理由. 类型五 【三角形的面积及和差为定值】 【典例指引 5】综合与实践:矩形的旋转 问题情境: 在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动具体要求:如图 1,将长与宽都相 等的两个矩形纸片 ABCD 和 EFGH 叠放在一起,这时对角线 AC 和 EG 互相重合固定矩形 ABCD,将矩形 EFGH 绕 AC 的中点 O 逆时针方向旋转,直到点 E 与点 B 重合时停止,在此过程中开展探究活动 操作发现: (1)雄鹰小组初步发现:在旋转过程中,当边 AB 与 EF 交于点 M,边 CD

    9、 与 GH 交于点 N,如图 2、图 3 所示,则线段 AM 与 CN 始终存在的数量关系是 (2)雄鹰小组继续探究发现:在旋转开始后,当两个矩形纸片重叠部分为四边形 QMRN 时,如图 3 所示, 四边形 QMRN 为菱形,请你证明这个结论 (3)雄鹰小组还发现在问题(2)中的四边形 QMRN 中MQN 与旋转角AOE 存在着特定的数量关系, 请你写出这一关系,并说明理由 实践探究: (4) 在图 3 中, 随着矩形纸片 EFGH 的旋转, 四边形 QMRN 的面积会发生变化 若矩形纸片的长为2+ 2, 宽为 2,请你帮助雄鹰小组探究当旋转角AOE 为多少度时,四边形 QMRN 的面积最大?

    10、最大面积是多 少?(直接写出答案) 【举一反三】 如图 1,矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,以点 E 直角顶点的直角三角形 EFG 的两边 EF,EG 分别过点 B, C,F30 . (1)求证:BECE (2) 将 EFG 绕点 E 按顺时针方向旋转, 当旋转到 EF 与 AD 重合时停止转动.若 EF, EG 分别与 AB, BC 相交于点 M,N.(如图 2) 求证: BEMCEN; 若 AB2,求 BMN 面积的最大值; 当旋转停止时,点 B 恰好在 FG 上(如图 3) ,求 sinEBG 的值. 【新题训练】 1已知在平行四边形 ABCD 中,AB=6,BC=10,BAD

    11、=120 ,E 为线段 BC 上的一个动点(不与 B,C 重 合) ,过 E 作直线 AB 的垂线,垂足为 F,FE 与 DC 的延长线相交于点 G, (1)如图 1,当 AEBC 时,求线段 BE、CG 的长度 (2)如图 2,点 E 在线段 BC 上运动时,连接 DE,DF, BEF 与 CEG 的周长之和是否是一个定值,若 是请求出定值,若不是请说明理由 (3)如图 2,设 BE=x, DEF 的面积为 y,试求出 y 关于 x 的函数关系式 2如图,边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上,以点 C 为顶点的抛物线经过点 A,点 P 是抛物线上 点 A、C 间的一个动点(含端点

    12、) ,过点 P 作 PFBC 于点 F,点 D、E 的坐标分别为(0,6) , (4,0) , 连接 PD,PE,DE (1)求抛物线的解析式; (2)小明探究点 P 的位置是发现:当点 P 与点 A 或点 C 重合时,PD 与 PF 的差为定值,进而猜想:对于 任意一点 P,PD 与 PF 的差为定值,请你判定该猜想是否正确,并说明理由; (3)请直接写出 PDE 周长的最大值和最小值 3如图,四边形 ABCD 中,ADBC,ABC=90 (1)直接填空:BAD=_ . (2)点 P 在 CD 上,连结 AP,AM 平分DAP,AN 平分PAB,AM、AN 分别与射线 BP 交于点 M、N设

    13、 DAM= 求BAN 的度数(用含 的代数式表示) 若 ANBM,试探究AMB 的度数是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,请用 的代数 式表示它 4将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点 A 旋转,连接 BC,DE探究 S ABC与 S ADC的比是 否为定值 (1)两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时,S ABC:S ADE是否为定值?如果是,求出此定值,如果 不是,说明理由 (图) (2)一块是等腰直角三角板,另一块是含有 30 角的直角三角板时,S ABC:S ADE是否为定值?如果是, 求出此定值,如果不是,说明理由 (图) (3)两块三角板中,BAE+CAD180

    14、 ,ABa,AEb,ACm,ADn(a,b,m,n 为常数) ,S ABC: S ADE是否为定值?如果是,用含 a,b,m,n 的式子表示此定值(直接写出结论,不写推理过程) ,如果不 是,说明理由 (图) 5 (解决问题)如图 1,在中,于点点是边上任意一点,过ABC10ABACCGABGPBC 点作,垂足分别为点,点 (1)若,则的面积是_,_ (2)猜想线段,的数量关系,并说明理由 (3)(变式探究) 如图 2, 在中, 若, 点是内任意一点, 且, ,垂足分别为点,点,点,求的值 (4) (拓展延伸)如图 3,将长方形沿折叠,使点落在点上,点落在点处,点为 折痕上的任意一点, 过点作

    15、, 垂足分别为点, 点 若, 直接写出的值 6如图,已知锐角 ABC 中,AB、AC 边的中垂线交于点 O PPEABPFACEF 3PE 5PF ABPCG PEPFCG ABC10ABACBCPABCPEBC PFACPGABEFGPEPFPG ABCDEFDBC C P EFPPGBEPHBCGH8AD3CF PGPH (1)若A=(0 90 ) ,求BOC; (2)试判断ABO+ACB 是否为定值;若是,求出定值,若不是,请说明理由 7 O 的直径 AB15cm, 有一条定长为 9cm 的动弦, CD 在弧 AB 上滑动 (点 C 和 A、 点 D 与 B 不重合) , 且 CECD

    16、交 AB 于 E,DFCD 交 AB 于 F (1)求证:AEBF (2)在动弦 CD 滑动过程中,四边形 CDFE 的面积是否为定值,若是定值,请给出证明,并求这个定值, 若不是,请说明理由. 8 如图, 动点在以为圆心,为直径的半圆弧上运动 (点 不与点及的中点重合) , 连接.过点作于点,以为边在半圆同侧作正方形,过点作的切线 交射线于点,连接、. (1)探究:如左图,当动点在上运动时; 判断是否成立?请说明理由; 设 ,是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由; 设, 是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由; (2)拓展:如右图,当动点在上运动时; 分别判断(1)中的

    17、三个结论是否保持不变?如有变化,请直接写出正确的结论.(均不必说明理由) 9 如图, 已知的半径为,为直径,为弦与交于点, 将 沿着翻折后, 点与圆心重合,延长至,使,链接 ( )求的长 ()求证:是的切线 () 点为的中点, 在延长线上有一动点, 连接交于点, 交于点(与、 不重合) 则为一定值请说明理由,并求出该定值 10在平面直角坐标系中,点 A 和点 B 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上,且 OA=6,OB=8,点 D 是 AB 的中点 (1)直接写出点 D 的坐标及 AB 的长; (2) 若直角NDM 绕点 D 旋转, 射线 DP 分别交 x 轴、 y 轴于点 P、 N,

    18、射线 DM 交 x 轴于点 M, 连接 MN 当点 P 和点 N 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴时,若 PDMMON,求点 N 的坐标; 在直角NDM 绕点 D 旋转的过程中,DMN 的大小是否会发生变化?请说明理由 11如图, AOB 中,A(8,0) ,B(0,) ,AC 平分OAB,交 y 轴于点 C,点 P 是 x 轴上一点,P 经过点 A、C,与 x 轴于点 D,过点 C 作 CEAB,垂足为 E,EC 的延长线交 x 轴于点 F, (1)P 的半径为 ; (2)求证:EF 为P 的切线; (3)若点 H 是上一动点,连接 OH、FH,当点 H 在上运动时,试探究是否为定值

    19、?若为定 值,求其值;若不是定值,请说明理由. O2ABCDABCDM CD CD AOOAPAPOAPC 1CD 2PCO 3G ADB PC QQG ABE BC FFB CGE GF 32 3 CDCD OH FH 12如图,在菱形 ABCD 中,ABC60 ,AB2过点 A 作对角线 BD 的平行线与边 CD 的延长线相交 于点 EP 为边 BD 上的一个动点(不与端点 B,D 重合) ,连接 PA,PE,AC (1)求证:四边形 ABDE 是平行四边形; (2)求四边形 ABDE 的周长和面积; (3)记 ABP 的周长和面积分别为 C1和 S1, PDE 的周长和面积分别为 C2和

    20、 S2,在点 P 的运动过程中, 试探究下列两个式子的值或范围:C1+C2,S1+S2,如果是定值的,请直接写出这个定值;如果不是定值 的,请直接写出它的取值范围 13如图,在中,圆心关于弦的对称点恰好在 上,连接、. (1)求证:四边形是菱形; (2)如图,若点是优弧(不含端点、)上任意一点,连接交于点,的半径为 . 试探究 线段与的积 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由; 求的取值范围. OOABCOACBCBOAO AOBC Q AmB AB CQ ABPO 2 3 CP CQCP CQ CPPO 14如图,抛物线的顶点坐标为 C(0,8) ,并且经过 A(8,0) ,点

    21、P 是抛物线上点 A,C 间的一个动点(含 端点) ,过点 P 作直线 y=8 的垂线,垂足为点 F,点 D,E 的坐标分别为(0,6) , (4,0) ,连接 PD,PE, DE (1)求抛物线的解析式; (2)猜想并探究:对于任意一点 P,PD 与 PF 的差是否为固定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请 说明理由; (3)求:当 PDE 的周长最小时的点 P 坐标;使 PDE 的面积为整数的点 P 的个数 15如图 1,点、,其中、满足 ,将点、分别向上平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位至、,连接、. (1)直接写出点的坐标:_; ,0A a ( ,0)B ba b 2 340a

    22、bbaAB CDACBD D (2)连接交于一点,求的值: (3)如图 2,点从点出发,以每秒 1 个单位的速度向上平移运动,同时点从点出发,以每秒 2 个单位的速度向左平移运动,设射线交轴于.问的值是否为定值?如果是定值,请 求出它的值;如果不是定值,请说明理由. 16如图所示,为等腰底边上一动点, 于于, , 问当点在边上运动时,的值是否为定值, 如果是, 求出这个定值, 如果不是,说明理由 17如图,在平面直角坐标系中,已知直线和与轴分别相交于点和点,设两直 线相交于点,点为的中点,点是线段上一个动点(不与点和重合) ,连结,并过 点作交于点 ( )判断的形状,并说明理由 ()当点在线段

    23、上运动时,四边形的面积是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是, 请说明理由 ()当点的横坐标为时,在轴上找到一点使得的周长最小,请直接写出点的坐标 类型一 【线段及线段的和差为定值】 【典例指引 1】 已知: ABC 是等腰直角三角形, BAC90 , 将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转得到ABC, 记旋转角为 ,当 90 180 时,作 ADAC,垂足为 D,AD 与 BC 交于点 E ADOCF CF OF MONB DN y F FMDOFN SS DABCBCDEAB ,E DFAC F 8,24 ABC ACcm SDCDEDF 2yx6yx x AB CDABEACACDE DD

    24、FDEBCF 1ABC 2EACCEDF 3E 1 2 xPPEFP (1)如图 1,当CAD15 时,作AEC 的平分线 EF 交 BC 于点 F 写出旋转角 的度数; 求证:EA+ECEF; (2)如图 2,在(1)的条件下,设 P 是直线 AD 上的一个动点,连接 PA,PF,若 AB 2,求线段 PA+PF 的最小值 (结果保留根号) 【答案】 (1)105 ,见解析; (2) 62 6 【解析】 (1)解直角三角形求出ACD 即可解决问题, 连接 AF,设 EF 交 CA于点 O,在 EF 时截取 EM=EC,连接 CM首先证明CFA是等边三角形,再证明 FCMACE(SAS) ,即

    25、可解决问题 (2) 如图 2 中, 连接 AF, PB, AB, 作 BMAC 交 AC 的延长线于 M 证明AEFAEB, 推出 EF=EB, 推出 B,F 关于 AE 对称,推出 PF=PB,推出 PA+PF=PA+PBAB,求出 AB即可解决问题 【详解】 解: 由CAD15 , 可知ACD=90 -15 =75 , 所以ACA=180 -75 =105 即旋转角 为 105 证明:连接 AF,设 EF 交 CA于点 O在 EF 时截取 EMEC,连接 CM CEDACE+CAE45 +15 60 , CEA120 , FE 平分CEA, CEFFEA60 , FCO180 45 75

    26、60 , FCOAEO,FOCAOE, FOCAOE, OF A O OC OE , OF OC AO OE , COEFOA, COEFOA, FAOOEC60 , ACF 是等边三角形, CFCAAF, EMEC,CEM60 , CEM 是等边三角形, ECM60 ,CMCE, FCAMCE60 , FCMACE, FCMACE(SAS) , FMAE, CE+AEEM+FMEF (2)解:如图 2 中,连接 AF,PB,AB,作 BMAC 交 AC 的延长线于 M 由可知,EAFEAB75 ,AEAE,AFAB, AEFAEB, EFEB, B,F 关于 AE 对称, PFPB, PA+

    27、PFPA+PBAB, 在 RtCBM 中,CBBC 2AB2,MCB30 , BM 1 2 CB1,CM3, AB 22 AMB M 22 ( 23)1 62 6 PA+PF 的最小值为 62 6 【名师点睛】 本题属于四边形综合题,考查旋转变换相关,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质以及三 角形的三边关系等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思 想思考问题,属于中考压轴题,难度较大 【举一反三】 如图(1) ,已知=90MON,点P为射线ON上一点,且=4OP,B、C为射线OM和ON上的两个动点 (OCOP) ,过点P作PABC,垂足为点A,

    28、且=2PA,联结BP (1)若 1 2 PAC ABOP S S 四边形 时,求tan BPO的值; (2)设PCx, AB y BC 求y与x之间的函数解析式,并写出定义域; (3)如图(2),过点A作BP的垂线,垂足为点H,交射线ON于点Q,点B、C在射线OM和ON上运动 时, 探索线段OQ的长是否发生变化?若不发生变化, 求出它的值。 若发生变化, 试用含 x 的代数式表示OQ 的长 【答案】 (1) 3 tan 2 OB OPB OP ; (2) 2 44 4 x y xx (x2); (3)OQ 的长度等于 3. 【解析】 (1)根据有两对角相等的三角形相似可证明CAPCOB,由相似

    29、三角形的性质可知: 2 () PAC COB AP OB S S ,在由已知条件可求出 OB 的长,由正切的定义计算即可; (2)作 AEPC 于 E,易证PAEPCA,根据相似三角形的性质:对应边的比值相等 4 PE x ,再利用 平行线的性质即可得到 AB OE BCOC ,所以 4 4 4 x y x ,整理即可得到求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出 定义域即可; (3) 点 B、 C 在射线 OM 和 ON 上运动时, 探索线段 OQ 的长不发生变化, 由PAHPBA 得: PAPH PBPA , 即 PA 2=PHPB,由PHQPOB 得: PQPH PBPO 即 PQPO=P

    30、HPB,所以 PA 2 =PQPO,再由已知数据 即可求出 OQ 的长 【详解】 (1)ACP=OCB CAP=O=90 CAPCOB 2 () PAC COB AP OB S S 1 2 PAC ABOP S S 四边形 1 3 PAC COB S S 2 1 () 3 AP OB AP=2 2 3OB 在 RtOBP 中, 3 tan 2 OB OPB OP (2)作 AEPC,垂足为 E, 易证PAEPCA PA PE PCPA 2 2PE x 4 PE x MON=AEC=90 AEOM ABOE BCOC 4 4 4 x y x 整理得 2 44 4 x y xx (x2) (3)线

    31、段 OQ 的长度不会发生变化 由PAHPBA 得 PAPH PBPA 即 2 PAPH PB 由PHQPOB 得 PQPH PBPO 即PQ POPH PB 2 PAPQ PO PA=2 PO=4 PQ=1 OQ=3 即 OQ 的长度等于 3. 【点睛】 此题考查相似形综合题,解题关键在于作辅助线 类型二 【线段的积或商为定值】 【典例指引 2】 如图, 矩形ABCD中,2,5,1ABBCBP, 0 90MPN, 将M P N绕点P从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB(或AD)于点E,PN交边AD(或CD)于点F.当PN旋转 至PC处时,MPN的旋转随即停止. (1)特殊情形:如图,发

    32、现当PM过点A时,PN也恰好过点D,此时ABP是否与PCD相似?并 说明理由; (2)类比探究:如图,在旋转过程中, PE PF 的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理 由; (3)拓展延伸:设AEt时,EPF的面积为S,试用含t的代数式表示S; 在旋转过程中,若1t 时,求对应的EPF的面积; 在旋转过程中,当EPF的面积为 4.2 时,求对应的t的值. 【答案】 (1)相似; (2)定值, 1 2 PE PF ; (3)2, 4 5 2 5 t . 【解析】 (1)根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案; (2)由EBPPGF得出 PEBP PFGF ,又2,1FGAB

    33、BP为定值,即可得出答案; (3)先设,2AEt BEt结合 EPFAEFBEPPFGABGF SSSSS 矩形 得出 2 45Stt将 t=1 代入 2 45Stt中求解即可得出答案; 将 s=4.2 代入 2 45Stt中求解即可得出答案. 【详解】 (1)相似 理由: 0 90BAPBPA, 0 90CPDBPA, BAPCPD, 又 0 90ABPPCD , ABPPCD; (2) 在旋转过程中 PE PF 的值为定值, 理由如下:过点F作FGBC于点G,BEPGPF, 0 90EBPPGF ,EBPPGF, PEBP PFGF , 四边形ABCD为矩形,四边形ABGF为矩形, 2,1

    34、FGABBP 1 2 PE PF 即在旋转过程中, PE PF 的值为定值, 1 2 PE PF ; (3)由(2)知:EBPPGF, 1 2 BEPE PGPF , 又,2AEt BEt, 2 242PBtt,1425 2BGAFBPPGtt , EPFAEFBEPPFGABGF SSSSS 矩形 2 111 2 52521224245 222 ttttttt 即: 2 45Stt; 当1t 时,EPF的面积 2 14 1 52S , 当4.2 EPF S时, 2 454.2tt 解得: 1 4 5 2 5 t , 2 4 5 2 5 t (舍去) 当EPF的面积为 4.2 时, 4 5 2

    35、 5 t ; 【名师点睛】 本题考查的是几何综合,难度系数较高,涉及到了相似以及矩形等相关知识点,第三问解题关键在于求出 面积与 AE 的函数关系式. 【举一反三】 如图 1,已知直线 ya 与抛物线 2 1 4 yx交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧),交 y 轴于点 C (1)若 AB4,求 a 的值 (2)若抛物线上存在点 D(不与 A、B 重合),使 1 2 CDAB,求 a 的取值范围 (3)如图2,直线ykx2与抛物线交于点E、 F,点P是抛物线上的动点,延长PE、 PF分别交直线y2于M、 N 两点,MN 交 y 轴于 Q 点,求 QM QN 的值。 图 1 图 2 【答案】

    36、 (1)1a ; (2)4a; (3)8 【解析】 (1)将两个函数解析式联立,解一元二次方程求得 A、B 的横坐标,进而表示出 AB,即可解答; (2)由(1)可得 CD= 1 2 AB=2 a,设 D( 4,)m m ,过点 D 作 DHy 轴于点 H,利用勾股定理可知 222 DHCHCD,进而得到( )(4)0ma ma ,得到40m a ,根据函数图象可知0m ,即 可求得 a 的取值范围; (3)设 E( 2 11 1 , 4 xx) ,F( 2 22 1 , 4 xx) ,P( 2 1 , 4 nn) ,分别表示 EP 和 FP 的解析式,当2y 时,求得 1 1 8 M nx

    37、x nx , 2 2 8 N nx x nx ,联立 2 1 4 yx和 ykx2,得到 2 1 20 4 xkx,利用一元二次方程根与 系数的关系得到 121 2 4 ,8xxk x x ,代入 MN QM QNxx 即可解答. 【详解】 (1)联立 2 1 4 yx ya , 2 1 4 xa,解得: 12 2,2xa xa 44 BA ABxxa 1a (2)由(1)知 AB=4 a, CD= 1 2 AB=2 a 设 D( 4 ,)m m 过点 D 作 DHy 轴于点 H,则 222 DHCHCD 22 ( 4)()4mama ()(4)0ma ma 又ma 40m a 4ma 又0m

    38、 40a 4a (3)设 E( 2 11 1 , 4 xx) ,F( 2 22 1 , 4 xx) ,P( 2 1 , 4 nn) EP 解析式为y txb 将 P,E 代入可得: 11 11 () 44 ynx xnx 当2y 时,可求 1 1 8 M nx x nx , 同理可求 FP 的解析式为 22 11 () 44 ynx xnx 2 2 8 N nx x nx 又联立 2 1 4 2 yx ykx 得: 2 1 20 4 xkx 121 2 4 ,8xxk x x 2 121212 2 121212 888 ()64 () MN nxnxn x xn xx QM QNxx nxnx

    39、nn xxx x 2 2 88464 8 48 nnk nnk 【点睛】 本题为二次函数与一次函数综合题,难度大,主要考查二次函数与一次函数交点问题,还涉及了一元二次 方程和勾股定理等知识,熟练掌握一次函数与二次函数的性质和相关知识点是解题关键. 类型三 【角及角的和差定值】 【典例指引 3】如图,在ABC 中,ABC60 ,BAC60 ,以 AB 为边作等边ABD(点 C、D 在边 AB 的同侧) ,连接 CD (1)若ABC90 ,BAC30 ,求BDC 的度数; (2)当BAC2BDC 时,请判断ABC 的形状并说明理由; (3)当BCD 等于多少度时,BAC2BDC 恒成立 【答案】

    40、(1)30 ; (2)ABC 是等腰三角形,理由见解析; (3)当BCD=150 时,BAC=2BDC 恒成立. 【解析】 (1)证明 AC 垂直平分 BD,从而可得 CD=BC,继而得BDC=30 ; (2)设BDC=x,则BAC=2x,证明ACD=ADC,从而得 AC=AD,再根据 AB=AD 可得 AB=AC,从而 得ABC 是等腰三角形; (3)如图, 作等边BCE,连接 DE,证明BCDECD 后可得到BDE=2BDC,再通过证明BDE BAC 得到BAC=BDE,从而得BAC=2BDC. 【详解】 (1)ABD 为等边三角形, BAD=ABD=60 ,AB=AD, 又BAC=30

    41、, AC 平分BAD, AC 垂直平分 BD, CD=BC, BDC=DBC=ABC-ABD=90 -60 =30 ; (2)ABC 是等腰三角形, 理由:设BDC=x,则BAC=2x, 有CAD=60 -2x,ADC=60 +x, ACD=180 -CAD-ADC=60 +x, ACD=ADC, AC=AD, 又AB=AD, AB=AC, 即ABC 是等腰三角形; (3)当BCD=150 时,BAC=2BDC 恒成立, 如图, 作等边BCE,连接 DE, BC=EC,BCE=60 . BCD=150 , ECD=360 -BCD-BCE=150 , DCE=DCB. 又CD=CD, BCDE

    42、CD. BDC=EDC, 即BDE=2BDC. 又ABD 为等边三角形, AB=BD,ABD=CBE=60 , ABC=DBE=60 +DBC. 又BC=BE, BDEBAC. BAC=BDE, BAC=2BDC. 【名师点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等,熟练掌握和运用相关性质、结合图形正确添 加辅助线是解题的关键. 【举一反三】 如图 1,抛物线 2 : 2Wyax的顶点为点A,与x轴的负半轴交于点D,直线AB交抛物线 W 于另一点 C,点B的坐标为1,0 (1)求直线AB的解析式; (2)过点C作CEx轴,交x轴于点E,若AC平分DCE,求抛物线 W 的解析式;

    43、 (3) 若 1 2 a , 将抛物线 W 向下平移0m m个单位得到抛物线 1 W, 如图 2, 记抛物线 1 W的顶点为 1 A, 与x轴负半轴的交点为 1 D,与射线BC的交点为 1 C问:在平移的过程中, 11 tan DC B是否恒为定值? 若是,请求出 11 tan DC B的值;若不是,请说明理由 【答案】 (1)22yx; (2) 2 25 2 32 yx; (3) 11 tan DC B恒为定值 1 3 【解析】 (1)由抛物线解析式可得顶点 A 坐标为(0,-2) ,利用待定系数法即可得直线 AB 解析式; (2)如图,过点B作BNCD于N,根据角平分线的性质可得 BE=B

    44、N,由BND=CED=90 ,BND= CDE 可证明BNDCEDV: V,设 BE=x,BD=y,根据相似三角形的性质可得 CE=2x,CD=2y,根据勾股 定理由得 y 与 x 的关系式,即可用含 x 的代数式表示出 C、D 坐标,代入 y=ax2-2 可得关于 x、a 的方程组, 解方程组求出 a 值即可得答案; (3)过点B作BFCD于点F,根据平移规律可得抛物线 W1的解析式为 y= 1 2 x2-2-m,设点 1 D的坐标为 (t,0) (t0) ,代入 y= 1 2 x2-2-m 可得 2+m= 1 2 t2,即可的 W1的解析式为 y= 1 2 x2- 1 2 t2,联立直线 BC 解析式 可用含 t 的代数式表示出点 C1的坐标,即可得 11 C HD H,可得 11 45C D H o ,根据抛物线 W 的解析 式可得点D坐标, 联立直线BC与抛物线W的解析式可得点C、 A坐标, 即可求出CG、 DG的长, 可得CG=DG, CDG= 11 45C D H o ,即可证明 11/ / C DCD,可得 11 DC BDCB, 11 tan DC Btan DCB,由 CDG=45 可得 BF=DF,根据等腰三角形的性质可求出 DF 的长,利用勾股定理可求出 CD 的长,即可求 出 CF 的长,根据三角


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