1、（精品资料）（精品资料）20202020 年中考数学压轴题突破年中考数学压轴题突破专题七专题七 几何几何 图形动点运动问题图形动点运动问题 类型一 【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】 【典例指引 1】在 ABC 中，ACB45 ，点 D 为射线 BC 上一动点（与点 B、C 不重合） ，连接 AD，以 AD 为一边在 AD 右侧作正方形 ADEF （1）如果 ABAC，如图 1，且点 D 在线段 BC 上运动，判断BAD CAF（填“”或“”） ，并证 明：CFBD （2）如果 ABAC，且点 D 在线段 BC 的延长线上运动，请在图 2 中画出相应的示意图，此时（1）中的结 论是否成立
2、？请说明理由； （3）设正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与直线 CF 相交于点 P，若 AC4 2，CD2，求线段 CP 的长 【举一反三】 如图 1，点 C 在线段 AB 上， （点 C 不与 A、B 重合） ，分别以 AC、BC 为边在 AB 同侧作等边三角形 ACD 和 等边三角形 BCE，连接 AE、BD 交于点 P （1）观察猜想：线段 AE 与 BD 的数量关系为_；APC 的度数为_ （2）数学思考：如图 2，当点 C 在线段 AB 外时， （1）中的结论，是否仍然成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 （3）拓展应用：如图 3，分别以 AC、BC
3、 为边在 AB 同侧作等腰直角三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE， 其中ACD=BCE=90 ，CA=CD，CB=CE，连接 AE=BD 交于点 P，则线段 AE 与 BD 的关系为 _ 类型二 【确定动点运动过程中的运动时间】 【典例指引 2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4). （1）直接写出A点坐标（_，_） ，C点坐标（_，_） ； （2）如图，D 为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点,1P m，且四边形OADP的面积是 ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标； （3） 如图， 动点M从点C出发， 以每钞1个单位的速度沿线段C
4、B运动， 同时动点N从点A出发.以每秒2 个单位的連度沿线段AO运动， 当N到达O点时，M，N同时停止运动， 运动时间是t秒0t ， 在M， N运动过程中.当5MN 时，直接写出时间t的值. 【举一反三】如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，ABAC，AB3，BC5，点 P 从点 A 出发， 沿 AD 以每秒 1 个单位的速度向终点 D 运动连结 PO 并延长交 BC 于点 Q设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）求 BQ 的长， （用含 t 的代数式表示） （2）当四边形 ABQP 是平行四边形时，求 t 的值 （3）当点 O 在线段 AP 的垂直平分线上时，直接写出 t 的
5、值 类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】 【典例指引 3】已知矩形 ABCD 中，10cmAB，20cmBC ，现有两只蚂蚁 P 和 Q 同时分别从 A、B 出发，沿ABBCCDDA方向前进，蚂蚁 P 每秒走 1cm，蚂蚁 Q 每秒走 2cm问： （1）蚂蚁出发后 PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒? （2）P、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线 PQ 与边 AB 平行? 【举一反三】 如图，平面直角坐标系中，直线l分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点（AOAB）且 AO、AB 的长分别是一元二 次方程 x23x20 的两个根，点 C 在 x 轴负半轴上，且 AB：AC
6、=1:2. （1）求 A、C 两点的坐标； （2）若点 M 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 运动，连接 AM，设 ABM 的面积为 S，点 M 的运动时间为 t，写出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存 在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 类型四 【探究动点运动过程中图形的最值问题】 【典例指引 4】如图，抛物线 yax2 3 4 x+c 与 x 轴相交于点 A（2，0） 、B（4，0） ，与 y 轴相交于点 C， 连接 AC，B
7、C，以线段 BC 为直径作M，过点 C 作直线 CEAB，与抛物线和M 分别交于点 D，E，点 P 在 BC 下方的抛物线上运动 （1）求该抛物线的解析式； （2）当 PDE 是以 DE 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）当四边形 ACPB 的面积最大时，求点 P 的坐标并求出最大值 【举一反三】 已知：如图.在 ABC 中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点 P 由 B 出发，沿 BC 方向匀速运动.速度为 1cm/s.同时，点 Q 从点 A 出发， 沿 AC 方向匀速运动.速度为 1cm/s， 过点 P 作 PMBC 交 AB 于点 M， 过点 Q 作 QNBC， 垂足为点
8、 N，连接 MQ，若设运动时间为 t(s)(0t3)，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 M 是边 AB 中点? （2）设四边形 PNQM 的面积为 y(cm2)，求出 y 与 t 之间的函数关系式； （3） 是否存在某一时刻 t， 使 S 四边形 PNQM:S ABC=4:9?若存在， 求出此时 t 的值； 若不存在， 说明理由； （4）是否存在某一时刻 t，使四边形 PNQM 为正方形?若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由. 【新题训练】 1如图， ABC 是等边三角形，点 P 是 BC 上一动点（点 P 与点 B、C 不重合） ，过点 P 作 PMAC 交 AB 于
9、M，PNAB 交 AC 于 N，连接 BN、CM （1）求证：PM+PNBC； （2）在点 P 的位置变化过程中，BNCM 是否成立？试证明你的结论； （3）如图，作 NDBC 交 AB 于 D，则图成轴对称图形，类似地，请你在图中添加一条或几条线段， 使图成轴对称图形（画出一种情形即可） 2如图，在矩形 ABCD 中，AB=18，AD=12，点 M 是边 AB 的中点，连结 DM，DM 与 AC 交于点 G，点 E， F 分别是 CD 与 DG 上的点，连结 EF， (1)求证：CG=2AG. (2)若 DE=6，当以 E，F，D 为顶点的三角形与 CDG 相似时，求 EF 的长. (3)若
10、点 E 从点 D 出发，以每秒 2 个单位的速度向点 C 运动，点 F 从点 G 出发，以每秒 1 个单位的速度向 点 D 运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形 CEFG 的面积的最小值. 3知识链接：将两个含 30 角的全等三角尺放在一起，让两个 30 角合在一起成 60 ，经过拼凑、观察、思 考，探究出结论“直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半” 如图，等边三角形 ABC 的边长为 4cm，点 D 从点 C 出发沿 CA 向 A 运动，点 E 从 B 出发沿 AB 的延长线 BF 向右运动，已知点 D、E 都以每秒 0.5cm 的速度同时开始运动，
11、运动过程中 DE 与 BC 相交于点 P，设运动 时间为 x 秒 (1)请直接写出 AD 长 （用 x 的代数式表示） (2)当 ADE 为直角三角形时，运动时间为几秒？ (3)求证：在运动过程中，点 P 始终为线段 DE 的中点 4如图所示，已知抛物线与一次函数的图象相交于，两点， 点是抛物线上不与，重合的一个动点. （1）请求出，的值； （2）当点在直线上方时，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，的 长度为，求出关于的解析式； （3）在（2）的基础上，设面积为，求出关于的解析式，并求出当取何值时，取最大 值，最大值是多少？ 5已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC 是对角线，AB6
12、cm，BC8cm点 P 从点 D 出发，沿 DC 方向匀 速运动，速度为 1cm/s，同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 2cm/s，过点 Q 作 QMAB 2( 0)yax a ykxb( 1, 1)A (2, 4)B PAB a kb PABP y ABCP m PC LL m PABSS mm S 交 AC 于点 M，连接 PM，设运动时间为 t（s） （0t4） 解答下列问题： （1）当 t 为何值时，CPM90 ； （2）是否存在某一时刻 t，使 S四边形MQCP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）当 t 为何值时，点 P 在CAD 的角
13、平分线上 6在等边三角形 ABC 中，点 D 是 BC 的中点，点 E、F 分别是边 AB、AC（含线段 AB、AC 的端点）上的 动点，且EDF120 ，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探： （1）如图 1，小明发现：当DEB90 时，BE+CFnAB，则 n 的值为 ； 问题再探： （2）如图 2，在点 E、F 的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： DE 始终等于 DF；BE 与 CF 的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明 成果运用: （3） 若边长 AB8， 在点 E、 F 的运动过程中， 记四边形 DEAF 的周长为 L， LDE+EA+AF+FD， 则周长 L 取最
14、大值和最小值时 E 点的位置? 7如图，在矩形 ABCD 中，AB8cm，BC16cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运动到点 A 停止，同时， 点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速度都是 1cm/s连接 PQ、AQ、CP设点 P、Q 运动的时间为 ts (1)当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形； (2)当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形； (3)分别求出(2)中菱形 AQCP 的周长和面积 ABCD 15 32 S矩形 8如图，O 为菱形 ABCD 对角线的交点，M 是射线 CA 上的一个动点（点 M 与点 C、O、A 都不重合
15、） ，过 点 A、C 分别向直线 BM 作垂线段，垂足分别为 E、F，连接 OE，OF （1）依据题意补全图形； 猜想 OE 与 OF 的数量关系为_. （2）小东通过观察、实验发现点 M 在射线 CA 上运动时， （1）中的猜想始终成立 小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法： 想法 1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与 OAE 全等的三角形，从而得到相等的线段，再 依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想； 想法 2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组 OAB 和 EAB，再依据直角三角形斜边中线的性
16、质，菱形四边相等，可以构造一对以 OE 和 OF 为对应边的全等三 角形，即可证明猜想 请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可） （3）当ADC=120 时，请直接写出线段 CF，AE，EF 之间的数量关系是_ 9 （1） （问题情境）小明遇到这样一个问题： 如图，已知是等边三角形，点为边上中点，交等边三角形外角平分线 所在的直线于点，试探究与的数量关系 小明发现：过作，交于，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决请直接写出 与的数量关系，并说明理由 （2） （类比探究） 如图，当是线段上（除外）任意一点时（其他条件不变）试猜想与的数量关系并证 ABCDBC60ADEDE
17、 CEEADDE D/DFACABFAD DE DBC ,B C ADDE 明你的结论 （3） （拓展应用） 当是线段上延长线上，且满足（其他条件不变）时，请判断的形状，并说明理由 10如图，直线 y=x+4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax 2+ x+c 经过 B、C 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当 BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标； （3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动 点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、
18、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写 出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 11如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 P 是边 CD 上一动点，作直线 BP，过 A、C、D 三点分别作直 线 BP 的垂线段，垂足分别是 E、F、G DBCCDBCADE 2 3 10 3 （1）如图（a）所示，当 CP3 时，求线段 EG 的长； （2）如图（b）所示，当PBC30 时，四边形 ABCF 的面积； （3）如图（c）所示，点 P 在 CD 上运动的过程中，四边形 AECG 的面积 S 是否存在最大值？如果存在， 请求出PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如
19、果不存在，请说明理由 12已知：如图，在四边形中，垂直 平分.点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向 匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作，交于点， 过点作，分别交，于点，.连接，.设运动时间为，解答 下列问题： (1)当 为何值时，点在的平分线上？ (2)设四边形的面积为，求与 的函数关系式. (3)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由. 13已知：如图 1，矩形 OABC 的两个顶点 A，C 分别在 x 轴，y 轴上，点 B 的坐标是（8，2） ，点 P 是边 BC 上的一个动点，连接 AP
20、，以 AP 为一边朝点 B 方向作正方形 PADE，连接 OP 并延长与 DE 交于点 M， 设 CPa（a0） （1）请用含 a 的代数式表示点 P，E 的坐标 （2）连接 OE，并把 OE 绕点 E 逆时针方向旋转 90 得 EF如图 2，若点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上，求 a 与的值 （3）如图 1，当点 M 为 DE 的中点时，求 a 的值 在的前提下，并且当 a4 时，OP 的延长线上存在点 Q，使得 EQ+PQ 有最小值，请直接写出 EQ+ ABCD/AB CD90ACB10cmAB8cmBC OD ACPBBA1cm/s QD DC 1cm/sPPEABBCE O /QF
21、AC ADODFGOPEG t s05t t EBAC PEGO 2 mS c St OE OQtOEOQt EM DM 2 2 PQ 的最小值 14如图，边长为 6 的正方形中，分别是上的点，为垂足 （1）如图， AF=BF，AE=2，点 T 是射线 PF 上的一个动点，则当 ABT 为直角三角形时，求 AT 的 长； （2）如图，若，连接，求证： 15边长相等的两个正方形 ABCO、ADEF 如图摆放，正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，ED 交线段 OC 于点 G，ED 的延长线交线段 BC 于点 P，连 AG，已知 OA 长为. （1）求证：; （2）若，AG=2，求点 G
22、 的坐标； （3）在（2）条件下，在直线 PE 上找点 M，使以 M、A、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点 M 的坐 标. 2 2 ABCD ,E F,AD AB APBEP 3 AEAFCPCPFP 3 AOGADG 12 16定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。如矩形、等腰梯形都是“梦想四边形”. （1） 如图 1， 在四边形中， 是边上的一点，。 请判断四边形是否为“梦想四边形”，并说明理由； （2）如图 2，直线与轴、轴分别交于两点。点分别是线段上的动 点，点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，点从点出发以每秒 2 个单位长度的速 度向点运动，两点同时出发，设运
23、动时间为 秒。当四边形为“梦想四边形”时，求 的值； （3）如图 3，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点 ，的延长线相交于点。四边形为“梦想四边形”，且满足：； ； ； 。 点是抛物线上的一点，若恒成立，求的最小值。 17综合与实践探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是直线 AC 上的一个动点（点 E 与点 C，O， A 都不重合） ，过点 A，C 分别作直线 BE 的垂线，垂足分别为 F，G，连接 OF，OG. ABCDECD/ADBEBCCE 0 135A 0 105ABC ABCD 3 6 3 yx xy AB、
24、 PQ、 OA AB、 PO3A Q A BPQ、t BOPQt 2 yaxbxc x AB、 y C yx DACBD、EABDC2OC ACDBDC 2 ODOB OC2BDDE 00 ,P x y 2 yaxbxc 00 tyx 1263 1010 tmm （1）初步探究： 如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，且点 E 在线段 OC 上，求证； （2）深入思考：请从下面 A，B 两题中任选一题作答，我选择_题. A探究图 1 中 OF 与 OG 的数量关系并说明理由； B如图 2，已知四边形 ABCD 为菱形，且点 E 在 AC 的延长线上，其余条件不变，探究 OF 与 OG 的数
25、量 关系并说明理由； （3）拓展延伸：请从下面 AB 两题中任选一题作答，我选择_题. 如图 3，已知四边形 ABCD 为矩形，且，. A点 E 在直线 AC 上运动的过程中，若，则 FG 的长为_. B点 E 在直线 AC 上运动的过程中，若，则 FG 的长为_. 18 如图， 在中， ， 点是线段上任意一点， 过点作 交于点，过点作交于点，过点作交于点设线段的长为 （1）用含的代数式表示线段的长 （2）当四边形为菱形时，求的值 （3）设与矩形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式 （4）连结、，当与垂直或平行时，直接写出的值 类型一 【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】 【典例指引
26、 1】在ABC 中，ACB45 ，点 D 为射线 BC 上一动点（与点 B、C 不重合） ，连接 AD，以 AFBG 4AB 60BAC BFBG OFBC ABC90C2BC 4AC PCBP/PEAB ACEE/EFBCABFF/FGACBCGCP 02xx x PG PEFB x CEPCEFG yyx PFEGPFEG x AD 为一边在 AD 右侧作正方形 ADEF （1）如果 ABAC，如图 1，且点 D 在线段 BC 上运动，判断BAD CAF（填“”或“”） ，并证 明：CFBD （2）如果 ABAC，且点 D 在线段 BC 的延长线上运动，请在图 2 中画出相应的示意图，此时
27、（1）中的结 论是否成立？请说明理由； （3）设正方形 ADEF 的边 DE 所在直线与直线 CF 相交于点 P，若 AC4 2，CD2，求线段 CP 的长 【答案】 （1），见解析； （2）ABAC 时，CFBD 的结论成立，见解析； （3）线段 CP 的长为 1 或 3 【解析】 【分析】 （1） 证出BACDAF90 ， 得出BADCAF； 可证DABFAC （SAS） ， 得ACFABD45 ， 得出BCFACB+ACF90 即 CFBD （2）过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G，可得出 ACAG，易证GADCAF（SAS） ，得出ACFAGD 45 ，BCFACB+ACF90
28、 即 CFBD （3）分两种情况去解答点 D 在线段 BC 上运动，求出 AQCQ4即 DQ422，易证AQD DCP，得出对应边成比例，即可得出 CP1；点 D 在线段 BC 延长线上运动时，同理得出 CP3 【详解】 （1）解：BADCAF，理由如下： 四边形 ADEF 是正方形 DAF90 ，ADAF ABAC，BAC90 BAD+DACCAF+DAC90 BADCAF 故答案为： 在BAD 和CAF 中， ABAC BADCAF ADAF BADCAF（SAS） CFBD BACF B+BCA90 BCA+ACF90 BCF90 CFBD （2）如图 2 所示：ABAC 时，CFBD
29、的结论成立理由如下： 过点 A 作 GAAC 交 BC 于点 G 则GADCAF90 +CAD ACB45 AGD45 ACAG 在GAD 和CAF 中， AGAC GADCAF ADAF ， GADCAF（SAS） ， ACFAGD45 ， BCFACB+ACF90 CFBD （3）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点 Q， 点 D 在线段 BC 上运动时，如图 3 所示： BCA45 ACQ 是等腰直角三角形 AQCQ 2 2 AC4 DQCQCD422 AQBC，ADE90 DAQ+ADQADQ+PDC90 DAQPDC AQDDCP90 DCPAQD CP DQ CD AQ
30、，即 CP 2 2 4 解得：CP1 点 D 在线段 BC 延长线上运动时，如图 4 所示： BCA45 AQCQ4 DQAQ+CD4+26 AQBC 于 Q QFAD90 CAFCCD90 ，ACFCCD ADQAFC 则AQDACF CFBD AQDDCP CP DQ CD AQ ，即 CP 6 2 4 解得：CP3 综上所述，线段 CP 的长为 1 或 3 【名师点睛】 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及 直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键 【举一反三】 如图 1，点 C 在线段 AB 上
31、， （点 C 不与 A、B 重合） ，分别以 AC、BC 为边在 AB 同侧作等边三角形 ACD 和 等边三角形 BCE，连接 AE、BD 交于点 P （1）观察猜想：线段 AE 与 BD 的数量关系为_；APC 的度数为_ （2）数学思考：如图 2，当点 C 在线段 AB 外时， （1）中的结论，是否仍然成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 （3）拓展应用：如图 3，分别以 AC、BC 为边在 AB 同侧作等腰直角三角形 ACD 和等腰直角三角形 BCE， 其中ACD=BCE=90 ，CA=CD，CB=CE，连接 AE=BD 交于点 P，则线段 AE 与 BD 的
32、关系为 _ 【答案】 （1）AE=BDAPC=60 ； （2）成立，见详解； （3）AE=BD 【解析】 【分析】 （1）观察猜想：证明ACEDCB（SAS） ，可得 AE=BD，CAE=BDC； 过点 C 向 AE，BD 作垂线，由三角形全等可得高相等，再根据角分线判定定理，推出 PC 平分APB，即 可求出APC 的度数； （2）数学思考：结论成立，证明方法类似； （3）拓展应用：证明ACEDCB（SAS） ，即可得 AE=BD. 【详解】 解： （1）观察猜想：结论：AE=BDAPC=60 理由： ADC，ECB 都是等边三角形， CA=CD，ACD=ECB=60 ，CE=CB， ACE
33、=DCB， ACEDCB（SAS） ， AE=BD； 由得EAC=BDC， AOC=DOP， APB=AOC+EAC=180 -60 = 120 过过点 C 向 AE，BD 作垂线交于点 F 与 G 由知ACEDCB CF=CG CP 为APB 的角平分线 APC= 1 2 APB60 ； （2）数学思考：结论仍然成立 ADC，ECB 都是等边三角形， CA=CD，ACD=ECB=60 ，CE=CB， ACE=DCB ACEDCB（SAS） ， AE=BD； 由得AEC=DBC， CEA+PEB=CBD+PEB=60 ， APB=CBD+CBE+PEB=120 过过点 P 向 AC，BC 作垂
34、线交于点 H 与 I 由知ACEDCB PH=PI CP 为APB 的角平分线 APC= 1 2 APB60 ； （3）ADC，ECB 都是等腰直角三角形， CA=CD，ACD=ECB=90 ，CE=CB， ACB+BCE=ACB+ACD ACE=DCB ACEDCB（SAS） ， AE=BD. 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻 找全等三角形解决问题，属于中考压轴题 类型二 【确定动点运动过程中的运动时间】 【典例指引 2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4). （1）直接写出A点坐标（_
35、，_） ，C点坐标（_，_） ； （2）如图，D 为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点,1P m，且四边形OADP的面积是 ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标； （3） 如图， 动点M从点C出发， 以每钞1个单位的速度沿线段CB运动， 同时动点N从点A出发.以每秒2 个单位的連度沿线段AO运动， 当N到达O点时，M，N同时停止运动， 运动时间是t秒0t ， 在M， N运动过程中.当5MN 时，直接写出时间t的值. 【答案】 （1）6,0A，0,4C（2）18,1P （3）1或3 【解析】 【分析】 （1）根据矩形的性质和直角坐标系中点的确定，即可求出A点坐标和C点坐标； （
36、2）根据四边形OADP的面积是ABC面积的2倍，列出关于 m 的方程，解方程即可求出点P的坐标； （3）由题意表示出 ON=62t，MC=t，过点 M 作 ON 得垂线 ME 交 OA 于点 E， 根据勾股定理列出关于 t 的方程，求解即可. 【详解】 （1）长方形OABC的项点B的坐标是(6,4)， BC=6，AB=4， OA=6，OC=4， A（6,0）C（0,4） ； （2）连接 PD，PO，过点 P 作 PEOD，交 OD 于点 E， BC=6，AB=4； 11 =6 4=12 22 ABC SAB BC ， 四边形OADP的面积是ABC面积的2倍， 四边形OADP的面积是 24， =
37、 OADP SSS OADODP四边形 11 =24 22 OA ODPE OD D 为OC中点， OD=2; ,1P m是第二象限的点， PE=m， 可列方程为 11 6 2+2m = 22 （ ）24；解得 m=18， 18,1P （3）如图，过点 M 作 ON 的垂线 ME 交 OA 于点 E， 由题意得 ON=62t，MC=t3t 0； ME=4，EN=63t 又5MN ， 根据勾股定理可列方程为 2 22 46t=53，解方程得 t=1或 t=3 当 t=1或 t=3时， 5MN . 【名师点睛】 本题考查了矩形的性质和直角坐标系中点的确定，勾股定理等，利用方程思想解决问题是解题的关
38、键 【举一反三】如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，ABAC，AB3，BC5，点 P 从点 A 出发， 沿 AD 以每秒 1 个单位的速度向终点 D 运动连结 PO 并延长交 BC 于点 Q设点 P 的运动时间为 t 秒 （1）求 BQ 的长， （用含 t 的代数式表示） （2）当四边形 ABQP 是平行四边形时，求 t 的值 （3）当点 O 在线段 AP 的垂直平分线上时，直接写出 t 的值 【答案】 （1）BQ5t;（2） 5 2 秒;（3）t 16 5 . 【解析】 【分析】 （1）利用平行四边形的性质可证APOCQO，则 APCQ，再利用BQBCCQ即可得出答案； （2
39、）由平行四边形性质可知 APBQ，当 APBQ 时，四边形 ABQP 是平行四边形，建立一个关于 t 的方 程，解方程即可求出 t 的值； （3）在 RtABC 中，由勾股定理求出 AC 的长度，进而求出 AO 的长度，然后利用ABC的面积求出 EF 的长度，进而求出 OE 的长度，而 AE 可以用含 t 的代数式表示出来，最后在Rt AOE中利用勾股定理即可 求值. 【详解】 解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，ADBC， PAOQCO， AOPCOQ， APOCQO（ASA） ， APCQt， BC5， BQBC-CQ=5t； （2）APBQ， 当 APBQ 时，四边形
40、 ABQP 是平行四边形， 即 t5t， t 5 2 ， 当 t 为 5 2 秒时，四边形 ABQP 是平行四边形； （3）t 16 5 ， 如图， 在 RtABC 中， AB3，BC5， AC= 2222 534BCAC AOCO 1 2 AC2， 11 22 ABC SAB ACBC EF AB ACBC EF 3 45 EF， 12 5 EF ， 6 5 OE ， OE 是 AP 的垂直平分线， AE 1 2 AP 1 2 t，AEO90 ， 由勾股定理得：AE2+OE2AO2， 222 16 ()( )2 25 t 16 5 t 或 16 5 t （舍去） 当 16 5 t 秒时，点
41、O 在线段 AP 的垂直平分线上 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及动点问题，掌握平行四边形的判定及性质，以及勾股定理是 解题的关键. 类型三 【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】 【典例指引 3】已知矩形 ABCD 中，10cmAB，20cmBC ，现有两只蚂蚁 P 和 Q 同时分别从 A、B 出发，沿ABBCCDDA方向前进，蚂蚁 P 每秒走 1cm，蚂蚁 Q 每秒走 2cm问： （1）蚂蚁出发后PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒? （2）P、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线 PQ 与边 AB 平行? 【答案】 （1）蚂蚁出发后PBQ 第一次是等腰三角形需要
42、爬行10 3 秒； （2）P、Q 两只蚂蚁最快爬行 20 秒后, 直线 PQAB 【解析】 【分析】 （1）首先设蚂蚁出发后PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行 t 秒，可得方程：10-t=2t，解此方程即可求得 答案； （2）首先设 P、Q 两只蚂蚁最快爬行 x 秒后，直线 PQAB，可得方程：x-10=50-2x，解此方程即可求得答 案. 【详解】 (1)设蚂蚁出发后PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行 t 秒， 四边形 ABCD 是长方形， B=90， BP=BQ， AP=tcm,BQ=2tcm,则 PB=ABAP=10t(cm)， 10t=2t， 解得：t= 10 3 ， 蚂蚁出发后PBQ
43、 第一次是等腰三角形需要爬行 10 3 秒； (2)设 P、Q 两只蚂蚁最快爬行 x 秒后,直线 PQAB， ADBC， 四边形 ABPQ 是平行四边形， AQ=BP， x10=502x， 解得：x=20， P、Q 两只蚂蚁最快爬行 20 秒后,直线 PQAB； 【名师点睛】 此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质 此题难度适中， 注意掌握数形结合思想与方程思想的应用 【举一反三】 如图，平面直角坐标系中，直线l分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点（AOAB）且 AO、AB 的长分别是一元二 次方程 x23x20 的两个根，点 C 在 x 轴负半轴上，且 AB：AC=1:2. （1）求 A
44、、C 两点的坐标； （2）若点 M 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 运动，连接 AM，设ABM 的面积为 S，点 M 的运动时间为 t，写出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存 在，请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）A(1，0)，C(-3，0)；(2) 2 3(02 3) 2 32 3 Stt Stt （ ） （3）存在，点 Q 的坐标为(-1，0)，(1， 2)，(1，-2)， （1， 2 3 3 ）. 【解析】
45、【分析】 （1）根据方程求出 AO、AB 的长，再由 AB：AC=1:2 求出 OC 的长，即可得到答案； （2）分点 M 在 CB 上时，点 M 在 CB 延长线上时，两种情况讨论 S 与 t 的函数关系式； （3）分 AQ=AB,BQ=BA,BQ=AQ 三种情况讨论可求点 Q 的坐标. 【详解】 （1）x23x20， （x-1） （x-2）=0， x1=1，x2=2， AO=1，AB=2， A(1，0)， 2222 213OBABOA ， AB：AC=1:2, AC=2AB=4， OC=AC-OA=4-1=3， C(-3，0). (2) 3,3OBOC , 22222 ( 3)312BCOBOC, 2222 416,24ACAB, 222 ACABBC , ABC 是直角三角形，且ABC=90， 由题意得：CM=t，BC=2 3, 当点 M 在 CB 上时， 1 2(2 3)2 3 2 Stt(02 3)t ， 当点 M 在 CB 延长线上时， 1 2(2 3)2 3 2 Stt （t2 3）. 综上， 2 3(02 3) 2 32 3 Stt Stt
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