1、 （文数）第 1 页 共 16 页 试卷类型：B 重庆市名校联盟高重庆市名校联盟高 2020 级“二诊”模拟考试级“二诊”模拟考试 文科数学文科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合
2、题目要求的） 1已知 a，bR， 2 1i 则“1ab ”是“ 2 (i)2iab”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2已知i为虚数单位，复数 22 sincos 33 zi ，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3若 x，y 满足约束条件 40, 20, 20, xy x xy 且z axy 的最大值为26a，则 a 的取值范围是 A 1, ) B(, 1 C( 1,) D(, 1) 4小方，小明，小马，小红四人参加完某比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一 名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没
3、得第一名”；小红：“我得第一名”已知他 们四人中只有一人说真话， 且只有一人得第一名 根据以上信息可以判断出得第一名的人是 A小明 B小马 C小红 D小方 （文数）第 2 页 共 16 页 5 设点O在ABC的内部,且有 3 2 ABOBOC,则ABC 的面积与BOC的面积之比为 A3 B 1 3 C2 D 1 2 6 算法统宗全称新编直指算法统宗 ，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问 题： “今有五人均银四十两， 甲得十两四钱， 戊得五两六钱.问： 次第均之， 乙丙丁各该若干？” 意思是：有 5 人分 40 两银子，甲分 10 两 4 钱，戊分 5 两 6 钱，且相邻两项差相等，则乙
4、丙 丁各分几两几钱？（注：1 两等于 10 钱） A乙分 8 两，丙分 8 两，丁分 8 两 B乙分 8 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 7 两 8 钱 C乙分 9 两 2 钱，丙分 8 两，丁分 6 两 8 钱 D乙分 9 两，丙分 8 两，丁分 7 两 7在直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆 22 :4O xy交于第一象限内的点P，点P的纵坐标为 2 3 ，把射线OP顺时针旋转 3 ， 到达射线OQ，Q点在圆O上，则Q的横坐标是 A 52 3 6 B 2 23 6 C 2 2 3 3 D 2 23 3 8设函数 ( )f x是定义在( 1,) 上的连续函
5、数，且在 0x处存在导数，若函数 ( )f x及其 导函数( )fx 满足( )fx ( ) ( )ln(1) 1 f x fxxx x +- = + ，则函数 ( )f x= A既有极大值又有极小值 B有极大值 ，无极小值 C有极小值，无极大值 D既无极大值也无极小值 9下图是一个算法的程序框图，如果输入0i ，0S ，那么输出的结果为 （文数）第 3 页 共 16 页 A 2 3 B 3 4 C 4 5 D 5 6 10 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术： “置如其周， 令相承也.又以高乘之， 三十六成一”.
6、 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积 2 1 36 VL h的近似公式.它实际 上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式 2 3 112 VL h相当于将圆锥体积 公式中的圆周率近似取为 A 22 7 B157 50 C 28 9 D 337 115 11过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第 一象限的点） ，延长FP交抛物线 2 2(0)ypx p于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个 共同的焦点，若 1 () 2 OPOFOQ，则双曲线的离心率的平方为 A5 B 5 2 C51 D 51 2 12 奔驰
7、定理： 已知O是ABC内的一点，BOC，AOC ，AOB的面积分别为 A S， B S， C S，则0 ABC SOASOBSOC“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论， 因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车 （Mercedes benz） 的 logo 很相似， 故形象地称其为“奔 驰定理”若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足 （文数）第 4 页 共 16 页 OA OBOB OCOC OA ，则必有 Asinsinsin 0A OAB OBC OC Bcoscoscos 0A OAB OBC OC Ctantantan 0A OAB OBC OC Dsin
8、2sin2sin2 0A OAB OBC OC 二、填空题微（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知实数 x，y 满足 220 20 220 xy xy xy ，则3zxy的最小值为_ 14已知等差数列 n a和等差数列 n b的前n项和分别为, nn S T，且 * 32 21 n n Sn nN Tn ，则 3 3 a b _. 15长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由 13 名教师组成的队伍下乡支教， 记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师； （2）中学教 师不多于小学教师； （3）小学高级教师少于中学中级教师； （4）小学
9、中级教师少于小学高级 教师； （5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级； （6）无论是否 把我计算在内，以上条件都成立”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_ 16定义函数 12 ( )min( ),( )f xf xfx，表示函数 1( ) f x与 2( ) fx较小的函数设函数 1( ) 2 x f x ， 2( ) 3 2 x p fx ，p 为正实数，若关于 x 的方程 3f x 恰有三个不同的解， 则这三个解分别是_ （文数）第 5 页 共 16 页 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(本小题满分
10、12 分) 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 222 (2)2cosacabcabcC. （1）求角B的大小； （2）若 3 sin13 cos0 2 AC ，求 b a 的值. 18(本小题满分 12 分) 如图 1 所示，在等腰梯形ABCD中， ,3,15,3 3BEAD BCADBE.把ABE沿 BE折起，使得6 2AC ，得到四棱锥A BCDE.如图 2 所示. （1）求证：面ACE 面ABD； （2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值. 19(本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 1 F、 2 F为椭圆的左、右焦
11、点， 2 1, 2 P 为椭圆上 一点，且 1 3 2 | 2 PF . （1）求椭圆的标准方程； ABC （文数）第 6 页 共 16 页 （2）设直线:2l x ，过点 2 F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别 交直线l、直线AB于M、N两点，当MAN最小时，求直线AB的方程. 20(本小题满分 12 分) 已知函数 ln1x f x x . （1）求函数 f x的单调区间和极值； （2）证明： 2 * 222 ln2ln3ln21 ,2 2341 nnn nNn nn . 21(本小题满分 12 分) 橙子辅 .导为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金， 需了解每投入
12、 2 千万资金后， 工人人数x(单位:百人 )对年产能y(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作 了初步处理，得到散点图和统计量表. x y ln y 1 x 2 1 () n i i xx 2 1 11 () n i i xx 1 ()() n ii i xxyy 1 11 ()(lnln ) n i i i yy xx 1 ()(lnln ) n ii i xxyy 5.825 3.612 0.154 1.077 328 27.87 150.80 55.74 126.56 （1）根据散点图判断:lnyabx与 e b a x y 哪一个适宜作为年产能y关于投入的人力x （文数）
13、第 7 页 共 16 页 的回归方程类型？并说明理由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立y关于x的回归方程； （3）现该企业共有 2000 名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一 年度共需投入多少资金（单位：千万元）？ 附注：对于一组数据 11 ( , )s t， 22 ( , )s t，( , ) nn s t，其回归直线tbsa的斜率和截距的 最小二乘估计分别为 1 2 1 ()() , () n ii i n i i ss tt batbs ss ，(说明: ( )e b a x f x 的导函数为 2 e ( ) b a x b fx x ) 请考生
14、在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 微 .博橙子辅.导做的第一个题目计分 22(本小题满分 10 分) 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 2 1 t x t t y t （t为参数） .点 00 ,p x y在曲线C上， 点 ( , )Q m n满足 0 0 2 3 mx ny . （1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q的轨迹 1 C的极 坐标方程； （2）点A，B分别是曲线 1 C上第一象限，第二象限上两点，且满足 2 AOB ，求 22 11 |OAOB 的值. （文数）第 8 页 共 16
15、 页 23(本小题满分 10 分) 设函数 211f xxx . （1）求不等式 4f x 的解集； （2）记函数 f x的最小值为t，若, ,a b c为正实数，且abct，求 222 abc的最 小值. （文数）第 9 页 共 16 页 文科数学参考答案（B 卷） 17 （1）角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 222 22cosacabcabcC 222 2 cos 2 acacb bC ac ， 2coscosacBbC cos 2cos bB acC ， 由正弦定理得：2 sinsinsin abc R ABC ， 2 sinaRA，2 sinbRB，2 sincRC
16、， 2 sincos 4 sin2 sincos RBB RARCC ， 2sin cossin cossin cosABCBBC，2sin cossin coscos sinABCBCB sinsinCBA， sin0A， 1 cos 2 B 00 0 ,180B ， 0 60B . （2） 3 sin13 cos0 2 AC ， 3 sin13cos0 2 AC ， 1 sin3cos 2 AC， 0 60B ， 00 18060CA， 0 120CA， 0 1 sin3cos 120 2 AA， 00 1 sin3 cos120 cossin120 sin 2 AAA 131 sin3c
17、ossin 222 AAA 311 cossin 222 AA 0 1 cos30 2 A 00 0120A， 000 3030150A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A B A A A C C C C C D C 3 17 9 小学中级 22 log 3log 3pp、 22 log 3log 3pp、 2 log 3p （文数）第 10 页 共 16 页 0 30A 由正弦定理得： sinsin ab AB ， 0 60B ， 0 30A ， 0 0 3 sinsin60 2 3 1 sinsin30 2 bB aA . 18 （1）证明：在
18、等腰梯形ABCD中3,15,BCADBEAD，可知6,9AEDE. 因为3,3 3,BCBEBEAD，可得6CE .又因为6,6 2AEAC，即 222 ACCEAE，则AEEC.又,BEAE BEECE，可得AE 面BCDE， 故AEBD.又因为 9 tan3 3 3 DE DBE BE ，则 0 60DBE， 33 tan 33 3 BC BEC BE ，则 0 30BEC，所以CEBD， 又AEECE，所以BD 面ACE，又BD 面ABD，所以面ABD 面ACE； （2） 设ECBDO，过点O作/OFAE交AC于点F， 以点O为原点， 以,OB OC OF所在直线分别为, ,x y z轴
19、， 建立如图所示的空间直角坐标系 OBCF. 在BCE中， 0 30BEO， BOEO， （文数）第 11 页 共 16 页 933 3 , 222 EOCOBO，则 2 339 ,0,0 ,0,0 ,0,0 222 BCE ， 1 / /,6 2 FOAE FOAE AE， 3FO，则 9 0,0,3 ,0,6 2 FA ， / /,9DEBC DE ， 3EDBC， 9 3 ,0,0 2 D ， 3 3 99 33 ,0 ,0,0,6 ,0, 6,6 ,0 2222 BEAECACD ， 设平面ABE的法向量为 1111 ,nx y z， 由 1 1 0 0 n AE n BE ，得 1
20、11 60 3 3 9 0 22 z xy ， 取 1 3x ，可得平面ABE的法向量为 1 3, 1,0n ， 设平面ACD的一个法向量为 2222 ,nxy z， 由 2 2 0 0 n CA n CD ，得 11 11 660 9 33 0 22 yz xy ， 取 1 1x ，可得平面ABE的一个法向量为 2 1, 3 3, 3 3n . 设平面ABE与平面ACD所成锐二面角为， （文数）第 12 页 共 16 页 则 12 12 4 32 165 cos 552 55 n n n n ， 所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为 2 165 55 . 19 （1）设椭圆的左焦
21、点 1( ,0)(0)Fcc，则 2 1 13 2 (1) 22 PFc，解得1c， 所以 2 2 | 2 PF ，则由椭圆定义 12 22 2PFPFa，2a，1b 故椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y. （2）由题意直线AB的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB xty， 联立方程 2 2 1 1 2 xty x y 得 22 2210tyty ， 直线AB交椭圆于 11 ,A x y， 22 ,B x y， 222 442810ttt 由韦达定理 12 2 2 2 t yy t ， 12 2 1 2 y y t 则 2 2 N t y t ， 2 22 2 11 22 NN t x
22、ty tt MNAB， MN kt ， 2 22 22 226 |121 22 t MNtt tt （文数）第 13 页 共 16 页 又 2 22 12 2 112 1 |11 222 t ANABtyyt t 2 2 22 23 |2 tan212 2 24 | 11 t MN MANt AN tt 当且仅当 2 2 2 1 1 t t 即1t 时取等号. 此时直线AB的方程为10xy 或10xy . 20 （1）函数 ln1x f x x ，0x，则 2 ln x fx x ， 由 0fx ，得1x ，列表如下： x 0,1 1 1, fx + 0 - f x 单调递增 极大值 1 单调
23、递减 因此增区间为0,1，减区间为 1,，极大值为 11f，无极小值. （2）证明：由（1）可得 max ln1 11 x f xf xf x ， ln1 1 x xx ，当且仅当1x 时取等号. 令 2*, 2xnnNn ， 2 22 ln1 1 n nn ， 22 ln1111111 1112 22121 n n nnn nnn ， （文数）第 14 页 共 16 页 222 ln2ln3ln 23 n n 111111111 111 22323421nn 2 * 11121 1,2 21241 nn nnNn nn . 21 （1）由图可知 e b a x y 适宜作为年产能y关于投入的
24、人力x的回归方程类型 若选择lnyabx，则0b，此时当x接近于 0 时，y必小于 0， 故选择 e b a x y 作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型 （2）由 e b a x y ,得 1 ln yba x ，故ln y与 1 x 符合线性回归， 1 2 1 11 ()(lnln ) 55.74 =2 27.8711 () n i i i n i i yy xx b xx . 1 ln( 0.154)( 2) 1.0772ayb x ， 2 ln2y x ，即 2 2 e x y ， y 关于x的回归方程 2 2 e x y . （3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大，由(2
25、)可知人均产能函数 2 2 e ( ) x f x x ， 22 22 2 2 2 23 2 ee (2) e ( ) xx x x x x fx xx ，02x时，( )0fx ，2x 时 ( )0fx ， （文数）第 15 页 共 16 页 (0,2)x 时，( )f x单调递增，(2,)x时，( )f x单调递减，当 2x时，人均产能 函数 2 2 e ( ) x f x x 达到最大值，因此，每 2 千万资金安排 2 百人进行生产，能使人均产能 达到最大， 对于该企业共有 2000 名生产工人，且资金充足， 下一年度应该投入 20 千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大. 22
26、（1） 2 2 2 22 22 12 1 11 tt xy tt ， 2 2 1 1,1 1 t t ，1x， 22 1(1)xyx ， 由题可知： 0 0 2 3 mx ny 022 0 2 1(2) 43 3 m x mn m n y ， 1 C： 2222 3cos4sin12（ ）. （2）因为 2 22 12 3cos4sin ， 设 11 ,A ， 21 , 2 B ， 则 22 11 2 1 3cos4sin1 12 ， 22 11 2 2 3cos4sin 122 12 22 11 3sin4cos 12 ， （文数）第 16 页 共 16 页 2222 12 11117 |12OAOB . 23 （1）原不等式等价于： 1 314 x x 或 11 34 x x 或 1 314 x x ， 解得1x或 5 3 x ， 所以不等式 4f x 的解集是 5 (, 1 ,) 3 . （2）由（1）函数 f x的最小值为 2， 所以2t ， 所以2abct， 所以 2 222 34abcabc ， 所以 222 4 3 abc，当且仅当 2 3 abc时，取等号. 所以 222 abc的最小值是 4 3 .
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