1、已知三角形 ABC 的顶点 A（3，0） ，B（3，0） ，若顶点 C 在抛物线 y26x 上移 动，则三角形 ABC 的重心的轨迹方程为 7 （3 分）设 P，Q 分别为直线（t 为参数，tR）和曲线（ 为参数，R）上的点，则|PQ|的取值范围是 8 （3 分）已知直线 l：4x3y+80，若 P 是抛物线 y24x 上的动点，则点 P 到直线 l 和它 到 y 铀的距离之和的最小值为 9 （3 分）如果 M 为椭圆上的动点，N 为圆上的动点， 那么的最大值为 10 （3 分）若关于 x 的方程有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是 11 （3 分） 已知直线 l： ax+by0
2、与椭圆交于 A， B 两点， 若 C （5， 5） ， 则 的取值范围是 12 （3 分）在平面直角坐标系中，已知圆 C：x2+y2r2与曲线交于两点 M，N（M 在第一象限） ，与 y 轴正半轴交于 P 点，若，点 Q（7，2） ，则当 m 和 第 2 页（共 21 页） r 变化时，|TP|+|NQ|的最小值为 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 4 分，共分，共 16 分）分） 13 （4 分）方程 3x28xy+2y20 所表示的曲线的对称性是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于 yx 轴对称 D关于原点对称 14（4 分） 已知点 （a，
3、 b） 是圆 x2+y2r2外的一点， 则直线 ax+byr2与圆的位置关系 （ ） A相离 B相切 C相交且不过圆心 D相交且过圆心 15 （4 分）已知 R，由所有直线 L：xcos+（y2）sin1 组成的集合记为 M，则下列 命题中的假命题是（ ） A存在一个圆与所有直线相交 B存在一个圆与所有直线不相交 C存在一个圆与所有直线相切 DM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 16 （4 分）双曲线 x2y21 的左右焦点分别为 F1，F2，若 P 是双曲线左支上的一个动点， 则PF1F2的内切圆的圆心可能是（ ） A （1，2） B C D （2，1） 三、解答题（本大题共三、解答题
4、（本大题共 5 题，共题，共 48 分）分） 17已知圆 C 的圆心在直线 x+y80，并且圆 C 与直线 l1：y2x21 和 l2：y2x11 都相切 （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l：2x+ay+6aax+14 与圆 C 有两个不同的交点 MN 长的最小值 18已知曲线 C 是到两定点 F1（2，0） 、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长 2a 的 点的集合 （1）若 a，求曲线 C 的方程； （2）若直线 l 过（0，1）点，且与（1）中曲线 C 只有一个公共点，求直线方程； （3）若 a1，是否存在一直线 ykx+2 与曲线 C 相交于两点 A、B，使得 OAOB，若
5、 存在，求出 k 的值，若不存在，说明理由 19轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有 A， 第 3 页（共 21 页） B，C 三个无线电发射台，其中 A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上， （该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分） ，如下图，已知 A，B 两点距离 10 千米，C 是 AB 的中点，海岸线与直线 AB 的夹角为 45，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收 到 A 点的信号比接收到 B 点的信号晩秒 （注： 无线电信号每秒传播 3105千米） ， 在某时刻，测得轮船距离 C 点距离为 4 千米 （1）以点 C 为原点，直线 A
6、B 为 x 轴建立平面直角坐标系（如图） ，求出该时刻轮船的 位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线 1.5 千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮 船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？ 20已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ，短袖的两个端点分别 为 B1，B2，且F1B1B2为等边三角形 （1）若椭圆长轴的长为 4，求椭圆 C 的方程； （2）如果在椭圆 C 上存在不同的两点 P，Q 关于直线对称，求实数 c 的取值范 围； （3）已知点 M（0，1） ，椭圆 C 上两点 A，B 满足，求点 B 横坐标的取值范围 21 已知 F1， F2为
7、双曲线的左、 右焦点， 过 F2作垂直于 x 轴的垂线， 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，且MF1F230 （1）求双曲线 C 的两条渐近线的夹角 ； （2）过点 F2的直线 l 和双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，求AF1B 的面积最小值； （3）过双曲线 C 上任意一点 Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条 渐近线于 Q1，Q2两点，求平行四边形 OQ1QQ2的面积 第 4 页（共 21 页） 2018-2019 学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（
8、本大题共 12 题，每题题，每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）抛物线 x24y 的准线方程为 y1 【分析】由抛物线 x22py（p0）的准线方程为 y即可求得抛物线 x24y 的准线 方程 【解答】解：抛物线方程为 x24y， 其准线方程为：y1 故答案为：y1 【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题 2 （3 分）若方程表示椭圆，则实教 m 的取值范围是 1m7 且 m4 【分析】找出等价不等式组求解即可 【解答】解：表示椭圆， 1m7 且 m4 故答案为：1m7 且 m4 【点评】本题考查了椭圆的方程，属基础题 3 （3 分）若直线 l1：
9、ax+2y100 与直线 l2：2x+（a+3）y+50 平行，则 l1与 l2之间的 距离为 【分析】由直线 l1：ax+2y100 与直线 l2：2x+（a+3）y+50 平行，求出 a1，由此 能求出 l1与 l2之间的距离 【解答】解：直线 l1：ax+2y100 与直线 l2：2x+（a+3）y+50 平行， ， 解得 a1， 直线 l1：x+2y100，即 2x+4y200， 第 5 页（共 21 页） 直线 l2：2x+4y+50 l1与 l2之间的距离为： d 故答案为： 【点评】本题考查两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间 的距离公式等基础知识，考查运
10、算求解能力，是基础题 4 （3 分）过点（3，3）作圆（x2）2+（y+1）21 的切线，则切线所在直线的方程为 x 3 或 15x8y210 【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论， 求出切线的方程，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，圆（x2）2+（y+1）21 的圆心为（2，1） ，半径 r1， 分 2 种情况讨论： ，切线的斜率不存在，此时切线的方程为 x3，与圆（x2）2+（y+1）21 相切， 符合题意， ，切线的斜率存在，设切线的方程为 y3k（x3） ，即 kxy3k+30， 若直线与圆相切，则有1， 解可得：k，则切线的方程为 y3（x3
11、） ，即 15x8y210， 则切线的方程为 x3 或 15x8y210， 故答案为：x3 或 15x8y210 【点评】本题考查圆的切线方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题 5 （3 分）若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点， 则此双曲线的方程为 1 【分析】可设双曲线的方程为1（a，b0） ，求得已知双曲线的渐近线方程和 椭圆的焦点，可得 a，b 的方程，解方程即可得到所求双曲线方程 第 6 页（共 21 页） 【解答】解：由题意可设双曲线的方程为1（a，b0） ， 的渐近线的方程为 yx， 可得， 由椭圆的焦点为（3，0） ， 可得 a2+b218， 解得 a4，b
12、， 则双曲线的方程为1 故答案为：1 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题 6 （3 分）已知三角形 ABC 的顶点 A（3，0） ，B（3，0） ，若顶点 C 在抛物线 y26x 上移 动，则三角形 ABC 的重心的轨迹方程为 y22x，x0 【分析】设 C（m，n） ，三角形 ABC 的重心的坐标为（x，y） ，由抛物线的方程和重心坐 标公式可得 m3x，n3y，代入抛物线方程，化简可得所求方程 【解答】解：设 C（m，n） ，可得 n26m， 设三角形 ABC 的重心的坐标为（x，y） ， 由 A（3，0） ，B（3，0） ，可得： 3xm，3yn，即
13、m3x，n3y， 则 9y263x，即 y22x，x0， 故答案为：y22x，x0 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的重心坐标公式，以及代入法，考 查运算能力，属于基础题 7 （3 分）设 P，Q 分别为直线（t 为参数，tR）和曲线（ 为参数，R）上的点，则|PQ|的取值范围是 ，+） 【分析】|PQ|无最大值，|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：由消去 t 得 2xy+60，由消去 得（x1） 2+（y+2）25， 圆心（ （1，2）到直线 2xy+60 的距离 d2， |PQ|2， 故答案为：+） 【点评】本题考查了参数化成普
14、通方程，属中档题 8 （3 分）已知直线 l：4x3y+80，若 P 是抛物线 y24x 上的动点，则点 P 到直线 l 和它 到 y 铀的距离之和的最小值为 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得|PM|PF|，再由三点共线 取得最小值，计算可得所求最小值 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 如图设|PH|d，P 到 y 轴的距离为 P 到准线 x1 的距离减 1，即|PM|1， 由抛物线的定义可得|PF|PM|， 可得点 P 到直线 l 和它到 y 铀的距离之和的最小值即为|PM|+|d1 |PF|+d1 的最小值， 由 F，P，H 三
15、点共线，即|PF|+d|m， （m 为 F 到准线 4x3y+80 的距离） ， 可得 m， 则所求最小值为1 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的定义和方程，考查三点共线的性质，以及转化思想和运算能 力，属于基础题 第 8 页（共 21 页） 9 （3 分）如果 M 为椭圆上的动点，N 为圆上的动点， 那么的最大值为 15 【分析】借助三角函数的有界性可求结果 【解答】解：设 M（5cos，3sin） ，N（3cos，3sin） ， 15coscos+9sinsin 9cos（）+6coscos 当 0 或 时， 最大为 15 故答案为：15 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面
16、向量的数量积运算，是基础题 10 （3 分）若关于 x 的方程有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是 （， 【分析】根据函数与方程的关系作出 y和 y|xa|a 的图象，讨论 a 的正负， 结合绝对值函数的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】解：y，表示以 O 为圆心，半径为 1 的圆的上半圆， yg（x）|xa|a，图象关于 xa 对称，顶点为 A（a，a） ， 若 a0，顶点 A 位于第二象限 要使两个图象有两个交点， 则 A 只要在半圆内即可，即|OA|1， 即1，得 2a21 得 a2， 得a， a0，a0， 当 a0 时，半圆和 y|x|，一定有两个交点，满足条件 当
17、a0 时，在 xa 时，yg（x）x，一定与半圆有一个交点， 第 9 页（共 21 页） 要使 g（x）与半圆有两个交点，则只需要当 xa 时，g（x）x2a 与圆的右半圆有一 个交点即可， 此时顶点 A（a，a）一定在第四象限， 当 xa 时的直线 g（x）x2a 经过 B（1，0）时， 12a0，得 a，此时对应的直线 yx1， 要使 g（x）x2a 与圆的右半圆有一个交点即可， 则满足2a1，即 a， a0，0a， 综上a， 即实数 a 的取值范围是（， 故答案为： （， 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的图象交点个数问 题，利用绝对值函数的图象，利用数形结合
18、是解决本题的关键 第 10 页（共 21 页） 11 （3 分） 已知直线 l： ax+by0 与椭圆交于 A， B 两点， 若 C （5， 5） ， 则 的取值范围是 41，49 【分析】由题意可设 A（m，n） ，B（m，n） ，且 m2+1，运用向量数量积的坐 标表示，以及二次函数的最值求法，可得所求范围 【解答】解：直线 l：ax+by0 与椭圆交于 A，B 两点， 由于直线 l 过原点，可设 A（m，n） ，B（m，n） ， 且 m2+1， 由 C（5，5） ，则（m5，n5） （m5，n5） （m5） （m5）+（n5） （n5）50m2n249n2， 由 0n29，可得 49n2
19、41，49 故答案为：41，49 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及二次函数的性 质，考查运算能力，属于基础题 12 （3 分）在平面直角坐标系中，已知圆 C：x2+y2r2与曲线交于两点 M，N（M 在第一象限） ，与 y 轴正半轴交于 P 点，若，点 Q（7，2） ，则当 m 和 r 变化时，|TP|+|NQ|的最小值为 7 【分析】求得圆与曲线的交点 M，N 的坐标，以及 P 的坐标，由向量共线的坐标表示可 得 T 的坐标，运用两点的距离公式和二次函数的最值和二次方程有实根的条件：判别式 大于等于 0，可得所求最小值 【解答】解：x2+y2r2与曲线交于 M
20、（r，r） ，N（r，r） ，P（0， r） ， 由m可得 T（mr，mr） ， |TP|+|NQ|+ r+ 第 11 页（共 21 页） r+（当 m时取得等号） ， 设 t+r，t0， 可得 tr， 两边平方可得t2r（2+7t）+53t20， 由（2+7t）24（53t2）0， 解得 t7，t 取得最小值 7 时，r 则|TP|+|NQ|的最小值为 7 故答案为：7 【点评】本题考查圆的方程的运用，考查两点的距离公式和二次函数、二次方程有实根 的条件，考查化简运算能力，属于难题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 4 分，共分，共 16 分）分） 13 （4
21、分）方程 3x28xy+2y20 所表示的曲线的对称性是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于 yx 轴对称 D关于原点对称 【分析】根据对称的性质，将 x 用x，同时 y 用y 代替看方程是否与原方程相同 【解答】 解： 将方程中的 x 换为x， y 换为y 方程变为 3x28xy+2y20 与原方程相同， 故曲线关于原点对称， 故选：D 【点评】本题考查点（x，y）关于 x 轴的对称点为（x，y） ；关于 y 轴的对称点为（x， y） ；关于原点的对称点为（x，y） ；关于 yx 的对称点为（y，x） 14（4 分） 已知点 （a， b） 是圆 x2+y2r2外的一点， 则
22、直线 ax+byr2与圆的位置关系 （ ） A相离 B相切 C相交且不过圆心 D相交且过圆心 【分析】由点（a，b）是圆 x2+y2r2外的一点，知 a2+b2r2，由此得到 圆心（0，0） 到直线 ax+byr2的距离 d（0，r） ，由此能判断直线 ax+byr2与圆的位置关系 【解答】解：点（a，b）是圆 x2+y2r2外的一点， a2+b2r2， 圆心（0，0）到直线 ax+byr2的距离： 第 12 页（共 21 页） dr，且 d0， 直线 ax+byr2与圆相交且不过圆心 故选：C 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查点到直线的距离公式的应用，是基 础题，解题时要认真审
23、题，注意圆、直线方程等知识点的合理运用 15 （4 分）已知 R，由所有直线 L：xcos+（y2）sin1 组成的集合记为 M，则下列 命题中的假命题是（ ） A存在一个圆与所有直线相交 B存在一个圆与所有直线不相交 C存在一个圆与所有直线相切 DM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【分析】根据已知可知直线系 M 都为以（0，2）为圆心，以 1 为半径的圆的切线，取半 径为 2 即可得到所以对；存在圆心为（0，2） ，半径为的圆与直线都不相交，可判断 A，B，C；存在可取一点（0，2）即可验证，可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其 中一条平移到另外两个点中点时，可判定 D 【解答】解：
24、根据直线系 M：xcos+（y2）sin1（R） ， 得到所有直线都为圆心为（0，2） ，半径为 1 的圆的切线； 可取圆心为（0，2） ，半径分别为 2，可得与所有直线相交； 圆心为（0，2） ，半径分别为，可得与所有直线不相交； 圆心为（0，2） ，半径分别为 1，可得与所有直线相切； 故 A，B，C 正确； M 中的直线所能围成的正三角形的边长不一等，故它们的面积不一定相等， 如图中： 第 13 页（共 21 页） 等边三角形 ABC 和 ADE 面积不相等，故 D 不正确 故选：D 【点评】本题考查圆上一点的切线方程的运用，以及直线和圆的位置关系的判断，考查 数形结合思想，属于中档题
25、16 （4 分）双曲线 x2y21 的左右焦点分别为 F1，F2，若 P 是双曲线左支上的一个动点， 则PF1F2的内切圆的圆心可能是（ ） A （1，2） B C D （2，1） 【分析】设PF1F2的内切圆的圆心为 I，且与 PF1，PF2，F1F2的切点为 M，N，K，运 用切线的性质和双曲线的定义可得 I 的横坐标为a，再由渐近线的特点，可得 I 的纵坐 标的范围 【解答】解：设PF1F2的内切圆的圆心为 I，且与 PF1，PF2，F1F2 的切点为 M，N，K， 可得|PM|PN|，|F2N|F2K|，|MF1|F1K|， 由双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a， 即有|F2K|F
26、1K|2a， 又|F2K|+|F1K|2c，可得|F1K|ca， 即 K 的横坐标为a，即1， 可得 I 的横坐标为1， 由于 P 在左支上，可得当 PF2与渐近线 yx 平行时，P 不存在， 此时经过点（0，） ，可得 I 的纵坐标不超过， 则内切圆的圆心可能为（1，） 故选：B 第 14 页（共 21 页） 【点评】本题考查双曲线的定义和性质，主要是渐近线的运用，考查三角形的内切圆的 圆心特点，考查数形结合思想方法，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 48 分）分） 17已知圆 C 的圆心在直线 x+y80，并且圆 C 与直线 l1：y2x21 和 l2
27、：y2x11 都相切 （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l：2x+ay+6aax+14 与圆 C 有两个不同的交点 MN 长的最小值 【分析】 （1）根据题意，分析可得圆心在直线 y2x16 上，又由圆 C 的圆心在直线 x+y 80，则有，解可得圆心的坐标，求出两切线间的距离，分析可得圆 C 的 半径 r，将圆心与 r 代入圆 C 的方程，分析可得答案； （2）由直线 l 的方程分析可得直线 l 恒过点（7，1） ，设 P（7，1） ，求出 PC 的长，由 直线与圆的位置关系分析可得当 CP 与直线 l 垂直时，即 P 为 MN 的中点时，MN 的长度 最小，计算此时|MN|的值，即可
28、得答案 【解答】解： （1）根据题意，圆 C 与直线 l1：y2x21 和 l2：y2x11 都相切，则圆 C 的圆心在直线 y2x16 上， 又由圆 C 的圆心在直线 x+y80，则有，解可得， 则圆心 C 的坐标为（8，0） ， 直线 l1：y2x21 即 2xy210 和 l2：y2x11 即 2xy110 之间的距离 d 2， 则圆 C 的半径 r， 故圆 C 的方程为（x8）2+y25； （2）直线 l：2x+ay+6aax+14 即（2x14）+a（yx+6）0，分析可得直线 l 恒过点 （7，1） ，设 P（7，1） ， 第 15 页（共 21 页） 则|PC|， 直线 l：2x
29、+ay+6aax+14 与圆 C 有两个不同的交点 MN， 当 CP 与直线 l 垂直时，即 P 为 MN 的中点时，MN 的长度最小， 此时|MN|22， 故 MN 长的最小值为 2 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题 18已知曲线 C 是到两定点 F1（2，0） 、F2（2，0）的距离之差的绝对值等于定长 2a 的 点的集合 （1）若 a，求曲线 C 的方程； （2）若直线 l 过（0，1）点，且与（1）中曲线 C 只有一个公共点，求直线方程； （3）若 a1，是否存在一直线 ykx+2 与曲线 C 相交于两点 A、B，使得 OAOB，若 存在，求出 k
30、 的值，若不存在，说明理由 【分析】 （1）由双曲线定义得曲线 C 是以 F1（2，0） 、F2（2，0）为焦点，以 2为 实数的双曲线，由此能求出曲线 C 的方程 （2） 设直线 l 的方程为： ykx+1， k时， 直线 l 为 yx+1 与曲线 C： 1 只有一个焦点联立，得（13k2）x26kx60，当 13k20 时， 36k2+24（13k2）0，由此能求出直线 l 的方程 （3）当 a1 时，曲线 C 的方程为，联立，得（3k2）x24kx 40，由 OAOB，x1x2+y1y20，能求出 k 【解答】解： （1）曲线 C 是到两定点 F1（2，0） 、F2（2，0）的距离之差的
31、绝对值 等于定长 2， 由双曲线定义得曲线 C 是以 F1（2，0） 、F2（2，0）为焦点， 以 2为实数的双曲线， 曲线 C 的方程为1 （2）直线 l 过（0，1）点， 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x0，不成立； 第 16 页（共 21 页） 当直线 l 的斜率 k 存在时，设直线 l 的方程为：ykx+1， 当 k时，直线 l 为 yx+1 与曲线 C：1 只有一个焦点 联立，得（13k2）x26kx60， 当 13k20 时， 36k2+24（13k2）0， 解得 k2， 直线 l 与曲线 C 只有一个公共点，直线 l 的方程为 y2x+1 综上所述，直线 l 的方程为
32、 yx+1 或 y2x+1 （3）当 a1 时，曲线 C 的方程为， 联立，得（3k2）x24kx70， 0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2，x1x2， y1y2（kx1+2） （kx2+2）k2x1x2+k（x1+x2）+4 +4， OAOB，x1x2+y1y2+0， 57k20，解得 k 【点评】本题考查曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的斜率是否存在的 判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用 19轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有 A， B，C 三个无线电发射台，其中 A 在陆地上，B 在海上
33、，C 在某国海岸线上， （该国这段 海岸线可以近似地看作直线的一部分） ，如下图，已知 A，B 两点距离 10 千米，C 是 AB 的中点，海岸线与直线 AB 的夹角为 45，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收 到 A 点的信号比接收到 B 点的信号晩秒 （注： 无线电信号每秒传播 3105千米） ， 第 17 页（共 21 页） 在某时刻，测得轮船距离 C 点距离为 4 千米 （1）以点 C 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系（如图） ，求出该时刻轮船的 位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线 1.5 千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮 船保持目前的航路不变，那么是
34、否有搁浅风险？ 【分析】 （1）根据题意知轮船的航行轨迹是双曲线的一支，写出双曲线的标准方程， 求出该时刻轮船在双曲线的顶点位置； （2）设双曲线的参数方程，求双曲线上的点到直线 yx 的距离 d 的最小值， 利用导数判断函数单调性，从而求出最小值，即可得出结论 【解答】解： （1）以点 C 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，由3 1058， 设轮船的航行轨迹是点 P 的运动轨迹，则|PA|PB|8；又|AB|10， 所以点 P 的轨迹为双曲线的一支，且双曲线中，2a8，2c10，b3， 所以双曲线标准方程为1，其中 x4； 某一时刻测得轮船距离 C 点 4 千米，则该时刻轮船
35、在 CB 的连线上，即双曲线顶点位置； （2）根据题意，设双曲线的参数方程为其中 0，） ， 则双曲线上的点 P（x，y）到直线 yx 的距离为 d， 其中 0，） ； 设 f（），其中 0，） ， 则 f（）， 第 18 页（共 21 页） 令 f（）0，解得 sin， 所以 sin（0，）时，f（）0，函数 f（）单调递减； sin（，1）时，f（）0，函数 f（）单调递增； 所以 sin时，cos，此时函数 f（）取得最小值为； 此时 d 取得最小值为1.5， 所以轮船保持目前的航路不变时，不会有搁浅风险 【点评】本题考查了圆锥曲线的实际应用问题，也考查了利用参数方程求最小值应用问 题，
36、是中档题 20已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （c0） ，短袖的两个端点分别 为 B1，B2，且F1B1B2为等边三角形 （1）若椭圆长轴的长为 4，求椭圆 C 的方程； （2）如果在椭圆 C 上存在不同的两点 P，Q 关于直线对称，求实数 c 的取值范 围； （3）已知点 M（0，1） ，椭圆 C 上两点 A，B 满足，求点 B 横坐标的取值范围 【分析】 （1）设椭圆方程为+1（ab0） ，由题意可得 a2，b1，进而得到 椭圆方程； （2）可设 PQ 的方程为 y2x+t，代入椭圆方程，运用判别式大于 0，以及韦达定理， 中点坐标公式可得 PQ 的中点，
37、即可得到所求范围； （3）可设 AB 的方程为 ykx+1，A（m，n） ，B（u，v） ，联立椭圆方程，运用韦达定理， 化简变形，结合基本不等式即可得到所求范围 【解答】解： （1）设椭圆方程为+1（ab0） ， 由题意可得 2a4，即 a2， 且F1B1B2为等边三角形，可得|B1B2|F1B1|， 即 2ba，即 b1， 则椭圆方程为+y21； 第 19 页（共 21 页） （2）设椭圆方程为+1（ab0） ， 由 a2b 可得 x2+4y24b2， 椭圆 C 上存在不同的两点 P，Q 关于直线对称， 可设 PQ 的方程为 y2x+t， 代入椭圆方程可得 17x216tx+4t24b20
38、， 256t2417（4t24b2）0，即 17b2t2， 且 x1+x2，可得 PQ 的中点为（，） ， 即有+1，解得 t， 则 b2，而 c2a2b23b2，可得 c2， 解得 c； （3）点 M（0，1） ，椭圆 C 上两点 A，B 满足， 可得 b1， 可设 AB 的方程为 ykx+1，A（m，n） ，B（u，v） ， 可得m2u，联立直线 AB 的方程和椭圆方程可得 （1+4k2）x2+8kx+44b20， 可得 m+u，mu， 可得 u，u20， 当 k0，B 与 M 重合，不成立； 当 k0 时，u2，即 0u2； 当 k0 时，u2，即2u0 综上可得点 B 横坐标的取值范围
39、为2，0）（0，2 【点评】本题考查椭圆方程和性质，以及直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于 0 和韦达定理，考查向量共线定理的运用，考查化简运算能力，以及推理能力，属于中档 第 20 页（共 21 页） 题 21 已知 F1， F2为双曲线的左、 右焦点， 过 F2作垂直于 x 轴的垂线， 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，且MF1F230 （1）求双曲线 C 的两条渐近线的夹角 ； （2）过点 F2的直线 l 和双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，求AF1B 的面积最小值； （3）过双曲线 C 上任意一点 Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条 渐近线于 Q1，Q2两
40、点，求平行四边形 OQ1QQ2的面积 【分析】 （1）求得双曲线的 a，c，以及 M 的坐标，由直角三角形的锐角三角函数的定义 可得 b，即可得到双曲线方程和渐近线方程，运用夹角公式计算可得所求值； （2）讨论直线 AB 的斜率不存在，求得 A，B 的坐标和三角形 AF1B 的面积；直线 AB 的 斜率存在，设过点 F2的直线 l 设为 yk（x） ，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长 公式，结合三角形的面积公式，化简可得所求最小值； （3）设 Q（m，n） ，可得 2m2n22，求得双曲线的渐近线方程，求得 Q 到渐近线的距 离，以及 Q2的坐标，以及|OQ2|，由平行四边形的面积，计算可得所
41、求值 【解答】解： （1）双曲线的 a1，c， 可令 xc，解得 ybb2，设 M（c，b2） ， 由MF1F230，可得 b22ctan30， 解得 b， 则双曲线的方程为 x21， 可得双曲线的方程为 yx， 即有 tan|2， 可得夹角 arctan2； （2）当直线 AB 的斜率不存在，可得 A（，2） ，B（，2） ， 可得AF1B 的面积为244； 直线 AB 的斜率存在，设过点 F2的直线 l 设为 yk（x） ，联立双曲线方程 2x2y2 第 21 页（共 21 页） 2， 可得（2k2）x2+2k2x3k220，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 又 x1+x20，
42、x1x20，可得 k22， 可得AF1B 的面积为 S2c|y1y2|k（x1x2）| |k|k|， 设 tk22（t0） ，可得 S444， 综上可得AF1B 的面积的最小值为 4； （3）设 Q（m，n） ，可得 2m2n22， 双曲线的渐近线方程为 yx， Q 到直线 yx 的距离为 d， 由平行于直线 yx 的直线 y（xm）+n， 联立直线 yx，可得 Q2（，） ， |OQ2|n+m|， 即有行四边形 OQ1QQ2的面积为 d|OQ2|n+m| |2m2n2|2 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查分类讨论思想方法和联立直线方程和椭 圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题
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