1、函数 y2x 在区间x0，x0+x上的平均变化率为（ ） Ax0+x B1+x C2+x D2 2 （3 分）已知一个物体的运动方程为 s1t+t2，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 s，那么 物体在 3s 时的瞬时速度为（ ） A5 m/s B6 m/s C7 m/s D8 m/s 3 （3 分）下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（ ） Ayx2 Bylnx Cyx+sinx Dy 4 （3 分）f（x）是函数 yf（x）的导函数，若 yf（x）的图象如图所示，则函数 y f（x）的图象可能是（ ） A B C 第 2 页（共 19 页） D 5 （3 分）已知集合 M2，3
2、，N4，5，6，依次从集合 M，N 中各取出一个数分 别作为点 P 的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点 P 的个 数是（ ） A4 B5 C6 D7 6 （3 分）若曲线 yx2+ax+b 在点（0，b）处的切线方程是 x+y10，则（ ） Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 7 （3 分） “a0”是“函数 f（x）x2+alnx 在1，+）上单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 （3 分）某电动汽车“行车数据”的两次记录如表： 记录时间 累计里程 （单位：公里） 平均耗电量 （单位：kW
3、h/公里） 剩余续航里程 （单位：公里） 2019 年 1 月 1 日 4000 0.125 280 2019 年 1 月 2 日 4100 0.126 146 （注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计 消耗的电量，剩余续航里程） 下面对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是（ ） A等于 12.5 B12.5 到 12.6 之间 C等于 12.6 D大于 12.6 二、多项选择题，本大题共二、多项选择题，本大题共 2 小题，共小题，共 8 分在各小题列出的五个选项中，至少有两项是分在各小题列出的五个选项中，至少有两项是 正确的，请选出
4、符合要求的选项正确的，请选出符合要求的选项 9 （3 分）下列函数中，存在极值点的是（ ） A By2|x| Cy2x3x Dyxlnx Eyxsinx 第 3 页（共 19 页） 10 （3 分）设函数，则下列说法正确的是（ ） Af（x）定义域是（0，+） Bx（0，1）时，f（x）图象位于 x 轴下方 Cf（x）存在单调递增区间 Df（x）有且仅有两个极值点 Ef（x）在区间（1，2）上有最大值 三、填空题，本大题共三、填空题，本大题共 6 小题，共小题，共 30 分分 11 （3 分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角” ，正确的假设是 12 （3 分）已知命题： “在平面内
5、，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大” ， 类比上述结论，可得到空间中的相关结论为 13 （3 分）只用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一 数字不能相邻出现，这样的四位数共有 个 14 （3 分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现 在第一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 种 15 （3 分）对于函数，存在三个互不相等的实数 x1，x2，x3，使得 f（x1）f（x2） f（x3）k，则符合条件的一个 k 的值为 16 （3 分）在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点全是格点（
6、横、纵坐标都是整数） ， 则称该多边形为格点多边形已知ABC 是面积为 8 的格点三角形，其中 A（0，0） ，B （4，0） 在研究该三角形边界上可能的格点个数时，甲、乙、丙、丁四位同学各自给出 了一个取值，分别为 6，8，10，12，其中得出错误结论的同学为 四、解答题，共四、解答题，共 6 个小题，共个小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17已知函数 f（x）x33x2+9x （1）求 f（x）的在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求 f（x）在区间4，2上的最小值 18已知函数 f（x）（2a）lnx+2ax （1）
7、当 a0 时，求 f（x）的极值； （2）当 a0 时，求 f（x）的单调区间 19据统计某种汽车的最高车速为 120 千米时，在匀速行驶时每小时的耗油量 y（升）与 第 4 页（共 19 页） 行驶速度 y（千米时）之间有如下函数关系：已知甲、乙两 地相距 100 千米 （）若汽车以 40 千米时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？ （）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 20已知函数 f（x）ln（a+x）的零点是 x0， （1）求 a； （2）求证：对任意 x（0，+） ，g（x）1； （3）若对任意 x（0，+） ，mg（x）n 恒成立，写出 n
8、m 的最小值（不需证明） 21已知函数 f（x）e x+x1 （1）过点 B（0，t）是否存在曲线 yf（x）的切线？请说明理由； （2）设 g（x）exf（x）lnx，求证：g（x）存在极小值 22 已知 n 是给定的正整数且 n3， 若数列 A： a1， a2， a3， ， an满足： 对任意 i1， 2， ， n，都有 ai成立，其中 S（A）a1+a2+an，则称数列 A 为“M 数列” （1）若数列 A：1，2，a3是“M 数列” ，求 a3的取值范围； （2）若等差数列 A：a1，a2，a3，a4是“M 数列” ，且 a11，求其公差 d 的取值范围； （3）若数列 A：a1，a2
9、，a3，an是“M 数列” ，求证：对于任意不相等的 i，j，k1， 2，n，都有 ai+ajak 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷学年北京师大附中高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题，本大题共一、单项选择题，本大题共 8 小题，共小题，共 32 分在各小题列出的四个选项中，有且只有一项分在各小题列出的四个选项中，有且只有一项 是正确的，请选出符合要求是正确的，请选出符合要求的选项的选项 1 （3 分）函数 y2x 在区间x0，x0+x上的平均变化率为（ ） Ax0+x B1+x C2+x D2 【分
10、析】根据题意，由，计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数 y2x， 在区间x0，x0+x上的平均变化率2； 故选：D 【点评】本题考查变化率的计算，注意变化率的定义，属于基础题 2 （3 分）已知一个物体的运动方程为 s1t+t2，其中 s 的单位是 m，t 的单位是 s，那么 物体在 3s 时的瞬时速度为（ ） A5 m/s B6 m/s C7 m/s D8 m/s 【分析】根据题意，由物体的运动方程对其求导可得 s1+2t，将 t3 代入计算即 可得答案 【解答】解：根据题意，物体的运动方程为 s1t+t2，其导数 s1+2t， 则 s|t31+235， 则物体在 3s 时的瞬时速度为
11、5， 故选：A 【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，注意变化率与导数的关系 3 （3 分）下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（ ） Ayx2 Bylnx Cyx+sinx Dy 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，yx2是二次函数，是偶函数，不符合题意； 对于 B，ylnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意； 第 6 页（共 19 页） 对于 C，yx+sinx，有 f（x）（x+sinx）f（x） ，是奇函数，且 y1+cosx 0，即函数 yx+sinx 为增函数，符合题意， 对于
12、D，y，为奇函数，但在其定义域上不是单调函数，不符合题意， 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调 性 4 （3 分）f（x）是函数 yf（x）的导函数，若 yf（x）的图象如图所示，则函数 y f（x）的图象可能是（ ） A B C D 【分析】通过观察 f（x）图象中 f（x）值的正负，从而判断函数 yf（x）的单调情 况以及极大值与极小值从而确定函数 yf（x）的图象 【解答】解：由 f（x）图象可知，当 x0 或 x2 时，f（x）0，函数 f（x）单调 第 7 页（共 19 页） 递增 当 0x2 时，f（x）0，函数 f（x）单调递减
13、， 所以当 x0 时，函数 yf（x）取得极大值当 x2 时，函数 yf（x）取得极小值 结合图象可知选 C 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性与导数符号之间的关系如果是导函数图象，则看导函 数的正负，如果是原函数 f（x） ，则看图象的单调性 5 （3 分）已知集合 M2，3，N4，5，6，依次从集合 M，N 中各取出一个数分 别作为点 P 的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点 P 的个 数是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】利用列举法和第一、二象限的点的性质直接求解 【解答】解：集合 M2，3，N4，5，6， 依次从集合 M，N 中各取出一个数分别作为点
14、P 的横坐标和纵坐标， 在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点 P 有： （2，5） ， （2，6） ， （3，5） ， （3，6） ，共 4 个 故选：A 【点评】在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点 P 的个数的求法，考查列举法和 第一、二象限的点的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 6 （3 分）若曲线 yx2+ax+b 在点（0，b）处的切线方程是 x+y10，则（ ） Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 【分析】求导函数，确定切线方程，再由曲线 yx2+ax+b 在点（0，b）处的切线方程为 x+y1，能求出 a 和 b 【解答】解：yx2+ax+b
15、， y2x+a， x0 时，ya， 曲线 yx2+ax+b 在点（0，b）处的切线方程为 ybax， 曲线 yx2+ax+b 在点（0，b）处的切线方程为 x+y1， a1，b1 故选：B 第 8 页（共 19 页） 【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用，考查学生的计算能力，属于 基础题 7 （3 分） “a0”是“函数 f（x）x2+alnx 在1，+）上单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用函数单调性和导数之间的关系求出 a 的取值范围结合充分条件和必要条件 的定义进行判断 【解答】解：若 f（x）x2+aln
16、x 在1，+）上单调递增，则函数的 f（x）的导数 f（x） 2x+0 在1，+）上恒成立，a（2x2）max，x1，+） ； 即 a2， “a0”是“f（x）在1，+）上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是 解决本题的关键 8 （3 分）某电动汽车“行车数据”的两次记录如表： 记录时间 累计里程 （单位：公里） 平均耗电量 （单位：kWh/公里） 剩余续航里程 （单位：公里） 2019 年 1 月 1 日 4000 0.125 280 2019 年 1 月 2 日 4100 0.126 146 （注：累计里程指汽
17、车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计 消耗的电量，剩余续航里程） 下面对该车在两次记录时间段内行驶 100 公里的耗电量估计正确的是（ ） A等于 12.5 B12.5 到 12.6 之间 C等于 12.6 D大于 12.6 【分析】根据累计耗电量公式计算 【解答】解：41000.12640000.125516.650016.6 故选：D 【点评】本题考查了函数模型的应用，属于基础题 第 9 页（共 19 页） 二、多项选择题，本大题共二、多项选择题，本大题共 2 小题，共小题，共 8 分在各小题列出的五个选项中，至少有两项是分在各小题列出的五个选项中，至少有两项是 正确
18、的，请选出符合要求的选项正确的，请选出符合要求的选项 9 （3 分）下列函数中，存在极值点的是（ ） A By2|x| Cy2x3x Dyxlnx Eyxsinx 【分析】逐项根据极值的定义以及导数符号可得 【解答】解：对于 A，求导得：y1+0，函数在（，0）和（0，+）上递 增，所以函数无极值点； 对于 B，x0 是函数的极小值点； 对于 C，求导得：y6x210 恒成立，函数在 R 上递减，所以函数无极值点； 对于 D，求导得 y1+lnx，当 x（0，）时，y0，当 x（，+）时，y0， x时，y0，所以 x是函数的极小值点； 对于 E，求导得 ysinx+xcosx，当 x（，0）时
19、，y0，当 x（0，）时， y0，x0 时，y0，所以 x0 是函数的极小值点 故选：BDE 【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，属中档题 10 （3 分）设函数，则下列说法正确的是（ ） Af（x）定义域是（0，+） Bx（0，1）时，f（x）图象位于 x 轴下方 Cf（x）存在单调递增区间 Df（x）有且仅有两个极值点 Ef（x）在区间（1，2）上有最大值 【分析】根据 lnx0 可得定义域，即可判断 A 选项；对 f（x）求导，判断 f（x）在定义 域上的单调性，然后结合 f（x）图象可判断 BCDE 【解答】解：，lnx0，x0 且 x1， f（x）的定义域为（0，1）（1，+）
20、 ，故 A 错误； 第 10 页（共 19 页） 由，得 f（x），令 g（x）xlnx1，则 g（x）lnx+1， 令 g（x）0， 则 x，当 0x时，g（x）0，当x1 时，g（x）0， 当 0x1 时，g（x）g（）0， 即 f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减， x0 时，f（x）0，当 x（0，1）时，f（x）图象在 x 轴下方，故 B 正确； 当 x1 时，g（x）0，g（x）g（1）1，又 g（2）2ln210， 存在 x0（1，2）使 g（x0）0， 当 1xx0时，f（x）0，当 xx0时，f（x）0， f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，故
21、C 正确，D 和 E 错误 故选：BC 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值和极值，考查了数形结合思想和 转化思想，属中档题 三、填空题，本大题共三、填空题，本大题共 6 小题，共小题，共 30 分分 11 （3 分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角” ，正确的假设是 三角形的 内角中至少有两个钝角 【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两 个钝角” ，从而得出结论 【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少 有两个钝角” ， 故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，
22、 故答案为：三角形的内角中至少有两个钝角 【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑结论 的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不 需要一一否定，只需否定其一即可 12 （3 分）已知命题： “在平面内，周长一定的曲线围成的封闭图形中，圆的面积最大” ， 类比上述结论，可得到空间中的相关结论为 “表面积一定的空间图形中，球的体积最 大” 第 11 页（共 19 页） 【分析】由已知中平面内的性质： “周长一定的平面图形中，圆的面积最大” ，根据平面 上线的性质类比可得空间中的面的性质，空间中面的性质类比可得空间中体的性质的原 则，
23、易得到空间中表面积一定的空间图形中，体积最大的是球体 【解答】解：根据平面中有： “周长一定的平面图形中，圆的面积最大” 类比推断，可得在空间中有” “表面积一定的空间图形中，球的体积最大” 故答案为： “表面积一定的空间图形中，球的体积最大” 【点评】本题考查的知识点是类比推理，球的体积和表面积，其中熟练掌握由平面到空 间类比推理的一般性规则，是解答本题的关键 13 （3 分）只用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一 数字不能相邻出现，这样的四位数共有 18 个 【分析】本题需要分步计数，由题意知 1，2，3 中必有某一个数字重复使用 2 次首先 确定谁被使
24、用 2 次，再把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下 的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上，相乘得结果 【解答】解：由题意知，本题需要分步计数 1，2，3 中必有某一个数字重复使用 2 次 第一步确定谁被使用 2 次，有 3 种方法； 第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有 3 种方法； 第三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上，有 2 种方法 故共可组成 33218 个不同的四位数 故答案为：18 【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列组合和计数原理中 经常出现的问题，这种题目做起来限制条件比较多，需要注意
25、做到不重不漏 14 （3 分）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现 在第一步，程序 B 和 C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 48 种 【分析】根据 A 只能出现在第一步，位置已定，程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列 【解答】解：程序 B 和 C 实施时必须相邻， 把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列， 第 12 页（共 19 页） 共有 A44A2248 种结果 故答案为：48 【点评
26、】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，注意排列过程中的相邻问 题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列 15 （3 分）对于函数，存在三个互不相等的实数 x1，x2，x3，使得 f（x1）f（x2） f（x3）k，则符合条件的一个 k 的值为 k（答案不唯一） 【分析】求出函数的导函数，得出函数的单调性与极值，结合图象即可求解 【解答】解：由，得 f（x） 令 f（x）0，得 x2 当 x（，0） ， （2，+）时，函数单调递增，当 x（0，2）时，函数单调递减 又当 x时，f（x）0，且 f（x）0， 当 x2 时，函数 f（x）取得极小值 f（2） 函数 f（x）
27、的图象如图所示： 要使存在三个互不相等的实数 x1，x2，x3，使得 f（x1）f（x2）f（x3）k， 则符合条件的一个 k 的值满足 k 故答案为：k（答案不唯一） 【点评】本题考查导数在函数中的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性与极值， 考查化归与转化思想，考查推理运算能力，是中档题 16 （3 分）在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点全是格点（横、纵坐标都是整数） ， 第 13 页（共 19 页） 则称该多边形为格点多边形已知ABC 是面积为 8 的格点三角形，其中 A（0，0） ，B （4，0） 在研究该三角形边界上可能的格点个数时，甲、乙、丙、丁四位同学各自给出 了一个取值
28、，分别为 6，8，10，12，其中得出错误结论的同学为 丙 【分析】根据条件设三角形的高为 h，结合三角形的面积得到高 h4，即顶点 C 在直线 y4 上，结合 C 的整点坐标，利用数形结合进行排除即可 【解答】解：设三角形的高为 h，则三角形的面积 S4h8，即 h4， 即 C 点的纵坐标为 4， 若 C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为 12 个， 若 C（2，4） ，则三角形边边界上的格点个数为 8 个， 若 C（1，4）或（3，4） ，则三角形边边界上的格点个数为 6 个， 第 14 页（共 19 页） 则不可能的为 10 个， 故答案为：丙 【点评】本题主要考查合
29、情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点 A 的位置，利 用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键，考查运算求解能力，是中档题 四、解答题，共四、解答题，共 6 个小题，共个小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17已知函数 f（x）x33x2+9x （1）求 f（x）的在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求 f（x）在区间4，2上的最小值 【分析】 （1）根据导数的几何意义即可求出切线方程， （2）利用导数和函数的最值的关系即可求出函数的最小值 【解答】解： （1）函数 f（x）x33x2+9x， f（x）3x26x+9，
30、f（1）36+90， f（1）13+95， f（x）的在点（1，f（1） ）处的切线方程 y5； （2）由（1）可得 f（x）3x26x+93（x+3） （x1） ， 令 f（x）0，解得 x3，或 x1， 当 x4，3，1，2时，f（x）0，函数单调递减， 当 x3，1时，f（x）0，函数单调递减， f（x）极小值f（3）27272727， f（2）812+182， f（x）在区间4，2上的最小值为27 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值和切线方程，属于基础题 第 15 页（共 19 页） 18已知函数 f（x）（2a）lnx+2ax （1）当 a0 时，求 f（x）的极值
31、； （2）当 a0 时，求 f（x）的单调区间 【分析】 （1）求导数，确定函数的单调性，即可求得函数的极值； （2）求导数，对 a 分类讨论，利用导数的正负，可得 f（x）的单调区间 【解答】解： （1）当 a0 时，（2 分） x f（x） 0 + f（x） 单调递减 极小值 单调递增 （4 分） 当 x时，f（x）极小值，无极大值（5 分） （2） （6 分） 当，即 a2 时，f（x）0 恒成立，f（x）的单调递减区间为（0，+） （7 分） 当，即2a0 时，f（x）的单调递减区间为，f （x）的单调递增区间为（9 分） 当，即 a2 时，f（x）的单调递减区间为，f（x） 的单调递
32、增区间为（11 分） 综上所述：当 a2 时，f（x）的单调递减区间为，f（x）的 单调递增区间为； 当 a2 时，f（x）的单调递减区间为（0，+） ；当2a0 时，f（x）的单调递减 区间为，f（x）的单调递增区间为（12 分） 第 16 页（共 19 页） 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思 想，属于中档题 19据统计某种汽车的最高车速为 120 千米时，在匀速行驶时每小时的耗油量 y（升）与 行驶速度 y（千米时）之间有如下函数关系：已知甲、乙两 地相距 100 千米 （）若汽车以 40 千米时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？ （）
33、当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【分析】 （）求出汽车从甲地到乙地行驶的时间，即可求得需耗油的升数； （）当汽车的行驶速度为 x 千米时时，从甲地到乙地需行驶小时，列出耗油函 数关系式，利用导数可得最值 【解答】解： （）当 x40 千米时时，汽车从甲地到乙地行驶了（小时） ， 需耗油（升） 所以，汽车以 40 千米时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油 17.5 升（4 分） （）当汽车的行驶速度为 x 千米时时，从甲地到乙地需行驶小时设耗油量为 h（x）升， 依题意，得，其中，0x 120（7 分）即（0x120） 令 h（x）0，得 x80 当 x（0，
34、80）时，h（x）0，函数单调递减；当 x（80，120）时，h（x）0， 函数单调递增 x80 时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升 所以当汽车以 80 千米时的速度行驶时， 从甲地到乙地耗油最少， 最少为 11.25 升 （12 分） 【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的 运用，属于中档题 20已知函数 f（x）ln（a+x）的零点是 x0， 第 17 页（共 19 页） （1）求 a； （2）求证：对任意 x（0，+） ，g（x）1； （3）若对任意 x（0，+） ，mg（x）n 恒成立，写出 nm 的最小值（不需证明） 【分析】 （1
35、）直接利用 f（0）0 求出 a 的值； （2）这是一个不等式恒成立问题，只需证明 g（x）的最大值小于 1 即可，然后利用导数 研究 g（x）的单调性、极值以及最值情况即可； （3）根据题意，只需求出 g（x）的值域，即可求出 nm 的最小值 【解答】解： （1）由题意 f（0）lna0，所以 a1 （2）由题意， （x0） ， 令 h（x）x（x+1）ln（x+1） （与 g（x）同号） 易知 h（0）0，又 h（x）ln（x+1） ，因为 x0，所以 h（x）0 h（x）在（0，+）上是减函数，所以 h（x）0，即 g（x）0 所以 g（x）是（0，+）上的减函数 所以任意 x（0，+）
36、 ，g（x）1 （3）由（2）知 g（x）在（0，+）上是减函数，且 g（x）1 而 所以要使 x0 时，mg（x）n 恒成立，只需即可 所以当 n1，m0 时，nm 的最小值为 1 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值的方法，第二问用到了二次求导， 要注意二阶导数的符号确定一阶导数的单调性，再结合一阶导数的零点确定原函数的单 调性，此处目的要明确属于较难的题目 21已知函数 f（x）e x+x1 （1）过点 B（0，t）是否存在曲线 yf（x）的切线？请说明理由； （2）设 g（x）exf（x）lnx，求证：g（x）存在极小值 【分析】 （1）先设切点，然后根据导数的几何 求出过
37、切点的切线方程，检验该 切线是 第 18 页（共 19 页） 否过 B 即可判断； （2）先对 g（x）求导，然后结合导数可求函数的单调性，结合函数的性质及零点存在定 理可求证 【解答】解：设切点 A（x0，y0） ， 则过 A 的切线方程为 y（）（1） （xx0） ， 把 B（0，t）代入可得，t， 因为 exx+1，当 x0 时取等号， 所以，0， 故当 t0 时，t有解，即此时切线存在 当 t0 时，t无解，此时切线不存在 （2）g（x）exf（x）lnx1+（x1）exlnx， 则，则可知 g（x）在（0，+）上单调递增， 又因为 g（1）e10，0， 故存在 x0使得 g（x0）0
38、， 当 x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，当 x（x0，+）时，g（x）0， g（x）单调递增， 故当 xx0时，函数取得极小值，没有极大值 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及函数极值存在条件的应用，体现了分 类讨论及转化思想的应用 22 已知 n 是给定的正整数且 n3， 若数列 A： a1， a2， a3， ， an满足： 对任意 i1， 2， ， n，都有 ai成立，其中 S（A）a1+a2+an，则称数列 A 为“M 数列” （1）若数列 A：1，2，a3是“M 数列” ，求 a3的取值范围； 第 19 页（共 19 页） （2）若等差数列 A：a1，a2，a3
39、，a4是“M 数列” ，且 a11，求其公差 d 的取值范围； （3）若数列 A：a1，a2，a3，an是“M 数列” ，求证：对于任意不相等的 i，j，k1， 2，n，都有 ai+ajak 【分析】 （1）分别以 a3为数列 A：1，2，a3中最大和最小的数时，列出不等式，即可求 解 a3的取值范围； （2）以 d0 和 d0，分类讨论，列出关于 a4的不等关系式，即可求解 d 的取值范围； （3）利用反证法，假设存 ai+aj的 i，j，k1，2，n，有 ai+ajak，推出矛盾，即 可得到判定 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 当a3为 数 列A ： 1 ， 2 ， a3中 最 大 的
40、数 时 ， ； 当 a3为数列 A：1，2，a3中最小的数时， 所以 a3的取值范围是 1a33 （2）当 d0 时，等差数列 A：a1，a2，a3，a4中最大项为 a4， ，； 当 d0 时，等差数列 A：a1，a2，a3，a4中最大项为 a1， ， 综上所述，数列 A 的公差 d 的取值范围为： （3）证明：反证法，假设存在不相等的 i，j，k1，2，n，有 ai+ajak， 在数列 A：a1，a2，a3，an中，除了 ai和 aj外，其它所有数的和， 所以 SS+ai+aj， SS 矛盾，假设不成立 因此，对于任意不相等的 i，j，k1，2，n，都有 ai+ajak 【点评】本题属于新定义类题，在等差数列定义的基础上，采用了分类讨论和反证法的 思想来解题，对学生的分析能力和推理能力有较高的要求，属于中档难度题
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