2018-2019学年北京市101中学高二（下）期中数学试卷（含详细解答）

1、复数 z（i 为虚数单位）的共轭复数是 11 （5 分）曲线 yln（x+2）3x 在点（1，3）处的切线方程为 12 （5 分）若复数（a+i） （3+4i）的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，则实数 a 13 （5 分）已知圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，则圆 C 的面积为 ； 圆心 C 到直线 l：3x4y0 的距离为 14 （5 分）若函数 f（x）2x3ax2+ex+1（aR）是实数集上的单调函数，则函数 f（x） 在区间1，1上的最大值与最小值的和的最小值为 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 50 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、

2、演算步骤或证明过程 15 （12 分）设函数 f（x）+6lnx （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求函数 yf（x）的单调区间与极值 16 （12 分）已知函数 f（x）axexx22x （1）当 al 时，求函数 f（x）的极值； （2）当 x（2，0）时，f（x）l 恒成立，求 a 的取值范围 17 （14 分）已知函数 f（x）x3x （）判断的单调性； （）求函数 yf（x）的零点的个数； （）令 g（x）+lnx，若函数 yg（x）在（0，）内有极值，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知常数 a0，函数 f（x）ln（1+ax） （1）讨

3、论 f（x）在区间（0，+）上的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，且 f（x1）+f（x2）0，求 a 的取值范围 第 3 页（共 13 页） 2018-2019 学年北京市学年北京市 101 中学高二（下）期中数学试卷中学高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项 1 （5 分）若 z3+4i，则|z|（ ） A B5 C7 D25 【分析】利用复数的模长公式直接求解即可

4、 【解答】解： 故选：B 【点评】本题考查复数的模，属于基础题 2 （5 分）下列四个函数：yx3；yx2+1；y|x|；y2x其中在 x0 处取得 极值的是（ ） A B C D 【分析】根据函数极值点的定义、取得极值的判断方法即可判断出结论 【解答】解：yx3；y2x在 R 上都单调递增，因此无极值 yx2+1；y2x0，解得 x0，x0 时，y0；x0 时，y0可得函数 y x2+1 在 x0 处取得极小值因此正确 同理可得：y|x|在 x0 处取得极小值 （虽然导数不存在，有点超出高中课本范围） ， 因此正确 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法，考查

5、了推理能力 与计算能力，属于基础题 3 （5 分）在极坐标系中，直线 sincos1 被曲线 截得的线段长为（ ） A B C D2 【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直 线的距离公式的应用求出结果 【解答】解：直线 sincos1 转换为直角坐标方程为：xy+10 曲线 转换为直角坐标方程为 x2+y22， 第 4 页（共 13 页） 所以圆心（0，0）到直线 xy+10 的距离 d， 所以 l2 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属

6、于基础题 型 4 （5 分）f（x）x（2018+lnx） ，若 f（x0）2019，则 x0等于（ ） Ae2 B1 Cln2 De 【分析】可求出导函数 f（x）lnx+2019，从而根据 f（x0）2019 即可得出 x0的值 【解答】解：f（x）x（2018+lnx） ， 则 f（x）2019+lnx， f（x0）2019+lnx02019， x01， 故选：B 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的 方法，考查了计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知函数 yf（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的极大值点共有 （ ） A1 个

7、B2 个 C3 个 D4 个 【分析】f（x）取得极大值，则满足：f（x）0，在 x 的左边 f（x）0，在 x 的右 边 f（x）0由图即可得出 【解答】解：f（x）取得极大值，则满足：f（x）0，在 x 的左边 f（x）0，在 x 的右边 f（x）0 由图可得：f（x）的极大值点共有 2 个：为2，2 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合方法，考查了推理能力 第 5 页（共 13 页） 与计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知曲线 f（x）在点（1，f（1） ）处切线的斜率为 1，则实数 a 的值为 （ ） A B1 C D2 【分析】求出函数的导数 f（x

8、） ，利用 f（1）1，解 a 即可 【解答】解：f（x）， f（x）， x1 处切线斜率为 1，即 f（1）1， 1，解得 a1 故选：B 【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力， 比较基础 7 （5 分）已知函数，若，bf（） ，cf（5） ，则（ ） Acba Bcab Cbca Dacb 【分析】求出函数 f（x）的导数，判断函数的单调性，从而比较函数值的大小即可 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+） ， f（x）10， 故 f（x）在（0，+）递减， 而 5， f（5）f（）f（） ， 即 cba， 故选：A 【点评】本题考查了函数的单调性问题

9、，考查导数的应用，是一道基础题 8 （5 分） 已知实数 a， b 满足 a23lnab0， cR， 则 （ac） 2+ （b+c）2 的最小值为 （ ） A1 B C2 D 第 6 页（共 13 页） 【分析】构造函数，yf（x）x23lnx， （x0） ，yx，则（ac）2+（b+c）2表示 曲线 yf（x）上的点到直线 yx 的距离的平方，求导，求出与 yx 平行的切线方 程，进而求出切点的坐标，求出两条平行线的距离，进而求出（ac）2+（b+c）2的最 小值 【解答】解：分别设 yf（x）x23lnx， （x0） ，yx，则（ac）2+（b+c）2表 示曲线 yf（x）上的点到直线 y

10、x 的距离的平方， 因为 f（x）x23lnx，所以 f（x）2x， 所以 2x1，x0，解得：x1，所以切点为 P（1，1） ， 所以 P 到直线 y+x0 距离为：d， 所以（ac）2+（b+c）2的最小值为 2， 故选：C 【点评】本题考查导数的几何意义和平行线间的距离公式，关键是构造函数和直线，属 于中难题 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）函数 f（x）x22lnx 的单调减区间是 （0，1） 【分析】依题意，可求得 f（x），由 f（x）0 即可求得函数 f（x） x22lnx 的单调减区间 【解答】解：f（x）x2

11、2lnx（x0） ， f（x）2x， 令 f（x）0 由图得：0x1 函数 f（x）x22lnx 的单调减区间是（0，1） 故答案为（0，1） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题 10 （5 分）复数 z（i 为虚数单位）的共轭复数是 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 第 7 页（共 13 页） 【解答】解：z， 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 11 （5 分）曲线 yln（x+2）3x 在点（1，3）处的切线方程为 2x+y10 【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，由点

12、斜式方程即可得到 所求切线的方程 【解答】解：yln（x+2）3x 的导数为 y3， 可得在点（1，3）处的切线斜率为 k132， 即有在点（1，3）处的切线方程为 y32（x+1） ， 即为 2x+y10 故答案为：2x+y10 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用 点斜式方程是解题的关键，考查运算能力，属于基础题 12 （5 分）若复数（a+i） （3+4i）的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，则实数 a 7 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求解 a 值 【解答】解：（a+i） （3+4i）（3a4）+（3+4a）i

13、 的对应点在复平面的一、三象限 角平分线上， 3a43+4a，解得 a7 故答案为：7 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 13 （5 分）已知圆 C 的参数方程为（ 为参数） ，则圆 C 的面积为 ；圆 心 C 到直线 l：3x4y0 的距离为 【分析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标与半径，则圆的面积可求；再 由点到直线的距离公式求圆心 C 到直线 l：3x4y0 的距离 第 8 页（共 13 页） 【解答】解：由圆 C，可得（x2）2+y21， 圆 C 的圆心坐标为（2，0） ，半径为 1， 则圆 C 的面积为 12； 圆心 C

14、（2，0）到直线 l：3x4y0 的距离为 d 故答案为：； 【点评】本题考查圆的参数方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题 14 （5 分）若函数 f（x）2x3ax2+ex+1（aR）是实数集上的单调函数，则函数 f（x） 在区间1，1上的最大值与最小值的和的最小值为 22 【分析】根据题意，函数 f（x）单调递增，根据导数判断出 f（x）的最大值和最小值， 求和，再求出结果即可 【解答】解：函数 f（x）2x3ax2+ex+1（aR）是实数集上的单调函数， 显然 f（x）6x22ax+e0 不恒成立， 若 f（x）6x22ax+e0， 4a224e0，a， 由 f（x）在1，1单调递

15、增， 故 f（x）maxf（1）3+ea，f（x）minf（1）1ea， ， 故答案为： 【点评】本题考查利用导数法研究函数的单调性，最值，考查了导数的综合利用能力， 中档题 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 50 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15 （12 分）设函数 f（x）+6lnx （1）求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）求函数 yf（x）的单调区间与极值 【分析】 （1）求出函数的导数，求出 f（1） ，f（1）的值，代入直线方程即可； （2）求 出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数

16、的单调区间，从而求出函数的极值即 可 第 9 页（共 13 页） 【解答】解： （1），x0， f（1）8，切点为（1，8）（2 分） ， ， 切线斜率 kf（1）10（4 分） 切线方程为 y+810（x1） ， 即 10xy180（6 分） （2） ，x0 （7 分） 令 f（x）0，0x6； 令 f（x）0，x6 （9 分） f（x）单调递增区间为（0，6） ； 单调递减区间为（6，+） ； f（x）极大值为 f（6）+6ln6，无极小值 （12 分） 【点评】本题考查了求曲线的切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、极值 问题，是一道中档题 16 （12 分）已知函数 f（x）a

17、xexx22x （1）当 al 时，求函数 f（x）的极值； （2）当 x（2，0）时，f（x）l 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a1 代入，对函数求导，判断单调性和极值即可； （2）当 x（2，0）时，f（x）1 恒成立，等价于当 x（2，0）时，axexx22x 1，即 axexx2+2x+1，因为 x（2，0） ，所以 a，构造函数求导，根据 最值判断即可 【解答】 （1）当 a1 时，f（x）xexx22x，f（x）xex+ex2x2（x+1） （ex2） ， 令 f（x）0，得 x11，x2ln2 x （， 1） 1 （1，ln2） ln2 （ln2，+） 第 10

18、 页（共 13 页） f（x） + 0 0 + f（x） 极大值 极小值 所以，f（x）极大值f（1）1；f（x）极小值f（ln2）（ln2）2 （2）当 x（2，0）时，f（x）1 恒成立 等价于当 x（2，0）时，axexx22x1， 即 axexx2+2x+1，因为 x（2，0） ， 所以 a， 令 h（x），x（2，0） ，h（x） x （2，1） 1 （1，0） h（x） + 0 h（x） 极大值 则 h（x）maxh（1）0， 因此 a0，即 a0，+） 【点评】本题考查导数法判断函数的单调性和极值，最值的应用，考查了导数的综合应 用能力，中档题 17 （14 分）已知函数 f（x

19、）x3x （）判断的单调性； （）求函数 yf（x）的零点的个数； （）令 g（x）+lnx，若函数 yg（x）在（0，）内有极值，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）化简，并求导数，注意定义域： （0，+） ，求出单调区间； （）运用零点存在定理说明在（1，2）内有零点，再说明 f（x）在（0，+）上 有且只有两个零点； （）对 g（x）化简，并求出导数，整理合并，再设出 h（x）x2（2+a）x+1，说明 第 11 页（共 13 页） h（x）0 的两个根，有一个在（0， ）内，另一个大于 e，由于 h（0）1，通过 h（） 0 解出 a 即可 【解答】解： （）设 （x）x21（x0）

20、 ， 则 （x）2x+0， （x）在（0，+）上单调递增； （）（1）10，（2）30，且 （x）在（0，+）上单调递增， （x）在（1，2）内有零点， 又 f（x）x3xx（x） ，显然 x0 为 f（x）的一个零点， f（x）在（0，+）上有且只有两个零点； （）g（x）+lnxlnx+， 则 g（x）， 设 h（x）x2（2+a）x+1， 则 h（x）0 有两个不同的根 x1，x2，且有一根在（0，）内， 不妨设 0x1，由于 x1x21，即 x2e， 由于 h（0）1，故只需 h（）0 即可， 即（2+a）+10，解得 ae+2， 实数 a 的取值范围是（e+2，+） 【点评】本题主要

21、考查导数在函数中的综合运用：求单调区间，求极值，同时考查零点 存在定理和二次方程实根的分布，是一道综合题 18 （12 分）已知常数 a0，函数 f（x）ln（1+ax） （1）讨论 f（x）在区间（0，+）上的单调性； （2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，且 f（x1）+f（x2）0，求 a 的取值范围 【分析】 （1）利用导数判断函数的单调性，注意对 a 分类讨论； （2） 利用导数判断函数的极值， 注意 a 的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决 第 12 页（共 13 页） 【解答】解： （1）f（x）ln（1+ax），x（0，+） ， f（x）， （1+ax） （x+2

22、）20，当 1a0 时，即 a1 时，f（x）0 恒成立， 则函数 f（x）在（0，+）单调递增， 当 0a1 时，由 f（x）0 得 x， 则函数 f（x）在（0，）单调递减，在（ ，+）单调递增 （2）由（1）知，当 a1 时，f（x）0，此时 f（x）不存在极值点 因此要使 f（x）存在两个极值点 x1，x2，则必有 0a1， 又 f（x）的极值点值可能是 x1，x2， 且由 f（x）的定义域可知 x且 x2， 且2，解得 a， 则 x1，x2分别为函数 f（x）的极小值点和极大值点， f（x1）+f（x2） ln1+ax1+ln（1+ax2） ln1+a（x1+x2）+a2x1x2 l

23、n（2a1）2 ln（2a1）2+2 令 2a1x，由 0a1 且 a得， 当 0a时，1x0；当a1 时，0x1 令 g（x）lnx2+2 （i）当1x0 时，g（x）2ln（x）+2， g（x）0， 第 13 页（共 13 页） 故 g（x）在（1，0）上单调递减，g（x）g（1）40， 当 0a时，f（x1）+f（x2）0； （ii）当 0x1g（x）2lnx+2，g（x）0， 故 g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）g（1）0， 当a1 时，f（x1）+f（x2）0； 综上所述，a 的取值范围是（，1） 【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判 断函数的单调性及求极值的能力， 考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力， 逻辑性综合性强，属难题