1、 2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 文科数学试题文科数学试题 本试卷 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在 答题卡 “条形码粘贴处”。 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答无效。 4考
2、生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1已知集合 2 230,Ax xxxZ， | 2,Bx xxZ，则AB （） A1,0,1 B2, 1,0,1 C1,0,1,2 D2, 1,0,1,2,3 2已知复数z满足 1 ,( ,) 1 aba b iR i ，则ab（） A0 B1 C1 D2 3命题:0,1 x pxe ，则命题p的否定是（） A:0,1 x pxe B:0,1 x pxe C 0 0 :0,1 x pxe D 0 0 :0,1
3、 x pxe 4如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图， 则下列说法错误的是（） A乙所得分数的极差为 26 B乙所得分数的中位数为 19 C两人所得分数的众数相同 D甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 5已知abc， ，R,32 a ，45 b ，54 c ，则下列不等关系中正 确的是（） A.abc B. cba C. cab D. acb 6函数( )sin() 6 f xx 的图像平移后对应的函数为( )sin() 6 g xx ，若( )g x为偶函数，则的 最小值为（） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 7 已知函数 2 ( ) xx ee f x
4、 x ，则( )f x的图像大致为（） x y O x y O x y O x y O A B C D 42 3 221 3 6 5 0 220 9621 7 3 2 1 0 乙甲 8已知m，n为两条不同直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（） 若/ /m， / /，则/ /m； 若/ /m， / /m，则/ /； 若m， n，/ /，则/ /mn； 若m， n，则mn； A1 B2 C3 D4 9已知ABC三内角,A B C满足cos2cos21 cos2ABC 且2sinsinsinABC，则下列结论正确 的是（） A, 2 AB C B, 2 AB C C, 2 AB C D
5、, 2 AB C 10若点A为抛物线 2 4yx上一点,F是抛物线的焦点，| | 6AF ，点P为直线1x 上的动点，则 |PAPF 的最小值为（） A2 13 B2 21 C2+2 14 D8 11已知三棱锥PABC中，1PA，3PB ，2CACBAB，平面PAB 平面ABC，则此三 棱锥的外接球的表面积为（） A 25 3 B 16 3 C 7 3 D 5 3 12已知函数f x( )的定义域为 22 (,)，fx ( ) 是f x( )的导函数.若+0fxx f xx( )cos( )sin，则关 于x的不等式2 4 f xfx ( )( )cos的解集为（） A 24 (,) B 44
6、 (,) C 42 (, ) D 24 (,)U 42 (, ) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量(2, 1)a， 1,tb，且ab = ab，则t 14已知六张卡片上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，随机取出两张卡片，则数字之和为偶数的概 率为 15已知双曲线 22 1mxy的一条渐近线方程为 1 2 yx，则其焦点到渐近线的距离为 16根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有 甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选，医院领导 组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”
7、，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”根 据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一 人入选.根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。 （一）必考题：共 60 分。 17 (12 分) 记 n S是等差数列 n a的前n项和，且 12 11aS， 243 7aaa （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T B1 D1 A1 B
8、 C C1 D P A 18 （12 分） 如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1AAAD，2AB ，P为 11 AB的中点 （1）证明：平面 1 PAD 平面 1 ABC； （2）求多面体 11 PABDD的体积 19 （12 分） 已知椭圆E: 22 1 42 xy ，点A B，分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上一点. （1）若直线AP的斜率为 2，求直线PB的斜率； （2）若点P的坐标为2 1（， ），斜率为 2 2 的直线l与椭圆相交于E F，（异于P点）两点.证明： PE PF,的斜率 12 kk，的和为定值. 20 (12 分) 为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，
9、医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒 情况进行抽样调研，所得数据统计如表 1 所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表 2 所示 （1）写出mnp， ，的值； （2）判断是否有 95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性； （3） 根据表 2 数据， 计算y与x的相关系数r， 并说明y与x的线性相关性强弱 （若0.75 | 1r， 则认为y与x线性相关性很强；0.3 | 0.75r，则认为y与x线性相关性一般；| 0.25r ，则认为y 与x线性相关性较弱） 附：参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd , nabcd . 2 0 ()P
10、 Kk 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 5 2 1 10 i i xx ， 5 2 1 164 i i yy ，41020.2485 表 1 患感冒人数 不患感冒人数 合计 男生 30 70 100 女生 42 58 p 合计 m n 200 表 2 温差x 6 7 8 9 10 患感冒人数y 8 10 14 20 23 21 (12 分) 已知函数 2 ( )lnf xxx. （1）讨论( )f x的单调
11、性； （2）若关于x的不等式( )10f xax 恒成立，求实数a的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。分。 22选修 4-4 坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 4 4 4 2 xt t yt t （t为参数，且0t ） ，以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos3 sin10 （1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与x轴交点记为M，
12、与曲线C交于P，Q两点，求 11 PMQM 23选修 4-5 不等式选讲（10 分） 已知ab，为实数，且满足 22 3412ab.证明： （1）3.ab （2）24.ab 2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测 文文科数学参考答案科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C D D B A B D B B C 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 2 14. 2 5 15. 2 16. 乙、丁
13、 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分。 17 (12 分) 【解】 （1）设等差数列 n a的公差为d，根据题意得： 1 1 311 27 ad ad 解得 1 3 2 a d 所以21 n an； .6 分 （2） 由（1）可得 1 11111 () (21)(23)2 2123 nn a annnn ， 8 分 所以 1 1111111 1111 ()() 2 355721232 323646 n T nnnn 12 分 18(12 分)
14、 【证明】 （1）如图，连接 1 AD，Q 1 AAAD， 11 ADAD Q 11 / /ADBC， 11 ADBC 又 1 ADABQ， 1 ABBCBI，AB平面 1 ABC， 1 BC 平面 1 ABC， 1 AD平面 1 ABC 又Q 1 AD 平面 1 PAD，平面 1 PAD 平面 1 ABC .6 分 【解】 （2） 1111111111 -P A BDDP A D BA D BD A PBA DD VVVVV 多面体三棱锥三棱锥D三棱锥三棱锥B .8 分 111 11 11 33 11111 1 1 11 1 2 32322 A PBA DD SADSAB . . . . .
15、 .12 分 19(12 分) 【解】 （1）设 00 (,),P xy由题知：2,0(2,0)AB（-），于是： 00 00 2, 22 APPB yy kk xx ，两式相乘，得： 2 0 2 0 2 4 PB y k x 00 (,)P xy在 22 1 42 xy 上， 2 0 0 4 2 x y，代入得： 1 2 2 PB k, 1 4 PB k, 所以，直线PB的斜率为 1 4 . 5 分 【证明】 （2）设直线l： 2 , 2 yxm 1122 )()E x yF xy（ ， ， 由 22 2 2 24 yxm xy 可得 22 220xmxm，由 0, 得：-22m， 由根与系
16、数关系得 2 1212 2 ,2 xxmx xm （*） 8 分 12 121212 12 121212 22 11 112(2)()2 2(1) 22 = 2222(2)(2) xmxm yyx xmxxm kk xxxxxx A P D C1 C B A1 D1 B1 将（*）式代入得： 12 0kk， 所以 12 kk，之和为定值. 12 分 20 （12 分） 【解】 （1）根据表中数据可得：72128100mnp， .3 分 （2）依题意， 2 2 200 30 5842 70 3.1253.841 72 128 100 100 K 所以没有 95%的把握认为在相同的温差下认为“性别
17、”与“患感冒的情况”具有相关性 .7 分 （3）依题意， 6789 10 8 5 x ， 8 10 142023 15 5 y 所以 5 1 40 ii i xxyy ，则 402020 0.98770.75 20.248510 164410 r 故说明y与x的线性相关性很强 .12 分 21 （12 分） 【解】 （1）由已知，0x ， 1 ( )2ln + 2 fxxx ，令( )=0fx得： e x e ， .2 分 当0 e x e 时，( )0fx ，( )f x在0 e e （ ， ）上单调递减； 当 e x e 时，( )0fx( )f x在+ e e （， ）上单调递增. 综上
18、，( )f x的单调减区间为0 e e （ ， ），单调增区间为+ e e （， ）. .5 分 （2）( )10f xax 恒成立，即 2 ln10xxax 等价于 1 lnaxx x 恒成立 令 1 ( )lng xxx x ，则 2 1 ( )ln1g xx x . .7 分 令 2 1 ( )ln1h xx x 则 3 12 ( )0h x xx 在0 +（ ， ）上恒成立. 2 1 ( )ln1g xx x 在0 +（ ， ）上单调递增， (1)0 g 01x 时，( )0g x，( )g x在01（ ， ）上单调递减； 1x 时，( )0g x，( )g x在1+（， ）上单调递增
19、 . .10 分 min ( )(1)1g xg min ( )1ag x 综上可得，a的取值范围是1（- ， .12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计如果多做，则按所做的第一题计 分分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 【解】 （1）曲线C的直角坐标方程为 2 4yx， .3 分 直线l的直角坐标方程为310xy .5 分 （2）由（1）知，M的坐标为1,0，是抛物线C的焦点， 以 M 为极点 ，x轴的正方向为极轴方向重新建立极坐标系， 在此极坐标系中， 直线l
20、的方程为 0 或 0 （其中 0 为直线l的倾斜角， 满足 0 1 tan 3 ） ， 不妨设 10 ,P ， 20 ,Q ，抛物线C的方程为 22 sin4cos1， 将 10 ,P 代入得 2 11 12 10400，将 20 ,Q 代入得 2 22 12 10400， 所以 1 和 2 是方程 2 12 10400的两根， 由韦达定理得 12 12 10， 12 40 ， （8 分） 所以 2 1212 12 121212 4 1111 1 PMQM （10 分） （2）另证:由（1）知，M的坐标为1,0，是抛物线C的焦点， 不妨设 112212 ( ,),Q(,),(0,0)P x y
21、xyyy 由 2 2 4 1240 310 yx yy xy 由韦达定理: 1212 12,4yyy y （8 分） 2222 11111 (1)( 311)1 0P Mxyyyy 2222 22222 (1)(31 1)10QMxyyyy 12 12 11111 () 10104 10 yy PMQMyy 2 1212 11 ()4144161 4 104 10 yyy y (10 分) 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 【解】 （1）由已知可得： 22 12344 3abab 3.ab .5 分 （2） 22 3412ab 根据柯西不等式可得： 2 2 22 114 23213411216 333 ababab 24.ab .10 分 注：其他正确的方法不扣分
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