1、蚌埠市蚌埠市 2020 届高三年级第三次教学质量检查考试届高三年级第三次教学质量检查考试 数学数学（理工类理工类） 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 2 54xxAx ，集合0Bx x，则 R AC B
2、 （ ） A.1,0 B.1,4 C.1,4 D.0,4 2.已知 i 为虚数单位，则复数 2 2i的共轭复数为（ ） A.54i B.54i C.3 4i D.3 4i 3.已知等差数列 n a中，前 n 项和 n S满足 103 42SS，则 7 a的值是（ ） A.3 B.6 C.7 D.9 4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的 增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发展统计公报图表，根据 2019 年居民 消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（ ） A.2019 年我国居
3、民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌 B.2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高 C.2019 年我国居民每月消费价格逐月递增 D.2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降 5.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 离心率为 3，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A. 2 2 yx B.2yx C.2 2yx D. 2 4 yx 6.已知向量a，b的夹角为 2 3 ，1,2a ， 20aab，则b等于（ ） A.5 B.2 5 C. 15 3 D. 2 15 3 7.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某高中计划组织
4、学生参与各项职业体验，让学生在劳 动课程中掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.学 校计划下周在高一年级开设“缝纫体验课” ，聘请“织补匠人”李阿姨给同学们传授织补技艺。高一年级有 6个班， 李阿姨每周一到周五只有下午第2节课的时间可以给同学们上课， 所以必须安排有两个班合班上课， 高一年级 6 个班“缝纫体验课”的不同上课顺序有（ ） A.600 种 B.3600 种 C.1200 种 D.1800 种 8.函数 sin2f xx的图象是由函数 cos 20g xx的图象向右平移 6 个单位长度后得 到，则下列是函数 yg x的图象的对称轴方程的
5、为（ ） A. 12 x B. 6 x C. 3 x D.0x 9.已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 3 5 ，左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过左焦点 1 F作直线与椭圆 在第一象限交点为 P，若 12 PFF为等腰三角形，则直线 1 PF的斜率为（ ） A. 4 2 7 B. 7 2 8 C.4 5 D. 8 2 7 10.已知函数 f x的图象如图所示，则函数 f x的解析式可能是（ ） A.1yxx B.cos 42 x yx C.sin 4 x yx D.11yxxx 11.开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种
6、，已知小 明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份 15 元，面食套 餐的价格是每份 10 元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐， 假如第 1 天小明选择了米饭套餐，第 n 天选择米饭套餐的概率 n p，给出以下论述： 小明同学第二天一定选择面食套餐； 3 0.68p ； 11 0.20.8 12, nnn pppnnN ； 前 n 天小明同学午餐花费的总费用数学期望为 2525253 216165 n n . 其中正确的是： （ ） A. B. C. D. 12.已知函数 1 ln20 ex ax f xxaxa
7、 ， 若函数 f x在区间0,内存在零点， 则实数a的取 值范围是（ ） A.0,1 B.1, C.0,e D.3, 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知命题:pxR ， 使得 2 cossin1xxm ， 若命题 p 是假命题， 则实数 m 的取值范围是_. 14.已知函数 2 1 2,1 2 1 log,1 2 x x f x xx ，若 2f a ，则a_. 15.已知 5 1 2 a xx xx 的展开式中各项系数和为 2，则其展开式中常数项是_. 16.如图是第七届国际数学教育大会的会徽
8、，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成.设其中 的 第 一 个 直 角 12 OA A是 等 腰 三 角 形 ， 且 12231 1 nn A AA AA A ， 则 ， 23 2,3, n OAOAOAn，现将 12 OA A沿 2 OA翻折成 2 OPA，则当四面体 23 OPA A体积最大 时，它的侧面有_个直角三角形；当 3 1PA 时，四面体 23 OPA A外接球的体积为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.
9、17.（12 分） 如图所示，ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，它的外接圆半径为 2 3 3 ，且 sin4sin3 coscABaC. （1）求角 A 的大小； （2）求ABC周长的最大值. 18.（12 分） 随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到 了人们的青睐， 更被网友们评为 “新四大发明” 之一.随着人们消费观念的进步， 许多人喜欢用信用卡购物， 考虑到这一点，一种“网上的信用卡”横空出世蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支 付方式，简单便捷，同时也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的“赊购”
10、消费需求.为了调查使 用蚂蚁花呗“赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注 册用户中各随机抽取 100 人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗“赊购”的人数百分比如下图所示. （1）由大数据可知，在 18 到 44 岁之间使用花呗“赊购”的人数百分比 y 与年龄 x 成线性相关关系，利用 统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段“赊购”人数百 分比 y 与年龄 x 的线性回归方程（回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字） ； （2）该网站年龄为 20 岁的注册用户共有 2000 人，试估算该网站 20 岁的注册用户中使用花呗
11、“赊购”的 人数； （3）已知该网店中年龄段在 18-26 岁和 27-35 岁的注册用户人数相同，现从 18 到 35 岁之间使用花呗“赊 购”的人群中按分层抽样的方法随机抽取 8 人，再从这 8 人中简单随机抽取 2 人调查他们每个月使用花呗 消费的额度，求抽取的两人年龄都在 18 到 26 岁的概率. 参考答案： 1 2 1 2 n ii i n i i x x y b n n x x y ，aybx. 19.（12 分） 如图四棱柱 1111 ABCDABC D中，/ADBC，ABAD，2ADABBC，M 为 1 AD的中点. （1）证明：/ /CM平面 11 AAB B； （2）若四
12、边形 11 AAB B是菱形，且面 11 AAB B 面ABCD， 1 3 B BA ，求二面角 1 ACMA的余弦 值. 20.（12 分） 已知抛物线 2 :20C xpy p的焦点为 F，直线2ykx与抛物线 C 交于 A，B 两点，若1k ，则 l1 4 3BFAF. （1）求抛物线 C 的方程； （2）分别过点 A，B 作抛物线 C 的切线 1 l、 2 l，若 1 l， 2 l分别交 x 轴于点 M，N，求四边形ABNM面积的 最小值. 21.（12 分） 已知函数 ln 1x f x x . （1）分析函数 f x的单调性； （2）证明： 2 11 1ln3ln 212 nn n
13、 ，2n. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为 cos 1sin xt yt （其中 t 为参数， 3 4 ）.在以原点 O为 极 点 ， x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 所 建 立 的 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 cos22cos2 sin2.设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点. （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知点0,1P，求 11 PAPB 的最大值
14、. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 f xxmx，xR. （1）若不等式 2 f xm对xR 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）若（1）中实数 m 的最大值为 t，且a b ct （a，b，c 均为正实数）. 证明： 111 9 abc . 参考参考答案答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B D C A D A A C D B 二、填空题： 13. 9 , 4 14. 7 2 15.40 16.4， 4 3 （第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题： 17.（12 分） （1）由条件， 4 3 sin
15、3 cC， 4 3 sin 3 aA. 代入sin4sin3 coscABaC，化简得： sinsin3 sinsincosCABAC， 2 分 sinsin3sin3sincosCAACAC sinsin3sincos3cossin3sincosCAACACAC 即sinsin3cossinCAAC， 4 分 0,Csin0C sin3cosAA，即tan3A，又0,A， 3 A . 6 分 （2）由2 sin a R A 知2a ，由余弦定理得 22 2cos4 3 bcbc ，即 2 34bcbc 8 分 2 2 343 2 bc bcbc 2 16bc， 10 分 4bc ，等号成立当
16、且仅当2bc. max6abc 即ABC周长的最大值为 6. 12 分 18.（12 分） （1）由题意， 223140 31 3 x ， 0.50.30.0822 375 y ， 2 分 所以 2222 22 22 0.531 0.340 0.083 31 3.78 75 0.023 2231403 31162 b ， 223.78 311.0 75162 a ，所求线性回归方程为0.0231.0yx . 5 分 （2）由（1）知，该网站 20 岁的注册用户中使用花呗“赊购”的人数百分比为0.023 20 1.00.54， 而2000 0.54 1080， 所以估计该网站 20 岁的注册用户
17、中使用花呗“赊购”的人数为 1080 人. 7 分 （3）依题意，随机抽取 8 人，年龄在 18 到 26 岁之间有 5 人，年龄在 27-35 之间有 3 人，所以抽取的两人 年龄都在 18 到 26 岁的概率为 2 5 2 8 105 2814 C C . 12 分 19.（12 分） 取 1 AA的中点 N，连接MN，BN， M 为 1 AD的中点，/MNAD且 1 2 MNAD 又/ /BCAD， 1 2 BCAD ，所以/MNBC且MNBC， 所以四边形MNBC是平行四边形， 2 分 从而/CMBN，又BN 平面 11 AAB B，CM 平面 11 AAB B， 所以/ /CM平面
18、11 AAB B. 4 分 （2）取 11 AB的中点 P，连接AP， 1 AB 四边形 11 AAB B为菱形，又 1 3 B BA ，易知APAB. 又面 11 AAB B 面ABCD，面 11 AAB B面ABCDAB，ADAB AD 平面 11 AAB B，ADAP 故AB，AD，AP两两垂直 6 分 以 A 为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz（如图所示） ，不 妨设4AB . 则0,0,0A，0,4,0D，4,2,0C， ， 1 2,0,2 3A ， 1,2, 3M ， 1 1,2,3AM ， 5,0, 3CM ，4,2,0AC 8 分
19、设平面 1 ACM的法向量为, ,mx y z， 由 1 0 0 m AM m CM ，得 230 530 xyz xz ， 可得平面 1 ACM的一个法向量 5 3 1,2, 3 m ， 9 分 设平面ACM的法向量为 111 ,nx y z， 由 0 0 n AC n CM ，得 11 11 420 530 xy xz ， 可得平面ACM的一个法向量 5 3 1, 2, 3 n . 10 分 25 1 4 2 3 cos, 52525 1414 33 m n m n mn 11 分 所以二面角 1 ACMA的余弦值为 2 5 . 12 分 20.（12 分） （1）抛物线 2 20xpy
20、p的焦点为0, 2 p F ， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则AB方程2ykx与抛物线方程联立， 整理得 2 240xpkxp， 12 2xxpk， 12 4x xp ， 2 分 2 22 12121 2 4416xxxxx xp kp 若1k ， 2 1212 4164 3BFAFyyk xxpp， 4 分 2p ，即抛物线 C 的方程为 2 4xy. 6 分 （2） （方法一） 由（1）知 2 4 x y 且 12 4xxk， 12 8x x ， 2 12 42xxk， 1 2 yx ， 所以切线 1 l的方程为 111 1 2 yyxxx即 2 11 11 24 yx
21、xx， 同理切线 2 l的方程为 2 22 11 24 yx xx， 联立得 12 2 xx x ， 12 1 2 4 yx x 即切线 1 l与 2 l的交点为 12 , 2 2 xx P ， 由切线 2 111 11 : 24 lyx xx，得 1 ,0 2 x M ，同理可得 2 ,0 2 x N ， 8 分 2 12 12 11 222 2222 PMN xx Sxxk 又 222 12 14 12ABkxxkk， 点 P 到直线AB的距离为 12 2 22 4 24 2 11 k xx k d kk 22 1 422 2 PAB SAB dkk ， 10 分 四边形ABNM的面积 2
22、2222 4222222 23 PABPMN SSSkkkkk 令 2 22tk，则 3 42Stt， 2t 时， 2 1220St 成立，S 单调递增， 当2t ，即0k 时，四边形ABNM的面积的最小值为6 2 12 分 （方法二） 由（1）知 2 4 x y 且 12 4xxk， 12 8x x ， 2 12 42xxk， 1 2 yx ， 所以切线 1 l的方程为 111 1 2 yyxxx即 2 11 11 24 yx xx， 同理切线 2 l的方程为 2 22 11 24 yx xx， 由切线 2 111 11 : 24 lyx xx，得 1 ,0 2 x M ，同理可得 2 ,0
23、 2 x N ， 8 分 记直线:2AB ykx与 y 轴交点0,2T， 121212 11 22 OABOTAOTB SSSOTxxOT xxxx ， 3 1 111 111 22 216 OAM x SOMyyx ，同理 3 2 1 16 OBN Sx ， 四边形ABNM的面积 OABOAMOBN SSSS 3322 121212121122 11 1616 xxxxxxxxxx xx 3 1212 11 162 xxxx 10 分 记 12 4 2txx，则 3 11 162 Stt 2 31 0 162 St ，S 单调递增， 当4 2t 即0k 时，四边形ABNM面积的最小值为6 2
24、. 12 分 21.（12 分） （1）由题意得： f x的定义域为 1,00,，且 2 ln 1 1 x x x fx x ， 令 ln 1 1 x g xx x 则 2 1 x gx x ，1,0x时， 0g x； 0,x时， 0g x .即 g x在1,0上单调递增，在0,上单调递减. 因为 00g，则在1,0和0,上 0g x . 因为 2 0x ，所以在1,0和0,上 0fx， 即函数 f x在区间1,0和0,上单调递减. 4 分 （2）由（1）可知，当02x时， ln3 2 2 xff，即 ln3 ln1 2 x， 6 分 当2n时， 2 02 1n ，则 2ln3 ln 1 11
25、nn ， 即 2ln3 ln 1ln1ln1 11 nn nn ，所以 ln1ln1lnln2ln4 ln2ln3 ln1nnnn 111 ln31 122nn 整理得： 111 ln1lnln2ln1ln31 122 nn nn ， 即 2 11 1ln3ln 212 nn n ，2n，不等式得证. 12 分 22.（10 分） （1）根据题意得，曲线 C 的极坐标方程为 2 cos22cos2 sin， 22 cossin2cos，即 2 2 cos， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 22 2xyx，即 2 2 11xy， 3 分 直线 l 的普通方程为tan10xy . 5 分 （2）联
26、立直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程， 将 cos 1sin xt yt ，代入 2 2 11xy， 化简，得2 sin? cos10tt . 7 分 设点 A，B 所对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 1 2 1t t ， 12 2 cossin2 2cos 4 tt ， 3 , 4 ， 由（1）可知，曲线 C 是圆心1,0，半径为 1 的圆，点 P 在圆外， 由直线参数方程参数的几何意义知， 12 12 121 2 1111 2 2 tt tt PAPBttt t ，当且仅当 3 4 时取到. 即 11 PAPB 的最大值为2 2. 10 分 23.（10 分） （1）由题意， f xxmxxmxm. 3 分 只需 2 mm，解得11m . （2）由（1）可知，1a b c ， 所以 111abcabcabc abcabc 7 分 111 bcacab aabbcc 332229 bacacb abacbc . 当且仅当 1 3 abc时等号成立. 10 分
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