1、已知 Sn为数列an的前 n 项和，a12，a24，平面内三个不共线的向量， 满足（1an）+（an1+an+1）（n2，nN*） ，若点 A，B，C 在同一直线 上，则 S2019 9 （3 分）已知平面向量 ， ， 满足 ，且| |，| |，| |1，2，4，则| 的最大值是 10（3分） 若 （x， y） |x2+y225， 则实数m的取值范围是 11 （3 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2Sn1Sn0（n2） ，S1，设 bn nan，则以下四个命题： 第 2 页（共 20 页） （1）是等差数列； （2）bn中最大项是 b1； （3）an通项公式是 an； （
2、4）an0 其中真命题的序号是 12 （3 分）已知函数 f（x）与 g（x）mx+1m 的图象相交于点 A，B 两点，若动 点 P 满足|4，则点 P 的轨迹方程是 二、选择题二、选择题 13 （3 分）若 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 的一个复数根，则（ ） Ab2，c3 Bb2，c3 Cb2，c1 Db2，c1 14 （3 分）关于 x，y，z 的三元一次方程组解的情况是（ ） A一组解 B一组解或无穷多组解 C一组解或无解 D无解 15 （3 分）双曲线 C 的左、右焦点为 F1，F2，P 为 C 的右支上动点（非顶点） ，I 为F1PF2 的内心当 P 变化时，
3、I 的轨迹为（ ） A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C直线的一部分 D无法确定 16 （3 分）已知两点 A（1，） ，B（4，） ，给出下列曲线方程： （1）4x+2y10； （2）x2+y23； （3）x21； （4）x2+1，在曲线上存在点 P 满足|PA|PB|的 所有曲线是（ ） A （1） （2） （3） （4） B （2） （3） C （1） （4） D （2） （3） （4） 三、解答题三、解答题 17已知复数 z 满足 z（i 是虚数单位） （1）求复数 z 的共轭复数 ； （3）若 2+ai，且|z|，求实数 a 的取值范围 18已知定点 A（0，1） ，B（0，1） ，
4、C（1，0） ，动点 P 满足k|2 第 3 页（共 20 页） （1）求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当 k2 时，求|的取值范围 19从数列an中取出部分项组成的数列称为数列an的“子数列” （1）若等差数列an的公差 d0，其子数列a恰为等比数列，其中 k11，k25， k317，求 k1+k2+kn； （2）若 an3n2，bn4n，判断数列bn是否为an的“子数列”并证明你的结论 20设复数 x+yi（x，yR）与复平面上点 P（x，y）对应 （1）若 是关于 t 的一元二次方程 t22t+m0（mR）的一个虚根，且|2，求实数 m 的值； （2）设复数 满
5、足条件|+3|+（1）n|3|3a+（1）na（其中 nN*、常数 ） ，当 n 为奇数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C1当 n 为偶数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C2且两条曲线都经过点，求轨迹 C1与 C2的方程； （3）在（2）的条件下，轨迹 C2上存在点 A，使点 A 与点 B（x0，0） （x00）的最小距 离不小于，求实数 x0的取值范围 21抛物线 y22x 的准线与 x 轴交于点 M，过点 M 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点 （1）求直线 l 的斜率的取值范围； （2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于 N（x0，0） ，求证：； （3）若直线 l 的斜率依次为，
6、线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点依次为 N1，N2，N3，Nn，求 第 4 页（共 20 页） 2018-2019 学年上海市闵行区七宝中学高二（下）开学数学试卷学年上海市闵行区七宝中学高二（下）开学数学试卷 （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）复数的虚部是 2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 复数的虚部是2 故答案为：2 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2 （3 分）直线（t 是参数，tR）的一个方向向量是 （1，） 【分析】由直线的参数方程与普通方程
7、的互化得：将直线（t 是参数，tR）化 为普通方程为：x+4y110， 由直线的方向向量得：该直线的斜率 k，即该直线的一个方向向量为（1，） ， 得解 【解答】解：将直线（t 是参数，tR）化为普通方程为：x+4y110， 可得该直线的斜率 k， 即该直线的一个方向向量为： （1，） 【点评】本题考查了直线的参数方程与普通方程的互化及直线的方向向量，属简单题 3 （3 分）已知椭圆（a0）的焦点 F1、F2，抛物线 y22x 的焦点为 F，若 3，则 a 【分析】先根据椭圆和抛物线的方程分别求得其焦点坐标，根据3，建立等式 求得 a 的值即可 第 5 页（共 20 页） 【解答】解：依题意可
8、知抛物线的焦点为（，0） ，椭圆的焦点为（，0） ， 3， 3（） ，整理得 a， 故答案为： 【点评】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质考查了学生基础知识的理解和应用 以及基本的运算能力 4 （3 分）已知 A（2，3） 、B（1，0） ，动点 P 在 y 轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点 P 的坐标为 （0，1） 【分析】作出 A 关于 y 轴的对称点 A（2，3） ，连接 AB，与 y 轴交于 P，即为所求求 出直线 A，B 的方程，可令 x0，可得 P 的坐标 【解答】解：作出 A 关于 y 轴的对称点 A（2，3） ， 连接 AB，与 y 轴交于 P，即为所求 此时|PA
9、|+|PB|取最小值|AB|， 由 AB 的斜率为1， 可得方程：y（x1） ， 令 x0，可得 y1，即为 P（0，1） ， 故答案为： （0，1） 【点评】本题考查距离之和取最小值的情况，注意运用对称思想，考查运算能力，属于 基础题 5 （3 分）已知复数 za+bi（a，bR） ，满足|z|1，则 ab 的最小值是 【分析】根据复数的模长公式得到 a2+b21，然后利用基本不等式进行求解即可 【解答】解：|z|1， 1，即 a2+b21， 第 6 页（共 20 页） 则 1a2+b22|ab|， 即|ab|， 则ab， 即 ab 的最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查复数模长的应
10、用，结合基本不等式是解决本题的关键 6 （3 分）已知an是无穷等比数列，若an的每一项都等于它后面所有项的 k 倍，则实数 k 的取值范围是 （，2（0，+） 【分析】 无穷等比数列an的各项和为 A， 前 n 项和为 Sn， 公比为 q， 0|q|1， q1 可 得 A，Sn，由题意可得：ank（ASn） ，代入化为：k， 分类讨论即可得出 【解答】解：无穷等比数列an的各项和为 A，前 n 项和为 Sn，公比为 q，0|q|1，q 1 则 A，Sn， 由题意可得：ank（ASn） ， a1qk（） ， 化为：k， 1q0 时，k0，n+时，k+ 1q0 时，可得：n 为偶数时，k（，2；
11、n 为奇数时，k0 k（，2（0，+） 综上可得：k（，2（0，+） 故答案为： （，2（0，+） 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、极限性质，考查了分类讨论方法、 推理能力与计算能力，属于中档题 第 7 页（共 20 页） 7 （3 分）已知 F1、F2是双曲线 L：1（a0，b0）的左、右焦点，过点 F1且 斜率为 2 的直线 l 交双曲线 L 的左支于点 P，若直线 PF2l，则双曲线 L 的渐近线方程 是 y2x 【分析】先得出过点 F1且斜率为 2 的直线 l 的方程，再利用垂直关系得出直线 PF1的方 程，求出它们的交点坐标即为 P 的坐标，利用 P 在双曲线上，其坐标
12、适合方程，将点的 坐标代入双曲线方程得出关于 a，b，c 的关系式，然后求解渐近线方程 【解答】解：由题意得，过点 F1作斜率为 2 的直线 l 为 y2（x+c） ， 又因F1PF1为直角，直线 PF1的斜率为，直线 PF1的方程为：y（xc） ， 两直线联立，解得交点 P 的坐标为（，） ，如图 将 P 的坐标代入双曲线方程，得 1， 即 9b2c216a2c225a2b2，又 b2c2a2， 代入得：9（c2a2）c216a2c225a2（c2a2） 化简得：9c450a2c2+25a40 解得 c25a2可得 b24a2，b2a， 则双曲线 L 的渐近线方程是：y2x 故答案为：y2x
13、 【点评】本题是对双曲线性质中离心率的考查求离心率，只要找到 a，c 之间的等量关 第 8 页（共 20 页） 系即可求是中档题 8 （3 分） 已知 Sn为数列an的前 n 项和，a12，a24，平面内三个不共线的向量， 满足（1an）+（an1+an+1）（n2，nN*） ，若点 A，B，C 在同一直线 上，则 S2019 2 【分析】由题意得出 an1+an+1an，由 Sn为数列an的前 n 项和，a12，a24，得到 数列an是以 6 为周期的周期数列，前 6 项为 2，4，2，2，4，2，由此能求出 S2019 【解答】解：若 A，B，C 三点共线，则x+（1x）， 根据条件“平面
14、内三个不共线的向量平面内三个不共线的向量， 满足（1an）+（an1+an+1）（n2，nN*） ，A，B，C 在同一直线上， ” 得出 an1+an+1+1an1，an1+an+1an， Sn为数列an的前 n 项和，a12，a24， 数列an为：2，4，2，2，4，2，2，4，2，2，4，2， 即数列an是以 6 为周期的周期数列，前 6 项为 2，4，2，2，4，2， 20196336+3， S2019336（2+4+2242）+2+4+28 故答案为：8 【点评】 本题考查数列的前 2019 项和的求法， 考查周期数列、 共线向量性质等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力，考查化
15、归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 9 （3 分）已知平面向量 ， ， 满足 ，且| |，| |，| |1，2，4，则| 的最大值是 4 【分析】方法一，利用基本不等式与平面向量的几何性质，即可求得模长的最大值； 方法二，由题意设 （1，0） ， （0，2） ， （4cos，4sin） ， 计算 + + 以及|，求出模长的最大值 【解答】解：方法一：由 ，且| |，| |，| |1，2，4， 则| + |+| |+4+4； 所以| + + |的最大值是 4+ 第 9 页（共 20 页） 方法二：由题意，设 （1，0） ， （0，2） ， （4cos，4sin） ， 则 + + （1+4co
16、s，2+4sin） ， （1+4cos）2+（2+4sin）2 21+8cos+16sin 21+8sin（+）21+8，其中 tan； |的最大值为4+ 故答案为：4+ 【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，也考查了运算求解能力，是中 档题 10（3 分） 若 （x， y） |x2+y225， 则实数 m 的取值范围是 （0， ） 【分析】利用不等式表示的平面区域得出区域与圆形区域的关系，把握好两个集合的包 含关系是解决本题的关键，通过图形找准字母之间的不等关系是解决本题的突破口 【解答】解：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果m0，则可行域取到 x5 的点，不能在圆内； 故m0
17、，即 m0 当 mx+y0 绕坐标原点旋转时，直线过 B 点时为边界位置 此时m， m 0m 故答案为： （0，） 第 10 页（共 20 页） 【点评】本题考查线性规划问题的理解和掌握程度，关键要将集合的包含关系转化为字 母之间的关系，通过求解不等式确定出字母的取值范围，考查转化与化归能力 11 （3 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an+2Sn1Sn0（n2） ，S1，设 bn nan，则以下四个命题： （1）是等差数列； （2）bn中最大项是 b1； （3）an通项公式是 an； （4）an0 其中真命题的序号是 （1） （2） （4） 【分析】运用数列的递推式，结合等差
18、数列的定义和通项公式，即可判断（1） ， （3） ，由 数列的单调性可判断（2） ， （4） 【解答】解：an+2Sn1Sn0（n2） ，S1， 可得 SnSn12Sn1Sn0（n2） ，即有2， 是首项、公差均为 2 的等差数列，故（1）正确； 可得2+2（n1）2n，即 Sn， 可得 a1S1，n2 时，an，对 n1 不成立，故（3）错误； 由 an在 n2 递增，当 n时，可得an0，故（4）正确； bnnan，可得 n2 时，bn递增，且 bn0， 则bn中最大项是 b1，故（2）正确 故答案为： （1） （2） （4） 【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公
19、式的运用，以及 数列的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 第 11 页（共 20 页） 12 （3 分）已知函数 f（x）与 g（x）mx+1m 的图象相交于点 A，B 两点，若动 点 P 满足|4，则点 P 的轨迹方程是 （x1）2+（y1）24 【分析】函数 f（x）1，可得 f（x）的对称中心为 Q（1，1） 直线 g（x） mx+1m 即 ym（x1）+1，经过定点 Q（1，1） 可得两图象相交的两点 A，B 关 于点 Q 对称设 A（x0，y0） ，B（2x0，2y0） 设 P（x，y） 利用动点 P 满足| 4，即可得出 【解答】解：函数 f（x）1，可得 f（x）的对
20、称中心为 Q（1，1） 直线 g（x）mx+1m 即 ym（x1）+1，经过定点 Q（1，1） 则两图象相交的两点 A，B 关于点 Q 对称 设 A（x0，y0） ，B（2x0，2y0） 设 P（x，y） （22x，22y） 动点 P 满足|4，4， 化为： （x1）2+（y1）24 故答案为： （x1）2+（y1）24 【点评】本题考查了函数的对称性、轨迹方程、向量坐标运算性质、数量积运算性质， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）若 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 的一个复数根，则（ ） Ab2，c3 Bb2，c3 Cb2，c1
21、Db2，c1 【分析】由题意，将根代入实系数方程 x2+bx+c0 整理后根据得数相等的充要条件得到 关于实数 a，b 的方程组，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项 【解答】解：由题意 1+i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 1+2i2+b+bi+c0 ，解得 b2，c3 故选：B 【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件， 能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 第 12 页（共 20 页） 14 （3 分）关于 x，y，z 的三元一次方程组解的情况是（ ） A一组解 B一组解或无穷多组解 C一组解或无解 D无解
22、【分析】分别计算 Dx，Dy，Dz，D，并对 a 进行分类讨论 【解答】解：D（a1）2， ， ， ， 当 a1 时， 当 a1 时，DxDyDz0； 方程组为， 方程组无解 故选：C 【点评】本题考查解不定方程，通过矩阵解，属于基础题 15 （3 分）双曲线 C 的左、右焦点为 F1，F2，P 为 C 的右支上动点（非顶点） ，I 为F1PF2 的内心当 P 变化时，I 的轨迹为（ ） A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C直线的一部分 D无法确定 【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点 Q 的横坐标，PF1PF2F1Q 第 13 页（共 20 页） F2Q2a，F1Q+F2QF1F
23、2解出 OQ，可得结论 【解答】解：如图设切点分别为 M，N，Q，则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与 Q 横 坐标相同 由双曲线的定义，PF1PF22a4 由圆的切线性质 PF1PF2FIMF2NF1QF2Q2a， F1Q+F2QF1F22c， F1Qa+c，F2Qca， OQF1F2QF2c（ca）a F1PF2内切圆与 x 轴的切点坐标为（a，0） ， 当 P 变化时，I 的轨迹为直线的一部分 故选：C 【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义 16 （3 分）已知两点 A（1，） ，B（4，） ，给出下列曲线方程： （1）4x+2y10； （2）x2+y23； （3）
24、x21； （4）x2+1，在曲线上存在点 P 满足|PA|PB|的 所有曲线是（ ） A （1） （2） （3） （4） B （2） （3） C （1） （4） D （2） （3） （4） 【分析】求出线段 MN 的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立， 利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点 P，使得|PA| |PB| 第 14 页（共 20 页） 【解答】解：由 A（1，） ，B（4，） ， 得，A、B 的中点坐标为（，0） ， AB 的垂直平分线方程为 y02（x+） ，即 y2x3 （1）直线 y2x3 与直线 4x+2y10 平行， 直线
25、4x+2y10 上不存在点 P，使|PA|PB|； （2）联立，得 5x2+12x+60，122456240 直线 y2x3 与 x2+y23 有交点，曲线 x2+y23 上存在点 P 满足|PA|PB|； （3）联立，得，方程有解， 直线 y2x3 与 x21 有交点，曲线 x21 上存在点 P 满足|PA|PB|； （4）联立，得 8x2+12x+50，122485160 直线 y2x3 与 x2+1 没有交点， 曲线 x2+1 上不存在点 P 满足|PA|PB| 曲线上存在点 P 满足|PA|PB|的所有曲线是（2） （3） 故选：B 【点评】本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线
26、方程的求法，考查了利用判 别式法判断两条曲线的位置关系，是中档题 三、解答题三、解答题 17已知复数 z 满足 z（i 是虚数单位） （1）求复数 z 的共轭复数 ； （3）若 2+ai，且|z|，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出； （2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）， （2）w8+（2+a）i， ， ， |w|z|， 则 68+4a+a268，a2+4a0，4a0， 所以，实数 a 的取值范围是：4a0 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式
27、、一元二次 不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题 18已知定点 A（0，1） ，B（0，1） ，C（1，0） ，动点 P 满足k|2 （1）求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当 k2 时，求|的取值范围 【分析】 （1）设 P（x，y） ，则（x，y1） ，（x，y+1） ，（x1，y） ，动 点 P 满足k|2可得 x2+y21k（x1）2+y2，对 k 分类讨论即可得出 （2）当 k2 时，方程为： （x2）2+y27由|（2x，2y）|2求 出原点到圆心的距离 d即可对称|的取值范围 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，则（x，y1） ，（x，y+1） ，
28、（x1，y） ， 动点 P 满足k|2 x2+y21k（x1）2+y2， k1 时，化为：x10，此时点 P 的轨迹为直线 k1 时，化为：+y2 由0，解得 k或 k，此时点 P 的轨迹为圆，圆心为， 第 16 页（共 20 页） 半径为 由0，解得 k或 k，此时点 P 的轨迹为点 由0，解得k，此时点 P 无轨迹 （2）当 k2 时，方程为： （x2）2+y27 |（2x，2y）|2 原点到圆心的距离 d2 |22，2+ 【点评】本题考查了圆的定义标准方程及其性质、分类讨论方法、向量坐标运算性质、 数量积运算性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19从数列an中
29、取出部分项组成的数列称为数列an的“子数列” （1）若等差数列an的公差 d0，其子数列a恰为等比数列，其中 k11，k25， k317，求 k1+k2+kn； （2）若 an3n2，bn4n，判断数列bn是否为an的“子数列”并证明你的结论 【分析】 （1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，求得首项和公差的关系， 可得等比数列的公比，结合等比数列的通项公式，可得 kn23n 11，再由数列的分组 求和，即可得到所求和； （2）数列bn为an的“子数列” 由 3k24n，可得 3k4n+2，运用二项式定理即可 得证 【解答】解： （1）等差数列an的公差 d0，其子数列a恰为等比数列
30、， 其中 k11，k25，k317，可得 aa1，aa5，aa17， 且有 a52a1a17，即（a1+4d）2a1（a1+16d） ， 化为 a12d，则 ana1+（n1）d（n+1）d， 子数列a为首项为 2d，公比为3 的等比数列， 则 a2d3n 1（k n+1）d，可得 kn23n 11， 第 17 页（共 20 页） 则 k1+k2+kn（2+6+23n 1）n n3n1n； （2）若 an3n2，bn4n，数列bn为an的“子数列” 由 3k24n，可得 3k4n+2， 由 4n（1+3）n1+C 3+C 32+3n， 即有 4n+23（1+C +C 3+3n 1） ，显然为
31、3 的倍数， 故数列bn为an的“子数列” 【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项 公式的运用，考查运算能力，属于中档题 20设复数 x+yi（x，yR）与复平面上点 P（x，y）对应 （1）若 是关于 t 的一元二次方程 t22t+m0（mR）的一个虚根，且|2，求实数 m 的值； （2）设复数 满足条件|+3|+（1）n|3|3a+（1）na（其中 nN*、常数 ） ，当 n 为奇数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C1当 n 为偶数时，动点 P（x、y）的轨迹为 C2且两条曲线都经过点，求轨迹 C1与 C2的方程； （3）在（2）的条件下，轨迹 C2上
32、存在点 A，使点 A 与点 B（x0，0） （x00）的最小距 离不小于，求实数 x0的取值范围 【分析】 （1）由实系数方程虚根成对，利用韦达定理直接求出 m 的值 （2）方法一：分 n 为奇数和偶数，化出 a 的范围，联立双曲线方程，求出 a 值，推出双 曲线方程即可 方法二：由题意分 a 的奇偶数，联立方程组，求出复数 ，解出 a，根据双曲线的定义求 出双曲线方程 （3）设点 A 的坐标，求出|AB|表达式，根据 x 范围，x 的对称轴讨论， 时，|AB|的最小值，不小于，求出实数 x0的取值范围 【解答】解： （1） 是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根， （2 分） 则，所以 m4
33、（2 分） 第 18 页（共 20 页） （2）方法 1：当 n 为奇数时，|+3|3|2a，常数） ， 轨迹 C1为双曲线，其方程为，xa； （2 分） 当 n 为偶数时，|+3|+|3|4a，常数） ， 轨迹 C2为椭圆，其方程为； （2 分） 依题意得方程组 解得 a23， 因为，所以， 此时轨迹为 C1与 C2的方程分别是：，x， （2 分） 方法 2：依题意得（2 分） 轨迹为 C1与 C2都经过点，且点对应的复数， 代入上式得， （2 分） 即对应的轨迹 C1是双曲线，方程为； 对应的轨迹 C2是椭圆，方程为 （2 分） （3）由（2）知，轨迹 C2：，设点 A 的坐标为（x，y）
34、 ， 则 ， （2 分） 当即时， 第 19 页（共 20 页） 当即时， （2 分） 综上或 （2 分） ， 【点评】本题考查复数的基本概念，轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查分类 讨论思想，转化思想，是中档题 21抛物线 y22x 的准线与 x 轴交于点 M，过点 M 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点 （1）求直线 l 的斜率的取值范围； （2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于 N（x0，0） ，求证：； （3）若直线 l 的斜率依次为，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点依次为 N1，N2，N3，Nn，求 【分析】 （1）求得抛物线的准线方程，可得 M 的坐标和直线
35、l 的方程，联立抛物线方程， 运用判别式大于 0，即可得到所求范围； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条 件：斜率之积为1，可得 AB 的垂直平分线方程，可令 y0，求得 x，即可得证； （3）设 Nm（xm，0） ，求得，所以，由等比 数列的求和公式，即可得到所求和 【解答】解： （1）抛物线 y22x 的准线为 x， ，设 l：， 联立直线与抛物线的方程：（*） 因为 l 交抛物线于两点，所以 k0 且二次方程（*）根的判别式0， 即（k22）2k40， 解得 k（1，0）（0，1） ； （2）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由韦达定理可得， 第 20 页（共 20 页） 所以 AB 中点的坐标为， 所以 AB 中垂线方程为， 令 y0，可得 （3）设 Nm（xm，0） ，由直线 l 的斜率依次为， 可得 xm+， 则， 所以， （+） ， 所以 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，同时考查等比数列的通项公式和求和公式的运 用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题
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