1、已知集合 Ax|1x1，Bx|xa0，若 AB，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，1 B1，+） C （，1 D1，+） 2 （5 分）设复数 z 满足（z+1） （1+i）1i， （i 是虚数单位） ，则复平面内 z 对应的点位 于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知，则的值为（ ） A B2 C D18 4 （5 分）曲线 ysinx2cosx 在点（，2）处的切线方程为（ ） Ax+y20 Bxy+20 C2x+y+20 D2xy20 5 （5 分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如表： 班级 参赛人数 平均数 中位数
2、众数 方差 甲 45 83 86 85 82 乙 45 83 84 85 133 某同学分析上表后得到如下结论： 甲、乙两班学生的平均成绩相同； 乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分85 分为优秀） ； 甲、乙两班成绩为 85 分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多； 乙班成绩波动比甲班小 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 （5 分）直线 l 与平面 平行的充要条件是（ ） A直线 l 上有无数个点不在平面 内 B直线 l 与平面 内的一条直线平行 C直线 l 与平面 内的无数条直线都平行 第 2 页（共 21 页） D直线 l 与平面 内的任意一条直线都
3、没有公共点 7 （5 分）若抛物线 yax2（a0）的焦点与椭圆的上顶点重合，则 a（ ） A B C2 D4 8 （5 分）下列函数中，以 为周期且在区间单调递增的是（ ） Af（x）|cos2x| Bf（x）|sin2x| Cf（x）|cosx| Df（x）|sinx| 9 （5分）已知0x1，0y1，则 的最小值为（ ） A B C2 D8 10 （5 分）若函数 f（x）对任意 xt，+） ，都有 f（x），则 t 的取值范围是（ ） A B C D 11 （5 分）已知双曲线 C：的右顶点为 M，以 M 为圆心，b 为 半径作圆 M，圆 M 与双曲线 C 的一条渐近线交于 P、Q 两
4、点若，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B2 C D 12 （5 分）设 x，y，zR+，且 ex3yz，记 aex，b3y，cz，则 a，b，c 的大小关 系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡上对应题的横线上把答案填在答题卡上对应题的横线上.） 13 （5 分）近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种 移动支付方式的使用情况，从全校学生随机抽取了 100 人，发现使用 A 或 B 支付方式的 学生共有 90 人，使用 B 支付方式的学生共
5、有 70 人，A，B 两种支付方式都使用的有 60 人，则该校使用 A 支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 14 （5 分）已知 f（x）是定义在（，+）上的奇函数，当 x0 时，f（x）4xx2， 若函数 f（x）在区间t，4上的值域为4，4，则实数 t 的取值范围是 15 （5 分）在圆内接四边形 ABCD 中，AB5，BC6，CD3，AD4，则ABC 的面积 第 3 页（共 21 页） 为 16 （5 分）如图，棱长为 1 的正方体木块 ABCDA1B1C1D1经过适当切割，得到棱数为 12 的正八面体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体） 已知面 A0B0C0D0平行于
6、正 方体的下底面，且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若 A0在侧面 AA1D1D 内，且 该正八面体的体积为，则该正八面体的棱长为 ，点 A0到棱 AA1的距离 为 三、 解答题 （共三、 解答题 （共 5 小题， 共小题， 共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答题为选考题， 考生根据要求作答.） （一） （一） 必必考题：共考题：共 60 分分. 17 （12 分）如图，在四棱
7、锥 VABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧面 VCD 为正三角形， 侧面 VCD底面 ABCD，P 为 VD 的中点 （1）求证：AD平面 VCD； （2）求二面角 PABC 的正弦值 18 （12 分）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于 0，已知 a1b12，b2a2， b3a2+4 （1）求an和bn的通项公式； （2）记，nN*，证明：c1+c2+cn2，nN* 19 （12 分）已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为 36，24，24现采用分层 抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠质量的调查 （1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？ 第 4 页（共
8、 21 页） （2）若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进 一步的身体检查用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的学生人数，求随机变量 X 的分布列 与数学期望 20 （12 分）已知椭圆 C：的左右顶点分别为 A（a，0） ，B（a，0） ， 点P是椭圆C上异于A、 B的任意一点， 设直线PA， PB的斜率分别为k1、 k2， 且， 椭圆的焦距长为 4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，分别记ABM，ABN 的面积为 S1、 S2，求|S1S2|的最大值 21 （12 分）已知函数
9、f（x）2lnx+ax2bx（a，bR） （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y2x+1，求实数 a，b 的值； （2）若 a0，且 f（x）+40 在区间（0，+）上恒成立，求实数 b 的取值范围； （3）若 b4，a0，讨论函数 f（x）的单调性 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂铅笔将所选题号涂 黑，多涂、错涂、漏涂均黑，多涂、错涂、漏涂均不给分不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22 （10 分）点 A 是曲线 C1：x2+（
10、y2）24 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 顺时针旋转 90得到点 B，设点 B 的轨迹方程为曲线 C2 （1）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （2）射线与曲线 C1、C2分别交于 P、Q 两点，定点 M（4，0） ，求 MPQ 的面积 23已知函数 f（x）2|2x1|，g（x）|xa|+|x+1| （1）解不等式 f（x）1； （2）若存在 x1，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科）学年内蒙古包头市
11、高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 Ax|1x1，Bx|xa0，若 AB，则实数 a 的取值范围是 （ ） A （，1 B1，+） C （，1 D1，+） 【分析】先求出集合 B，再利用 AB，即可求出结果 【解答】解：集合 Ax|1x1，Bx|xa0x|xa，若 AB， a1， 则实数 a 的取值范围是：1，+） ， 故选：D 【点评】本题主
12、要考查了集合的包含关系，是基础题 2 （5 分）设复数 z 满足（z+1） （1+i）1i， （i 是虚数单位） ，则复平面内 z 对应的点位 于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由（z+1） （1+i）1i， 得 z+1， 则 z1i 复平面内 z 对应的点的坐标为（1，1） ，位于第三象限 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3 （5 分）已知，则的值为（ ） A B2 C D18 【分析】由已知先求出，然后结合向量数量积的性质的坐标表示可求 【
13、解答】解：因为， 第 6 页（共 21 页） 所以（1，1） ， 则 故选：A 【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题 4 （5 分）曲线 ysinx2cosx 在点（，2）处的切线方程为（ ） Ax+y20 Bxy+20 C2x+y+20 D2xy20 【分析】求出曲线在 x 处的导数值，进而即可列出切线方程 【解答】解：因为 ysinx2cosx，所以 ycosx+2sinx，则当 x 时，y1， 又因为 x 时，y2，故曲线在（，2）处的切线方程为 y2（x） ，整理得 x+y 20， 故选：A 【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题 5 （5
14、 分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如表： 班级 参赛人数 平均数 中位数 众数 方差 甲 45 83 86 85 82 乙 45 83 84 85 133 某同学分析上表后得到如下结论： 甲、乙两班学生的平均成绩相同； 乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分85 分为优秀） ； 甲、乙两班成绩为 85 分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多； 乙班成绩波动比甲班小 其中正确结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】通过参赛学生的竞赛得分统计结果，分析甲乙两班的平均成绩和优秀率、众数 和方差的大小与波动的关系，可得结论 【解答】解：由参赛学生的竞
15、赛得分统计结果可得， ，甲、乙两班学生的平均成绩相同，均为 83 分，故对； ，由于乙班中位数为 84，低于 85，甲班的中位数为 86，超过 85， 第 7 页（共 21 页） 则乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分85 分为优秀） ，故对； ，由众数均为 85，说明甲、乙两班成绩为 85 分的学生人数比成绩为其他值的学生人 数多，故对； ，由方差越大，则波动越大，可得乙班成绩波动比甲班大，故错 其中正确结论的有 故选：C 【点评】本题考查命题的真假判断，考查统计中的平均数、众数和方差的意义，考查统 计分析能力，属于基础题 6 （5 分）直线 l 与平面 平行的充要条件是（ ） A直线
16、 l 上有无数个点不在平面 内 B直线 l 与平面 内的一条直线平行 C直线 l 与平面 内的无数条直线都平行 D直线 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 【分析】利用线面位置关系、直线 l 与平面 平行的定义判定定理即可判断出结论 【解答】解：A可能相交； B直线可能在平面内； C直线可能在平面内； D直线 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点直线 l 与平面 平行 故选：D 【点评】本题考查了线面位置关系、直线 l 与平面 平行的定义判定定理、简易逻辑的 判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 7 （5 分）若抛物线 yax2（a0）的焦点与椭圆的上顶点重合，则 a（ ）
17、 A B C2 D4 【分析】先求出椭圆的上顶点得到抛物线的焦点；即可求出结论 【解答】解：由题可知椭圆的上顶点为（0，1） ； 所以抛物线的焦点为（0，1） ； 抛物线 yax2（a0）抛物线 x2y； 1p2a； 第 8 页（共 21 页） 故选：B 【点评】本题考查抛物线和椭圆的基本性质，有关抛物线的问题一定要把方程转化为标 准形式来解决 8 （5 分）下列函数中，以 为周期且在区间单调递增的是（ ） Af（x）|cos2x| Bf（x）|sin2x| Cf（x）|cosx| Df（x）|sinx| 【分析】由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论 【解答】解：由于 f（x）|cos
18、2x|的周期为，故 A 不满足条件； 由于 f（x）|sin2x|的周期为，故 B 不满足条件； 由于 f（x）|cosx|的最小正周期为2，在区间上，f（x）|cosx| cosx 单调递增，故 C 满足条件； 由于 f（x）|sinx|的最小正周期为2，在区间上，f（x）sinx 单调 递减，故 D 不满足条件， 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题 9 （5分）已知0x1，0y1，则 的最小值为（ ） A B C2 D8 【分析】直接利用四个和式的几何意义求得答案 【解答】解：根号表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离， 根号表示点（x，y）与点（0，1
19、）之间的距离， 表示点（x，y）与点（1，0）之间的距离， 表示点（x，y）与点（1，1）之间的距离， 函数就是四个距离之和， 满足条件 0x1，0y1 的点（x，y）位于矩形内， 则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的 2 倍， 等于 第 9 页（共 21 页） 故选：A 【点评】本题考查了函数值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是转化为几何意义， 是中档题 10 （5 分）若函数 f（x）对任意 xt，+） ，都有 f（x），则 t 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】画出分段函数的大致图象结合图象即可求解 【解答】解：如图：当 x2 时；y； 其最大值为 1； 因为当 x2
20、时，f（x）f（x2） ； 所以2，4上最大值为； 4，6上最大值为； 而 2xx； 函数 f（x）对任意 xt，+） ，都有 f（x）， 则 t 的取值范围是，+） ； 故选：C 第 10 页（共 21 页） 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，带绝对值函数的图象，是函数图象和性 质的综合应用，难度中档 11 （5 分）已知双曲线 C：的右顶点为 M，以 M 为圆心，b 为 半径作圆 M，圆 M 与双曲线 C 的一条渐近线交于 P、Q 两点若，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B2 C D 【分析】由题意可得 M 的坐标，再求 M 到渐近线的距离，若，可得 PMQM， 而 PMQM，
21、所以可得 a，c 之间的关系，即求出离心率的值 【解答】解：由题意可得 M（a，0） ，由于双曲线的渐近线的对称性， 可得一三象限的渐近线方程为：yx，即 bxay0，所以 M 到直线的距离为：d ， 由题意可得， 可得PMQM， 而PMQM， 所以M到渐近线的距离为d b， 所以b，可得，即离心率等于， 故选：D 【点评】考查双曲线的性质，属于中档题 12 （5 分）设 x，y，zR+，且 ex3yz，记 aex，b3y，cz，则 a，b，c 的大小关 系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 【分析】根据题意，设 ex3yzt，变形分析可得 aexelntlnt，b3y 3log
22、3tlnt，czlnt，进而设 f（x），求出其导数，分析可得在 区间e，+）上，f（x）为增函数，即可得，据此分析可得 答案 【解答】解：根据题意，设 x，y，zR+，且 ex3yz， 设 ex3yzt，t1，则 xlnt，ylog3t，zlogt， 第 11 页（共 21 页） aexelntlnt，b3y3log3tlnt，czlnt， 设 f（x），其导数 f（x）， 分析可得：在区间e，+）上，f（x）0，函数 f（x）为增函数， 则有， 又由 t1，则 lnt0， 则有lntlntlnt，即有 abc； 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数的性质等基础知识，考
23、查运算求 解能力，是基础题 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡上对应题的横线上把答案填在答题卡上对应题的横线上.） 13 （5 分）近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种 移动支付方式的使用情况，从全校学生随机抽取了 100 人，发现使用 A 或 B 支付方式的 学生共有 90 人，使用 B 支付方式的学生共有 70 人，A，B 两种支付方式都使用的有 60 人，则该校使用 A 支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 0.8 【分析】画出韦恩图借助于图形即可求解 【解答】解：如图：
24、 由题可得：1 部分有 10 个元素； 3 部分有 60 个元素；34 部分有 70 个元素；1234 共有 100 个元素； 故 2 部分有元素 100107020 个； 所以 23 部分共有元素 80 个； 该校使用 A 支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为：0.8； 故答案为：0.8 【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题 14 （5 分）已知 f（x）是定义在（，+）上的奇函数，当 x0 时，f（x）4xx2， 第 12 页（共 21 页） 若函数 f（x）在区间t，4上的值域为4，4，则实数 t 的取值范围是 22， 2 【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式
25、，利用数形结合以及一元二次函数的 性质进行求解即可 【解答】解：如 x0，则x0， 当 x0 时，f（x）4xx2， 当x0 时，f（x）4x+x2， 函数 f（x）是奇函数， f（0）0，且 f（x）4x+x2f（x） ， 则 f（x）4x+x2，x0， 则函数 f（x）， 则当 x0，f（x）4xx2（x2）2+44， 当 x0，f（x）4x+x2（x+2）244， 当 x0 时，由 4x+x24，即 x2+4x40 得 x22， （正值舍掉） ， 若函数 f（x）在区间t，4上的值域为4，4， 则22t2， 即实数 t 的取值范围是22，2， 故答案为：22，2 【点评】本题主要考查函数
26、奇偶性的应用，根据条件结合函数奇偶性的性质求出函数的 第 13 页（共 21 页） 解析式以及一元二次函数的性质是解决本题的关键 15 （5 分）在圆内接四边形 ABCD 中，AB5，BC6，CD3，AD4，则ABC 的面积 为 【分析】利用余弦定理可得 AC，cosB，再利用三角形面积计算公式即可得出 【解答】解：AC232+42234cosD52+62256cosB，cosB+cosD0 AC2， cosB，可得 sinB ABC 的面积 S 故答案为： 【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、圆内接四边形的性质，考查了推 理能力与叫你上来，属于中档题 16 （5 分）如图，棱长为
27、 1 的正方体木块 ABCDA1B1C1D1经过适当切割，得到棱数为 12 的正八面体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体） 已知面 A0B0C0D0平行于正 方体的下底面，且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若 A0在侧面 AA1D1D 内，且 该正八面体的体积为， 则该正八面体的棱长为 ， 点A0到棱AA1的距离为 【分析】由题意可得正八面体的顶点为正方体各面的中心，由正八面体的体积可得棱长， 及 A0到棱 AA1的距离 【解答】解：由题意可得正八面体如图所示可得正八面体由两个正四棱锥底对底构成， 顶点为各个面的中心，所以 A0到棱 AA1的距离为；且底面为正方形，高为正方体棱长 的
28、一半， 可设八面体的棱长为 a，则由题意可得：a21，解得 a， 故答案分别为：， 第 14 页（共 21 页） 【点评】考查点，线，面距离的运算，属于基础题 三、 解答题 （共三、 解答题 （共 5 小题， 共小题， 共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤算步骤.第第 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第第 22， 23 题为选考题， 考生根据要求作答题为选考题， 考生根据要求作答.） （一） （一） 必考题：共必考题：共 60 分分. 17 （12 分）如图，在四棱锥 VAB
29、CD 中，底面 ABCD 为正方形，侧面 VCD 为正三角形， 侧面 VCD底面 ABCD，P 为 VD 的中点 （1）求证：AD平面 VCD； （2）求二面角 PABC 的正弦值 【分析】 （1）根据面面垂直的性质，证明出结论即可； （2）设 AB2，CD 的中点为 O，连接 VO，以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向， 的方向为 y 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 求出平面 PAB 和平面 ABCD 的法向量，再利用向量的夹角公式求出余弦值，再求出正弦值即可 【解答】 （1）证明：底面 ABCD 是正方形，ADCD， 侧面 VCD底面 ABCD，侧面 VCD底面
30、 ABCDCD， 由面面垂直的性质定理，得 AD平面 VCD； （2）解：设 AB2，CD 的中点为 O，连接 VO， AB 的中点为 E，则 OECD，VOCD由面面垂直的性质定理知 VO平面 ABCD， 又 OE平面 ABCD，故 VOOE 以 O 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，的方向为 y 轴正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系 Oxyz， 第 15 页（共 21 页） 侧面 VCD 为正三角形， 则，D（0，1，0） ，A（2，1，0） ，B（2，1，0） ， P 为 VD 的中点， ， 设平面 PAB 的法向量， 则，即，得， 平面 ABCD 的法向量可取， 于是， 所以，二
31、面角 PABC 的正弦值为 【点评】考查面面，线面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求法向量和二面角的 余弦值，同角三角函数求值，中档题 18 （12 分）设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于 0，已知 a1b12，b2a2， b3a2+4 （1）求an和bn的通项公式； （2）记，nN*，证明：c1+c2+cn2，nN* 【分析】本题第（1）题根据等差数列和等比数列的通项公式代入计算可得公差 d 和公比 q 的值，即可求得an和bn的通项公式；第（2）题根据第（1）题的结论先求出数列cn 的通项公式，然后根据通项公式的特点运用错位相减法求和，再进行不等式运算即可证 第 16 页（共
32、21 页） 明结论 【解答】 （1）解：设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，则 q0 由题意，得，解得：， 故 an2+2（n1）2n， （2）证明：由（1）知， 设数列cn的前 n 项和为 Sn， 得：， ， 又nN*， 即 c1+c2+cn2，nN* 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质运用，以及错位相减法求前 n 项和， 不等式的计算能力，考查了逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 19 （12 分）已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为 36，24，24现采用分层 抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠质量的调查 （1）应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生
33、中分别抽取多少人？ （2）若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进 一步的身体检查用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的学生人数，求随机变量 X 的分布列 与数学期望 【分析】 （1）由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为 3：2：2，利用分层抽 样的方法能求出应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取的人数 第 17 页（共 21 页） （2） 随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3 则， 由此能求出随机变量 X 的分布列和随机变量 X 的数学期望 【解答】解： （1）由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为 3：2：2
34、， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人， 因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取 3 人，2 人，2 人 （2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 则， 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量 X 的数学期望 【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法， 考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：的左右顶点分别为 A（a，0） ，B（a，0） ， 点P是椭圆C上异于A、 B的任意一点， 设直线PA， PB的斜率分别为k1、 k2， 且， 椭圆的焦距长为 4 （1）求椭
35、圆 C 的标准方程； （2）过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，分别记ABM，ABN 的面积为 S1、 S2，求|S1S2|的最大值 【 分 析 】（ 1 ） 设 点P （ x0， y0）（ |x0| a ）， 则， 又 ，联立即可解得 a，b，c 的值，从而求出椭圆 C 的 标准方程； （2）由题意知 F（2，0） ，当直线 l 的斜率不存在时，S1S2，于是|S1S2|0，当 第 18 页（共 21 页） 直线 l 的斜率存在时，设直线 l：yk（x2） （k0） ，与椭圆方程联立，于是 ， 当且仅当时等号 成立，综上，|S1S2|的最大值为 【解答】解： （1）设点
36、P（x0，y0） （|x0|a） ，则， ， 联立得，a23b2（|x0|a） ， 又2c4，c2， a2b2+4，即 3b2b2+4，b22，a26， 椭圆 C 的标准方程为； （2）由题意知 F（2，0） ， 当直线 l 的斜率不存在时，S1S2，于是|S1S2|0， 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l：yk（x2） （k0） ， 联立，得（1+3k2）x212k2x+12k260 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，根据韦达定理，得， 于是 ， 当且仅当时等号成立， 综上，|S1S2|的最大值为 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题 21 （12
37、分）已知函数 f（x）2lnx+ax2bx（a，bR） 第 19 页（共 21 页） （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 y2x+1，求实数 a，b 的值； （2）若 a0，且 f（x）+40 在区间（0，+）上恒成立，求实数 b 的取值范围； （3）若 b4，a0，讨论函数 f（x）的单调性 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； （2） 由已知分离参数可得， 在 （0， +） 上恒成立， 构造函数， 然后结合导数可求函数的最大值，进而可求 b 的范围； （3）把 b4 代入后对函数求导，然后二次函数的性质对 a 进行分类讨论即可求解函数 的单调性 【解
38、答】解： （1）由题意，得， 则，解得 （2）当 a0 时，f（x）2lnxbx，f（x）+40 在区间（0，+）上恒成立， 即在（0，+）上恒成立， 设，则， 令 g（x）0，可得，g（x）单调递增； 令 g（x）0，可得，g（x）单调递减； 所以，即 b2e，故 b2e，+） （3）当 b4 时，f（x）2lnx+ax24x， 则， 令 t（x）ax22x+1（a0，x0） ， 因为44a4（1a） ，1当0 时，0a1，由 t（x）0，得或 ， 在和，t（x）0，故 f（x）0，f（x）单调递增； 在，t（x）0，故 f（x）0，f（x）单调递减 2当0 时，a1，在（0，+）内 t（x
39、）0，故 f（x）0，f（x）单调递增 综上，当 0a1 时，f（x）的单调递增区间为和； 第 20 页（共 21 页） f（x）的单调递减区间为 当 a1 时，f（x）的单调递增区间为（0，+） ，没有单调递减区间 【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，极值及处理不等 式的恒成立，属于中档试题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂铅笔将所选题号涂 黑，多涂、错涂、漏涂均不给分黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题
40、计分. 22 （10 分）点 A 是曲线 C1：x2+（y2）24 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 A 顺时针旋转 90得到点 B，设点 B 的轨迹方程为曲线 C2 （1）求曲线 C1，C2的极坐标方程； （2）射线与曲线 C1、C2分别交于 P、Q 两点，定点 M（4，0） ，求 MPQ 的面积 【分析】 （1）利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1的极坐标方程为 4sin， 设 B（，） ，则， 所以
41、所以曲线 C2的极坐标方程为 4cos （ 2 ） 由 题 意 得 点M到 射 线的 距 离 为， ， MPQ 的面积 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 之间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 23已知函数 f（x）2|2x1|，g（x）|xa|+|x+1| （1）解不等式 f（x）1； （2）若存在 x1，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取值范围 第 21 页（共 21 页） 【分析】 （1）根据 f（x）1 可得|2x1|1，然后去绝对值解不等式即可； （2）存在 x1，x2R，使得
42、 f（x1）g（x2）成立，只需 f（x）maxg（x）min，求出 f（x） 的最大值，g（x）的最小值后解关于 a 的不等式即可得到 a 的取值范围 【解答】解： （1）由 f（x）1，得 2|2x1|1， |2x1|1，2x11 或 2x11，x1 或 x0， 不等式的解集为（，0）（1，+） （2）存在 x1，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立， 只需要 f（x）maxg（x）min， f（x）2|2x1|2，当时，等号成立，f（x）max2， g（x）|xa|+|x+1|（xa）（x+1）|a+1|， 当 x1 时，等号成立，g（x）min|a+1| |a+1|2，解得3a1 实数 a 的取值范围是a|3a1
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