1、 数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，选分在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项）出符合题目要求的一项） 1设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 ABA，则 a 的取值范围是（ ） Aa|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a2 2已知复数 z 满足 zi2+i，i 是虚数单位，则|z|（ ） A2 B3 C2 D5 3设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6：S31：2，则 S9：S3（ ） A1：2 B2：3 C3：4 D1：3 4已知 mR， “函数 y2x+m1
2、 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 =2.347x6.423； y 与 x 负相关且 = 3.476x+5.648； y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493； y 与 x 正相关且 = 4.326x4.578 其中一定不正确的结论的序号是（ ） A B C D 6已知 m、n 为两条不同的直线，、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 l
3、m，ln，且 m，n，则 l B若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 C若 m，mn，则 n D若 mn，n，则 m 7在区间1，1上随机取一个数 k，则直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有两个不同公共 点的概率为（ ） A2 9 B 3 6 C1 3 D 3 3 8已知() = 其中 = (2， 32)， = (，1)，xR则 f（x）的单调 递减区间是（ ） A + 12 ， + 3( ) B 12 ， + 3( ) C 6 ， + 3( ) D + 6 ， + 3( ) 9函数 y= | （0a1）的图象的大致形状是（ ） A B C D 10抛物线 y24x 的焦点到双曲
4、线 x2 2 2 =1 的一条渐近线的距离是 3 2 ，则双曲线的虚轴 长是（ ） A3 B23 C3 D6 11三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，ACBC1，PA= 3，则该三棱锥外 接球的表面积为（ ） A5 B2 C20 D4 12已知函数() = ，0 | + 2|， 3 0（a0 且 a1） ，若函数 f（x）的图象上有且 仅有两个点关于 y 轴对称，则 a 的取值范围是（ ） A （0，1） B （1，3） C （0，1）（3，+） D （0，1）（1，3） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 1
5、3 如图所示， 在梯形 ABCD 中，A= 2， = 2，BC2， = 3 2， 点 E 为 AB 的中点， 则 = 14曲线() = 3 1 (0)上一动点 P（x0，f（x0） ）处的切线斜率的最小值为 15已知两圆 x2+y210 和（x1）2+（ya）220 相交于 A、B 两个不同的点，且直线 AB 与直线 3xy+10 垂直，则实数 a 16 从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升， 然后加满水， 再倒出 1 升混合溶液后又用水填满， 以此继续下去， 则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10% 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 7
6、0 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17在ABC 中， = 5， = 3， = 2 （）求 AB 的值；来源:学科网 （）求(2 4)的值 18 （12 分）今年 5 月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属 25 家商业连锁店进 行了考核评估，将各连锁店的评估分数按60，70，70，80，80，90，90，100分成 4 组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为 A、 B、C、D 四个等级，等级评定标准如表所示： 评估得分 60，70 70，80 80，90 90，100 评定等级 D C来源:学+科+
7、网Z+X+X+K B A （）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数； （）从评估分数不少于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求至少选一家 A 等级 的概率 19如图，ABC 为边长为 2 的正三角形，AECD，且 AE平面 ABC，2AECD2 （1）求证：平面 BDE平面 BCD； （2）求三棱锥 DBCE 的高 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，点 M（2，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 平行于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝角，求直 线 l 在 y 轴上的截距 m
8、 的取值范围 21已知函数() = 2+ (1 2) +2 2 （）求函数 f（x）的单调区间； （）证明：(1 2 2 + + 1)()2 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 2 + = 1 + （t 为参数） ， 其中 2 以 原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 26cos+4 0 （1）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）已知曲线 C2与C1交于两点，记点 A，B 相应的参数分别为 t1，t2，当 t1+t20 时， 求|AB|的值 选修选修 4-5：
9、不等式选讲：不等式选讲 23函数 f（x）= 2 2 + 1 +24 4 + 2 （）求 f（x）的值域； （）若关于 x 的不等式 f（x）m0 有解，求证：3m+ 2 1 7 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，选分在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项）出符合题目要求的一项） 1设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 ABA，则 a 的取值范围是（ ） Aa|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a2 由 ABA，得 AB，由集合 Ax|1x2，Bx|xa，即可得出结论 ABA， AB 集合
10、 Ax|1x2，Bx|xa， a2 故选：D 本题考查了交集及其运算，解答的关键是对端点值的取舍，是基础题 2已知复数 z 满足 zi2+i，i 是虚数单位，则|z|（ ） A2 B3 C2 D5 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算 由 zi2+i，得 = 2+ = 1 2， |z|= 5， 故选：D 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 3设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6：S31：2，则 S9：S3（ ） A1：2 B2：3 C3：4 D1：3 本题考查的知识点是性质， 即若an等比数列， 则 Sm， S2mm， S3
11、m2m， 也成等比数列， 则由 S6：S31：2，则 S6S3：S31：2，则 S9S6：S6S31：2，由此不难求出 S9：S3的值 an为等比数列 则 S3，S6S3，S9S6也成等比数列 由 S6：S31：2 令 S3x 则 S6= 1 2x 则 S3：S6S3S6S3：S9S61：2 则 S9S6= 1 4x 则 S9= 3 4 则 S9：S3= 3 4 ：x3：4 故选：C 若an等差数列，则 Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等差数列； 若an等比数列，则 Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比数列（其中 Sm不为零） ； 这是等差数列与等比数列的重要性质，大家要熟练掌握 4已
12、知 mR， “函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 根据函数的性质求出 m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 若函数 yf（x）2x+m1 有零点，则 f（0）1+m1m1， 当 m0 时，函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数不成立，即充分性不成立， 若 ylogmx 在（0，+）上为减函数，则 0m1，此时函数 y2x+m1 有零点成立， 即必要性成立， 故“函数 y2x+m1 有零点”是“函数 ylogmx 在（0，+）上为减函数”的必要不 充
13、分条件， 故选：B 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条 件是解决本题的关键 5四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论： y 与 x 负相关且 =2.347x6.423； y 与 x 负相关且 = 3.476x+5.648； y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493； y 与 x 正相关且 = 4.326x4.578 其中一定不正确的结论的序号是（ ） A B C D 由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出 判断，得出一定不正确的结论来，从而选出
14、正确选项 y 与 x 负相关且 =2.347x6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是 正相关； y 与 x 负相关且 = 3.476 + 5.648； 此结论正确， 线性回归方程符合负相关的特征； y 与 x 正相关且 = 5.437 + 8.493； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特 征； y 与 x 正相关且 = 4.326 4.578此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特 征 综上判断知，是一定不正确的 故选：D 本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题 的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易 6已知 m、n 为两条不同的
15、直线，、 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 lm，ln，且 m，n，则 l B若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 C若 m，mn，则 n D若 mn，n，则 m 根据线面垂直的判定定理判断 A 是否正确； 借助图象，根据三点是否在平面的同侧来判断 B 是否正确； 根据直线在平面内的情况，来判断 C 是否正确；来源:学科网 根据平行线中的一条垂直于一个平面， 则另一条也垂直于这个平面， 来判断 D 是否正确 A、若 mn 时，l 与 不一定垂直，故 A 错误； B、若三点不在平面 的同侧，则 与 相交，故 B 错误； C、m，mn，有可能 n，故 C 错误； D、根
16、据平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于平面，故 D 正确 故选：D 本题借助考查命题的真假判断，考查线面垂直的判定 7在区间1，1上随机取一个数 k，则直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有两个不同公共 点的概率为（ ） A2 9 B 3 6 C1 3 D 3 3 求出圆心到直线的距离， 根据直线与圆有两个不同的公共点列不等式求出k的取值范围， 再计算所求的概率 圆 x2+y21 的圆心为（0，0） ， 圆心到直线 yk（x2）的距离为 |2| 2:1； 要使直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有两个不同公共点， 则 |2| 2:1 1， 解得 3 3 k 3 3 ； 在区间1，1
17、上随机取一个数 k， 使直线 yk（x2）与圆 x2+y21 有公共点的概率为 P= 3 3 (3 3 ) 1(1) = 3 3 故选：D 本题考查了几何概型的概率以及直线与圆相交的性质问题，解题的关键弄清概率类型， 是基础题 8已知() = 其中 = (2， 32)， = (，1)，xR则 f（x）的单调 递减区间是（ ） A + 12 ， + 3( ) B 12 ， + 3( ) C 6 ， + 3( ) D + 6 ， + 3( ) 先利用平面向量数量积表示出函数 f （x） ， 再结合余弦的二倍角公式和辅助角公式对 f （x） 进行化简，最后根据余弦函数的单调性求解即可 () = =2
18、cosxcosx3sin2x= 2 32 + 1 = 2(2 + 3) + 1， 令2 + 3 2， + 2， ，则 6 ， + 3， ， 来源:学科网 ZXXK 故选：C 本题考查平面向量与三角函数的综合，涉及平面向量数量积、三角函数的图象与性质、 二倍角公式和辅助角公式，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于基础题 9函数 y= | （0a1）的图象的大致形状是（ ） A B C D 分 x0 与 x0 两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状 当 x0 时，|x|x，此时 yax（0a1） ； 当 x0 时，|x|x，此时 yax（0a1） ， 则函数 = | （
19、0a1）的图象的大致形状是： ， 故选：D 此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键 10抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 2 2 =1 的一条渐近线的距离是 3 2 ，则双曲线的虚轴 长是（ ） A3 B23 C3 D6 先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的 渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论 抛物线 y24x 的焦点在 x 轴上，且 p2， 抛物线 y24x 的焦点坐标为（1，0） ， 由题得：双曲线双曲线 x2 2 2 =1 的渐近线方程为 bxy0， 抛物线的焦点到渐近线的距离 d= 1+2 = 3 2
20、 ， 解得 b= 3， 则双曲线的虚轴长是 2b23， 故选：B 本题考查抛物线的性质， 考查双曲线的基本性质， 解题的关键是定型定位， 属于基础题 11三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ACBC，ACBC1，PA= 3，则该三棱锥外 接球的表面积为（ ） A5 B2 C20 D4 根据题意，证出 BC平面 PAC，PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径利用勾股定理结 合题中数据算出 PB= 5，得外接球半径 R= 5 2 ，从而得到所求外接球的表面积 PA平面 ABC，ACBC， BC平面 PAC，PB 是三棱锥 PABC 的外接球直径； RtPBA 中，AB= 2，PA= 3 PB=
21、 5，可得外接球半径 R= 1 2PB= 5 2 外接球的表面积 S4R25 故选：A 本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理 和球的表面积公式等知识，属于中档题 12已知函数() = ，0 | + 2|， 3 0（a0 且 a1） ，若函数 f（x）的图象上有且 仅有两个点关于 y 轴对称，则 a 的取值范围是（ ） A （0，1） B （1，3） C （0，1）（3，+） D （0，1）（1，3） 由题意，0a1 时，显然成立；a1 时，f（x）logax 关于 y 轴的对称函数为 f（x） loga（x） ，则 loga31，即可得到结论 由题意，0
22、a1 时，显然成立； a1 时，f（x）logax 关于 y 轴的对称函数为 f（x）loga（x） ，则 loga31，1a 3， 综上所述，a 的取值范围是（0，1）（1，3） ， 故选：D 本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性以及数形结合的思维能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 如图所示， 在梯形 ABCD 中，A= 2， = 2，BC2， = 3 2， 点 E 为 AB 的中点， 则 = 2 以 B 为原点，BC 为 x 轴，AB 为 y 轴建系，求出相关点的坐标，求出向量即可求解数量 积 以
23、 B 为原点， BC 为 x 轴， AB 为 y 轴建系， C （2， 0） ， (0， 2 2 )， B （0， 0） ， = (3 2，2)， = (2， 2 2 )， = (3 2，2)，所以 = 3 + 1 = 2 故答案为：2 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力 14曲线() = 3 1 (0)上一动点 P（x0，f（x0） ）处的切线斜率的最小值为 23 斜率即为切点处的导数，所以问题转化为求导数的最小值问题 () = 32+ 1 2，x0 32+ 1 2 232 1 2 = 23 （当且仅当 = (1 3) 1 4时取等号） 故答案为：23 本题考查导数的几何意义，同时考查
24、学生的数学运算能力和转化思想的应用属于基础 题 15已知两圆 x2+y210 和（x1）2+（ya）220 相交于 A、B 两个不同的点，且直线 AB 与直线 3xy+10 垂直，则实数 a 3 由题意，两圆相减可得 2x+2aya2+90，利用直线 AB 与直线 3xy+10 垂直，可得 1 31，即可求出 a 的值 由题意，两圆相减可得 2x+2aya2+90， 直线 AB 与直线 3xy+10 垂直， 1 31，a3， 故答案为 3 本题考查圆与圆的位置关系，考查两条直线垂直位置关系的运用，属于中档题 16 从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升， 然后加满水， 再倒出 1 升混合溶液
25、后又用水填满， 以此继续下去，则至少应倒 4 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10% 设开始的浓度为 1，操作 1 次后的浓度为 a11 1 ，操作 n 次后的浓度为 an，则 an+1 an（1 1 ） ，利用等比数列的通项公式即可得出 设开始的浓度为 1，操作 1 次后的浓度为 a11 1 ， 操作 n 次后的浓度为 an，则 an+1an（1 1 ） ， 数列an构成 a11 1 为首项，q1 1 为公比的等比数列， an（1 1 ） n，即第 n 次操作后溶液的浓度为（11 ） n； 当 a2 时，可得 an（1 1 ） n= (1 2) ，由 an（1 2） n1 10，
26、解得 n4 至少应倒 4 次后才能使酒精的浓度低于 10% 故答案为：4 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17在ABC 中， = 5， = 3， = 2 （）求 AB 的值； （）求(2 4)的值 （）利用正弦定理化简可得 AB 的值 （） 利用余弦定理求解 cosA， 在求解 sinA， 和与差公式打开即可求(2 4)的值 （） = 5， = 3， = 2 在ABC 中，根据正弦定理，于是 AB
27、= = 2 = 25 （）在ABC 中，根据余弦定理，得 cosA= 2+22 2 = 25 5 于是 sinA= 1 2 = 5 5 从而 sin2A2sinAcosA= 4 5， 则 cos2Acos2Asin2A= 3 5， 故得(2 4) =sin2Acos 4 cos2Asin 4 = 2 10 本题考查了正余弦定理的运用和和与差以及同角函数关系式，正余弦函数的二倍角公式 的计算属于基础题 18今年 5 月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属 25 家商业连锁店进行了考核 评估，将各连锁店的评估分数按60，70，70，80，80，90，90，100分成 4 组，其 频率分布直方
28、图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为 A、B、C、 D 四个等级，等级评定标准如表所示： 评估得分 60，70 70，80 80，90 90，100 评定等级 D C B A （）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数； （）从评估分数不少于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求至少选一家 A 等级 的概率来源:学科网 ZXXK （）根据最高小矩形下底边的中点值为得出众数是多少，根据直方图中各小矩形的面 积及底边中点值求出数据的平均数； （）求出 A、B 等级的频数是多少，利用古典概型求出至少选一家 A 等级的概率 （）最高小矩形下底边的中点值为 75， 估计
29、评估得分的众数为 75； 直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为 0.28、0.16、0.08， 第二个小矩形的面积为 10.280.160.080.48； =650.28+750.48+850.16+950.0818.2+36+13.6+7.675.4， 即估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为 75.4； （）A 等级的频数为 250.082， B 等级的频数为 250.164， 从 6 家连锁店中任选 2 家，共有65 2 =15 种选法， 其中选 1 家 A 等级和 1 家 B 等级的选法有 248 种， 选 2 家 A 等级的选法有 1 种； P= 8+1 15 = 3
30、5， 即至少选一家 A 等级的概率是3 5 本题考查了频率直方图的应用问题以及古典概型的概率应用问题，解题时应细心解答， 以免出错，是综合题 19如图，ABC 为边长为2 的正三角形，AECD，且 AE平面 ABC，2AECD2 （1）求证：平面 BDE平面 BCD； （2）求三棱锥 DBCE 的高 （1）取 BD 边的中点 F，BC 的中点为 G，连接 AG，FG，EF，证明 AGEF，由 AG 平面 BCD 可知，EF平面 BCD，即可证明平面 BDE平面 BCD； （2）利用等体积方法，即可求三棱锥 DBCE 的高 （1）证明：取 BD 边的中点 F，BC 的中点为 G，连接 AG，FG
31、，EF， 由题意可知，FG 是BCD 的中位线 所以 FGAE 且 FGAE，即四边形 AEFG 为平行四边形， 所以 AGEF 由 AG平面 BCD 可知，EF平面 BCD，又 EF面 BDE， 故平面 BDE平面 BCD； （2）解：过 B 做 BKAC，垂足为 K，因为 AE平面 ABC， 所以 BK平面 ACDE，且 = 2 3 2 = 3 所以 V四棱锥BACDE= 1 3 1 2 (1 + 2) 2 3 = 3V三棱锥EABC= 1 3 1 2 2 3 1 = 3 3 所以 V三棱锥DBCEV四棱锥BACDEV三棱锥EABC= 3 3 3 = 23 3 因为 ABAC2，AE1，所
32、以 = = 5，又 BC2 所以= 1 2 2 5 1 = 2 设所求的高为 h，则由等体积法得1 3 2 = 23 3 所以= 3 本题考查平面与平面垂直的证明和求三棱锥的高，解题时要认真审题，注意把空间几何 问题等价转化为平面几何问题 20已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，点 M（2，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 平行于 OM，且与椭圆 C 交于 A，B 两个不同的点，若AOB 为钝角，求直 线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 （1）由椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，点 M（
33、2，1）在椭圆 C 上，列 出方程组，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的方程 （2） 设 l 的方程为 y= 1 2x+m， 再与椭圆方程联立， 将AOB 为钝角， 转化为 0， 且 m0，利用韦达定理，即可求出直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围 （1）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为 3 2 ，点 M（2，1）在椭圆 C 上 = = 3 2 4 2 + 1 2 = 1 2= 2+ 2 ，解得 a22，b= 2，c= 6， 椭圆 C 的方程为 2 8 + 2 2 =1 （2）由直线 l 平行于 OM，得直线 l 的斜率 kkOM= 1 2， 又 l 在 y
34、轴上的截距为 m，l 的方程为 y= 1 2 + 由 = 1 2 + 2 8 + 2 2 = 1 ，得 x2+2mx+2m240 又直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，（2m）24（2m24）0，于是2m 2 AOB 为钝角等价于 0，且 m0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 =x1x2+y1y2= 12+ (1 21 + )(1 22 + ) = 5 4 12+ 2 (1+ 2) + 20， 由韦达定理 x1+x22m，x1x22m24，代入上式， 化简整理得 m22，即22，故所求范围是（2，0）（0，2） 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭
35、圆的位置关系，解题的 关键是联立方程组，利用韦达定理解决直线与椭圆的位置关系问题 21已知函数() = 2+ (1 2) +2 2 （）求函数 f（x）的单调区间； （）证明：(1 2 2 + + 1)()2 （） 求出函数 f （x） 的定义域为 （0， +） ， () = 1 2 + 1 2 (1 2)， 通过解( 1 2) = 2， 判断导函数的符号，求解函数 f（x）的单调增区间为（0，1） ，单调减区间为（1，+） （）不等式(1 2 2 + + 1)()2等价于() 2 1 22+1 ，由（）f（x）在（0，+ ） 上的最大值为 f （x） maxf （1） 2， 推出 f （x）
36、 2， 令() = (1 2 2 + + 1)(0)， 利用导函数的单调性以及最值推出 1 2 2:1 1，证明结论即可 （）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，() = 1 2 + 1 2 (1 2) 则(1 2) = 2 1 + 1 2 (1 2)，解得( 1 2) = 2，所以 f（x）lnxx 2+x+2此时， () = 1 2 + 1 = 22+1 ，由 f（x）0 得 0x1，f（x）0 得 x1， 所以函数 f（x）的单调增区间为（0，1） ，单调减区间为（1，+） （）证明：不等式(1 2 2 + + 1)()2等价于() 2 1 22+1 ， 由（）f（x）在（0，+）上的
37、最大值为 f（x）maxf（1）2， 所以 f（x）2， 令() = (1 2 2 + + 1)(0)，所以 g（x）exx1， （g（x） ）ex1，所 以， 当 x0 时， （g（x） ）0， 所以 g（x）在（0，+）上单调递增，所以 g（x）g（0）0， 所以 g （x） 在 （0， +） 上单调递增， 所以 g （x） g （0） 0， 即 (1 2 2 + + 1)0， 因为 x0，所以 1 2 2:1 1， 所以，x0 时，(1 2 2 + + 1)()2 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及 计算能力 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：
38、坐标系与参数方程 22 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 = 2 + = 1 + （t 为参数） ， 其中 2 以 原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 26cos+4 0 （1）写出曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）已知曲线 C2与 C1交于两点，记点 A，B 相应的参数分别为 t1，t2，当 t1+t20 时， 求|AB|的值 （1）直接把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程 （2） 利用直线和曲线的位置关系， 建立等量关系式， 利用中点坐标和垂径定理求出结果 （1）线 C1的参数方程为 = 2 + = 1 + （t
39、 为参数） ， 所以：C1的普通方程：y（x2）tan+1，其中 2； 曲线 C2的极坐标方程为 26cos+40 所以：C2的直角坐标方程： （x3）2+y25 （2）由题知直线恒过定点 P（2，1） ，又 t1+t20， 由参数方程的几何意义知 P 是线段 AB 的中点， 曲线 C2是以 C2（3，0）为圆心，半径 = 5的圆， 且|2|2= 2 由垂径定理知：| = 22 |2|2= 25 2 = 23 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程，中点坐标公式的应 用，垂径定理得应用 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23函数 f（x）= 2 2 + 1 +24
40、4 + 2 （）求 f（x）的值域； （）若关于 x 的不等式 f（x）m0 有解，求证：3m+ 2 1 7 （I）由 f（x）= 2 2 + 1 +24 4 + 2=|x1|+2|x2|，分类讨论取绝对值，然 后根据分段函数的性质可求值域 （II）若关于 x 的不等式 f（x）m0 有解，故只需 mf（x）的最小值，可求 m 的范 围，然后结合基本不等式即可证 f（x）= 2 2 + 1 +24 4 + 2=|x1|+2|x2| （I）当 x2 时，f（x）3x51； 当 1x2 时，f（x）3x，1f（x）2， 当 x1 时，f（x）53x2 综上可得，函数的值域为1，+） （II）证明：若关于 x 的不等式 f（x）m0 有解， f（x）m 有解， 故只需 mf（x）的最小值，即 m1 3m+ 2 1 =3（m1）+ 2 1 +3 26 + 37 本题主要考查了分段函数的函数值域的求解，及不等式的存在性问题，及基本不等式在 最值求解中的应用
浙公网安备33030202001339号