1、【数学月考试卷 第 1 页 （共 15 页） 】 20192020学年度下学期九年级四月质量检测 数学试卷 考生注意： 1.本卷共六大题，23小题，考试时间为120分钟，满分120分. 2.考试内容：与中考一致. 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分每小题只有一个正确选项) 1 5 13 的倒数是( ) A 5 13 B 5 13 C13 5 D13 5 2.港珠澳大桥被英国卫报誉为“新世界七大奇迹”之一,它是世界总体跨度最长的跨海大桥,全长 55 000 米,数据 55 000 用科学记数法表示为 ( ) A.5.5104 B.55104 C.5.5105 D.0.5
2、5106 3如图所示的几何体的主视图是( ) 4倩倩同学统计了南昌市昌东花园某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方 图根据图中信息，下列说法错误的是( ) A这栋居民楼共有居民 125 人 B每周使用手机支付次数为 2835 次的人数最多 C有的人每周使用手机支付的次数在 3542 次 D每周使用手机支付不超过 21 次的有 15 人 5如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF.把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM.若矩形纸片的宽 AB4，则折痕 BM 的长为 ( ) 【数学月考试卷
3、第 2 页 （共 15 页） 】 A8 3 3 B4 3 3 C8 D8 3 6如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一边在 x 轴上，反比例函数 yk x(k0)的图象经过菱形 两条对角线的交点， 且与 AB 所在直线交于点 D.已知 AC OB64 2， OC8， 则以下结论： k16 2； 点 D 的纵坐标为 4 2；OBC22.5 ；反比例函数 yk x 随 x 的增大而增大；tanAOC1. 其中正确的是( ) A B C D 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 7若代数式 1 1 x1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围为_ 8.已知直线
4、mn,将一块含 45 角的直角三角板 ABC 按如图方式放置,其中斜边 BC 与直线 n 交于点 D.若 1=25 ,则2 的度数为 . 9程大位是我国珠算发明家他的著作直指算法统宗中记载了一个数学问题，大意是：有 100 个 和尚分 100 个馒头， 如果大和尚 1 人分 3 个， 小和尚 3 人分 1 个， 正好分完 问大、 小和尚各有多少人？ 若设大和尚有 x 人，小和尚有 y 人，则可列方程组为_ 10如图，在菱形 ABCD 中，AB2，BAD60 ，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转，对应得到 菱形 AEFG，点 E 在 AC 上，EF 与 CD 交于点 P，则 DP 的长是
5、_ 【数学月考试卷 第 3 页 （共 15 页） 】 11如图，过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线，分别与反比例函数 yk1 x (x0)，yk2 x (x0)的图象交 于点 A 和点 B，若AOB 的面积为 9 2，则 k2k1_. 12如图，在ABC 中，已知ACB90 ，BAC30 ，ACB 的平分线与 AB 相交于点 P，等腰直 角DEF 的顶点 D 在射线 CP 上， 且 EFAB， 连接 PE， PF.现在将DEF 沿 CP 方向进行平移， 当PEF 为直角三角形时，DPF 的度数为_ 三、(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分) 13(1)解方程： x x2
6、 6 x21； (2)如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 BD 延长线上一点，且ACE 是等边三角 形，AED2EAD.求证：四边形 ABCD 是正方形 14先化简，再求值： aa4 a1 a23a5 a1 1 ，其中 a1 2. 15如图，在 77 的方格中，ABC 的顶点均在格点上，试仅用无刻度的直尺 按要求画出线段 EF(E， F 均为格点)，要求： (1)EFAC； (2)EF 垂直平分 AB. 【数学月考试卷 第 4 页 （共 15 页） 】 16 “学习强国”APP 是深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容的“PC 端手 机客户端”两大终端
7、二合一模式的学习平台，手机客户端上主要有阅读文章、观看视频、专题考试三种 学习方式 (1)文老师从三种学习方式中随机挑选一种进行学习，恰好选中专题考试的概率是多少？ (2)文老师和汤老师各自从三种学习方式中随机挑选一种进行学习， 用列表法或画树状图法表示所有 可能的结果，并求他们选中同一种学习方式的概率 17如图，直线 l 的解析式为 y1 3x 7 3，与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，双曲线 y k x(x0)与直线 l 交于 E，F 两点，点 E 的横坐标为 1. (1)求 k 的值及点 F 的坐标； (2)连接 OE，OF，求EOF 的面积； (3)若点 P 是 EF 下方双曲
8、线上的动点(不与 E，F 重合)，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交直线 l 于点 M，N，求 BM AN 的值 四、(本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分) 18世界 VR 产业大会已经在江西省南昌市举办了两届，九江学院想知道信息工程学院的学生对 VR 相 关知识的了解程度， 在该院系随机抽取了部分学生进行问卷， 问卷有以下四个选项： A 十分了解； B 了 解较多；D了解较少；D不了解(要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项)现将调查的结果绘 制成两幅不完整的统计图 【数学月考试卷 第 5 页 （共 15 页） 】 请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： (1)本次被
9、抽取的学生共有_名； (2)请补全条形图； (3)扇形图中的选项“D了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为_ ； (4)若该院系共有 2 000 名学生，请你根据上述调查结果估计该院系对于 VR 相关知识“十分了解” 和“了解较多”的学生共有多少名？ 19随着生活质量的提高，城市新建设的小区在各出入口配上了门卫，如图，是南昌市某小区一电动 升降门，当它水平下落时，可以抽象成如图所示的矩形 ABCD，其中 AB3 m，AD1 m，此时它与 出入口 OM 等宽， 与地面的距离 AO0.2 m； 当它抬起时， 变为平行四边形 ABCD， 如图所示， 此时， AB与水平方向的夹角为 60 . (1)求
10、点 B到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点 C 所经过的路径长； (3)一辆高 1.6 m，宽 1.5 m 的汽车从该入口进入时，汽车需要与 BC 保持 0.4 m 的安全距离，此时， 汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，说明理由(参考数据： 31.73，3.14，所 有结果精确到 0.1) 20如图,已知 AB 是O 的直径,P 是 BA 延长线上一点,PC 切O 于点 C,CG 是O 的弦,CGAB,垂足 为 D. (1)求证:PCA=ABC. 【数学月考试卷 第 6 页 （共 15 页） 】 (2)过点 A 作 AEPC 交O 于点 E,交 CD 于点 F,连接
11、BE,若 cosP=4 5,CF=10,求 BE 的长. 五、(本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分) 21数学活动课上，兴趣小组的同学们针对一块面积为 4 平方分米，周长为 m 分米的矩形数学橡皮泥模 具进行有关研究 对于 m 的取值范围， 小晨同学已经能用“代数”的方法解决， 现在他又尝试从“图形” 的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x 分米，y 分米，由矩形的面积为 4 平方分米，得 xy4，即 y4 x；由 周长为 m 分米，得 2(xy)m，即 yxm 2.满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第_象 限内交点的坐标 (2)画出函数
12、图象 函数 y4 x(x0)的图象如图所示，而函数 yx m 2的图象可由直线 yx 平移得到请在同一直 角坐标系中直接画出直线 yx. (3)平移直线 yx，观察函数图象 当直线平移到与函数 y4 x(x0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长 m 分米的值为_； 在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 分米的取值范围 (4)得出结论 若能制成出面积为 4 平方分米的矩形模具，则周长 m 分米的取值范围为_. 【数学月考试卷 第 7 页 （共 15 页） 】 22南昌八中某班开展了一堂数学实践课，数学老师给出了下列问题： 【提出问题】 (1)如图 1，在ABC
13、中，E 是 BC 的中点，P 是 AE 的中点，则称 CP 是ABC 的“双中线”若 ACB90 ，AC3，AB5，则 CP_； 【探究规律】 (2)在图 2 中， E 是正方形 ABCD 一边上的中点， P 是 BE 上的中点， 则称 AP 是正方形 ABCD 的“双 中线”若 AB4，则 AP 的长为_；(按图示辅助线求解) (3)在图 3 中，AP 是矩形 ABCD 的“双中线”若 AB4，BC6，请仿照(2)中的方法求出 AP 的 长，并说明理由； 【拓展应用】 (4)在图 4 中，AP 是ABCD 的“双中线”，若 AB4，BC10，BAD120 ，求 ABP 的周长 图 1 图 2
14、 图 3 图 4 【数学月考试卷 第 8 页 （共 15 页） 】 六、(本大题共 12 分) 23已知：抛物线 C1：y(xm)2m2(m0)，抛物线 C2：y(xn)2n2(n0)，称抛物线 C1，C2 互为派对抛物线，例如抛物线 C1：y(x1)21 与抛物线 C2：y(x 2)22 是派对抛物线，已知 派对抛物线 C1，C2的顶点分别为 A，B，抛物线 C1的对称轴交抛物线 C2于 C，抛物线 C2的对称轴交抛 物线 C1与 D. (1)已知抛物线yx22x，y(x3)23，y(x 2)22，yx2x 2 1 ，则抛物线 中互为派对抛物线的是_(请在横线上填写抛物线的数字序号)； (2
15、)如图，当 m1，n2 时，证明：ACBD； (3)如图，连接 AB，CD 交于点 F，延长 BA 交 x 轴的负半轴于点 E，记 BD 交 x 轴于 G，CD 交 x 轴于点 H，BEOBDC. 求证：四边形 ACBD 是菱形； 若已知抛物线 C2：y(x2)24，请求出 m 的值 数学试卷参考答案 1 2 3 4 5 6 A B C D C C 7. a(a+1)(a1) 8. 1.25 109 9. 1 320 x40 1 320 x 30 60 【数学月考试卷 第 9 页 （共 15 页） 】 10. 35 11. 2 2 AB1 12. 42 3或 2 或 2 7 13(1)原式2
16、3 2 3 33214 34. (2)ABC 为正三角形，AC60 ，BCAB. AEBE，CB2AE. AD AC 1 3，CD2AD. AD CD AE CB 1 2. 又AC，AEDCBD. 14解不等式，得 x1. 解不等式，得 x13 2 . 不等式组的解集为 1x13 2 . 不等式组的整数解为 1,2,3,4,5,6. 15(1)1 3. (2)画树状图如图所示 由树状图知，共有 6 种等可能的结果，其中两次抽中的矩形卡片能拼成一个新矩形的有 4 种结果， 事件“两次抽中的矩形卡片能拼成(无重叠、无缝隙)一个新矩形”发生的概率为 4 6 2 3. 16(1)如解图，DF 即为所求
17、； (2)如解图，DF 即为所求 17(1)如图，过点 B 作 BGn 于点 G. 【数学月考试卷 第 10 页 （共 15 页） 】 mn，DAF90 ，BGD90 ， 四边形 ABGD 为矩形 DGAB40，ADBG. mn，EBF45 ，BEG45 . GBEBEG45 . BGGE. 设 ADx，则 BGGEx，DEx40. EAF30 ，AED30 . 在 RtADE 中，tanAEDAD DE 3 3 ，即 x x40 3 3 . x20 320. 河宽 AD 为(20 320)米 (2)如图，过点 E 作 EHm 于点 H. 同理可得，四边形 GBHE 是矩形 BGGE，四边形
18、GBHE 是正方形 BHGEEH20 320. BC12( 31)， CHBHBC8( 31) 在 RtCHE 中，tan EH CH 20 31 8 31 5 2. 18(1)7. (2)90 . (3)2 000 1 20100(名) 答：估计有 100 名师生需要参加团队心理辅导 19(1)如图，过点 M 作 MDOA 交 OA 于点 D， 【数学月考试卷 第 11 页 （共 15 页） 】 图 在 RtODM 中，sinDM OM 3 5， DM15 cm， OD OM2DM220 cm， BMADOAOD5 cm； (2)如图，延长 DM 交 CF 于点 E， 图 易得FMEAOM，
19、 MEACDM551540(cm)， cosME MF 4 5， MF50 cm， 铁环钩 MF 的长为 50 cm. 20(1)如图 1，连接 OE. CD 是O 的切线，OECD. 图 1 ABBC，OBCOEC90 . OBOE，OCOC， RtOCBRtOCE(HL) COBCOE1 2BOE. 同理可得 RtODERtODA(HL)， DOEDOA1 2EOA. 【数学月考试卷 第 12 页 （共 15 页） 】 DOCCOEDOE1 2(BOEEOA)90 . OCOD. (2)如图 2，过点 C 作 CHAD 于点 H，过点 M 作 MKAD 于点 K，过点 M 作 MJAB 于
20、点 J，易 得四边形 ABCH 是矩形 AHBC1，CHAB4. 图 2 由题意，知 DA，CD，BC 是O 的切线， DEDA，CBCE1. 设 DEDAm. 在 RtCHD 中，DHDAAHm1，CDDECEm1，CD2CH2DH2， 即(m1)242(m1)2. 解得 m4.DH3，CD5. MOJAOM180 ，DAOM180 ，MOJD. MJOCHD90 ，MJOCHD. OJ DH MJ CH OM DC. 设 OMx，则 OJ 3 MJ 4 x 5.OJ 3 5x，MJ 4 5x. BCAB，MJAB，MJBC. AJ AB MJ BC AM AC，即 23 5x 4 4 5x
21、 1 .解得 x10 13. MJ4 5x 8 13. AM AC MJ BC 8 13. CM AM 5 8. 21.(1)当激光笔照射在平面镜 AD 的中点 E 时，AE1 2AD6，AEAB， ABEAEB45 ，激光笔和 AB 的夹角 的取值范围是 0 45 ； 在 RtABE 中，由勾股定理得 AB2AE2BE2，即 x262y2，y 36x2，0x6. (2)当 x0 时，y6； 点(0,6)如答图所示； 函数图象如答图所示 【数学月考试卷 第 13 页 （共 15 页） 】 (3)性质 1：函数图象有最低点，为点(0,6) 性质 2：函数图象在第一象限，y 随 x 的增大而增大(
22、其他符合的答案，参照得分) 22.【操作发现】 如图 1，延长 FA 交 BC 于点 G， 图 1 ABD 和ACE 是等腰直角三角形，且BADCAE90 ， ABAD，ACAE. ABAC，ADAE. F 是 DE 的中点，AFDE，DAFEAF，BAFCAF. 连接 BF，CF. ABAC，AFAF，FBAFCA(SAS)，FBFC， FG 是 BC 的垂直平分线，即 FGBC，AFBC，故正确； AGBAFD90 ，BAGFDA， AFDBGA(AAS)，AFBG1 2BC，故正确； AFDAGC90 ，DEBC，故正确； 根据前面的证明可以得出将答图 1，沿 FG 对折左右两部分能完全
23、重合， 整个图形是轴对称图形，故正确， 故结论正确的有. 【数学思考】 结论：AF1 2BC，AFBC，理由是： 如图 2，延长 AF 至 M，使 FMAF，连接 DM，EM，延长 FA 交 BC 于点 G. 【数学月考试卷 第 14 页 （共 15 页） 】 图 2 DFEF， 四边形 DAEM 是平行四边形，ADEMAB，ADEM， DAEAEMDAEBAC180 ， BACAEM.ACAE， CABAEM(SAS)， AMCB2AF，AMECBA， 即 AF1 2BCADEM， DAMAMECBA BAD90 ，DAMBAG90 ， CBABAGAGB90 ，AFBC 【类比探索】 AF
24、 和 BC 的数量和位置关系不发生改变，理由是： 如图 3，延长 AF 至 M，使 AFFM，连接 EM，DM，设 AF 交 BC 于点 N， 图 3 EFDF，四边形 AEMD 是平行四边形， AEDMAC BADEAC180 ，BACEAD180 . AEDM，ADMEAD180 ， ADMBACABAD， ABCDAM(SAS)， AMBC2AF，DAMABC，AF1 2BC 【数学月考试卷 第 15 页 （共 15 页） 】 DAMBAFABCBAF90 ，ANB90 ，AFBC 23 (1)当 a1 时，抛物线 C1的解析式为 yx22x3(x1)24，抛物线 C1的顶点坐标为(1，
25、 4)； yx22x3； (2) 将 yax22ax3 变形，得 yax(x2)3， 抛物线 C1总经过定点(2，3) yax22ax3 与 y 轴交于点(0，3)，且 EF 的长度不变， 当 y3 时，EF 的长为 2， 即当 m3 时，线段 EF 的长恒为 2； (3)存在实数 a，使得以点 E，F，P，Q 为顶点的四边形为正方形 理由如下： 易得抛物线 C1：yax22ax3 的顶点坐标为(1，a3) . 由(2)知 EF2，点 E、F 均在直线 y3 上， 根据翻折的性质可知 P、Q 两点关于 EF 对称，即 P、Q 在 EF 的两侧，故要使 E，F，P，Q 四点构 成的四边形为正方形，需满足 PQ2，即点 P 到直线 y3 的距离为 1， |(a3)(3)|1， |a|1， 解得 a1 或 a1.
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