1、绝密绝密启用前启用前 2020 年河南省普通高中毕业班高考适应性测试年河南省普通高中毕业班高考适应性测试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后。用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1已知集合0Ax x， 2 lg()Bx yxx，则BA=（ ） A), 0 B1, C ), 1 0 D), 1 (0 ,( 2已知复数 2 1 (1) z i （i为虚数单位） ，则z （ ） A 1 4 B 1 2 C 2 2 D 2 i 32019 年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题总体来说，二手房房价有所下降，相比二手 房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高已知销售人员主要靠售房提成领取工资现统计郑州市某新 房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下 列说法正确的是（ ）
3、A月工资增长率最高的为 8 月份 B该销售人员一年有 6 个月的工资超过 4000 元 C由此图可以估计，该销售人员 2020 年 6，7，8 月的平均工资将会超过 5000 元 D该销售人员这一年中的最低月工资为 1900 元 4已知 5 5 4 4 3 3 2 210 5 ) 1(xaxaxaxaxaax，则 24 aa 的值为（ ） A7 B8 C15 D16 5已知双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x C：的一个焦点为F，过F作x轴的垂线分别交双曲线的两渐近线 于A，B两点，若AOB的面积为 2 2b，则双曲线C的离心率为（） A2 B3 C 3 22 D 3
4、32 6九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的 次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用 n a表示解下), 9( * Nnnn个圆环所需的多少移动次数， 数列 n a满足1 1 a，且 为奇数 为偶数 na na a n n n , 22 , 12 1 1 ，则解下 5 个环所需的最少移动次数为（ ） A7 B10 C16 D22 7已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ） A6 B648 C624 D64 8已知函数)0)( 3 sin( xy在区间) 3 , 6 ( 上单调递增，则的取值范围是
5、（ ） A 2 1 , 0( B 1 , 2 1 C 3 2 , 3 1 ( D2 , 3 2 9已知平行四边形ABCD中，2ABAD，60DAB，对角线AC与BD相交于点O，点M是 线段BC上一点，则OM CM的最小值为（ ） A 16 9 B 16 9 C 2 1 D 2 1 10已知正方形ABCD，其内切圆I与各边分别切于点E，F，G，H，连接EF、FG、GH，HE现 向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子， 记事件A： 豆子落在圆I内， 事件B： 豆子落在四边形EFGH外， 则P B A （ ） A 2 B 2 1 C 2 1 D 2 1 4 11已知定义在R上的奇函数)(xf，对任意实数
6、x，恒有)()3(xfxf，且当 2 3 , 0(x时， 86)( 2 xxxf，则)2020()2() 1 ()0(ffff（） A6 B3 C0 D3 12如图，在四棱锥ABCDP中，2PDPCPBPA，底面ABCD是边长为2的正方形点E 是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别于侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥AMENP 体积的最小值为（ ） A 3 22 B 3 32 C 9 22 D 9 32 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知函数 2 lnf xxx则函数 f x在1x 处的切线方程为_ 14已知数
7、列 n a为公差不为零的等差数列，其前n项和为 n S，且 1 a， 2 a， 4 a成等比数列， 5 15S ，则 4 a _ 15现有灰色与白色的卡片各八张分别写有数字 1 到 8甲、乙丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按 从小到大的顺序自左向右排列 （当灰色卡片和白色卡片数字相同时， 白色卡片摆在灰色卡片的右侧） 如图， 甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字 4 的灰色卡片是_（填写字母） 16设 1 F， 2 F是椭圆 2 2 :1 4 x Cy的两个焦点，过 1 F， 2 F分别作直线 1 l， 2 l若 1 l与椭圆C交于A，B 两点，2l与椭圆C交于C，D两点 （点A，D在x轴上方
8、） ， 则四边形ABCD面积的最大值为_ 三三、解答题：共解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证分。解答应写出文字说明、证明明过程或演算步骤。第过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第生都必须作答。第 22、23 题为选考题考生根据要求作答。题为选考题考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BCC为正三角形，ACBC， 1 2ACAA， 1 2 2AC ， 点P在线段 1 BB上，且 11 APAA （1）证明： 11 AAC P； （2）求 1 BC和平面 1 ACP所
9、成角的正弦值 18如图，在梯形ABCD中， ABCD，33CDAB （1）若CACD，且tan5ABC，求ABC的面积S； （2）若 2 cos 4 DAC， 3 cos 4 ACD，求BD的长 19已知O为坐标原点，点0,1F，M为坐标平面内的动点，且2 FM，2OM OF成等差数列 （1）求动点M的轨迹方程； （2）设点M的轨迹为曲线T，过点0,2N作直线l交曲线T于C，D两点，试问在y轴上是否存在定 点Q，使得QC QD为定值?若存在，求出定点Q的坐标，若不存在，说明理由 20已知函数( )(1)sincos x f xaxexxx （1）若1a ， 2 x ，求函数 f x的最小值；
10、（2）函数 ( )sincos ( ) f xxx g x x ， 7 ,00, 44 x ，若函数( )g x的导函数( )g x存在零点， 求实数a的取值范围 21某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有 * n nN份血液 样本， 每个样本取到的可能性均等， 有以下两种检验方式： （1） 逐份检验， 则需要检验n次； （2） 混合检验， 将其中 *,2 k kknN份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴 性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性， 就需要对这k份再逐份检验，此
11、时这k份血液的检验次数总共为1k次假设在接受检验的血液样本中， 每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为01pp （1）假设有 6 份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能 把阳性样本全部检验出采的概率 （2）现取其中的 *,2 k kknN份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为 1 ； 采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为 2 （）若 12 EE，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系 pf k； （） 若 4 1 1p e ， 采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望
12、少， 求k的 最大值 （ln4 1.386，ln5 1.609，ln6 1.792，ln71.946，ln82.079，ln92.197） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选题中任选一一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系内，曲线C的参数方程为 2cos2sin cossin x y （为参数） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()8 2 4 （1）把曲线C和直线l化为直角坐标方程； （2） 过
13、原点O引一条射线分别交曲线C和直线l于A，B两点， 射线上另有一点M满足 2 OAOMOB， 求点M的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程） 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数( )2231f xxx （1）求函数 f x的最大值M； （2）已知0a，0b，4abM，求 2 221 ab ab 的最大值 2020 年河南省普通高中毕业班高考适应性测试年河南省普通高中毕业班高考适应性测试 理科数学试题参考答案及评分标准理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B
14、 C C A C C A A B B D 二二、填空题填空题（每小题（每小题 5 分共分共 20 分）分） 1310xy 144 15K 164 三、解答题三、解答题 17解： （1）证明：由 1 2 2AC ， 1 2ACAA，所以 222 11 ACA AAC，所以 1 A AAC， 因为 11 ACAC，所以 111 AAAC， 又 11 APAA， 1111 APACA 所以 1 AA 平面 11 AC P，所以 11 AAC P （2）由（1）知 1 AAAC，又 11 AACC，所以 1 ACCC， 又ACBC， 1 BCCCC，所以AC 平面 11 BCC B， AC 平面ABC
15、，所以平面 11 BCC B 平面ABC 取BC中点O，由 1 BCC为正三角形知 1 COBC， 1 CO平面 11 B BCC， 又平面 11 BCC B平面ABCBC，所以 1 CO 平面ABC， 以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则2, 1,0A,0, 1,0C，0,1,0B， 1 0,0, 3C， 1 2,0, 3A， 33 0, 22 P ， 1 33 2, 22 AP ， 53 0, 22 CP ， 1 0, 1, 3BC ， 设平面 1 ACP的一个法向量, ,nx y z，则 1 0n AP且0n CP， 所以 4330 530 xyz yz ，取5z ，则2
16、3x ，3y ， 2 3,3,5n 所以 1 1 1 6 33 30 cos, 20240 BC n BC n BC n ， 所以直线 1 BC和平面 1 ACP所成角的正弦值为 3 30 20 18解： （1）由tan5ABC知， 6 cos 6 ABC， 30 sin 6 ABC， 在ABC中，1AB ，3ACCD 由余弦定理，知 222 2cosACABBCAB BCABC， 所以 2 6 91 3 BCBC ，即 2 36240BCBC， 解得6BC 或 4 6 3 BC （舍） ， 所以ABC的面积 11305 sin16 2262 SAB BCABC （2）在ADC中，因为 2 c
17、os 4 DAC， 3 cos 4 ACD， 所以 2 14 sin1 cos 4 DACDAC， 7 sin 4 ACD， 由正弦定理 sinsin CDAD DACACD ， 所以 7 3 3 2 4 214 4 AD ， 又coscoscoscossinsinBADDACACDDACACDDACACD 3 27 22 16164 ， 在ABD中，由余弦定理，知 222 93 22 2cos127 224 BDABADAB ADBAD ， 所以7BD 19解： （1）设,M x y，由条件知1FMOM OF ， 所以 2 2 111xyy y ， 两边平方得， 222 2121xyyyy
18、， 所以 2 4xy满足（1y ） ， 所以点M的轨迹方程为 2 4xy （2）由题意知直线l的斜率存在设l的方程为2ykx，与 2 4xy联立得， 2 480xkx， 所以 2 16320k ， 12 4xxk， 12 8x x ， 又设 11 ,C x y， 22 ,D xy， 0 0,Qy，则 110220121020 ,QC QDx yyxyyx xyyyy 1 21020 22x xkxykxy 22 222 1 2012000 12281422kx xkyxxykkyy 2 2 00 284yy k 为定值，从而得 0 0y ， 所以存在定点0,0Q，使得QC QD为定值4 20解
19、： （1）当1a 时， 1sincos x f xxexxx， 1sin1 cossin1cos xx fxxexxxxxex， 当, 2 2 x 时，0 x e ，cos0x，所以cos0 x ex， 当 2 x 时，1 x e ，cos1x ，所以cos0 x ex， 所以当 2 x 时，cos0 x ex 故由 0fx，得1x；由 0fx，得1 2 x ， 所以 f x的减区间为, 1 2 ，单调递增区间为1, ， 所以 f x的最小值为 1 1cos1f e （2）由题意得， sin x g xaex， 7 ,00, 44 x ， 函数 g x有零点，即 cos0 x g xaex在
20、7 ,00, 44 上有解， 所以 cos x x a e ， 设 cos x x m x e ，则 sincos x xx m x e ， 若 0m x，则sincos0xx，即2sin0 4 x ，解得 3 44 x ，且0x； 若 0m x，则sincos0xx，即2sin0 4 x ，解得 37 44 x ， 所以 m x在,0 4 ， 3 0, 4 上是增函数，在 37 , 44 上是减函数 而 4 2 42 me ， 01m ， 3 4 32 43 me ， 7 4 72 42 me ，又 7 4 2 1 2 e ， 所以 4 2 1 2 ea ，或 3 4 2 1 2 ae 所以
21、实数a的取值范围是 3 44 22 , 11, 22 ee 21解： （1） （1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则 24 24 6 6 1 15 A A P A A 即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为 1 15 （2） （）由题意知 1 Ek， 2 取值的可能有 1，1k， 2 11 k pp， 2 111 k pkp ， 所以 2 11 1111 kkk Epkpkkp 由 12 EE，得11 k kkkp ，即 1 1 k p k ，所以 1 1 1 k p k ， 所以p关于k的函数关系 1 * 1 1,2 k pkkn k N （）
22、由题意知， 12 EE，所以11 k kkkp ，即11 k kp 所以 1 1 k p k ，又 1 4 1pe ，所以 1 4 1 k e k ， 两边同时取对数，得ln 4 k k ，即ln0 4 k k ， 设 ln 4 x fxx，则 11 4 fx x ，易知函数 f x在4,上单调递减， 8ln8 22.07920.0790f， 9 9ln92.1972.250 4 f， 所以k的最大值为 8 22解： （1）由曲线C的参数方程得： 2 22 2 cossincossin2 4 x y， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 1 82 xy 又由cos8 2 4 ，cossin16，
23、 将极坐标与直角坐标的转化公式cosx，siny代入上式，得 直线l的直角坐标方程为160xy （2）在极坐标系内，设,0M， 1, A ， 2, B ，则 2222 11 cossin 1 82 ， 22 cossin16， 由 2 OAOMOB得， 2 12 ，即 2 12 11 ， 所以 22 cossincossin 8216 ， 从而得 2222 cossincossin 8216 ，且0， 转化为直角坐标方程为 22 8216 xyxy ， 所以点M的轨迹方程为 22 280xyxy（除去原点0,0） 23解： （1） 7,2, 51, 21, 7,1. xx f xxx xx 所以 max 16Mf xf （2） 22121 22 221221221 ab ababab ， 令2xa，21yb，由条件知210xy，2x，1y ， 所以 212121414 442 4 1010105 xyyx xyxyxy ， 等号成立条件为25xy，即3a ， 3 4 b 所以 2 221 ab ab 的最大值为 46 2 55
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