1、甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图， （ ） 甲的平均成绩低，方差较大 甲的平均成绩低，方差较小 乙的平均成绩高，方差较大 乙的平均成绩高，方差较小 A B C D 4 （5 分）已知双曲线中心为原点，焦点在 x 轴上，过点（，2） ，且渐近线方程为 y 2x，则该双曲线的方程为（ ） Ax21 Bx24y22 Cx21 Dx22y21 5 （5 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z3x2y 的最小值为（ ） A B C2 D2 6 （5 分）若非零向量 ， 满足| | |，且（ + ）（3 2 ） ，则 与 的夹角为 （ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 7
2、 （5 分）如图所示的程序框图，若输入 m10，则输出的 S 值为（ ） A10 B21 C33 D47 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 9 （5 分） 已知函数 f （x） 是奇函数，且 x0 时，f （x）2x+x+a，g （x）， 若函数 yg（x）+2xb 有 2 个零点，则 b 的取值范围是（ ） A （1，2 B2，4） C （，4 D4，+） 10 （5 分）设 O 为坐标原点，M 为圆（x3） 2+（y1）22 的圆心，且圆上有一点 C（x0， y0）满足0，则（ ） A1 或7 B1 或 7 C或1 D1 或 11 （5 分）
3、已知函数 f（x）sin（x+）+（0） ，xR，且 f（），f（） 第 3 页（共 23 页） 若|的最小值为，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A2k，2k+（kZ） Bk，k+（kZ） C2k+，2k+（kZ） Dk，kx+（kZ） 12 （5 分）已知xR 有 f（x）+2f（x）（ex+2e x） （x23） ，若函数 f（x）在（m， m+1）上是增函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A1，2 B2，+） C0，+） D （，12，+） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） （2x+）6的展开式
4、中，x3的系数为 192，则 a 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若则 sin（A） 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且二面角 PABC 的大小 为 120，若三棱锥 PABC 的体积为，PAPBACBC，则球 O 的表面积 为 16 （5 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y22x 的焦点，直线 l：ym（2x1）与 抛物线 C 交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|2|BF|，则 m 的值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说
5、明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 2a2a420，S32a18 （）求数列an的通项公式； （）当 n 为何值时，数列an的前 n 项和最大？ 18 （12 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是边长为 2 的菱形，且 BCBD，DD1 平面 ABCD，AA11，BECD 于点 E，点 F 是 A1B1中点 （）求证：AF平面 BEC1； （）求平面 ADF 和平面 B
6、EC1所成锐二面角的余弦值 第 4 页（共 23 页） 19 （12 分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取 50 条作为样本进 行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图： （）若经销商购进这批海鱼 100 千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用 该区间的中点值作代表） ； （）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 重量（g） 165，185 155，165） 145，155） 若经销商以这 50 条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率现从这 批海鱼中随机抽取 3 条，记抽到二等品的条数为 X，求 x
7、 的分布列和数学期望 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，焦距为 2c，直线 bx y+a0 过椭圆的左焦点 第 5 页（共 23 页） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 bxy+2c0 与 y 轴交于点 P，A，B 是椭圆 C 上的两个动点，APB 的平 分线在 y 轴上，|PA|PB|试判断直线 AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若 不过定点，请说明理由 21 （12 分）设 f（x）xlnx+ax2，a 为常数 （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线过点 A（0，2） ，求实数 a 的值； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2且 xlx2
8、求证：a0 求证：f （x2）f （x1） 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x+3|2 （）解不等式|f（x）|4
9、； （）若xR，f（x）|x1|t2+4t1 恒成立，求实数 t 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三（上）期末数学试学年内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三（上）期末数学试 卷（理科）卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x（x2）0，Bx|2x1，则 AB（ ） A （0，1） B （，0 C （，0）
10、 D （1，+） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|x0 或 x2，Bx|x0， AB（，0） 故选：C 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性， 交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）复数 1i， 为 z 的共轭复数，则+i （ ） A2 B2 C2i D2i 【分析】把已知代入+i ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： 1i，z1+i， 则+i 1i+1+i2 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分）甲、乙两名学生在之前五次物理测
11、试中成绩的茎叶图，如图， （ ） 甲的平均成绩低，方差较大 甲的平均成绩低，方差较小 乙的平均成绩高，方差较大 乙的平均成绩高，方差较小 第 7 页（共 23 页） A B C D 【分析】根据茎叶图所给的两组数据，算出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比 较，得到乙的平均数大于甲的平均数，再结合极差的大小即可求出结论 【解答】解：由茎叶图知， 甲的平均数是78； 乙的平均数是81， 且甲的极差为：966333； 乙的极差为 976928； 所以乙更稳定，故乙的方差较小，甲的方差较大； 故正确的说法为； 故选：A 【点评】本题考查两组数据的平均数和稳定程度，平均数要进行计算，稳定程度可通过
12、计算方差或通过数据排布形状作出比较 4 （5 分）已知双曲线中心为原点，焦点在 x 轴上，过点（，2） ，且渐近线方程为 y 2x，则该双曲线的方程为（ ） Ax21 Bx24y22 Cx21 Dx22y21 【分析】首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为 4x2y2，0，把点的 坐标代入即可求出结果 【解答】解：渐近线方程为 2xy0， 设双曲线方程为 4x2y2，0， 将 P（，2）的坐标代入方程得 4（）222， 求得 4， 则该双曲线的方程为 x21， 第 8 页（共 23 页） 故选：C 【点评】本题考查了求双曲线的标准方程，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题 型 5 （5
13、 分）已知 x，y 满足不等式组，则 z3x2y 的最小值为（ ） A B C2 D2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， A（0，1） ， 化目标函数 z3x2y 为， 由图可知，当直线过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为2 故选：D 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 6 （5 分）若非零向量 ， 满足| | |，且（ + ）（3 2 ） ，则 与 的夹角为 （ ） A B C D 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可
14、 第 9 页（共 23 页） 【解答】解：非零向量 ， 满足| | |，且（ + ）（3 2 ） ， 则（ + ） （3 2 ）3+ 20， 解得 2323， 所以 cos； 又 0， 所以 ，即 与 的夹角为 故选：A 【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题 7 （5 分）如图所示的程序框图，若输入 m10，则输出的 S 值为（ ） A10 B21 C33 D47 【分析】按照程序图一步一步计算，直到跳出循环 【解答】解：m10，k10，s0； 不满足条件 km+2，s10，k11； 不满足条件 km+2，s21，k12； 不满足条件 km+2，s33，k13， 满足条
15、件 km+2，退出循环，输出 s 的值为 33 故选：C 【点评】本题考查程序图，要注意一步一步写清楚，属于基础题 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 23 页） A B C D 【分析】由三视图可知，几何体是三棱柱与四棱锥的组合体，利用三视图的数据，即可 求出该几何体的体积 【解答】解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图： 棱锥的高为 2，底面正方形的边长为 2，三棱柱的底面等腰三角形的底边长为 2，高为 2 所以几何体的体积为： 故选：B 【点评】本题考查几何体的体积，确定几何体直观图的形状是关键 9 （5 分） 已知函
16、数 f （x） 是奇函数，且 x0 时，f （x）2x+x+a，g （x）， 若函数 yg（x）+2xb 有 2 个零点，则 b 的取值范围是（ ） A （1，2 B2，4） C （，4 D4，+） 【分析】根据定义在 R 上的奇函数的性质，f（0）0，可求出 a 的值； 函数 yg（x）+2xb 有 2 个零点等价于函数 yg（x）+2x 的图象与直线 yb 有两个交 点， 数形结合，由图即可求出 b 的取值范围 【解答】解：因为函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）0，即 20+0+a0， 解得 a1 第 11 页（共 23 页） 函数 yg（x）+2xb 有 2 个零点等
17、价于函数 yg（x）+2x 的图象与直线 yb 有两个交 点， yg（x）+2x，作出其图象， 由图可知，2b4 故选：B 【点评】本题主要考查奇函数的性质应用，以及函数的零点的个数与两函数图象的交点 个数的关系应用，属于中档题 10 （5 分）设 O 为坐标原点，M 为圆（x3） 2+（y1）22 的圆心，且圆上有一点 C（x0， y0）满足0，则（ ） A1 或7 B1 或 7 C或1 D1 或 【分析】利用0 可知 OCCM，即 OC 是圆 M 的切线，故，由此 即可求解 【解答】解：， OCCM； OC 是圆 M 的切线， 设直线 OC：ykx， 第 12 页（共 23 页） 则， 解
18、得 故选：D 【点评】本题考查了平面向量数量积的运用，考查了学生的转化能力，计算能力；属于 基础题 11 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+）+（0） ，xR，且 f（），f（） 若|的最小值为，则函数 f（x）的单调递增区间为（ ） A2k，2k+（kZ） Bk，k+（kZ） C2k+，2k+（kZ） Dk，kx+（kZ） 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间 【解答】解：函数 f（），f（）若|的最小值为， 所以 T，解得 2 所以 f（x）sin（2x+）+， 令（kZ） ， 整理得（kZ） ， 所以函数的单调递增区间为：（kZ） 故选：B 【点评】本题考查的知
19、识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 12 （5 分）已知xR 有 f（x）+2f（x）（ex+2e x） （x23） ，若函数 f（x）在（m， m+1）上是增函数，则实数 m 的取值范围为（ ） A1，2 B2，+） C0，+） D （，12，+） 【分析】利用 f（x）+2f（x）（ex+2e x） （x23） ，可以得出 f（x）+2f（x）（e x+2ex） （x23） ；联立可以解出 f（x）的解析式，再利用导数求出其单调性即可求解； 第 13 页（共 23 页） 【解答】解：f（x）+2f（x）（ex
20、+2e x） （x23） ， f（x）+2f（x）（e x+2ex） （x23） ； ， ； 令 f（x）0，则1x3； f（x）的单调递增区间为1，3， ； 1m2 故选：A 【点评】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查学生的分析能力，计算能力，推理 能力，转化能力；属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） （2x+）6的展开式中，x3的系数为 192，则 a 1 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出 x3的系数，再根据 x3的系数为 192， 求得 a 的值 【解答】解： （2x+）6的展开式
21、中，通项公式为 Tr+126 rarx63r， 令 63r3，求得 r1，故 x3的系数为 625a192，则 a1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若则 sin（A） 【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求 A，然后代入即可求解 【解答】解：， 由正弦定理可得， 整理可得，b2+c2a2bc， 第 14 页（共 23 页） 由余弦定理可得，cosA， 0A， A， 则 sin（A）sin 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在
22、求解三角形中的应用，属于基础试题 15 （5 分）已知三棱锥 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且二面角 PABC 的大小 为 120，若三棱锥 PABC 的体积为，PAPBACBC，则球 O 的表面积为 16 【分析】根据题给信息，利用等腰三角形常作辅助线能够证出对棱垂直，再利用对棱垂 直时的体积公式进行求解 【解答】解：设球半径为 r，则 OAOBOCOPr，所以 O 是 AB 的中点， 因为 PAPB，ACBC，所以 OPAD，OCAB，所以 AB平面 OPC， 所以体积，所以 r2， 所以球的表面积 S4r216 故答案为：16 【点评】本题考查球的表面积，考查对棱互相垂直时
23、的棱锥体积公式，属于中档题 16 （5 分）已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y22x 的焦点，直线 l：ym（2x1）与 抛物线 C 交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，若|AF|2|BF|，则 m 的值为 【分析】求得抛物线的焦点坐标，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x10，y10） ，联立直 线 l 的方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得 m 的值 第 15 页（共 23 页） 【解答】解：y22x 的焦点 F（，0） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x10，y10） ， 直线 l：ym（2x1） （m0）与抛物线
24、y22x 联立，可得 4m2x2（2+4m2）x+m20， 即有 x1x2，x1+x21+， 由题意可得2，即为x12（x2） ，即 x1+2x2， 由可得 x11，x2（x1x2舍去） ， 代入可得 1+1+，解得 m（负的舍去） ， 故答案为： 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定 理，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22
25、、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 2a2a420，S32a18 （）求数列an的通项公式； （）当 n 为何值时，数列an的前 n 项和最大？ 【分析】 （I）设等差数列an的公差为 d，由 2a2a420，S32a18利用通项公式可 得 2（a1+d）（a1+3d）20，3a1+3d2a18，解出即可得出 （）令 an0，解得 n 【解答】解： （I）设等差数列an的公差为 d，2a2a420，S32a18 2（a1+d）（a1+3d）20，3a1+3d2a18， 联立解得：a117，d3 an1
26、73（n1）203n （）令 an203n0，解得 n 当 n6 时，数列an的前 n 项和最大 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 18 （12 分）已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是边长为 2 的菱形，且 BCBD，DD1 平面 ABCD，AA11，BECD 于点 E，点 F 是 A1B1中点 第 16 页（共 23 页） （）求证：AF平面 BEC1； （）求平面 ADF 和平面 BEC1所成锐二面角的余弦值 【分析】 （）根据边长与相应的倍数关系，构造平行四边形，即可证明线面平行； （）根据题给条件建立空间直角坐标系，得
27、出相应点的坐标，即可求解 【解答】 （）证明：因为 BCBD，BECD，E 是 CD 的中点， 取 AB 中点 G，连 B1G，GE，则在菱形 ABCD 中，EGBC，EGBC， 因为 BCB1C1，BCB1C1，所以 EGB1C1，EGB1C1， 四边形 B1C1EG 为平行四边形，所以 C1EB1G， 又 B1FGA，B1FGA，四边形 B1GAF 为平行四边形， AFB1G，所以 AFC1E， 又 AF平面 BEC1，C1E平面 BEC1，AF平面 BEC1 （）解：以 D 为原点，以 DC，DG，DD1，分别为 x，y，z 建立如图所示的空间直角 坐标系， 因为已知该四棱柱为直四棱柱，
28、BCBD，BCCD， 所以三角形 BCD 为等边三角形， 因为 BECD，所以点 E 是 CD 的中点， 故点， ， 设平面 ADF 的法向量， 第 17 页（共 23 页） 由，得， 取 y1，得，故， 因为， 所以，所以是平面 BEC1的法向量， 设平面 ADF 和平面 BEC1所成锐角为 ， 则， 即平面 ADF 和平面 BEC1所成锐角的余弦值为 【点评】 （）本题考查线面平行的判定，考查平行四边形法则，属于基础题 （）本题考查二面角的求解，考查空间向量的计算，属于中档题 19 （12 分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取 50 条作为样本进 行统计，按海鱼重量（克
29、）得到如图的频率分布直方图： （）若经销商购进这批海鱼 100 千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用 该区间的中点值作代表） ； （）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 重量（g） 165，185 155，165） 145，155） 若经销商以这 50 条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率现从这 批海鱼中随机抽取 3 条，记抽到二等品的条数为 X，求 x 的分布列和数学期望 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少 条 （）从这批海鱼中随机抽取 3 条，
30、155，165）的频率为 0.04100.4，则 XB（3， 0.4） ，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】解： （）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为： 1500.01610+1600.04010+1700.03210+1800.01210164（g） ， 经销商购进这批海鱼 100 千克， 估计这批海鱼有： （1001000）164610（条） （）从这批海鱼中随机抽取 3 条，155，165）的频率为 0.04100.4， 则 XB（3，0.4） ， P（X0）0.216， P（X1）0.432， P（X2）0.288， P（X3）0.064， X 的分布列为： X 0 1
31、2 3 第 19 页（共 23 页） P 0.216 0.432 0.288 0.064 E（X）30.41.2 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查 推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，焦距为 2c，直线 bx y+a0 过椭圆的左焦点 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若直线 bxy+2c0 与 y 轴交于点 P，A，B 是椭圆 C 上的两个动点，APB 的平 分线在 y 轴上，|PA|PB|试判断直线 AB 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若 不过定点，请说明理由
32、【分析】 （）因为直线 bxy+a0 过椭圆的左焦点，故令 y0，得 x c，又因为离心率为，从而求出 b2，又因为 a2b2+c2，求出 a 的值，从而求出椭圆 C 的标准方程； （）先求出点 P 的坐标，设直线 AB 的方程为 ykx+m，联立方程组，利用根与系数的 关系，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，得到 k1+k2，又因为APB 的平分线在 y 轴上，所以 k1+k20，从而求出 m 的值，得到直线 AB 的方程为 ykx+1 过定点坐标 【解答】解： （）因为直线 bxy+a0 过椭圆的左焦点， 故令 y0，得 xc， ，解得 b2， 又a2b2+c2b2+，解得 a2
33、， 椭圆 C 的标准方程为：； （）由（）得 ca2， 直线 bxy+2c0 的方程为 2xy+40， 令 x0 得，y4，即 P（0，4） ， 第 20 页（共 23 页） 设直线 AB 的方程为 ykx+m， 联立方程组，消去 y 得， （2k2+1）x2+4kmx+2m280， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1+x2，x1x2， 则直线 PA 的斜率 k1k+， 则直线 PB 的斜率 k2k+， 所有 k1+k22k+2k+， APB 的平分线在 y 轴上， k1+k20，即0， 又|PA|PB|，k0，m1， 直线 AB 的方程为 ykx+1，过定点（0，1） 【点评
34、】本题主要考查了求椭圆方程，以及直线过定点问题，是中档题 21 （12 分）设 f（x）xlnx+ax2，a 为常数 （1）若曲线 yf（x）在 x1 处的切线过点 A（0，2） ，求实数 a 的值； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2且 xlx2 求证：a0 求证：f （x2）f （x1） 【分析】 （1）求出函数 f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得 到 a1； （2） 由题意可得f （x） 0有两个不等的实根x1， x2， 且0x1x2， 设g （x） lnx+1+2ax， 求出导数，对 a 讨论，分 a0，a0，求出单调区间和极值，令极大值大于 0，即可得
35、 到 a 的范围； 由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有 f（x2）f（x1） ，求出 x1（0，1） ，设 h（x） 第 21 页（共 23 页） （xlnxx） ，0x1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围 【解答】解： （1）f（x）xlnx+ax2的导数为 f（x）lnx+1+2ax， 在 x1 处的切线斜率为 k1+2a，切点为（1，a） ， 在 x1 处的切线过点 A（0，2） ，则 k1+2aa+2， 解得 a1； （2）证明：由题意可得 f（x）0 有两个不等的实根 x1，x2，且 0x1x2， 设 g（x）lnx+1+2ax，g（x）+2a，x0 当
36、a0，则 g（x）0，g（x）在（0，+）递增，不合题意； 当 a0 时，g（x）0 解得 x，g（x）0 解得 x， 即有 g（x）在（0，）递增，在（，+）递减 即有 g（）ln（）0，解得a0； 由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有 f（x2）f（x1） ， f（1）g（1）1+2a0，则 x1（0，1） ，由可得 ax1， 即有 f（x1）x1lnx1+ax12（x1lnx1x1） ， 设 h（x）（xlnxx） ，0x1， h（x）lnx0 在（0，1）恒成立， 故 h（x）在（0，1）递减，故 h（x）h（1）， 由此可得 f（x1）， 综上可得，f （x2）f （x1）
37、【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查函数 的单调性的运用：求参数的范围和证明不等式，运用构造函数和分类讨论的思想方法及 不等式恒成立思想是解题的关键 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （，0）为一个顶点直 第 22 页（共 23 页） 线 l 的参数方程是， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，
38、y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【分析】 （） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （）利用直线和曲线的位置关系的应用及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结 果 【解答】解： （）椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （， 0）为一个顶点 所以 c1，a，b1， 所以椭圆的方程为，转换为极坐标方程为 （）直线 l 的参数方程是， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以，整理得 9x216x+60， 所以， 所以|x1x2| 【点评】本题考查的知识
39、要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一 元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|x+3|2 （）解不等式|f（x）|4； （）若xR，f（x）|x1|t2+4t1 恒成立，求实数 t 的取值范围 【分析】 （）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集； （）若xR，f（x）|x1|t2+4t1 恒成立，可得|x+3|x1|t2+4t+1 恒成立， 由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所求范 围 第 23 页（共 23 页） 【解答】解： （）函数 f（x）|x+3|2， 不等式|f（x）|4 即为4f（x）4， 即4|x+3|24，即有2|x+3|6， 所以|x+3|6，即6x+36，可得9x3， 则原不等式的解集为（9，3） ； （）若xR，f（x）|x1|t2+4t1 恒成立， 可得|x+3|x1|t2+4t+1 恒成立， 由|x+3|x1|（x+3）（x1）|4， 可得t2+4t+14，即 t24t+30， 解得 1t3 则实数 t 的取值范围是1，3 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用：求最值，考查不 等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题
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