1、已知向量 ， 的夹角为 120，且| |2，| 2 |2，则| |（ ） A B C2 D3 5 （5 分）已知 f（x）ax 2，g（x）log a|x|（a0 且 a1） ，若 f（5） g（5）0，则 yf（x） ，yg（x）在同一坐标 系内的大致图象是（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 6 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2anSn+，则 an（ ） A2n 1 B （）n+1 C2n 3 D （）n 7 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p（q） ”为真命题 B命题“若 x+y5，则 x2 或 y
2、3”为真命题 C对于命题 p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x02+x0+10 D “x23x+20”是“x1”的充分不必要条件个 8 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2，cosA，sinB 2sinC，则ABC 是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D形状不确定 9 （5 分）已知函数 f（x）x2+mx 的图象点（0，f（0） ）的切线与直线 xy+30 平行， 若数列的前 n 项和为 Sn，则 S2018的值为（ ） A B C D 10 （5 分）函数 f（x）2sin（x+） （0，|） ，若xR，使 f（x+2）f（x）
3、 4 成立，则 的最小值是（ ） A B C D 11（5 分） 已知方程 lnx+12ax 有且只有两个解 x1， x2（x1x2） ， 则以下判断正确的是 （ ） 第 3 页（共 23 页） Ax1x21 B1x1x2 Cx11x2 Dx11x2 12 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且B，acosB bcosAc，则 tan2Btan3A 的最大值为（ ） A512 B128 C256 D64 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把正确答案填在答题卡的相应位置。 ）把正确答案填在答题卡的
4、相应位置。 ） 13 （5 分）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是 14 （5 分）已知函数 f（x）sin3x+2，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义， 探求f（x）dx 的值为 15 （5 分）已知| | |，0，若向量 满足|1，则| |的取值范围 为 16 （5 分）设函数 f（x）|axb|，a，bR若对任意实数 a，b，总存在实数 x00， 4使得不等式 f（x0）m 成立，则实数 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.） 1
5、7 （12 分）已知数列an是等差数列，且 a81，S1624 （）求数列an的通项公式 an； （）若数列bn是递减的等比数列，且 b1+b4，b2b332，求证：数列an bn的最大项是第八项或第九项 18 （12 分）在四边形 ABCD 中，ADBC，AB，A120，BD3 （1）求 AD 的长； （2）若BCD105，求四边形 ABCD 的面积 19 （12 分）某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件， 为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量， 第 4 页（共 23 页） y 与月份 x 的关系，模
6、拟函数可以选用二次函数或函数 yabx+c（a、b、c 为常数）已 知四月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）2cosxsin（x）+ （）求曲线 f（x）相邻两个对称中心之间的距离，并判断函数 yf（x）的图象是否可 以由函数 g（x）cos2x 的图象经过一次平移得到，如果能写出具体的平移方向和数量； （）若函数 f（x）在0，m上单调递增，求 m 的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）（x+1）ex和函数 g（x）（exa） （x1）2（a0） （e 为 自然对数的底数） （1）求函数 f（x）的单调区
7、间； （2）判断函数 g（x）的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数 g（x）存在极值为 2a2，求 a 的值 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C1的极坐标方程为 sin4，曲线 C2的极坐标方程为 22cos4sin+10， 曲线 C3的极坐标方程为 （R） （）求 C1与 C2的直角坐标方程； （）若 C2与 C1的交于 P 点，C2
8、与 C3交于 A、B 两点，求PAB 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x4|+|x+5| （）试求使等式 f（x）|2x+1|成立的 x 的取值范围； （）若关于 x 的不等式 f（x）a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 23 页） 2018-2019 学年内蒙古呼和浩特市高三（上）期中数学试卷（理学年内蒙古呼和浩特市高三（上）期中数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每
9、小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.） 1 （5 分）已知集合 A3，1，2，B1，a，若 ABB，则实数 a 的取值集合是（ ） A3 B2 C3，2 D3，1，2 【分析】由 ABB 得 BA，得 a2 或 3 【解答】解：ABB，BA，a2 或 3 实数 a 的取值集合是2，3 故选：C 【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属 基础题 2 （5 分）已知复数 z，其中 bR，i 为虚数单位，且|z|5，则 b（ ） A25 B1 C3 D5 【分析】由商的模
10、等于模的商求解 b 的值 【解答】解：由 z，得|z|， 即，得 b25 故选：A 【点评】本题考查复数模的求法，是基础题 3 （5 分）如果函数 yf（x）的图象如图，那么导函数 yf（x）的图象可能是（ ） 第 6 页（共 23 页） A B C D 【分析】由 yf（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负 【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负， 故选：A 【点评】导数的正负决定函数的单调性 4 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 120，且| |2，| 2 |2，则| |（ ） A B C2 D3 【分析】两边平方后，用向量数量积公式可求得 【解答】解：
11、| 2 |228，4 +4， 442| |cos120+428，解得| |2， 故选：C 【点评】本题考查了向量的模，数量积，属基础题 5 （5 分）已知 f（x）ax 2，g（x）log a|x|（a0 且 a1） ，若 f（5） g（5）0，则 yf（x） ，yg（x）在同一坐标 系内的大致图象是（ ） A B 第 7 页（共 23 页） C D 【分析】通过计算 f（5） g（5）0，可得 0a1，则 yax，ylogax 均为减函数， 结合 yf（x）的图象是将 yax的图象向右平移 2 个单位， yg（x）的图象关于 y 轴对称，且在 x（0，+）上，函数单调递减可得解 【解答】解：
12、因为 f（5） g（5）0，得：a3loga50， 又 a0， 所以 a30， 所以 loga50， 即 0a1， yf（x）的图象是将 yax的图象向右平移 2 个单位，且过点（2，1） ，单调递减， yg（x）的图象关于 y 轴对称，在 x（0，+）上，函数单调递减，且过点（1，0） 故选：B 【点评】本题考查了函数图象的平移及偶函数图象的对称性，属简单题 6 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2anSn+，则 an（ ） A2n 1 B （）n+1 C2n 3 D （）n 【分析】根据数列的递推公式即可求出数列an是以为首项，以 2 为公比的等比数列， 【解答】解：2an
13、Sn+， 当 n1 时，解得 a1， 当 n2 时，ansnsn1（2an）（2an1）2an2an1， an2an1， 数列an是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， an2n 12n3， 当 n1 时，也成立， 故选：C 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查求等比数列的通项，利用关系式得出数列为等比数列是解决本题的关 键，注意解题方法的积累，属于中档题 7 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p（q） ”为真命题 B命题“若 x+y5，则 x2 或 y3”为真命题 C对于命题 p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x02+
14、x0+10 D “x23x+20”是“x1”的充分不必要条件个 【分析】由复合命题的真值表即可判断 A；由原命题的逆否命题的真假，可判断 B； 由全称命题的否定为特称命题，可判断 C；由二次方程的解法，结合充分必要条件的定 义可判断 D 【解答】解；若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则q 为真命题， 命题“p（q） ”为真命题，故 A 正确； 命题“若 x+y5，则 x2 或 y3”的逆否命题为“若 x2 且 y3，则 x+y5”为真命 题， 可得原命题为真命题，故 B 正确； 命题 p：xR，x2+x+10，则p：x0R，x02+x0+10，故 C 正确； “x1”可推得“x23x+
15、20” ，反之不成立， “x23x+20”是“x1”的必要不充分条件，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查复合命题的真假、四种命题的关系和命题的否定、充分必要条件的判 断，考查判断能力和推理能力，属于基础题 8 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2，cosA，sinB 2sinC，则ABC 是（ ） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D形状不确定 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，由于 sinB2sinC，利用正弦定 理可得：b2c再利用余弦定理可解得 c，b，利用余弦定理可求 cosB0，求得 B 为钝 角即可得解 【
16、解答】解：a2，cosA，sinB2sinC， 第 9 页（共 23 页） 可得：b2csinA， 由 a2b2+c22bccosA，可得：84c2+c23c2，解得 c2，b4 cosB0，可得 B 为钝角，ABC 是钝角三角形 故选：B 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形的面积公 式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9 （5 分）已知函数 f（x）x2+mx 的图象点（0，f（0） ）的切线与直线 xy+30 平行， 若数列的前 n 项和为 Sn，则 S2018的值为（ ） A B C D 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，进而得到 m1
17、，求得， 再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和 【解答】解：函数 f（x）x2+mx 的导数为 f（x）2x+m， 可得在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 m， 由切线与直线 xy+30 平行，可得 m1， 即有 f（n）n2+n， 前 n 项和为 Sn1+1， S20181 故选：D 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件以及数列的求和 方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题 10 （5 分）函数 f（x）2sin（x+） （0，|） ，若xR，使 f（x+2）f（x） 4 成立，则 的最小值是（ ） A B C D 【分析】化简等式可得 sin（
18、x+2+）sin（x+）2，由正弦函数的性质求得 （k1k2），k1，k2Z，结合范围 0 求得 的最小值 第 10 页（共 23 页） 【解答】解：函数 f（x）2sin（x+） （0，|） ， xR，使 f（x+2）f（x）4 成立， 即xR，使 2sin（x+2）+2sin（x+）4 成立， 即 sin（x+2+）sin（x+）2， xR，使 x+2+2k1+，x+2k2+，kZ， 解得：k1k2，k1，k2Z， 又0，| 的最小值是 故选：A 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题 11（5 分） 已知方程 lnx+12ax 有且只有两个解 x1， x2（x1x2）
19、 ， 则以下判断正确的是 （ ） Ax1x21 B1x1x2 Cx11x2 Dx11x2 【分析】已知方程 lnx+12ax 有且只有两个解等价于函数 f（x）lnx2ax+1 的图象与 x 轴有两个交点， 设 f（x）lnx2ax+1，由导数的运算得：a0 且 f（x）在区间（0，）为增函数， 在区间（，+）为减函数， 由图象知 f（x）maxf（）ln2a0，结合 f（1）12a0，得解 x11 x2， 【解答】解：设 f（x）lnx2ax+1， 则 f（x）2a， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）为增函数，显然不满足题意 当 a0 时， 由 0时，f（x）0，由 x时，f（
20、x）0， 得 f（x）在区间（0，）为增函数，在区间（，+）为减函数， 第 11 页（共 23 页） 即 f（x）maxf（）ln2a， 由方程 lnx+12ax 有且只有两个解 x1，x2（x1x2） ， 即 f（x）lnx2ax+1 的图象与 x 轴有两个交点， 即，即 x1x2且 02a1， 又 f（1）12a0， 由零点定理可得，x11 结合得：x11x2， 故选：D 【点评】本题考查了方程与函数的相互转化，利用导数研究函数的单调性及最值，属中 档题 12 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且B，acosB bcosAc，则 tan2Btan3A 的最
21、大值为（ ） A512 B128 C256 D64 【分析】首先利用正弦定理化边为角，可得 2RsinAcosB2RsinBcosA2RsinC，然后 利用诱导公式、同角的三角函数的基本关系式及两角和与差的正弦公式可得 tanA 4tanB，再根据两角差的正切公式、均值不等式求解即可 【解答】解：acosBbcosAc， 2RsinAcosB2RsinBcosA2RsinC， sinAcosBsinBcosAsinC， sinAcosBsinBcosAsin（A+B） ， sinAcosBsinBcosA（sinAcosB+sinBcosA） ， 2sinAcosB8sinBcosA， tan
22、A4tanB， B， tanB1， 第 12 页（共 23 页） tan2Btan3Atan3A 令 xtan2B，则 t1， y，则 y， 当 1t2 时，y0，y为增函数， 当 t2 时，y0，y为减函数， 故当 t2 时，y取最大值512， 故选：A 【点评】本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、两角差的正切公式、同角的三 角函数的基本关系式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力，考查了转化思想， 属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把正确答案填在答题卡的相应位置。 ）把正确答案填在答题卡的相应位置。
23、） 13 （5 分）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是 3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设 z2yx，则 yx+z， 平移 yx+z， 由图象知当直线 yx+z 经过点 A 时， 直线的截距最小，此时 z 最小， 由得，即 A（1，2） ， 此时 z2213， 故答案为：3 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决 本题的关键 14 （5 分）已知函数 f（x）sin3x+2，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，
24、 探求f（x）dx 的值为 2 【分析】sin3x 是奇函数，关于原点对称，且积分限关于原点对称，积分就是面积，得到 x0 和 x0 时积分的值一正一负，且面积相等，求出 2 的原函数，根据积分的定义即可 求出所求式子的结果 【解答】解：sin3x 是奇函数，关于原点对称， 且积分限关于原点对称，积分就是面积， x0 和 x0 时积分的值一正一负，且面积相等， 正负抵消，即sin5xdx0， 2dx2x|2（+）2， f（x）dx2， 故答案为：2 【点评】考查学生求函数导数的能力，以及掌握定积分的简单运算方法 15（5 分） 已知| | |，0， 若向量 满足|1， 则| |的取值范围为 1
25、， 3 第 14 页（共 23 页） 【分析】由题意可设 （） ， （0，） ， （x，y） ，然后由已知，结合向 量数量积的坐标表示可求 的坐标满足的方程，结合圆的性质可求 【解答】解：由| | |，0， 可设 （） ， （0，） ， （x，y） ， （x，y） ， 向量 满足|1， ， 而| |的几何意义是圆上一点到原点的距离， 的圆心 C（）到原点（0，0）的距离 2， 根据圆的性质可知，21| |2+1，即 1| |3， 故答案为：1，3 【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示及利用圆的性质求解圆外一点到圆上距 离的最值问题 16 （5 分）设函数 f（x）|axb|，a，bR若对
26、任意实数 a，b，总存在实数 x00， 4使得不等式 f（x0）m 成立，则实数 m 的取值范围是 （ 【分析】分情况讨论 a 不同取值时函数 u（x）axb 在0，4上的范围，从而确 定 f（x）的最大值，将对任意实数 a，b，总存在实数 x00，4使得不等式 f（x0）m 成立，转化为 mf（x）max恒成，即可解决 【解答】解：设 f（x）的最大值为 M（b） ， 令 u（x）axb，则 u（x）a 在 x0，4上，当 u（x）0 时，即 a时，u（x）单调递增， 此时bu（x）24ab， 当 b12a 时，M（b）24ab， 当 b12a 时，M（b）b， 从而当 a时，b12a 时，
27、M（b）取最小值，M（b）min12a， 第 15 页（共 23 页） 当 a时，u（x）在0，）上单调递增，在，4上单调递减， 在 a，时，bu（x）b，当 b时，M（b）min， 在 a （， +） 时， 24abu （x） b， 当 b12a+时， M （b）min2a+ 1， 对任意实数 a，b，总存在实数 x00，4使得不等式 f（x0）m 成立等价于 mf（x）max 恒成立， m， 故答案为： （， 【点评】本题考查了不等式恒成立，不等式有解问题，属难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字
28、说明证明过程或演算步骤.） 17 （12 分）已知数列an是等差数列，且 a81，S1624 （）求数列an的通项公式 an； （）若数列bn是递减的等比数列，且 b1+b4，b2b332，求证：数列an bn的最大项是第八项或第九项 【分析】 （）由已知可得：，求出数列的首项与公差，然后求解数列的 通项公式 （）已知条件可得 bn，令 cnanbn（n7），转化求解数列的正负，通 过求解即可 【解答】解： （）数列an是等差数列，且 a81，S1624，由已知可得： （2 分） a16，d1 （3 分） 数 列 an 的 通 项 公 式an 6+ （ n 1 ） 1 n 7 （4 分） 第
29、16 页（共 23 页） （）已知条件可得：（5 分） 又bn是递减的等比数列，故解得：b1，b4，q， bn （8 分） 证明：令 cnanbn（n7）， 则当 n7 时，cn0；当 n8 时，cn0（9 分） 所以当 n8 时，+（10 分） 当 n8 时，1；当 n9 时，01，cn+1cn（11 分） 数列anbn的最大项是第八项或第九项，且 a8b8a9b9 （12 分） （注：n8 时这个数列的单调性证明，学生利用其它方法写的，对照上面证明，酌情给 分） 【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力 18 （12 分）在四边形 ABCD 中，ADBC，
30、AB，A120，BD3 （1）求 AD 的长； （2）若BCD105，求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）由余弦定理得能求出 AD 的长 （2）由正弦定理得，从而 BC3，DC ，过 A 作 AEBD，交 BD 于 E，过 C 作 CFBD，交 BD 于 F，则 AE ， CF ， 四 边 形 ABCD 的 面 积 ： S SABD+SBDC 第 17 页（共 23 页） ，由此能求出结果 【解答】解： （1）在四边形 ABCD 中，ADBC，AB，A120，BD3 由余弦定理得：cos120， 解得 AD（舍去 AD2） ， AD 的长为 （2）ADBC，AB，A120，BD3，AD
31、， BCD105， DBC30，BDC45， ， 解得 BC3，DC， 如图，过 A 作 AEBD，交 BD 于 E，过 C 作 CFBD，交 BD 于 F， 则 AE，CF， 四边形 ABCD 的面积： SSABD+SBDC 【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查四边形的面积的求法，考查余弦定理、正 弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化 思想、函数与方程思想，是中档题 19 （12 分）某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件， 为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产
32、量， y 与月份 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 yabx+c（a、b、c 为常数）已 第 18 页（共 23 页） 知四月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由 【分析】先设二次函数为 ypx2+qx+r 由已知得出关于 a，b，c 的方程组，从而求得其解 析式，得出 x4 时的函数值；又对函数 yabx+c 由已知得出 a，b，c 的方程，得出其 函数式，最后求得 x4 时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式 较好 【解答】解：设二次函数为 ypx2+qx+r 由已知得 解之得 所以 y0.05x2+0.35x+0.7，
33、当 x4 时，y10.0542+0.354+0.71.3（4 分） 又对函数 yabx+c 由已知得解之得， 当 x4 时，（8 分） 根据四月份的实际产量为 1.37 万元，而|y21.37|0.020.07|y11.37| 所以函数作模拟函数较好（12 分） 【点评】考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求函数的解析 式及比较出优劣考查了待定系数法等数学方法 20 （12 分）已知函数 f（x）2cosxsin（x）+ （）求曲线 f（x）相邻两个对称中心之间的距离，并判断函数 yf（x）的图象是否可 以由函数 g（x）cos2x 的图象经过一次平移得到，如果能写出具体的
34、平移方向和数量； （）若函数 f（x）在0，m上单调递增，求 m 的最大值 【分析】（） 先利用和差角公式及二倍角公式对已知函数化简可得 f （x） sin （2x） ， 结合周期公式可求 T，结合函数的图象平移法则即可判断求解； （）由（）所求的 f（x） ，结合正弦函数的图象及性质可求 m 的范围 【解答】解： （）f（x）2cosxsin（x）+ 第 19 页（共 23 页） 2cosx（sinxcosx）+（1 分） sinxcosx （2 分） sin（2x）（3 分） 所以函数 f（x）的最小正周期 T 所以曲线 yf（x）yf（x）的相邻两个对称中心之间的距离为， （4 分） 因
35、为 g（x）cos2xsin（2x+） 所以 g（x）sin（2x+）sin（2x）f（x） （6 分） 所以 g（x）只需向右平移即可得到 f（x）的图象（7 分） （）由（）可知 f（x）sin（2x） 当 x0，m时 2x（8 分） 因为 ysinx 在上单调递增，且 f（x）在在0，m上单调递增 所以 2x（10 分） 即 解得 0 故 m 的最大值为（12 分） 【点评】本题综合考查了和差角，二倍角公式及函数的图象的平移，正弦函数的性质等 知识的综合应用，还考查了考生灵活利用基本公式的能力 21 （12 分）已知函数 f（x）（x+1）ex和函数 g（x）（exa） （x1）2（a0
36、） （e 为 自然对数的底数） （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）判断函数 g（x）的极值点的个数，并说明理由； 第 20 页（共 23 页） （3）若函数 g（x）存在极值为 2a2，求 a 的值 【分析】 （1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可求函数 f（x）的单调区 间； （2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数 g（x）的极值点的个数， 并说明理由； （3）根据函数的极值，建立方程关系进行求解即可求 a 的值 【解答】解： （1）函数 y（x+1）ex， f（x）ex+（x+1）ex（x+2）ex， 由 f（x）0 得（x+2）ex0， 即 x+20
37、，得 x2，即函数的单调增区间为（2，+） 由 f（x）0 得 x2，即函数的单调递减区间为（，2） （2）g（x）ex（x1）2+（exa） （2x2）（x1） （xex+ex2a）（x1） （f （x）2a） ， 当 x1 时，f（x）（x+1）ex0， 当 0ae 时，由（1）得 f（x）在（1，+）上单调递增，且 f（1）2a0，f （1）2a2e2a0， 则唯一 x0（1，1） ，使 f（x0）2a0， 当 x（，x0）时，f（x）2a0，故 g（x）0， 当 x（x0，1）时，f（x）2a0，故 g（x）0， 当 x（1，+）时，f（x）2a0，故 g（x）0， 故当 xx0时，函
38、数 g（x）取得极大值，当 x1 时，函数 g（x）取得极小值 当 ae 时，由（1）得 f（x）在（1，+）上单调递增，且 f（1）2a0， 当 x（，1）时，f（x）2a0，故 g（x）0， 当 x（1，+）时，f（x）2a0，故 g（x）0，此时函数 g（x）无极值 当 ae 时，由（1）得 f（x）在（1，+）上单调递增，且 f（1）2a2e2a0， f（lna）2aa（lna+1）2aa（lna1）0， 则唯一 x0（1，lna） ，使 f（x0）0， 当 x（，1）时，f（x）2a0，故 g（x）0， 当 x（1，x0）时，f（x）2a0，故 g（x）0， 当 x（x0，+）时，f
39、（x）2a0，故 g（x）0， 第 21 页（共 23 页） 故当 xx0时，函数 g（x）取得极小值，当 x1 时，函数 g（x）取得极大值 综上当 a（0，e）（e，+）时，g（x）有两个极值点， 当 ae 时，g（x）无极值点 （3）由（2）知当 0ae 时，g（1）0， 故 g（x0）（a） （x01）22a2， 由 f（x0）0 得 a，代入得（） （x01）2 22， 整理得（1x0）3（1+x0）20， 设 h（x）（1x）3（1+x）2ex，1x1， h（x）3（1x）2（x+3） （1+x）ex， 当1x1 时，h（x）0， h（x）在（1，1）上单调递减， h（0）0， x
40、00，a（0，e）符合题意， 当 ae 时，g（x0）g（1）02a2， 不存在符合题意的 a， 综上当 a时，g（x）存在极值等于 2a2 【点评】本题主要考查导数的综合应用，利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决 本题的关键 ，对于参数要进行分类讨论，综合性较强，难度较大 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C1的极坐标方程为 sin4，曲
41、线 C2的极坐标方程为 22cos4sin+10， 曲线 C3的极坐标方程为 （R） （）求 C1与 C2的直角坐标方程； 第 22 页（共 23 页） （）若 C2与 C1的交于 P 点，C2与 C3交于 A、B 两点，求PAB 的面积 【分析】 （）由曲线 C1的极坐标方程能求出曲线 C1的普通方程，由曲线 C2的极坐标 方程能求出曲线 C2的普通方程 （）由曲线 C3的极坐标方程求出曲线 C3的普通方程，联立 C1与 C2得 x22x+10， 解得点 P 坐标 （1， 4） ， 从而点 P 到 C3 的距离 d 设 A （1， 1） ， B（2， 2） 将 代入 C2，得，求出|AB|1
42、2|，由此能求出PAB 的面积 【解答】选修 44，坐标系与参数方程（10 分） 解： （）曲线 C1的极坐标方程为 sin4， 根据题意，曲线 C1的普通方程为 y4，（2 分） 曲线 C2的极坐标方程为 22cos4sin+10， 曲线 C2的普通方程为 x2+y22x4y+10，即（x1）2+（y2）24（4 分） （）曲线 C3的极坐标方程为 （R） 曲线 C3的普通方程为 yx， 联立 C1与 C2：， 得 x22x+10，解得 x1，点 P 坐标（1，4） 点 P 到 C3 的距离 d（6 分） 设 A（1，1） ，B（2，2） 将代入 C2，得， 则 1+23，121， |AB|12|，（8 分） SPAB|AB|d（10 分） 【点评】本小题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标 方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转 化思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲
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