2019-2020学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（8月份）含详细解答

1、运行如图所示的程序框图，则输出的 a 的值为（ ） A13 B14 C15 D16 6 （5 分）已知向量 ， 满足，且，则向量 与 的夹角的余 弦值为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D 7 （5 分）函数 f（x）xln|x|的图象可能是（ ） A B C D 8 （5 分）将函数 ysin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴 的方程是（ ） Ax Bx Cx Dx 9 （5 分）设 E，F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DC 上两点，且 AB2，EF1， 给出下列四个命题： 三棱锥 D1B1EF 的体积为定值； 异面直线 D1B1与 EF 所成

2、的角为 45； D1B1平面 B1EF； 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角为 60 其中正确的命题为（ ） A B C D 10 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作垂直于实轴的弦 PQ，若，则 C 的离心率 e 为（ ） A B C D 第 3 页（共 23 页） 11 （5 分）已知函数 f（x）2|x|+x2，设，nf（7 0.1） ，pf（log 425） ，则 m，n，p 的大小关系为（ ） Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 12 （5 分）已知函数 f（x）exax1 在区间（1，1）内存在极值点，且 f（x）0 恰 好有唯一

3、整数解，则 a 的取值范围是（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828） （ ） A，e） B，1）（e1， C （e1，e） D，）（e1，e） 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） （）8的展开式中，x 的系数为 14 （5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 15 （5 分）等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3，S6，则 a8 16 （5 分）已知球的直径 DC4，A、B 是该球面上的两点，则三棱 锥 ABCD 的体积最大值是 三三.解答题：共解答题：共

4、70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC 0 （1）求角 B 的大小； （2）若 a3，点 D 在 AC 边上，且 BDAC，BD，求 c 边的长 18 （12 分）某家电公司销售部门共有 200 名销售员，每年部门对每名销售员都

5、有 1400 万 第 4 页（共 23 页） 元的年度销售任务已知这 200 名销售员去年完成的销售额都在区间2，22（单位：百 万元）内，现将其分成 5 组：第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组、第 5 组对应的区间分 别为2，6） ，6，10） ，10，14） ，14，18） ，18，22） ，并绘制出如下的频率分布直方图 （1）若用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本，求 a 的值和样本 中完成年度任务的销售员人数； （2）从（1）中样本内完成年度任务的销售员中随机选取 2 名，奖励海南三亚三日游， 设获得此奖励的 2 名销售员在第 4 组的人数为 X

6、，求 X 分布列和期望 19 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，tanACB已知 E，F 分别是 BC，AC 的 中点 将CEF 沿 EF 折起， 使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是 60 连 接 CB，CA，如图： （）求证：平面 CFA平面 ABC； （）求平面 AFC与平面 BEC所成二面角的大小 20 （12 分）已知点 M（，）在椭圆 C：+1（ab0）上，且点 M 到 C 的左、右焦点的距离之和为 2 （1）求 C 的方程； （2）设 O 为坐标原点，若 C 的弦 AB 的中点在线段 OM（不含端点 O，M）上，求 的取值范围 第 5 页（共 23 页） 2

7、1 （12 分）已知函数 f（x）x22x+2alnx，若函数 f（x）在定义域上有两个极值点 x1， x2，且 x1x2 （1）求实数 a 的取值范围； （2）证明： （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知 直线 l 的参数方程是（m0，t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （）求直线 l 的普通方程

8、和曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与 x 轴交于点 P，与曲线 C 交于点 A，B，且|PA|PB|1，求实数 m 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|2x+3| （1）解不等式 f（x）6； （2）记 f（x）的最小值是 m，正实数 a，b 满足 2ab+a+2bm，求 a+2b 的最小值 第 6 页（共 23 页） 2019-2020 学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷学年广西桂林十八中高三（上）第一次月考数学试卷 （理科） （理科） （8 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题：本题共选择题

9、：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x22，则RA（ ） Ax|2x2 Bx|x2 或 x2 C D 【分析】利用补集的定义，判断 A 集合，求解即可 【解答】解：已知集合 Ax|x22，解得：， 所以RAx|x或 x 故选：D 【点评】本题考查集合补集运算，考查运算求解能力 2 （5 分）若 z（1+i）2i，则 z（ ） A1i B1+i C1i D1+i 【分析】利用复数的运算法则求解即可 【解答】解：由 z（1+i）

10、2i，得 z 1+i 故选：D 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法和除法法则，虚数单位 i 的幂运算性质， 属于基础题 3 （5 分）设 ， 为非零向量，则“”是“ 与 方向相同”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由充分条件、必要条件的判定方法及向量共线的概念分析得答案 【解答】解：对于非零向量 ， ，由 与 方向相同或相反， 第 7 页（共 23 页） 反之， 与 方向相同， 则“”是“ 与 方向相同”的必要而不充分条件 故选：B 【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定方法，考查向量共线的概念，是基础题 4 （5 分）

11、已知，则 cos2（ ） A B C D 【分析】由已知求得 sin，再由二倍角的余弦求解 【解答】解：由，得 sin， cos2 故选：B 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题 5 （5 分）运行如图所示的程序框图，则输出的 a 的值为（ ） A13 B14 C15 D16 【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的 S，a 的值，当 S43 时，不满足条件，跳出循环，可得 a 的值 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a8，S120 满足条件 S55，执行循环体，S112，a9 第 8 页（共 23 页） 满足条件 S55，执行循环体，S103，a

12、10 满足条件 S55，执行循环体，S93，a11 满足条件 S55，执行循环体，S82，a12 满足条件 S55，执行循环体，S70，a13 满足条件 S55，执行循环体，S57，a14 满足条件 S55，执行循环体，S43，a15 不满足条件 S55，退出循环，输出 a 的值为 15 故选：C 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题， 正确依次写出每次循环得到的 S， a 的值是解题的关键，属于基础题 6 （5 分）已知向量 ， 满足，且，则向量 与 的夹角的余 弦值为（ ） A B C D 【分析】利用已知条件，结合斜率的数量积转化求解向量 与 的夹角的余弦值 【解答】解：由

13、题意可知，且，可得 3+24，解得 ， 向量 与 的夹角的余弦值： 故选：D 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力 7 （5 分）函数 f（x）xln|x|的图象可能是（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可 【解答】解：函数 f（x）xln|x|是奇函数，排除选项 A，C； 第 9 页（共 23 页） 当 x时，y，对应点在 x 轴下方，排除 B； 故选：D 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图 象的常用方法 8 （5 分）将函数 ysin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称

14、轴 的方程是（ ） Ax Bx Cx Dx 【分析】由条件利用 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得 出结论 【解答】解：将函数 ysin（2x）图象向左平移个单位， 所得函数图象对应的函数的解析式为 ysin2（x+）sin（2x+） ， 当 x时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是 x， 故选：C 【点评】本题主要考查 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性， 属于基础题 9 （5 分）设 E，F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DC 上两点，且 AB2，EF1， 给出下列四个命题： 三棱锥 D1B1EF 的体积为定值

15、； 异面直线 D1B1与 EF 所成的角为 45； D1B1平面 B1EF； 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角为 60 其中正确的命题为（ ） 第 10 页（共 23 页） A B C D 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥 D1B1EF 的体积为定值； 求得异面直线 D1B1与 EF 所成的角为 45； 判断 D1B1与平面 B1EF 不垂直； 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角是为 30 【解答】解：如图所示， 三棱锥 D1B1EF 的体积为 VB1C1221为定值，正 确； EFD1C1，B1D1C1是异面直线 D1B1与 EF 所成的角，为 45，正确； D1B

16、1与 EF 不垂直，由此知 D1B1与平面 B1EF 不垂直，错误； 在三棱锥 D1B1DC 中，设 D1到平面 DCB1的距离为 h， V，即有22222h，解得 h， 直线 D1B1与平面 B1EF 所成的角的正弦为，即所成角为 30，错误 综上，正确的命题序号是 故选：C 【点评】本题考查了空间中的直线与平面之间的位置关系应用问题，是中档题 10 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 第 11 页（共 23 页） 作垂直于实轴的弦 PQ，若，则 C 的离心率 e 为（ ） A B C D 【分析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的

17、等量求出双曲线 的离心率 【解答】解：双曲线的左右焦点分别为 F1、F2，过 F2作垂直于实轴的弦 PQ，若 ， 则：F1PQ 为等腰直角三角形 由于通径 PQ， 则：2c， 解得：c2a22ac0， 所以：e22e10， 解得：e1； 由于 e1， 所以：e1+， 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应 用属于基础题型 11 （5 分）已知函数 f（x）2|x|+x2，设，nf（7 0.1） ，pf（log 425） ，则 m，n，p 的大小关系为（ ） Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 【分析】利用函数的极限以及函数的单调性，结合对数的

18、大小，求解即可 【解答】解：f（x）2|x|+x2为偶函数，且函数 f（x）在（0，+）上单调递增 ，7 0.1（0，1） ，log 425log25（2，3） ，故 pmn 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查数形结合的思想与运算求解能力 12 （5 分）已知函数 f（x）exax1 在区间（1，1）内存在极值点，且 f（x）0 恰 好有唯一整数解，则 a 的取值范围是（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828） （ ） 第 12 页（共 23 页） A，e） B，1）（e1， C （e1，e） D，）（e1，e） 【分析】推导出 f（x）exa0 在（1，1）上有解，从

19、而ae，exax+1 有 唯一整数解设 g（x）ex，h（x）ax+1，当 1ae 时，唯一整数解为 1，应满足 当a1 时，唯一整数解为1，应满足由此能 求出 a 的取值范围 【解答】解：由题意得，f（x）exa0 在（1，1）上有解， f（x）在（1，1）上单调递增，ae， 又f（x）0 恰好有唯一整数解，即 exax+1 有唯一整数解 设 g（x）ex，h（x）ax+1，结合题意可知： 若 1ae，则唯一整数解为 1， 故应满足 e1a， 故 e1ae； 若a1，则唯一整数解为1， 故应满足 a， 故a 由得 a 的取值范围为，）（e1，e） 第 13 页（共 23 页） 故选：D 【点

20、评】本题考查实数的取值范围的求法，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导 数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思 想，考查运算求解能力，是难题 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分） （）8的展开式中，x 的系数为 112 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得 x 的 系数 【解答】解： （）8的展开式的通项公式为 Tr+1 （2）r，令 4 1，求得 r2， 可得 x 的系数为 （2）2112， 故答案为：112 【点评】本题主要考

21、查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题 14 （5 分）若变量 x、y 满足约束条件，则 zx+2y 的最大值为 8 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 zx+2y 过点 A（4，2）时，z 最大值即可 【解答】解：作出可行域如图， 由 zx+2y 知，yx+z， 所以动直线 yx+z 的纵截距 z 取得最大值时， 目标函数取得最大值 由得 A（4，2） 结合可行域可知当动直线经过点 A（4，2）时， 目标函数取得最大值 z4+228 故答案为：8 第 14 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基

22、础题 15 （5 分）等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，已知 S3，S6，则 a8 32 【分析】设等比数列an的公比为 q1，S3，S6，可得， ，联立解出即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q1， S3，S6， 解得 a1，q2 则 a832 故答案为：32 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 16 （5 分）已知球的直径 DC4，A、B 是该球面上的两点，则三棱 锥 ABCD 的体积最大值是 2 【分析】由题意画出图形，可知要使 VABCD的体积最大，则面 ADC面 BDC，求出 A 到平面 BCD 的距离，

23、则三棱锥 ABCD 的体积最大值可求 【解答】解：如图， 第 15 页（共 23 页） 球的直径 DC4，且， ACBC2，（其中 h 为点 A 到底面 BCD 的 距离） ， 故当 h 最大时， VABCD的体积最大， 即当面 ADC面 BDC 时， h 最大且满足， 即 h， 此时 VABCD 故答案为：2 【点评】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 三三.解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第

24、第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC 0 （1）求角 B 的大小； （2）若 a3，点 D 在 AC 边上，且 BDAC，BD，求 c 边的长 【分析】 （1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出 B 的值 （2） 利用三角形的边的关系及余弦定理和三角形面积公式， 建立等量关系式求出 c 的值 【解答】 （1）由（2a+c）cosB+bcosC0 及正弦定理， 可得 2sinAcosB+sin

25、CcosB+sinBcosC0， 即 2sinAcosB+sin（B+C）0， 由 A+B+C 可得 sin（B+C）sinA， 所以 sinA（2cosB+1）0， 因为 0A，sinA0， 所以 第 16 页（共 23 页） （2）由得 b2a2+c2+acc2+3c+9， 又因为 BDAC， 所以ABC 的面积， 把， 带入得， 所以， 解得 c5 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三 角形面积公式的应用，属于基础题型 18 （12 分）某家电公司销售部门共有 200 名销售员，每年部门对每名销售员都有 1400 万 元的年度销售任务已知这 200

26、 名销售员去年完成的销售额都在区间2，22（单位：百 万元）内，现将其分成 5 组：第 1 组、第 2 组、第 3 组、第 4 组、第 5 组对应的区间分 别为2，6） ，6，10） ，10，14） ，14，18） ，18，22） ，并绘制出如下的频率分布直方图 （1）若用分层抽样的方法从这 200 名销售员中抽取容量为 25 的样本，求 a 的值和样本 中完成年度任务的销售员人数； （2）从（1）中样本内完成年度任务的销售员中随机选取 2 名，奖励海南三亚三日游， 设获得此奖励的 2 名销售员在第 4 组的人数为 X，求 X 分布列和期望 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据频

27、率和为 1，列出关于 a 的方程，即可解得 a； （2）样本中完成年度销售人数为 6 人，其中第 4 组的 3 人，确定随机变量 X 的所有可能 的取值为 0，1，2，分别计算出对应的概率，列出分布列求出期望即可 【解答】 （1）（0.02+0.08+0.09+2a）41，a0.03样本中完成年度销售人数为 6 人 （2）X0，1，2，P（X0）P（X2），P（X1），分 布列如图所示， X 0 1 2 P 所以 E（X）1 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，古典概型，离散型随机变量的概率分布 列，难度不大，属于基础题 19 （12 分）在 RtABC 中，ABC90，tanACB已知

28、 E，F 分别是 BC，AC 的 中点 将CEF 沿 EF 折起， 使 C 到 C的位置且二面角 CEFB 的大小是 60 连 接 CB，CA，如图： （）求证：平面 CFA平面 ABC； （）求平面 AFC与平面 BEC所成二面角的大小 【分析】 （）法一：由 AFCF设 AC的中点为 G，连接 FG设 BC的中点为 H， 连接 GH，EH从而BEC即为二面角 CEFB 的平面角BEC60，推 导出 EHBCEFCE，EFBE，从而 EF平面 BEC由 EFAB，得 AB平 面 BEC，从而 ABEH，即 EHAB进而 EH平面 ABC推导出四边形 EHGF 为 平行四边形从而 FGEH，F

29、G平面 ABC，由此能证明平面 AFC平面 ABC 法二：以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA 为 z 轴， 第 18 页（共 23 页） 建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面 AFC平面 ABC （）以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小 【解答】证明： （）证法一：F 是 AC 的中点，AFCF 设 AC的中点为 G，连接 FG设 BC的中点为 H，连接 GH，EH 由题意得CEEF， BE

30、EF， BEC即为二面角CEFB的平面角 BEC 60， E 为 BC 的中点BEEC，BEC为等边三角形，EHBC EFCE，EFBE，CEBEE，EF平面 BEC EFAB，AB平面 BEC，ABEH，即 EHAB BCABB，EH平面 ABC G，H 分别为 AC，BC的中点GHFE， 四边形 EHGF 为平行四边形FGEH，FG平面 ABC， 又 FG平面 AFC平面 AFC平面 ABC （6 分） 法二：如图，以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴，BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB2则 A（0，0，2） ，B（0，0，0）

31、 ，F（0，2，1） ，E（0，2，0） ，C（，1， 0） 设平面 ABC的法向量为 （x，y，z） ，（0，0，2） ，（） ， ，令 x1，则 （1，0） ， 设平面 AFC的法向量为 （x，y，z） ， （0，2，1） ，（，1，2） ， ，取 y1，得 （，1，2） 0，平面 AFC平面 ABC （6 分） 解： （）如图，以 B 为原点，在平面 BEC中过 B 作 BE 的垂线为 x 轴，BE 为 y 轴， BA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 第 19 页（共 23 页） 设 AB2，则 A（0，0，2） ，B（0，0，0） ，F（0，2，1） ，E（0，2，0） ，C（，1，

32、 0） 平面 BEC的法向量 （0，0，1） ， （8 分） 设平面 AFC的法向量为 （x，y，z） ， （） ，（0，2，1） ， ，取 y1，得 （） （9 分） cos， （10 分） 由图形观察可知，平面 AFC与平面 BEC所成的二面角的平面角为锐角 平面 AFC与平面 BEC所成二面角大小为 45 （12 分） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）已知点 M（，）在椭圆 C：+1（ab0）上，且点 M 到 C 的左、右焦点的距离之和为 2 （1）求 C 的方程； （2）

33、设 O 为坐标原点，若 C 的弦 AB 的中点在线段 OM（不含端点 O，M）上，求 的取值范围 第 20 页（共 23 页） 【分析】 （1）由题意可得：+1，2a2，解得 a，b即可得出椭圆的标 准方程 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 直线 OM 的方程为：yx弦 AB 的中点在线段 OM （不含端点 O，M）上，可得由+1，+1，相 减可得：1kAB设直线 AB 的方程为：yx+m，代入椭圆方程可得：3x2 4mx+2m220 0 解得m23 把根与系数的关系代入x1x2+y1y2x1x2+ （x1+m） （x2+m）化简即可得出 【解答】解： （1）由题意可得：+1，2

34、a2，解得 a，b1 椭圆的标准方程为：+y21 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 直线 OM 的方程为：yx 弦 AB 的中点在线段 OM（不含端点 O，M）上，化为：x1+x2 2（y1+y2） 由+1，+1，相减可得：+（y1+y2） （y1y2）0 x1x20，+（y1+y2）0 1kAB 设直线 AB 的方程为：yx+m，代入椭圆方程可得：3x24mx+2m220 16m224（m21）8（3m2）0解得 m23 又（0，） ， 由根与系数的关系可得：x1+x2，x1x2 x1x2+y1y2x1x2+ （x1+m）（x2+m） 2x1x2m （x1+x2） +m22 第

35、 21 页（共 23 页） +m2m2 而 m2 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点 坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计 算能力，属于难题 21 （12 分）已知函数 f（x）x22x+2alnx，若函数 f（x）在定义域上有两个极值点 x1， x2，且 x1x2 （1）求实数 a 的取值范围； （2）证明： 【分析】 （1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定 a 的范围即可； （2）结合二次函数的性质，求出 f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可 【解答】 （1）解：因为函数 f（x）在

36、定义域（0，+）上有两个极值点 x1，x2，且 x1 x2， 所以在（0，+）上有两个根 x1，x2，且 x1x2， 即 x2x+a0 在（0，+）上有两个不相等的根 x1，x2 所以 解得 （2）证明：由题可知 x1，x2（0x1x2）是方程 x2x+a0 的两个不等的实根， 所以其中 故 （x1+x2）22x1x22（x1+x2）+2aln（x1x2） 2alna2a1， 令 g（a）2alna2a1，其中故 g（a）21na0， 所以 g（a）在上单调递减，则， 第 22 页（共 23 页） 即 【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的 性质，是一道综

37、合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知 直线 l 的参数方程是（m0，t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 2cos （）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （）若直线 l 与 x 轴交于点 P，与曲线 C 交于点 A，B，且|PA|PB|1，求实数 m 的值 【分析】 （）直线 L 的参数

38、方程消去参数 t，能求出直线 l 的普通方程由 2cos， 得 22cos，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程 （）把（t 为参数） ，代入 x2+y22x，得由 |PA|PB|1|t1t2|，能求出实数 m 的值 【解答】选修 44：坐标系与参数方程来 解： （）直线 L 的参数方程是， （m0，t 为参数） ， 消去参数 t 可得 由 2cos，得 22cos， C 的直角坐标方程：x2+y22x（5 分） （）把（t 为参数） ，代入 x2+y22x， 得 由0，解得1m3， |PA|PB|1|t1t2|，m22m1， 第 23 页（共 23 页） 解得或 1又满足0，m0， 实数或 m

39、1（10 分） 【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查实数值的求法， 考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|2x+3| （1）解不等式 f（x）6； （2）记 f（x）的最小值是 m，正实数 a，b 满足 2ab+a+2bm，求 a+2b 的最小值 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）求出 f（x）的最小值，根据基本不等式的性质求出 a+2b 的最小值即可 【解答】解： （1）当 x时，f（x）24x， 由 f（x）6 解得 x2，综合得 x2，（2 分） 当时，f（x）4，显然 f（x）6 不成立，（3 分） 当 x时，f（x）4x+2， 由 f（x）6，解得 x1，综合得 x1，（4 分） 所以 f（x）6 的解集是（，21，+） （5 分） （2）f（x）|2x1|+|2x+3|（2x1）（2x+3）|4， 即 f（x）的最小值 m4 （7 分） a2b，（8 分） 由 2ab+a+2b4 可得 4（a+2b）， 解得 a+2b， a+2b 的最小值为（10 分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题