1、已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线 上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ） A B C D 5 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为 （ ） 第 2 页（共 25 页） A0 B1 C2 D3 6 （5 分）将函数 f（x）3sin（2x+） ，（0，）的图象沿 x 轴向右平移个单位长度， 得到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）满足 g（|x|）g（x） ，则 的值为（ ） A B C D 7 （5 分）函数 y3cosxe|x|的图象可能是（ ） A B C D
2、8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的为长为 1，粗实线面出的是某几何体的三视图，该几 何体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） 第 3 页（共 25 页） A6 B9 C D6 9 （5 分）共有编号分别为 1，2，3，4，5 的五个座位，在甲同学不坐 2 号座位，乙同学不 坐 5 号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边长，已知 A60，a7，现 有以下判断： b+c 不可能等于 15； ； 作 A关于BC 的对称点 A， 则|AA|的最天值是；若 B，C 为定点，
3、则动点 A 的运动轨迹与 BC 围成的封闭图 形的面积是上述四个结论中，所有正确结论的编号是（ ） A B C D 11 （5 分）已知ABC 中，|2点 P 为 BC 边上的动点，则 的最小值为（ ） A2 B C2 D 12 （5 分）设函数 f（x）在 R 上存在导函数 f（x） ，xR，有 f（x）f（x）x3，在（0， +）上有 2f（x）3x20，若 f（m2）f（m）3m2+6m4，则实数 m 的取值 范围为（ ） A1，1 B （，1 C1，+） D （，11，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题
4、卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）在（2x） （1+2x）5的展开式中，x2的系数为 14 （5 分）曲线 ye 2x+1 在 x0 处的切线方程为 15 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC，AP3，AB，Q 是 第 4 页（共 25 页） BC 边上的动点，且直线 PQ 与面 ABC 所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面 积为 16 （5 分）已知过抛物线 C：y24x 焦点的直线交抛物线 C 于 P，Q 两点，交圆 x2+y22x 0 于 M，N 两点，其中 P，M 位于第一象限，则的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共
5、 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 （一）必考题：共骤 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）设an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（nN*） bn是等差数列， 已知 a22，a4a3+4，a3b3+b1，a5b7+3b3 （1）求an和bn的通项公式； （2）设数列Sn+bn的前 n 项和为 Tn（nN*） ，求 Tn 18 （12 分）从某公司生产线生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指 标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图： （）求这 1000 件产品质量指标的样本平均数
6、 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表） ； （）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2 （i）利用该正态分布，求 P（175.6Z224.4） ； （ii）已知每件该产品的生产成本为 10 元，每件合格品（质量指标值 Z（175.6，224.4） 的定价为 16 元；若为次品（质量指标值 Z（175.6，224.4） ，除了全额退款外且每件次 品还须赔付客户 48 元若该公司卖出 100 件这种产品，记 Y 表示这件产品的利润，求 E （Y） 附：12.2若 ZN（，2） ，则 P（Z+）
7、0.68，P（2Z +2）0.95 第 5 页（共 25 页） 19（12分） 如图， 在四棱锥PABCD中， PA平面ABCD， ADBC， ADCD， 且， （1）求证：ABPC； （2）在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 45，如果存 在，求的值；如果不存在，请说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b （）讨论函数 f（x）的单调性； （）若 a0，b2，g（x）kx2，函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1， y1） 、B（x2，y2）两点，线段 AB 的中点为 P（x0，y0） ，证明：f（x0）g（1）y0 21 （1
8、2 分）在平面直角坐标系中，已知圆 M： （x+2）2+y236，点 N（2，0） ，Q 是圆 M 上任意一点，线段 NQ 的垂直平分线与半径 MQ 相交于点 P，设点 P 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）若 A（3，0） ，B（3，0） ，设过点 T（9，m）的直线 TA，TB 与曲线 E 分别交于 点 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，其中 m0，y10，y20，求证：直线 CD 必过 x 轴上的 一定点 （其坐标与 m 无关） （二） 、选考题：共（二） 、选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任题中任选一题作答，如果多做，则按所做的选一题作答
9、，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 XOY 中，曲线 C 的参数方程为， 经过曲线 C 外的一点 A（2，4）且倾斜角为的直线与曲线 C 分别交于 M1，M2 （）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （）若|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求 P 的值 第 6 页（共 25 页） 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，CR，且 a+b+c1，求证： （）； （） 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年广西柳州高中、玉林高中高三（上）学
10、年广西柳州高中、玉林高中高三（上）9 月联考数月联考数 学学试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 Ax|0x5，xN+，Bx|x2x60，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|0x3 C1，2 D1，2，3 【分析】化简集合 A、B，根据交集的定义写出 AB 【解答】解：集合 Ax|0x5，xN+1，2，3，4， Bx|x2x60x|2
11、x3， 则 AB1，2 故选：C 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题 2 （5 分）复数 z（i 为虚数单位）的模长是（ ） A B C1 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：z， |z| 故选：B 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题 3 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z2yx 的最大值为（ ） A0 B2 C4 D6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可 的得到结论 【解答】解：作可行域如图所示， 第 8 页（共 25 页） 由 z2yx
12、得 yx+z，作直线 yx+z 平移，解得 A（1，） 直线经过点 A（1，）时，该直线在 y 轴上的截距最大，此时 zmax210 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 4 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线 上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ，则双曲线的方程为（ ） A B C D 【分析】利用三角形是正三角形，推出 a，b 关系，通过 c2，求解 a，b，然后等到双 曲线的方程 【解答】解：双曲线1（a0，b0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线 上，OAF
13、是边长为 2 的等边三角形（O 为原点） ， 可得 c2，即， 解得 a1，b，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为： 故选：D 第 9 页（共 25 页） 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力 5 （5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可 【解答】解：第一次 N24，能被 3 整除，N3 不成立， 第二次 N8，8 不能被 3 整除，N817，N73 不成立， 第三次 N7，不能被 3 整除，N716，N23 成立， 输出 N2， 故选：C 【点评
14、】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关 键 6 （5 分）将函数 f（x）3sin（2x+） ，（0，）的图象沿 x 轴向右平移个单位长度， 得到函数 g（x）的图象，若函数 g（x）满足 g（|x|）g（x） ，则 的值为（ ） A B C D 【分析】利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：将函数 f（x）3sin（2x+） ，（0，）的图象沿 x 轴向右平移个单 位长度， 得到函数 g（x）3sin（2x+） ，的图象，若函数 g（x）满足 g（|x|）g（x） ，则 g（x）为偶函数， 故+k+，k
15、Z，即 k+，令 k0，可得 ， 故选：C 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 7 （5 分）函数 y3cosxe|x|的图象可能是（ ） A B C D 【分析】由题意，可根据 x0 时，函数值为 2，以及通过求导研究出函数在（0，+） 上是减函数，选出正确选项 【解答】解：函数 y3cosxe|x|是一个偶函数，且当 x0 时，函数值为 2，故可排除 C， 又当 x0 时，y3sinxex0，即函数在（0，+）上是减函数，由此排除 AD， 故选：B 【点评】本题考查函数图象的识别，识别方法主要是函数的性质以及特殊值这些特征， 此类题是高考的热点题，要注意
16、总结解答规律方法 8 （5 分）如图，网格纸上小正方形的为长为 1，粗实线面出的是某几何体的三视图，该几 何体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） 第 11 页（共 25 页） A6 B9 C D6 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解即可 【解答】解：由三视图还原原几何体， 可知该几何体的各个面分别为，两个梯形 PQCD 和 PQBA，一个矩形 ABCD，两个三角 形 PDA 和三角形 QCB， 两个梯形的面积相等，和为 S 故选：A 【点评】本题考查三视图与直观图的关系，解题的关键是几何体的直观图的形状，考查 空间想象能力以及计算能力，是中档题 9 （5 分）共
17、有编号分别为 1，2，3，4，5 的五个座位，在甲同学不坐 2 号座位，乙同学不 坐 5 号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为（ ） A B C D 【分析】分甲同学坐 1，3，4，5 分别讨论即可得到甲、乙两位同学的座位号相加是偶数 包含的基本事件，再求出基本事件的总数即可求概率 【解答】解：当甲坐 5 号时，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数包含 2 个基本事件； 甲同学坐 1 号或 3 号时，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数包含2 个基本 第 12 页（共 25 页） 事件； 当甲同学坐 4 号时，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数包含 1 个基本事件； 所以在甲同学不坐
18、 2 号座位，乙同学不坐 5 号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号 相加是偶数共包含 5 个人基本事件， 在甲同学不坐 2 号座位， 乙同学不坐 5 号座位的条件下， 基本事件的总数为+ 13 个， 所以在甲同学不坐 2 号座位，乙同学不坐 5 号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号 相加是偶数的概率为， 故选：A 【点评】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想，考查了条件概率，属于中档题 10 （5 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边长，已知 A60，a7，现 有以下判断： b+c 不可能等于 15； ； 作 A关于BC 的对称点 A， 则|AA|的最天值是；若 B
19、，C 为定点，则动点 A 的运动轨迹与 BC 围成的封闭图 形的面积是上述四个结论中，所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【分析】利用正弦定理和三角恒等变换，结合图象即可逐个判断结论的真假 【解答】解：设ABC 的外接圆半径为 R，则 2R， b2RsinB，c2RsinC， 由 A60，a7，B+C120， b+c2R（sinB+sinC）sinB+sin（120B） 14（cosB+sinB）14sin（B+30） ， b+c14故正确； bcosC+ccosBa7， +，故正确； bc4R2sinBsinCsinBsin（120B）sinB（cosB+sinB） 第 13 页（共
20、 25 页） sinBcosB+sin2B（sin2Bcos2B+）sin（2B30）+， 0B120， 当 2B3090即 B60时，bc 取得最大值 49 设 A 到直线 BC 的距离为 d，则 d，于是|AA|2d |AA|的最大值为7，故正确； 如图所示：假设线段 BC 水平放置，A 在直线 BC 上方，显然 A 在圆 O 的优弧上运动， BC7，BOC2A120，OB， S扇形OBACOB2， 同理可知当 A 在直线 BC 下方时，以上结论也成立， 点 A 的轨迹围成的封闭图形的面积是，故错误 故选：A 【点评】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，考查数形结合思想，属于中档题 11 （
21、5 分）已知ABC 中，|2点 P 为 BC 边上的动点，则 的最小值为（ ） A2 B C2 D 【分析】以 BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得 B（1，0） ，C（1，0） ，设 P（a，0） ，A（x，y） ，运用向量的坐标表示，求得 A 的轨迹，进而得到 a 的二次函数， 可得最小值 【解答】解：以 BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系， 可得 B（1，0） ，C（1，0） ，设 P（a，0） ，A（x，y） ， 由2， 第 14 页（共 25 页） 可得（x+1，y） （2，0）2x+22，即 x2，y0， 则（1a，0） （xa1a+1a，y+0+0） （1a）
22、（x3a）（1a） （23a）3a2a2 3（a）2， 当 a时，的最小值为 故选：D 【点评】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查 运算能力，属于中档题 12 （5 分）设函数 f（x）在 R 上存在导函数 f（x） ，xR，有 f（x）f（x）x3，在（0， +）上有 2f（x）3x20，若 f（m2）f（m）3m2+6m4，则实数 m 的取值 范围为（ ） A1，1 B （，1 C1，+） D （，11，+） 【分析】构造函数 g（x）f（x）x3，由 g（x）g（x）0，可得函数 g（x）为 偶函数利用导数可得函数 g（x）的单调性，结合函数的单调性解不
23、等式即可 【解答】解：令 g（x）f（x）x3， g（x）g（x）f（x）x3f（x）x30， 函数 g（x）为偶函数， x（0，+）时，g（x）f（x）x20， 函数 g（x）在（0，+）上是增函数， 函数 g（x）在（，0）上是减函数， f（m2）f（m）g（m2）+（m2）3g（m）m3g（m2）g（m） 第 15 页（共 25 页） 3m2+6m43m2+6m4， g（m2）g（m） ， |m2|m|， 解得：m1， 实数 m 的取值范围（，1， 故选：B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，构造函 数利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键属于中档题
24、 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）在（2x） （1+2x）5的展开式中，x2的系数为 70 【分析】直接利用二项展开式的通项公式，求得（2x） （1+2x）5的展开式中，x2的系 数 【解答】解：在（2x） （1+2x）5的展开式中，x2的系数为 222270， 故答案为：70 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 14 （5 分）曲线 ye 2x+1 在 x0 处的切线方程为 y2x+2 【分析】求得 ye 2x+1
25、的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程 【解答】解：ye 2x+1 的导数为 y2e2x， 可得曲线 ye 2x+1 在 x0 处的切线斜率为 k2，切点为（0，2） ， 则曲线 ye 2x+1 在 x0 处的切线方程为 y2x+2 故答案为：y2x+2 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运 算能力，属于基础题 15 （5 分）三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC，AP3，AB，Q 是 BC 边上的动点，且直线 PQ 与面 ABC 所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面 积为 57 【分析】由题意可知 AQBC 时直线 PQ
26、与面 ABC 所成角为最大，再由最大值和题意求 出 AQ，BQ，CQ，进而求出底面外接圆的半径，一条侧棱垂直于底面，过底面外接圆的 第 16 页（共 25 页） 圆心做底面的垂线与中截面的交点为外接球的球心，再由外接球的半径与底面外接圆的 半径和高的一半构成直角三角形，求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积 【解答】解：连接 AQ，PA平面 ABC，AQP 为直线 PQ 与面 ABC 的所成角，当它 最大值时，则 tanAQP也最大， PA 不变，所以 AQ 最小，而 QBC，当且仅当 AQBC， 所以AQP，tan，PA3，AQ， 在三角形 ABQ 中，BQ2AB2AQ2（2）2（）29，
27、BQ3，BAQ， 又，CAQ， 在直角三角形 AQC 中 tanCAQ，CQ3， BCBQ+CQ6，设三角形 ABC 的外接圆半径为 r，则 2r，所以 r 2， 设三棱锥外接球的半径为 R，则 R2r2+（）212+， 所以外接球的表面积 S4R257， 故答案为：57 【点评】考查线面角最大值时的情况即球的表面积公式，属于中档题 16 （5 分）已知过抛物线 C：y24x 焦点的直线交抛物线 C 于 P，Q 两点，交圆 x2+y22x 0 于 M，N 两点，其中 P，M 位于第一象限，则的最小值为 4 【分析】由题意画出图形，设 PQ 的方程为 xmy+1，联立直线方程与抛物线方程，化 为
28、关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系、焦半径公式及基本不等式求解 【解答】解：设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 第 17 页（共 25 页） 再设 PQ 的方程为 xmy+1， 联立，得 y24my40 y1+y24m，y1y24，则 |PM|QN|（|PF|1） （|QF|1）（x1+11） （x2+11）x1x21， 则24 的最小值为 4 故答案为：4 【点评】本题考查了抛物线的性质，考查抛物线焦半径公式的应用，训练了利用基本不 等式求最值，是中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解
29、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 （一）必考题：共骤 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）设an是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Sn（nN*） bn是等差数列， 已知 a22，a4a3+4，a3b3+b1，a5b7+3b3 （1）求an和bn的通项公式； （2）设数列Sn+bn的前 n 项和为 Tn（nN*） ，求 Tn 【分析】 （1）将等差数列和等比数列的各项都转化为基本量 （2）中数列通项符合用分 组求和法求 Sn 【解答】解： （1）设an的公比为 q，bn的公差为 d， a22，a4a3+4， 第 18 页（共 25 页） a2q+42q22q+4
30、， 解得 q2 或 q1（舍）2n 1， a34，a516， 又， bnn （2）， ， 【点评】等比数列和等差数列中，基本量法是最基本的方法，分组求和法通项特点是 an+bn，最常见的是等差加等比型 18 （12 分）从某公司生产线生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指 标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图： （）求这 1000 件产品质量指标的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表） ； （）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（，2） ，其中 近似为样本平均数 ，2近似为样本方差 s2 （i）利用该正态分布
31、，求 P（175.6Z224.4） ； （ii）已知每件该产品的生产成本为 10 元，每件合格品（质量指标值 Z（175.6，224.4） 的定价为 16 元；若为次品（质量指标值 Z（175.6，224.4） ，除了全额退款外且每件次 品还须赔付客户 48 元若该公司卖出 100 件这种产品，记 Y 表示这件产品的利润，求 E （Y） 附：12.2若 ZN（，2） ，则 P（Z+）0.68，P（2Z +2）0.95 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （）根据图中的数据及平均数、方差的定义可得所求 （） （i）根据正态分布中特殊区间上的概率求解； （ii）先由正态分布得到 EX95，然
32、后再根据均值的线性性质求解即可 【解答】 解 （） 由题意得 1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+220 0.08+2300.02200 s2（170200）20.02+（180200）20.09+（190200）20.22+（200200）2 0.33+（210200）20.24+（220200）20.08+（230200）20.02150 ， 即样本平均数为 200，样本方差为 150 （） （i）由（）可知，200，12.2， ZN（200，12.22） ， P（175.6Z224.4）P（2+）0.95， （ii）设 X 表示 100 件产品
33、的正品数，由题意得 XB（100，0.95）EX1000.9595， EY16EX48510010280 【点评】本题考查频率分布直方图的应用及利用正态分布求特殊区间上的概率，考查应 用数学知识解决问题的能力和计算能力，解答本题的关键是读懂题意，并从中得到解题 第 20 页（共 25 页） 需要的数据，属于中档题 19（12分） 如图， 在四棱锥PABCD中， PA平面ABCD， ADBC， ADCD， 且， （1）求证：ABPC； （2）在线段 PD 上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD 的大小为 45，如果存 在，求的值；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）设 E 为 BC 的中
34、点，连结 AE，由已知条件推导出四边形 AECD 为平行四边 形，从而得到 AEBC，ABAC由此能证明 AB平面 PAC，从而得到 ABPC （2）以 A 为坐标原点，以射线 AE、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空 间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出的值 【解答】 （1）证明：证明：如图，设 E 为 BC 的中点，连结 AE， 则 ADEC，且 ADEC，所以四边形 AECD 为平行四边形， 故 AEBC，又 AEBEEC， 所以ABCACB45，得 ABAC 因为 PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 ABPA 又 PAACA，PA平面 PAC，AC
35、平面 PAC， 所以 AB平面 PAC，所以 ABPC （2）解：如图，以 A 为坐标原点， 以射线 AE、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 Axyz，则， P（0，0，2） ，B（，0） ， 设， （0t1） ， 则 M 的坐标为设 n （x，y，z） 是平面 AMC 第 21 页（共 25 页） 的一个法向量，则 ，得，则可取 又 m（0，0，1）是平面 ACD 的一个法向量， 所以， 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与空间角的计算，属于中 档题 20 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b （）讨论函数 f（x）的单调性
36、； 第 22 页（共 25 页） （）若 a0，b2，g（x）kx2，函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1， y1） 、B（x2，y2）两点，线段 AB 的中点为 P（x0，y0） ，证明：f（x0）g（1）y0 【分析】 （）对 f（x）求导，分别讨论当 a0 和 a0 时的 f（x）的单调性即可； （）将问题转化为证明，令 tx2x10，分别 构造函数用以证明，构造函数用以证 明，即可得证 【解答】 （）解：f（x）ex+a； 当 a0 时，f（x）0，f（x）单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 xln（a） ； 当 x（，ln（a） ） ，f（x）0，f（x）单
37、调递减； 当 x（ln（a） ，+） ，f（x）0，f（x）单调递增； （）证明：要证 f（x0）g（1）y0， 只需证； 即证； 即证； 即证； 设 tx2x10，即证； 要证，只需证； 令，则； F（t）在（0，+）上为增函数； 第 23 页（共 25 页） F（t）F（0）0，即成立； 要证，只需证； 令，则； G（t）在（0，+）上为减函数； G（t）G（0）0，即成立； ，t0 成立； f（x0）g（1）y0成立 【点评】本题考查了利用导数求函数的单调性，强调转化思想，尤其第二问对于待证结 论的转化，能力要求很高，属难题 21 （12 分）在平面直角坐标系中，已知圆 M： （x+2）
38、2+y236，点 N（2，0） ，Q 是圆 M 上任意一点，线段 NQ 的垂直平分线与半径 MQ 相交于点 P，设点 P 的轨迹为曲线 E （）求曲线 E 的方程； （）若 A（3，0） ，B（3，0） ，设过点 T（9，m）的直线 TA，TB 与曲线 E 分别交于 点 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，其中 m0，y10，y20，求证：直线 CD 必过 x 轴上的 一定点 （其坐标与 m 无关） 【分析】 （）根据由椭圆的定义知点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，6 为长轴的椭圆；由 （）根据两点式写出直线 TA，TB 的方程，分别联立椭圆的方程，得 C，D 点的坐标， 写出 CD 的
39、直线方程，判断是否过定点即可 【解答】解： （）P 在线段 NQ 的垂直平分线上|PQ|PN|； |PM|+|PQ|PM|+|PN|r6|MN|； 由椭圆的定义知点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，6 为长轴的椭圆； c2，a3，b1 （）点 T 的坐标为（9，m） 直线 TA 方程为：；即 y 第 24 页（共 25 页） 直线 TB 方程为：；即 y（x3） 分别于椭圆联立方程组，同时考虑到 x13，x23， 解得：C（，） ，D（，） 当 x1x2时，直线 CD 方程为： 令 y0，解得 x1，此时必过点 K（1，0） 当 x1x2，直线 CD 方程为 x1，与 x 轴交于点 K（1，0
40、） 所以直线 MN 必过 x 轴上一定点 K（1，0） 【点评】本题考查了椭圆的定义及标准方程，直线与圆的方程及应用，属于中档题 （二） 、选考题：共（二） 、选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 XOY 中，曲线 C 的参数方程为， 经过曲线 C 外的一点 A（2，4）且倾斜角为的直线与曲线 C 分别交于 M1，M2 （）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （）若|AM1|，
41、|M1M2|，|AM2|成等比数列，求 P 的值 【分析】 （） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （）利用一元二次方程根和系数关系式的应用，建立等量关系式，进一步求出 p 的值 【解答】解： （）曲线 C 的参数方程为，转换为直角坐 标方程为 y22px 、经过曲线 C 外的一点 A（2，4）且倾斜角为的直线，转换为参数方程为 （t 为参数） 第 25 页（共 25 页） （ ） 把 直 线 的 参 数 方 程（ t 为 参 数 ） 代 入 y2 2px ， 得 到 0 （t1和 t2为 M1和 M2对应的参数） 由于|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等
42、比数列， 所以， 整理得（p+4） （p1）0，由于 p0， 所以 p1 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，CR，且 a+b+c1，求证： （）； （） 【分析】 （1）运用基本不等式即可证明； （2）运用基本不等式和不等式的性质，即可得证 【解答】解： （1）a+b+c1， 1+ 9 （2）由柯西不等式可得（a2+b2+c2） （12+12+12）（a1+b1+c1）21； a2+b2+c2 【点评】本题考查不等式的证明，不等式的性质，考查学生的推理能力，属于中档题
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