1、执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） A1 B2 C3 D4 4 （5 分）5 人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A12 B36 C72 D120 5 （5 分）如图是 2019 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同 期变化幅度的数据统计图，给出下列 4 个结论： 第 2 页（共 27 页） 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； 深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； 平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； 平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2
2、C3 D4 6 （5 分）函数在6，6的图象大致为（ ） A B C 第 3 页（共 27 页） D 7 （5 分）要得到函数 ycos（2x）的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向左平移个单位 C向右平移个单位 D向右平移个单位 8 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BB1的中点，用过点 A、E、C1的平 面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ） A B C D 9 （5 分）已知等比数列an满足 a1，a3a54（a41） ，则 a2（ ） A2 B1 C D 10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（
3、x）满足：yf（x1）的图象关于直线 x1 对称； 对任意的 x1，x2（， 0，当 x1x2时， 不等式成立令 a， blog43，clog85，则下列不等式成立的是（ ） Af（b）f（c）f（a） Bf（c）f（a）f（b） Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（b）f（a） 第 4 页（共 27 页） 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点为 F，A，B 是双曲线的 一条渐近线上关于原点对称的两点，0 且线段 AF 的中点 M 落在另一条渐近线 上，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 12 （5 分）已知向量 ， ， 满足| |1，| |， ， ，
4、30， 则| |的最大值等于（ ） A B C2 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）aex+b（a，bR）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x+1， 则 ab 14 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则的最大值是 15 （5 分） （x+） （2x）5的展开式中，常数项为 16 （5 分）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 an+12SnSn+1，则 Sn 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程
5、或演算步骤 17 （12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 sinA+cosA0， a2， b2 （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积 18 （12 分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式某大型超市为调查顾客使用自由 购的情况，随机抽取了 100 人，统计结果整理如下： 20 以下 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人 数 0 0 3 14 36 3 0 （1）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在30，50）且未使用自由购的概率； 第 5 页（共 27 页） （2）从被抽取
6、的年龄在50，70使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况， 用 X 表示这 3 人中年龄在50，60）的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋若某 日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋 19 （12 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBCAD，E 为 AD 中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 翻折到图 2 中A1BE 的位置得到四棱锥 A1BCDE （1）求证：CDA1C （2）若 A1CAB，BEAB，求二面角 BA1ED
7、 的余弦值 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx，且 f（1）0 （1）试用含 a 的代数式表示 b； （2）求 f（x）的单调区间； （3）令 a1，设函数 f（x）在 x1、x2（x1x2）处取得极值，记点 M（x1，f（x1） ） ， N（x2，f（x2） ） 证明：线段 MN 与曲线 f（x）存在异于 M，N 的公共点 21 （12 分）已知动圆 M 过定点 A（2，0）且在 y 轴上截得的弦长为 4 （1）求动圆 M 的圆心 M 的轨迹的方程； （2）过点 A 的动直线与曲线交于 B，C 两点，点 D 在曲线上，使得BCD 的重心 G 在 x 轴上， 直线 BD 交
8、 x 轴于点 Q， 且点 Q 在点 A 的右侧， 记ABG 的面积为 S1， DGQ 的面积为 S2，求的最小值 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2cos 第 6 页（共 27 页） （）求 C1、C2交点的直角坐标； （）设点 A 的极坐标为，点 B 是曲线 C2上的点，求AOB 面积的最
9、大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数的定义域为 R （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 m 的最大值为 n，当正数 a，b 满足时，求 7a+4b 的最小值 第 7 页（共 27 页） 2019-2020 学年广西柳州高中、南宁二中高三（上）第一次联考学年广西柳州高中、南宁二中高三（上）第一次联考 数学试卷（理科） （数学试卷（理科） （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项
10、是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 A1，0，1，By|y2x1，xA，则 AB（ ） A1，0，1 B1，1 C0 D 【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可 【解答】解：B1，1，3； AB1，1 故选：B 【点评】考查列举法、描述法的定义，元素与集合的关系，以及交集的运算 2 （5 分）已知复数 z（1+2i） （1i） ，则其共轭复数 对应的点在复平面上位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z（1+2i） （1i）1i+2i+23+i， ， 则 对应的点的坐标为
11、（3，1） ，在复平面上位于第四象限 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） 第 8 页（共 27 页） A1 B2 C3 D4 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k1，s1 s2 不满足条件 k3，执行循环体，k2，s2 不满足条件 k3，执行循环体，k3，s2 此时，满足条件 k3，退出循环，输出 s 的值为 2 故选：B 【点评
12、】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 4 （5 分）5 人并排站成一行，如果甲乙两个不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A12 B36 C72 D120 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，先把其他三人排成一排，排好后有 4 个空位； ，在 4 个空位中，任选 2 个，安排甲乙 2 人，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，先把其他三人排成一排，有 A336 种情况，排好后有 4 个空位； ，在 4 个空位中，任选 2 个，安排甲乙 2 人，有 A4212 种情况， 则有 61272 种不同的排法
13、； 故选：C 第 9 页（共 27 页） 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 5 （5 分）如图是 2019 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同 期变化幅度的数据统计图，给出下列 4 个结论： 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； 深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； 平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； 平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海 其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据直方图及其数据分析，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案 【解答】解：由图可知深
14、圳对应的小黑点最接近 0%，故变化幅度最小，北京对应的条形 图最高，则北京的平均价格最高，故正确； 由图可知深圳和厦门对应的小黑点在 0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下 降，故正确； 由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故正确； 由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故错误 所以正确的有：3 个 故选：C 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了直方图和数据分析，难度不大，属于中 档题 6 （5 分）函数在6，6的图象大致为（ ） 第 10 页（共 27 页） A B C D 【分析】由函数解析式确定函数图象，一般从特殊点，单调性，奇偶性，趋近
15、性等角度， 运用排除法求解 【解答】解：函数的定义域为6，6， 函数 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除 D 答案； 当 x（0，6时，f（x）0，由此可排除 A 答案； 当 x3 时，由此可排除 B 答案，故选项 C 正确 故选：A 【点评】本题考查函数图象的识别与判断，考查了识图能力与运算求解能力，难度一般 7 （5 分）要得到函数 ycos（2x）的图象，只需将函数 ysin2x 的图象（ ） A向左平移个单位 B向左平移个单位 第 11 页（共 27 页） C向右平移个单位 D向右平移个单位 【分析】先根据诱导公式将函数化简，再根据左加右减的原则进行平移从而可得到答案 【
16、解答】解：ycos（2x）cos（2x）sin（2x+）sin2（x+）， 将函数 ysin2x 的图象向左平移个单位即可得到函数 ycos（2x）的图象 故选：B 【点评】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数的平移，三角函数平移时一定要遵循 左加右减上加下减的原则 8 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BB1的中点，用过点 A、E、C1的平 面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ） A B C D 【分析】根据剩余几何体的直观图，结合三视图的定义即可得到主视图 【解答】解：正方体 ABCDA1B1C1D1中， 过点 A，E，C1的平面截
17、去该正方体的上半部分后， 剩余部分的直观图如图： 第 12 页（共 27 页） 则该几何体的正视图为图中粗线部分 故选：A 【点评】本题主要考查了空间三视图与直观图的应用问题，是基础题 9 （5 分）已知等比数列an满足 a1，a3a54（a41） ，则 a2（ ） A2 B1 C D 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为 q， ，a3a54（a41） ， 4， 化为 q38，解得 q2 则 a2 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题 10 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足：yf（x1）的图象关于直线 x1 对称； 对任意
18、的 x1，x2（， 0，当 x1x2时， 不等式成立令 a， blog43，clog85，则下列不等式成立的是（ ） Af（b）f（c）f（a） Bf（c）f（a）f（b） Cf（b）f（a）f（c） Df（c）f（b）f（a） 【分析】根据题意，分析可得 f（x）的图象关于 y 轴对称，结合函数的单调性定义分析 可得函数 f（x）在（，0上为增函数；结合函数的奇偶性可得 f（x）在区间0，+） 第 13 页（共 27 页） 上为减函数，由对数的运算性质可得 0log2log85log43log21，据此 分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 yf（x1）的图象关于直线 x1 对称，则 f
19、（x）的图象 关于 y 轴对称，即函数 f（x）为偶函数， 又由对任意的 x1，x2（，0，当 x1x2时，不等式成立，则函 数 f（x）在（，0上为增函数； 又由 f（x）为偶函数，则 f（x）在区间0，+）上为减函数， a1，blog43log2，clog85log2，则有 0log2log85log43 log21， 故有 f（c）f（b）f（a） ， 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性与单调性， 属于基础题 11 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的右焦点为 F，A，B 是双曲线的 一条渐近线上关于原点对称的两点，0 且线段 AF 的
20、中点 M 落在另一条渐近线 上，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 【分析】由题意可得 AFBF，运用三角形的中位线定理可得 OMAF，由对称性可得 AOMMOF60，可得渐近线的斜率，进而得到所求离心率 【解答】解：如图，由题知 AFBF， 则 OAOBOF，点 M 是线段 AF 的中点，则 OMAF， 故AOMMOF60， 则tan60，所以 e2 故选：C 第 14 页（共 27 页） 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角形的中 位线定理和化简运算能力，属于基础题 12 （5 分）已知向量 ， ， 满足| |1，| |， ， ， 30， 则
21、| |的最大值等于（ ） A B C2 D 【分析】设出向量，画出图形，求出AOB，判断 OC 的最大值的情况，利用解三角形 转化求解即可 【解答】解：设， ，则， 由题意 cos， 150， ， 30， 所以 OABC 四点共圆， 要使| |的取得最大值， 则 OC 必须过圆心， 此时在三角形 OAB 中，AB2OA2+OB22OAOBcosAOB1+327， AB， 由正弦定理可得 OC2R 故选：A 第 15 页（共 27 页） 【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角形的解法，考查四点共圆等知识，是中档 题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
22、，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知函数 f（x）aex+b（a，bR）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x+1， 则 ab 3 【分析】由 f（x）aex+b，得 f（x） ，因为函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程是 y2x+1，故（0，f（0） ）适合方程 y2x+1，且 f（0）2；联立可得结果 【解答】解：由 f（x）aex+b，得 f（x）aex， 因为函数 f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程是 y2x+1， 所以解得 a2，b1 ab3 故答案为：3 【点评】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系， 属于中档题 14
23、 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则的最大值是 1 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识求出 z的最小值 【解答】解：由 z的几何意义可知可行域内的点与坐标原点连线的斜率， 作出实数 x，y 满足约束条件可行域如图： z经过点 A 时， 直线的斜率最大， 第 16 页（共 27 页） 由，解得 A（2，2） 此时 z的最大值为：1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 15 （5 分） （x+） （2x）5的展开式中，常数项为 40 【分析】把（2x）5按照二项式定理展开，可得（x+） （2x）5的展开式中常数 项
24、的值 【解答】解： （x+） （2x）5（x+） （ 32x580x3+80x40+10） ， 常数项为40+8040， 故答案为：40 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 16 （5 分）设 Sn是数列an的前 n 项和，且 an+12SnSn+1，则 Sn 【 分 析 】 利 用 已 知 条 件 结 合可 以 推 出 ， 进一步可知是以为首项， 以2 为公差的等差数列， 最后求出结果 【解答】解：， Sn+1Sn2SnSn+1， 第 17 页（共 27 页） ， 是以为首项，以2 为公差的等差数列， 12（n1）12n， 即 故答案为
25、： 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的转换及应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 sinA+cosA0， a2， b2 （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积 【分析】 （1）先根据同角的三角函数的关系求出 A，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出 cosC，求出 CD 的长，得到 SAB
26、DSABC 【解答】解： （1）sinA+cosA0， tanA， 0A， A， 由余弦定理可得 a2b2+c22bccosA， 即 284+c222c（） ， 即 c2+2c240， 解得 c6（舍去）或 c4， 故 c4 （2）c2b2+a22abcosC， 1628+4222cosC， cosC， 第 18 页（共 27 页） CD CDBC SABCABACsinBAC422， SABDSABC 【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题 18 （12 分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式某大型超市为调查顾客使用自由 购的情况，随机抽取了 100
27、 人，统计结果整理如下： 20 以下 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人 数 0 0 3 14 36 3 0 （1）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在30，50）且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在50，70使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况， 用 X 表示这 3 人中年龄在50，60）的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋若某 日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋 【分析】 （1）利用古典概型概率个数求解即可
28、 （2）求出 X 的可能值，求出概率得到分布列，然后求解期望即可 （3）在随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的共有 3+12+17+6+4+244 人，然后求 解即可 【解答】解： （1）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的共有 3+1417 人，所以随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在30，50）且未使用自由购的概 率为 第 19 页（共 27 页） （2）X 所有的可能取值为 1，2，3，； 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 所以 X 的数学期望为 （3）在随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的共有 3+12+17+6+4+244 人， 所
29、以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能 力 19 （12 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBCAD，E 为 AD 中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 翻折到图 2 中A1BE 的位置得到四棱锥 A1BCDE （1）求证：CDA1C （2）若 A1CAB，BEAB，求二面角 BA1ED 的余弦值 【分析】 （1）先证明 BE面 A1OC，得到 BEA1C，又 BECD，根据平行传递性证明 即可； （2）根据题意，建立适当的空间直角坐标系，求出平面 A1ED 的法向量，结合平
30、面 A1BE 的法向量，求出余弦值即可 【解答】解： （1）证明：图 1 中，在四边形 ABCE 中，BCAE，BCAE，四边形 ABCE 为平行四边形， 第 20 页（共 27 页） 又ABBC，四边形 ABCE 为菱形，AOBE，COBE， 在图 2 中，A1OBE，COBE，又 A1OCOO，BE面 A1OC， A1C平面 A1OC，BEA1C， 又在四边形 BCDE 中，BCDE，BCDE， 四边形 BCDE 为平行四边形，BECD， CDA1C； （2）不妨设 AD4，ABBCAE2，BE， 所以 OBOE，A1OCO1， 以 OB，OC，OA1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如
31、图空间直角坐标系， 则 B（，0，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，0，1） ，E（，0，0） ， 平面 A1BE 的法向量为， 设平面 A1ED 的法向量为 （x， y， z） ， 由，得，故， 所以 cos， 二面角 BA1ED 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查利用向量法求二面角的余弦值，是中档题， 20 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx，且 f（1）0 （1）试用含 a 的代数式表示 b； （2）求 f（x）的单调区间； （3）令 a1，设函数 f（x）在 x1、x2（x1x2）处取得极值，记点 M（x1，f（x1） ） ， N（x2，f（x2） ）
32、证明：线段 MN 与曲线 f（x）存在异于 M，N 的公共点 【分析】 （1）据求导法则求出导函数，代入已知条件得关系 第 21 页（共 27 页） （2）令导数为 0 得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单 调性 （3）由（2）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共 点 【解答】解：解法一： （1）依题意，得 f（x）x2+2ax+b 由 f（1）12a+b0 得 b2a1 （2）由（1）得 f（x）x3+ax2+（2a1）x，故 f（x）x2+2ax+2a1（x+1） （x+2a 1） 令 f（x）0，则 x1 或 x12a 当 a1 时，
33、12a1 当 x 变化时，f（x）与 f（x）的变化情况如下表： x （，1 2a） （12a，1） （1，+） f（x） + + f（x） 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数 f（x）的单调增区间为（，12a）和（1，+） ，单调减区间为（1 2a，1） 当 a1 时，12a1此时，f（x）0 恒成立，且仅在 x1 处 f（x）0， 故函数 f（x）的单调增区间为 R 当 a1 时，12a1，同理可得函数 f（x）的单调增区间为（，1）和（1 2a，+） ，单调减区间为（1，12a） 综上所述：当 a1 时，函数 f（x）的单调增区间为（，12a）和（1，+） ，单 调减区间为（12
34、a，1） ； 当 a1 时，函数 f（x）的单调增区间为 R； 当 a1 时，函数 f（x）的单调增区间为（，1）和（12a，+） ，单调减区间为 （1，12a） （3）当 a1 时，得 f（x）x3x23x 第 22 页（共 27 页） 由 f（x）x22x30，得 x11，x23 由（2）得 f（x）的单调增区间为（，1）和（3，+） ，单调减区间为（1，3） ， 所以函数 f（x）在 x11，x23 处取得极值故 M（1，） ，N（3，9） 所以直线 MN 的方程为 yx1 由得 x33x2x+30 令 F（x）x33x2x+3 易得 F（0）30，F（2）30，而 F（x）的图象在（0
35、，2）内是一条连续不断 的曲线， 故 F（x）在（0，2）内存在零点 x0，这表明线段 MN 与曲线 f（x）有异于 M，N 的公共 点 解法二： （1）同解法一 （2）同解法一 （3）当 a1 时，得 f（x）x3x23x 由 f（x）x22x30，得 x11，x23 由（2）得 f（x）的单调增区间为（，1）和（3，+） ，单调减区间为（1，3） ， 所以函数 f（x）在 x11，x23 处取得极值， 故 M（1，） ，N（3，9） 所以直线 MN 的方程为 yx1 由 x33x2x+30 解得 x11，x21，x33 ， 所以线段 MN 与曲线 F（x）有异于 M，N 的公共点（1，）
36、【点评】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力， 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想 第 23 页（共 27 页） 21 （12 分）已知动圆 M 过定点 A（2，0）且在 y 轴上截得的弦长为 4 （1）求动圆 M 的圆心 M 的轨迹的方程； （2）过点 A 的动直线与曲线交于 B，C 两点，点 D 在曲线上，使得BCD 的重心 G 在 x 轴上， 直线 BD 交 x 轴于点 Q， 且点 Q 在点 A 的右侧， 记ABG 的面积为 S1， DGQ 的面积为 S2，求的最小值 【分析】 （1）设圆心 M 坐标为（x，y） ，根据弦心距，
37、半弦长，半径围成直角三角形，即 可得到 M 点轨迹方程； （2）设 B 点坐标为（t2，2t） ，将 C，D，G 点坐标用 t 表示，进而将转化为关于 t 的 函数，求函数的最小值即可 【解答】解： （1）设圆心坐标为 M（x，y） ， 由题意得 x2+4， 化简得 y24x； （2）设 B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，D（x3，y3） ，G（xG，yG） ， 令 y12t，t0 则 x1t2， 由于直线过点 A，故直线 BC 的方程为 xy+2， 代入 y24x 得， ， 故 2ty28，y2， C（，） ， 又由于 xG，yG及重心在 x 轴上， 故 y3y1y22t+， 从而 x
38、3， 第 24 页（共 27 页） 从而 xG， D（，2t+） ，G（，0） ， 所以直线 BD 的方程为 y2tt（xt2） ，令 y0 得 xt22， Q（t22，0） ， 由于点 Q 在 A 点的右侧，故 t222，t24 从而 22， 令 t24m（m0） ， 则22222 221+， 当且仅当 m即 m2时取等号 第 25 页（共 27 页） 【点评】本题考查了曲线的轨迹方程，考查了抛物线中三角形面积比值的最小值问题， 考查分析和解决问题的能力和推理能力以及计算能力，属于难题 请考生在请考生在第第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，若多做，
39、则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为（ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2cos （）求 C1、C2交点的直角坐标； （）设点 A 的极坐标为，点 B 是曲线 C2上的点，求AOB 面积的最大值 【分析】 （）先求出曲线 C1、C2的直角坐标方程，联立方程组，能求出 C1、C2交点的 直角坐标 （ ） 设B （ ， ） ， 则 2cos 则 AOB的 面 积 ，由此能求出AOB 面积的最大值 【解答】 （本小题满分 10 分） 解：
40、（）曲线 C1的方程为（ 为参数） ， 曲线 C2的极坐标方程为 2cos22cos， 第 26 页（共 27 页） C2：x2+y22x 联立方程组得，解得， 所求交点的坐标为，（5 分） （）设 B（，） ，则 2cos AOB的面积 ， 当时，AOB 面积的最大值（10 分） 【点评】本题考查两个曲线的交点的直角坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法， 考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数的定义域为 R （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 m 的最大值为 n，当正数 a，b 满
41、足时，求 7a+4b 的最小值 【分析】 （1）因为函数的定义域为 R，所以|x+1|+|x3|m0 恒成立，设函数 g（x） |x+1|+|x3|，则 m 不大于函数 g（x）的最小值，利用绝对值不等式的性质可得：|x+1|+|x 3|（x+1）（x3）|4，即可得出 （ 2 ） 由 （ 1 ） 知n 4 ， 可 得7a+4b （ 7a+4b ） +，利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解 （1）因为函数的定义域为 R，所以|x+1|+|x3|m0 恒成立， 设函数 g（x）|x+1|+|x3|，则 m 不大于函数 g（x）的最小值， 又|x+1|+|x3|（x+1）（x3）|4，即 g（x）的最小值为 4，所以 m4 （2）由（1）知 n4， 第 27 页（共 27 页） 所以 7a+4b（7a+4b） +， 当且仅当 a+2b3a+b，即 b2a时，等号成立 所以 7a+4b 的最小值为 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题
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