1、1 北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（一） 数 学 2020.5 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后， 将答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1) 已知集合10Ax x，1 0 1 2B ， ，那么AB I (A)1 0 ， (B) 0 1， (C) 1 0 1 2 ， ， (D) 2 (2) 函数 2 2 ( ) 1 x f x x 的定义域为 (A) - (
2、,1 2 (B) ,)2 + (C) -(,) ,)11 +U (D) -(,) ,)12 +U (3) 已知 2 1 i() 1i a +a R，则a (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)2 (4) 若双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的一条渐近线与直线21yx平行，则b的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2 (5) 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视 图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为 (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 (6) 已知1x ，那么在下列不等式中，不 成立的是 (A) 2 10x (B) 1 2x x (C) s
3、in0xx (D) cos0xx 正（主） 侧（左） 俯 视 2 (7)在平面直角坐标系中， 动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动， 每12分钟转动一周. 若点M的初始位 置坐标为( ,) 13 22 ，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是 (A)(, ) 3 1 22 (B) (,) 13 22 (C) (, ) 3 1 22 (D) (,) 31 22 (8) 已知三角形ABC，那么“+ +AB ACABAC uu u r uuu ruu u ruuu r ”是“三角形ABC为锐角三角形”的 (A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不
4、必要条件 (9) 设O为坐标原点，点( , )1 0A，动点P在抛物线yx 2 2上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM 的斜率的范围为 (A) (0，1 (B) 2 (0) 2 ， (C) 2 (0 2 ， (D) 2 ) 2 ， (10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者 为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以( )x t表示，被捕食 者的数量以( )y t表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法 正确的是： (A)
5、若在 12 tt，时刻满足： 12 ( )= ( )y ty t，则 12 ( )= ( )x tx t； (B) 如果( )y t数量是先上升后下降的，那么( )x t的数量一定也是先上 升后下降； (C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值； (D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量 也会达到最大值. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 (11) 已知向量( , ),( ,),( , )1122 3mabc，若ab 与c共线，则实数m= . (12) 在 6 2 ()x x 的展开式中常数项为
6、 . (用数字作答) (13) 圆心在x轴上，且与直线 1: lyx和 2: 2lyx都相切的圆的方程为_. (14) ABCV是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且3ADCD， 2 7BD，则CD ，sin ABD . (15) 设函数 (1),0, ( ) 22,0. x aa x a xx f x x 给出下列四个结论： 3 对0 a，t R，使得( )f xt无解； 对0 t，a R，使得( )f xt有两解； 当0a 时，0t ，使得( )f xt有解； 当2a 时，t R，使得( )f xt有三解. 其中，所有正确结论的序号是 . 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选
7、对得注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5 5 分，不选或有错选得分，不选或有错选得0 0分，其他得分，其他得3 3 分。分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)（本小题 14 分） 如图，在四棱锥PABCD-中，PD 面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ABAC，1ABAC，1PD （）求证：/AD平面PBC； （）求二面角DPCB的余弦值的大小. (17)（本小题 14 分） 已知函数 ( )sin()cos ()(f xaxxa 2 220) 66 ，且满足 . （）求函数( )f x的解析式及最小正周期； （）若关
8、于x的方程( )f x 1在区间 , 0 m 上有两个不同解，求实数m的取值范围. 从 ( )f x的最大值为1，( )f x的图象与直线3y 的两个相邻交点的距离等于，( )f x的图象过点 (,0) 6 这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 4 (18)（本小题 14 分） 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计 2020 年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在 室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“g” 表
9、 示北斗二代定位模块的误差的值， “+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位:米） （）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此 点横坐标误差的值大于10米的概率； （） 从图中A,B,C,D四个点位中随机选出两个， 记X为 其中纵坐标误差的值小于4的点位的个数,求X的分布 列和数学期望； （）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的 方差的大小.（结论不要求证明） (19) （本小题 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab ，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为 1 F， 2 F，若四边形 12 AFBF为 正方形，且面积为2. （）求椭圆E的标
10、准方程； （）设存在斜率不为零且平行的两条直线 12 ,ll，与椭圆E分别交于点,C D M N，且四边形CDMN是菱形，求 出该菱形周长的最大值. (20) （本小题 15 分） 已知函数( )(ln)f xxxax(aR). （）若1a ，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （）若( )f x有两个极值点，求实数a的取值范围； （）若1a ，求( )f x在区间0, 2a上的最小值. x y O 1055101520 4 2 2 4 6 8 10 12 B C D A + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
11、+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 5 (21)（本小题 14 分） 数列 123n AxxxxLL： ， ， ， ，对于给定的 + (1N )t tt，记满足不等式： + ()(N) nt xxt ntnnt， 的 * t构成的集合为( )T t. （）若数列 2 = n Axn：，写出集合(2)T； （）如果( )T t + (N1)tt，均为相同的单元素集合，求证：数列 12n xxx， ， ，LL为等差数列； （III) 如果( )T t + (N1)tt，为单元素集合，那么数列 12n xxx， ， ，LL还是等差数列吗？如果是等差
12、数列，请给 出证明；如果不是等差数列，请给出反例. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 2020.2020.5 5 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） （1）D （2）B （3）A （4）D （5）A （6）D （7）C （8）B （9）C （10）C 二、填空题（共二、填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分）分） 6 （11）3 （12）160 （13）
13、 22 1 (1) 2 xy （14） 3 21 2 14 ， （15） 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)（本小题 14 分） 解： （）如图，因为 四边形ABCD为平行四边形， 所以 /ADBC， 因为 BC 平面PBC，AD 平面PBC， 所以 /AD平面PBC 6 分 （）取C为坐标原点，过点C的PD平行线为z轴， 依题意建立如图所示的空间直角坐标系-Cxyz 由题意得，(0, 1,1)P，(1,0,0)A，(0,0,0)C，(1,1,0)B 所以(0,1, 1)PC ，(1,1,0)CB ，( 1,0,0) AC 设平面PBC的法
14、向量为( , , )n x y z， 则 0, 0, n n PC CB 即 0, 0. yz xy 令1 y，则1x，1 z 所以 (1, 1, 1)n 因为ABCD为平行四边形，且ABAC， 所以 CDAC 因为PD 面ABCD， 所以 PDAC 又因为ICDPDD， 所以AC面PDC 所以 平面PDC的法向量为=( 1,0,0) uuu r AC， 所以 3 cos, 3 | n n n AC AC AC uuu r uuu r uuu r， 由题意可知二面角DPCB的平面角为钝角， 7 所以二面角DPCB余弦值的大小为 3 3 . 14 分 (17)（本小题 14 分） 解： （）因为
15、 ( )sin()cos () 66 f xaxx221 sin()cos() 3 sin()cos()+ 662 ()sin() 6 axx axx ax 221 6 221 121 所以 函数( )f x的最小正周期T . 因为 a 0，所以函数( )f x的最大值和最小值分别为, aa 2. 若选，则a 1 ，函数 ( )2sin(2) 1 6 f xx； 若选，则3为函数( )f x的最小值，从而a 1 ，函数 ( )2sin(2) 1 6 f xx； 选， (1)sin(2) 1 1 66 a ，从而a 1 ，函数 ( )2sin(2) 1 6 f xx . 8 分 （）由（）知函数
16、( )f x的最大值为1； 因为 关于x的方程( )f x 1在区间 , m0上有两个不同解， 当 , xm 0时， , 666 xm 22. 所以 59 262 m2，解得 47 33 m. 所以，实数m的取值范围是 4 7 ,) 33 . 14 分 (18)（本小题 14 分） 解（）由图知，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有 3 个点， 所以 从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为 3 0.06 50 . 4 分 （）由图知, A BCD， ， ，四个点位中纵坐标误差值小于4的有两个点: CD，. 所以 X所有可能取值为0,1,2. 0 2 2
17、 4 1 (0) 6 C P X C , 8 11 22 2 4 2 (1) 3 C C P X C , 2 2 2 4 1 (2) 6 C P X C . 所以 X的分布列为 X 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 所以 X的期望 121 0121 636 EX . 12 分 （）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代. 14 分 (19) （本小题 14 分） 解： （）因为 22 22 :1(0) xy Eab ab ， 所以 222 abc . 因为 四边形 12 AFBF为正方形，且面积为2, 所以 22bc， 1 (2 ) (2 )2 2 bc. 所以 1bc， 222
18、2abc. 所以 椭圆 2 2 :1 2 x Ey. 4 分 （）设平行直线 1: lykxm， 2: lykxm， 不妨设直线ykxm与 2 2 1 2 x y交于 1122 ,C x yD x y， 由 2 2 1 2 x y ykxm ，得 2 2 22xkxm， 化简得： 222 214220kxkmxm， 其中 22222 (4)4 (21) (22)16880kmkmkm ，即 22 21mk. 所以 12 2 4 21 km xx k ， 2 12 2 22 21 m x x k ， 由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知OCOD， 所以 1212 0x xy y， 11 ykx
19、m， 22 ykxm， 9 22 12121212 222222 2 222222222 2 22 2 1 22 1421 21 222242 21 322 21 x xy ykx xkm xxm mkk mmk k k mmkk mk mm k mk k ， 所以 22 322mk. 22 121 2 |(1)()4CDkxxx x= 222 2 222 168(1) (1) (21)21 k mm k kk 22 22 (1)(328) 3(21) kk k 2 22 88 33(21) k k =+ 2 2 2 2 88 1 3 3(44) 88 31 3(42 4) 3 k k k k
20、 =+ + = 所以 当且仅当 2 2 k 时，|CD的最大值为3. 此时 四边形CDMN周长最大值为4 3. 14 分 (20)（本小题 15 分） 解：解： （）当1a 时，( )ln21fxxx， 所以(1)1 f . 又因为(1)1f ， 所以 切线方程为11yx ，即0xy. 4 分 （）( )ln21fxxax， 设 ( )ln21g xxax， 10 当0a时,易证( )g x在0 +，单调递增，不合题意. 当0a时 1 2gxa x ， 令 0g x，得 1 2 x a ， 当 1 0, 2 x a 时， 0g x， g x在 1 0, 2a 上单调递增， 当 1 ,+ 2 x
21、 a 时， 0g x， g x在 1 , 2a 上单调递减， 所以 g x在 1 2 x a 处取得极大值 11 ln 22 g aa . 依题意，函数 ln21g xxax有两个零点， 则 11 ln0, 22 g aa 即 1 1 2a ， 解得 1 0 2 a. 又由于 11 1 2ea ， 11 =20ga ee ， 1 2 2 1 2 a e a ， 由 2 1(0) x exx得 11 22 2 22 111 ()22122(2)111 100 222 aa g ea eaa aaa 实数a的取值范围为 1 0 2 a时， f x有两个极值点. 13 分 （）由（）可知，当1a 时
22、， 111 ( )lnln0 222 g xg aa ， 所以 f x在(0 + )，上单调递减， f x在区间0, 2a上的最小值为 2 (2 )2 (ln22)faaaa. 15 分 (21)（本小题 14 分） 解： （）由于 2 = n Axn：，(2)T为满足不等式 + ()(N ) nt xxtntn 的 * t构成的集合， 所以 有： 2 + 4(2)(N ,) nt nnnt， 当 2n时，上式可化为+2nt， 11 所以 5t. 当 =1n时，上式可化为3t. 所以 (2)T为35，. 4 分 （）对于数列 123n AxxxxLL： ， ， ， ，若( )T t + (N1
23、)tt， 中均只有同一个元素，不妨设为a. 下面证明数列A为等差数列. 当 = +1n t时，有 1 (1)(1) tt xxat LL； 当 =1n t 时，有 1 (1)(2) tt xxat LL； 由于(1)，(2)两式对任意大于 1 的整数均成立， 所以 有 1 = (1) tt xxat 成立，从而数列 12n xxx， ， ，LL为等差数列. 8 分 （III) 对于数列 123n AxxxxLL： ， ， ， ，不妨设 ( )T ia， ( )T jb，1ijab ， 由 ( )T ia可知：() ji xxa ji， 由 ( )T jb可知：() ij xxb ij，即()
24、ji xxb ji， 从而()() ji a jixxb ji， 所以ab. 设 T i i t，则 23n tttLL， 这说明如果1ij ，则 ij tt. 因为对于数列 123n AxxxxLL： ， ， ， ，( )T t + (N1)tt， 中均只有一个元素， 首先考察=2t时的情况，不妨设 21 xx， 因为 212 xxt，又 T 2为单元素集， 所以 212 xxt. 再证 332 txx，证明如下： 由 3 t的定义可知： 332 txx， 31 3 2 xx t ， 所以 31 332 max 2 xx txx ， 12 又由 2 t的定义可知 32221 =xxtxx， 所以 322131 332 22 = xxxxxx txx ， 所以 323 xxt. 若 32 tt ， 即 3322 txxt， 则存在正整数(4)m m ，使得 22 (2) m mtxx(3)LL， 由于 212323431kkk xxtxxtxxxxt LL 所以 2112 33 ()(2) mm miii ii xxxxtmt ，这与(3)矛盾. 所以 32 tt . 同理可证 2345 ttttL， 即数列 123n AxxxxLL： ， ， ， ，为等差数列. 14 分
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