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    北京市东城区2020年5月高三一模数学试卷(一)含答案

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    北京市东城区2020年5月高三一模数学试卷(一)含答案

    1、1 北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习(一) 数 学 2020.5 本试卷共 4 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后, 将答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1) 已知集合10Ax x,1 0 1 2B , ,那么AB I (A)1 0 , (B) 0 1, (C) 1 0 1 2 , , (D) 2 (2) 函数 2 2 ( ) 1 x f x x 的定义域为 (A) - (

    2、,1 2 (B) ,)2 + (C) -(,) ,)11 +U (D) -(,) ,)12 +U (3) 已知 2 1 i() 1i a +a R,则a (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)2 (4) 若双曲线 2 2 2 :1(0) y C xb b 的一条渐近线与直线21yx平行,则b的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2 (5) 如图所示,某三棱锥的正(主)视图、俯视图、侧(左)视 图均为直角三角形,则该三棱锥的体积为 (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 (6) 已知1x ,那么在下列不等式中,不 成立的是 (A) 2 10x (B) 1 2x x (C) s

    3、in0xx (D) cos0xx 正(主) 侧(左) 俯 视 2 (7)在平面直角坐标系中, 动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动, 每12分钟转动一周. 若点M的初始位 置坐标为( ,) 13 22 ,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是 (A)(, ) 3 1 22 (B) (,) 13 22 (C) (, ) 3 1 22 (D) (,) 31 22 (8) 已知三角形ABC,那么“+ +AB ACABAC uu u r uuu ruu u ruuu r ”是“三角形ABC为锐角三角形”的 (A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不

    4、必要条件 (9) 设O为坐标原点,点( , )1 0A,动点P在抛物线yx 2 2上,且位于第一象限,M是线段PA的中点,则直线OM 的斜率的范围为 (A) (0,1 (B) 2 (0) 2 , (C) 2 (0 2 , (D) 2 ) 2 , (10) 假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者 为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以( )x t表示,被捕食 者的数量以( )y t表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法 正确的是: (A)

    5、若在 12 tt,时刻满足: 12 ( )= ( )y ty t,则 12 ( )= ( )x tx t; (B) 如果( )y t数量是先上升后下降的,那么( )x t的数量一定也是先上 升后下降; (C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值; (D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者的数量 也会达到最大值. 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11) 已知向量( , ),( ,),( , )1122 3mabc,若ab 与c共线,则实数m= . (12) 在 6 2 ()x x 的展开式中常数项为

    6、 . (用数字作答) (13) 圆心在x轴上,且与直线 1: lyx和 2: 2lyx都相切的圆的方程为_. (14) ABCV是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且3ADCD, 2 7BD,则CD ,sin ABD . (15) 设函数 (1),0, ( ) 22,0. x aa x a xx f x x 给出下列四个结论: 3 对0 a,t R,使得( )f xt无解; 对0 t,a R,使得( )f xt有两解; 当0a 时,0t ,使得( )f xt有解; 当2a 时,t R,使得( )f xt有三解. 其中,所有正确结论的序号是 . 注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选

    7、对得注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得5 5 分,不选或有错选得分,不选或有错选得0 0分,其他得分,其他得3 3 分。分。 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (16)(本小题 14 分) 如图,在四棱锥PABCD-中,PD 面ABCD,底面ABCD为平行四边形,ABAC,1ABAC,1PD ()求证:/AD平面PBC; ()求二面角DPCB的余弦值的大小. (17)(本小题 14 分) 已知函数 ( )sin()cos ()(f xaxxa 2 220) 66 ,且满足 . ()求函数( )f x的解析式及最小正周期; ()若关

    8、于x的方程( )f x 1在区间 , 0 m 上有两个不同解,求实数m的取值范围. 从 ( )f x的最大值为1,( )f x的图象与直线3y 的两个相邻交点的距离等于,( )f x的图象过点 (,0) 6 这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 4 (18)(本小题 14 分) 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统,预计 2020 年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在 室外开放的环境下,北斗二代和北斗三代定位模块,分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值,其中“g” 表

    9、 示北斗二代定位模块的误差的值, “+”表示北斗三代定位模块的误差的值.(单位:米) ()从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个,求此 点横坐标误差的值大于10米的概率; () 从图中A,B,C,D四个点位中随机选出两个, 记X为 其中纵坐标误差的值小于4的点位的个数,求X的分布 列和数学期望; ()试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的 方差的大小.(结论不要求证明) (19) (本小题 14 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab ,它的上,下顶点分别为A,B,左,右焦点分别为 1 F, 2 F,若四边形 12 AFBF为 正方形,且面积为2. ()求椭圆E的标

    10、准方程; ()设存在斜率不为零且平行的两条直线 12 ,ll,与椭圆E分别交于点,C D M N,且四边形CDMN是菱形,求 出该菱形周长的最大值. (20) (本小题 15 分) 已知函数( )(ln)f xxxax(aR). ()若1a ,求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程; ()若( )f x有两个极值点,求实数a的取值范围; ()若1a ,求( )f x在区间0, 2a上的最小值. x y O 1055101520 4 2 2 4 6 8 10 12 B C D A + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

    11、+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 5 (21)(本小题 14 分) 数列 123n AxxxxLL: , , , ,对于给定的 + (1N )t tt,记满足不等式: + ()(N) nt xxt ntnnt, 的 * t构成的集合为( )T t. ()若数列 2 = n Axn:,写出集合(2)T; ()如果( )T t + (N1)tt,均为相同的单元素集合,求证:数列 12n xxx, , ,LL为等差数列; (III) 如果( )T t + (N1)tt,为单元素集合,那么数列 12n xxx, , ,LL还是等差数列吗?如果是等差

    12、数列,请给 出证明;如果不是等差数列,请给出反例. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 2020.2020.5 5 一、选择题(共一、选择题(共 1010 小题,每小题小题,每小题 4 4 分,共分,共 4040 分)分) (1)D (2)B (3)A (4)D (5)A (6)D (7)C (8)B (9)C (10)C 二、填空题(共二、填空题(共 5 5 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2525 分)分) 6 (11)3 (12)160 (13)

    13、 22 1 (1) 2 xy (14) 3 21 2 14 , (15) 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (16)(本小题 14 分) 解: ()如图,因为 四边形ABCD为平行四边形, 所以 /ADBC, 因为 BC 平面PBC,AD 平面PBC, 所以 /AD平面PBC 6 分 ()取C为坐标原点,过点C的PD平行线为z轴, 依题意建立如图所示的空间直角坐标系-Cxyz 由题意得,(0, 1,1)P,(1,0,0)A,(0,0,0)C,(1,1,0)B 所以(0,1, 1)PC ,(1,1,0)CB ,( 1,0,0) AC 设平面PBC的法

    14、向量为( , , )n x y z, 则 0, 0, n n PC CB 即 0, 0. yz xy 令1 y,则1x,1 z 所以 (1, 1, 1)n 因为ABCD为平行四边形,且ABAC, 所以 CDAC 因为PD 面ABCD, 所以 PDAC 又因为ICDPDD, 所以AC面PDC 所以 平面PDC的法向量为=( 1,0,0) uuu r AC, 所以 3 cos, 3 | n n n AC AC AC uuu r uuu r uuu r, 由题意可知二面角DPCB的平面角为钝角, 7 所以二面角DPCB余弦值的大小为 3 3 . 14 分 (17)(本小题 14 分) 解: ()因为

    15、 ( )sin()cos () 66 f xaxx221 sin()cos() 3 sin()cos()+ 662 ()sin() 6 axx axx ax 221 6 221 121 所以 函数( )f x的最小正周期T . 因为 a 0,所以函数( )f x的最大值和最小值分别为, aa 2. 若选,则a 1 ,函数 ( )2sin(2) 1 6 f xx; 若选,则3为函数( )f x的最小值,从而a 1 ,函数 ( )2sin(2) 1 6 f xx; 选, (1)sin(2) 1 1 66 a ,从而a 1 ,函数 ( )2sin(2) 1 6 f xx . 8 分 ()由()知函数

    16、( )f x的最大值为1; 因为 关于x的方程( )f x 1在区间 , m0上有两个不同解, 当 , xm 0时, , 666 xm 22. 所以 59 262 m2,解得 47 33 m. 所以,实数m的取值范围是 4 7 ,) 33 . 14 分 (18)(本小题 14 分) 解()由图知,在北斗二代定位的50个点中,横坐标误差的绝对值大于10米有 3 个点, 所以 从中随机选出一点,此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为 3 0.06 50 . 4 分 ()由图知, A BCD, , ,四个点位中纵坐标误差值小于4的有两个点: CD,. 所以 X所有可能取值为0,1,2. 0 2 2

    17、 4 1 (0) 6 C P X C , 8 11 22 2 4 2 (1) 3 C C P X C , 2 2 2 4 1 (2) 6 C P X C . 所以 X的分布列为 X 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 所以 X的期望 121 0121 636 EX . 12 分 ()北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代. 14 分 (19) (本小题 14 分) 解: ()因为 22 22 :1(0) xy Eab ab , 所以 222 abc . 因为 四边形 12 AFBF为正方形,且面积为2, 所以 22bc, 1 (2 ) (2 )2 2 bc. 所以 1bc, 222

    18、2abc. 所以 椭圆 2 2 :1 2 x Ey. 4 分 ()设平行直线 1: lykxm, 2: lykxm, 不妨设直线ykxm与 2 2 1 2 x y交于 1122 ,C x yD x y, 由 2 2 1 2 x y ykxm ,得 2 2 22xkxm, 化简得: 222 214220kxkmxm, 其中 22222 (4)4 (21) (22)16880kmkmkm ,即 22 21mk. 所以 12 2 4 21 km xx k , 2 12 2 22 21 m x x k , 由椭圆的对称性和菱形的中心对称性,可知OCOD, 所以 1212 0x xy y, 11 ykx

    19、m, 22 ykxm, 9 22 12121212 222222 2 222222222 2 22 2 1 22 1421 21 222242 21 322 21 x xy ykx xkm xxm mkk mmk k k mmkk mk mm k mk k , 所以 22 322mk. 22 121 2 |(1)()4CDkxxx x= 222 2 222 168(1) (1) (21)21 k mm k kk 22 22 (1)(328) 3(21) kk k 2 22 88 33(21) k k =+ 2 2 2 2 88 1 3 3(44) 88 31 3(42 4) 3 k k k k

    20、 =+ + = 所以 当且仅当 2 2 k 时,|CD的最大值为3. 此时 四边形CDMN周长最大值为4 3. 14 分 (20)(本小题 15 分) 解:解: ()当1a 时,( )ln21fxxx, 所以(1)1 f . 又因为(1)1f , 所以 切线方程为11yx ,即0xy. 4 分 ()( )ln21fxxax, 设 ( )ln21g xxax, 10 当0a时,易证( )g x在0 +,单调递增,不合题意. 当0a时 1 2gxa x , 令 0g x,得 1 2 x a , 当 1 0, 2 x a 时, 0g x, g x在 1 0, 2a 上单调递增, 当 1 ,+ 2 x

    21、 a 时, 0g x, g x在 1 , 2a 上单调递减, 所以 g x在 1 2 x a 处取得极大值 11 ln 22 g aa . 依题意,函数 ln21g xxax有两个零点, 则 11 ln0, 22 g aa 即 1 1 2a , 解得 1 0 2 a. 又由于 11 1 2ea , 11 =20ga ee , 1 2 2 1 2 a e a , 由 2 1(0) x exx得 11 22 2 22 111 ()22122(2)111 100 222 aa g ea eaa aaa 实数a的取值范围为 1 0 2 a时, f x有两个极值点. 13 分 ()由()可知,当1a 时

    22、, 111 ( )lnln0 222 g xg aa , 所以 f x在(0 + ),上单调递减, f x在区间0, 2a上的最小值为 2 (2 )2 (ln22)faaaa. 15 分 (21)(本小题 14 分) 解: ()由于 2 = n Axn:,(2)T为满足不等式 + ()(N ) nt xxtntn 的 * t构成的集合, 所以 有: 2 + 4(2)(N ,) nt nnnt, 当 2n时,上式可化为+2nt, 11 所以 5t. 当 =1n时,上式可化为3t. 所以 (2)T为35,. 4 分 ()对于数列 123n AxxxxLL: , , , ,若( )T t + (N1

    23、)tt, 中均只有同一个元素,不妨设为a. 下面证明数列A为等差数列. 当 = +1n t时,有 1 (1)(1) tt xxat LL; 当 =1n t 时,有 1 (1)(2) tt xxat LL; 由于(1),(2)两式对任意大于 1 的整数均成立, 所以 有 1 = (1) tt xxat 成立,从而数列 12n xxx, , ,LL为等差数列. 8 分 (III) 对于数列 123n AxxxxLL: , , , ,不妨设 ( )T ia, ( )T jb,1ijab , 由 ( )T ia可知:() ji xxa ji, 由 ( )T jb可知:() ij xxb ij,即()

    24、ji xxb ji, 从而()() ji a jixxb ji, 所以ab. 设 T i i t,则 23n tttLL, 这说明如果1ij ,则 ij tt. 因为对于数列 123n AxxxxLL: , , , ,( )T t + (N1)tt, 中均只有一个元素, 首先考察=2t时的情况,不妨设 21 xx, 因为 212 xxt,又 T 2为单元素集, 所以 212 xxt. 再证 332 txx,证明如下: 由 3 t的定义可知: 332 txx, 31 3 2 xx t , 所以 31 332 max 2 xx txx , 12 又由 2 t的定义可知 32221 =xxtxx, 所以 322131 332 22 = xxxxxx txx , 所以 323 xxt. 若 32 tt , 即 3322 txxt, 则存在正整数(4)m m ,使得 22 (2) m mtxx(3)LL, 由于 212323431kkk xxtxxtxxxxt LL 所以 2112 33 ()(2) mm miii ii xxxxtmt ,这与(3)矛盾. 所以 32 tt . 同理可证 2345 ttttL, 即数列 123n AxxxxLL: , , , ,为等差数列. 14 分


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