2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（文科）含答案解析

1、2020 年高考（文科）数学一诊试卷年高考（文科）数学一诊试卷 一、选择题 1已知集合 A0，1，2，3，4，5，Bx|x2n，nN，则 AB（ ） A0，2，4 B2，4 C1，3，5 D1，2，3，4，5 2已知复数 ，则|z|（ ） A B5 C13 D 3已知非零向量 ， ，给定 p：R，使得 ， ： ，则 p 是 q 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4若 2sin ，则 tan（ ） A4 B3 C4 D3 5已知双曲线 ， 的一条渐近线过点（2，1），则它的离心率是 （ ） A B C D 6已知集合 ， ， ， ， ，从 A 中

2、任选两个角，其正弦值相等的概率是 （ ） A B C D 7 近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示， 绘制相应的散点图， 如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万 只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 根据表及图得到以下判断： 羊只数量与草场植被指数成减函数关系； 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系 数为 r2，则|r1|r2|；可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草 场植被指数； 以上判断中正确的个数是（ ） A0 B1 C2

3、 D3 8已知函数 ，且 af（0.2 0.2），bf（log 34）， ，则 a、b、 c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 9已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为底面圆 周上的一点，且ABD60，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（ ） A B C D 10已知函数 f（x）sinx（sinx+cosx）（0），若函数 f（x）的图象与直线 y1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则 的范围是 A（ ， B（ ， C（ ， D（ ， 11已知点 M（4，2），抛物线 x24y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准

4、线，P 为 抛物线上一点，过 P 做 PQl，点 Q 为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R， 则|QR|+|MR|的最小值为（ ） A B C D5 12已知定义在 R 上的函数 f（x），f（x）是 f（x）的导函数，且满足 xf（x）f（x） x2ex，f（1）e，则 f（x）的最小值为（ ） Ae Be C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知函数 ， ， ，则 14已知向量 ， 满足| | ，向量 ， 夹角为 120，且（ ） ，则向量| | 15 在ABC中， a， b， c分别为角A， B， C 所对的边， 且 ， a

5、8， ， 则 c 16大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正六边形 ABCDEF，侧棱 AA、BB、CC、DD、EE、FF相互平行且与平面 ABCDEF 垂直，蜂房 底部由三个全等的菱形构成瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结 构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设 计自己的家园英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD1092816已知 一个房中 BB5 ，AB2 ，tan544408 ，则此蠊房的表面积是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17在等差数列an中，a18，a23a4 （）求数列an的

6、通项公式； （）设 ，Tn为数列bn的前 n 项和，若 ，求 n 的值 18如图，在四棱锥 PABCD 中，底前 ABCD 为平行四边形，点 P 在面 ABCD 内的射影 为 A，PAAB1，点 A 到平面 PBC 的距离为 ，且直线 AC 与 PB 垂直 （）在棱 PD 找点 E，使直线 PB 与平面 ACE 平行，并说明理由； （）在（）的条件下，求三棱锥 PEAC 的体积 19甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境， 不断地进行研究与实践，实现了沙退人进2019 年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代 入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在

7、治沙过程中为检测某种 固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量 风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚 度越小， 说明固沙效果越好， 数值为 0 表示该插针处没有被风蚀） 通过一段时间的观测， 治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相 应的频率分布直方图 （I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方 图，完成列联表： 标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有 95%的把握认

8、为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为 和 ，若| |20cm，则可认为此固沙方法 在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算 和 （同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附：K2 P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20已知点 F 为椭圆 （ab0）的一个焦点，点 A 为椭圆的右顶点，点 B 为 椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方程； （）若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且

9、直线 AM直线 BN，直线 AN、BM 的斜率 分别为 k1和 k2，求证：k1 k2e21（e 为椭圆的离心率） 21已知函数 （aR 且 a0） （）当 a 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标 系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极

10、坐标方程为 ，曲线 C2的直角坐标方程为 （）若直线 l 与曲线 C1交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度； （）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2上，求 的取值 范围 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|2x+2|，g（x）|x+2|+|x2a|+a （）求不等式 f（x）4 的解集； （）对x1R，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 A0，1，2，3，4，5，

11、Bx|x2n，nN，则 AB（ ） A0，2，4 B2，4 C1，3，5 D1，2，3，4，5 【分析】利用交集定义直接求解 解：集合 A1，2，3，4，5， Bx|x2n，nN， AB2，4 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函 数与方程思想，是基础题 2已知复数 ，则|z|（ ） A B5 C13 D 【分析】利用复数的运算法则求出 z，再求其模长即可 解：因为复数 2i（2+i）+21+2i； |z| ； 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 3已知非零向量 ， ，给定 p：R，使

12、得 ， ： ，则 p 是 q 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 q 可得向量 ， 同向共线，进而判断出关系 解：由 q 可得向量 ， 同向共线， qp，反之不成立 p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 4若 2sin ，则 tan（ ） A4 B3 C4 D3 【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得 tan 的值 解：若 2sin ，即 2cos （sin ）2 ，即 sin ， ，故 tan4， 故选：C 【点

13、评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属 于基础题 5已知双曲线 ， 的一条渐近线过点（2，1），则它的离心率是 （ ） A B C D 【分析】根据题意可知（2，1）在 y x 上，可得 a 24b2，即可得到离心率 解：由题可知（2，1）在双曲线的渐近线 y x 上，则 a2b，即 a 24b2， 所以 e ， 故选：A 【点评】 本题考查双曲线离心率的求法， 根据条件表示出 a、 b 关系是关键， 属于中档题 6已知集合 ， ， ， ， ，从 A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是 （ ） A B C D 【分析】从 A 中任选两个角，基本事件总数 n ，

14、其正弦值相等包含的基本事件 个数 m ，由此能求出其正弦值相等的概率 解：集合 ， ， ， ， ， sin sin ， ，sin sin ， ， 从 A 中任选两个角，基本事件总数 n ， 其正弦值相等包含的基本事件个数 m ， 其正弦值相等的概率是 p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 7 近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示， 绘制相应的散点图， 如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万 只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3

15、 49.7 根据表及图得到以下判断： 羊只数量与草场植被指数成减函数关系； 若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系 数为 r2，则|r1|r2|；可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草 场植被指数； 以上判断中正确的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可 解：对于，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以错误； 对于，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1， 因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为 r2，其相关性更强， 所以|r1

16、|r2|，正确； 对于，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数， 只是预测值，所以错误； 综上知，正确的判断序号是，共 1 个 故选：B 【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题 8已知函数 ，且 af（0.2 0.2），bf（log 34）， ，则 a、b、 c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Ccba Dbca 【分析】推导出 00.20.20.201，log341， 1，由此能比较三个数的大小 解：函数 的减区间为（，0），增区间为（0，+）， 00.20.20.201，log341， 1， af（0.20.2），bf（log34

17、）， ， bca 故选：D 【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 9已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为底面圆 周上的一点，且ABD60，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（ ） A B C D 【分析】建立直角坐标系不妨设 OB1高和底面的半径相等，得 OEOBOA，OA 底面 DEB，利用向量夹角公式即可得出 解：如图所示，建立直角坐标系不妨设 OB1 因为高和底面的半径相等，OEOBOA，OA底面 DEB 点 D 为底面圆周上的一点，且ABD60， ABADDB； D

18、为 的中点 则 O（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0）， （0，1，1）， （1，1，0）， cos ， ， 异面直线 AM 与 PB 所成角的大小为 异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为 故选：A 【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 10已知函数 f（x）sinx（sinx+cosx）（0），若函数 f（x）的图象与直线 y1 在（0，）上有 3 个不同的交点，则 的范围是 A（ ， B（ ， C（ ， D（ ， 【分析】 先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式， 再把问题

19、转化为 sin （2 ） 有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解 解： 因为函数 f （x） sinx （sinx+cosx） （1cos2x） sin2x sin （2 ） （0）， 函数 f（x）的图象与直线 y1 在（0，）上有 3 个不同的交点； 即 sin（2 ） 1 有 3 个根； sin（2 ） 有三个根； x（0，）； 2 （ ，2 ）； 2 2 2 故选：C 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合 性题目 11已知点 M（4，2），抛物线 x24y，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为 抛物线上一点，过 P 做 PQl，点 Q

20、为垂足，过 P 作抛物线的切线 l1，l1与 l 交于点 R， 则|QR|+|MR|的最小值为（ ） A B C D5 【分析】画出图形，设出 P 的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就 是 MF 的距离即可 解：设 P（m， ），则过 P 的切线的斜率为：k ，Q（m，1），kPQ ，kPQ k1， 根据抛物线的定义，|PF|PQ| l1为 FQ 的垂直平分线，|RF|RQ|， |QR|+|MR|的最小值为|MF| 5， 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是 中档题 12已知定义在 R 上的函数 f（x），f（x）是

21、f（x）的导函数，且满足 xf（x）f（x） x2ex，f（1）e，则 f（x）的最小值为（ ） Ae Be C D 【分析】构造函数 ，则 e x，设 F（x）ex+c，即 f（x） xex+cx，又 f（1）e 得 c0，所以 f（x）xex，再利用导数即可求得 f（x）的最小值 解：由 xf（x）f（x）x2ex，构造函数 ，则 e x， 所以可以设 F（x）ex+c，即 ，f（x）xe x+cx， 又因为 f（1）e 得 c0，所以 f（x）xex， 由 f（x）ex（x+1）0 得 x1， 所以当 x1 时 f（x）0，即 f（x）在（，1）上为减函数， 当 x1 时 f（x）0，f

22、（x）在（1，+）上为增函数， 所以 ， 故选：D 【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知函数 ， ， ，则 4 【分析】先求出 f（log2 ） ，从而 f（ ），由此能求出结果 解：函数 ， ， ， f（log2 ） ， f（ ）2 故答案为：4 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 14已知向量 ， 满足| | ，向量 ， 夹角为 120，且（ ） ，则向量| | 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得| | | |

23、cos ， 2，及| |的值，而| | 展开可求出其值 解：因为（ ） ，所以（ ） 0，即 20， 因为| | ，向量 ， 夹角为 120，整理可得 2| | | |cos ， 2， 即2| | （ ），所以| |2 ， 所以| | 故答案为： 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积 公式的应用，属于基础题 15 在ABC中， a， b， c分别为角A， B， C 所对的边， 且 ， a8， ， 则 c 9 【分析】根据 可求出 cosC，进而求出 sinC由 可得 sinA， 最后利用正弦定理求出 c 的值 解：由 得 ， 显然 ， ，结合 ， ， a

24、8，由正弦定理得 ，即 ， c9 故答案为：9 【点评】 本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点 同时考查学生的逻辑推理、 数学运算等数学核心素养属于基础题 16大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房蜂房的结构如图所示，开口为正六边形 ABCDEF，侧棱 AA、BB、CC、DD、EE、FF相互平行且与平面 ABCDEF 垂直，蜂房 底部由三个全等的菱形构成瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结 构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设 计自己的家园英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD1092816已知 一个房中 BB5 ，AB2 ，tan5

25、44408 ，则此蠊房的表面积是 216 【分析】连接 BD，BD，则由题意 BDBD，BDBD6 ，由 OBC D为菱形，可求 OC2 6，BC3 ，进而可求 CC，可求 S梯形BBCC，即可计算得解 S表面积的值 解：连接 BD，BD，则由题意 BDBD，BDBD6 ， OBCD为菱形，BCD1092816，tan544408 ， OC2 2 6，BC3 ， CCBB 4 ， S梯形BBCC 27 ， S表面积6 3 216 故答案为：216 【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数 形结合思想的应用，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程

26、或演算步骤. 17在等差数列an中，a18，a23a4 （）求数列an的通项公式； （）设 ，Tn为数列bn的前 n 项和，若 ，求 n 的值 【分析】（）先设公差为 d，由 a18，a23a4，求出 d，进而求出 an； （）先利用（1）中求出的 an求 bn，再利用裂项相消法求 Tn，从而解决 n 的值得问题 解：（）设等差数列an的公差是 d，由 a18，a23a4得：8+d3（8+3d）解 得 d2， 所以 an10+2n； （）由（）知 an10+2n， ， 所以 Tn2（ ）+（ ）+（ ） ， 由 Tn 解得 n9 【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题 18如

27、图，在四棱锥 PABCD 中，底前 ABCD 为平行四边形，点 P 在面 ABCD 内的射影 为 A，PAAB1，点 A 到平面 PBC 的距离为 ，且直线 AC 与 PB 垂直 （）在棱 PD 找点 E，使直线 PB 与平面 ACE 平行，并说明理由； （）在（）的条件下，求三棱锥 PEAC 的体积 【分析】（）点 E 为 PD 中点时直线 PB 与面 ACE 平行连接 BD，交 AC 点 O，说明 OEPB，然后证明 PB 与平面 ACE 平行 （）说明 AC平面 PAB，则 ACAB，设 ACx，通过等体积法转化求解即可 解：（）点 E 为 PD 中点时直线 PB 与面 ACE 平行 证

28、明：连接 BD，交 AC 点 O，则点 O 为 BD 的中点， 因为点 E 为 PD 中点， 故 OE 为PDB 的中位线，则 OEPB，OE平面 ACE，PB平面 ACE， 所以 PB 与平面 ACE 平行 （）根据题意 ACPB，PA底面 ABCD，AC底面 ABCD，则有 ACPA，PAPB P， 所以AC平面PAB， 则ACAB设ACx， ，得 AC1， 则 【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是 基本知识的考查 19甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境， 不断地进行研究与实践，实现了沙退人进2019 年，古浪

29、县八步沙林场“六老汉”三代 入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙过程中为检测某种 固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量 风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚 度越小， 说明固沙效果越好， 数值为 0 表示该插针处没有被风蚀） 通过一段时间的观测， 治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相 应的频率分布直方图 （I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； （）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方 图

30、，完成列联表： 标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为 和 ，若| |20cm，则可认为此固沙方法 在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算 和 （同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附：K2 P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的频率值； （）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结

31、论； （）计算 和 ，求出| |，即可得出结论 解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的事件为 C， 则 P（C）0.08+0.16+0.360.6； （）由频率分布表，填写列联表如下： 标记 不标记 合计 坡腰 30 20 50 坡顶 20 30 50 合计 50 50 100 由表中数据，计算 K2 43.841， 所以有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关； （）计算 0.085+0.1615+0.3625+0.2435+0.1245+0.045525.8（cm）， 0.045+0.1215+0.2425+0.3235+0.2045+0.085532.6（

32、cm）， 且| |4.820， 所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异 【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题 20已知点 F 为椭圆 （ab0）的一个焦点，点 A 为椭圆的右顶点，点 B 为 椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方程； （）若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM直线 BN，直线 AN、BM 的斜率 分别为 k1和 k2，求证：k1 k2e21（e 为椭圆的离心率） 【分析】（）由题意可知，a+c3，ac1，可求出 a，c 的值，再利用 b2a2c2 求出 b 的值，即可得到椭圆的

33、标准方程； （）设直线 AM 的斜率为 k，则直线 BN 的斜率也为 k，所以直线 AM 的方程为 yk（x 2），直线 BN 的方程为 ykx ，联立直线 AM 与椭圆方程求出点 M 的坐标，联立 直线BN与椭圆方程求出点 N的坐标， 再利用斜率公式分别求出k1 ， k 2， 化简 k1 k 2 ， 从 而得到 k1 k2e21 解：（）由题意可知， ，解得 ， b2a2c23， 椭圆的标准方程为： ； （）由（）可知，A（2，0），B（0， ）， 设直线 AM 的斜率为 k，则直线 BN 的斜率也为 k， 故直线 AM 的方程为 yk（x2），直线 BN 的方程为 ykx ， 由 得：（3

34、+4k2）x216k2x+16k2120， ， ， ， ， ， 由 得： ， ， ， ， ， ， ， k1k2 ， 又 ， k1 k2e21 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应 用，是中档题 21已知函数 （a一、选择题且 a0） （）当 a 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间； （）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna 【分析】（）因为 a 时，f（x）2 xf（1）1，易求 f（1） 2 ，从而可得曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；

35、（）由题意可知 f（x）2 x （x0），令x2+2 xa0， 通过对124a 符号的分析，即可求得函数 f（x）的单调性与单调区间； （）依题意，f（x） 0 有两个正根 x1，x2，则124a0，x1+x2 2 ，x 1 x2a0，f（x1）+f（x2）2 （x 1+x2）aln（x1x2 ） （ ）+1 alna+a+7，利用分析法，若要 f（x1）+f（x2）9lna，即要 alnalnaa+20， 构造函数 g（x）xlnxlnxx+2，通过对其导数的分析，存在 x0（1，2），使得 g（x0） 0，且 g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）x0lnx0x0lnx0+23（x0

36、 ）， 利用对勾函数的单调性即可证得结论成立 解：（） 因为 a 时， ， 所以 f （x） 2 x， 那么 f（1）1，f（1）2 ， 所以曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y2 （x1），即 x+y 2 10， （）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+）， 因为 f（x）2 x ，由x2+2 xa0 可得：124a0， 即 a3 时，有 x1 ，x2 ，x1x2，又当 x（0，3）时，满足 x1x20， 所以有 x（0，x2）和（x1，+）时，f（x）0， 即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+）上为减函数 又 x（x2，x1）时，f（x）0，即 f（x）在区间（x2

37、，x1）上为增函数 当 a0 时，有 x10，x20，则 x（0，x1）时，f（x）0，f（x）为增函数；x（x1， +）时，f（x）0，f（x）为减函数； 当 a3 时，0，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在（0，+）为减函数， 综上所述，当 a0 时，在（0，3 ），f（x）为增函数；在（3 ，+）， f（x）为减函数； 当 0a3 时， f （x） 在区间 （0， 3 ） 和 （3 ， +） 上为减函数， 在 （3 ， 3 ），f（x）为增函数； 当 a3 时，在（0，+）上，f（x）为减函数 （）因为 yf（x）有两个极值点 x1，x2，则 f（x） 0 有两个正根 x1， x2，则

38、124a0，x1+x22 ，x 1 x2a0， 即 a（0，3），所以 f（x1）+f（x2）2 （x 1+x2）aln（x1x2 ） （ ）+1 alna+a+7， 若要 f（x1）+f（x2）9lna，即要 alnalnaa+20， 构造函数 g（x）xlnxlnxx+2，则 g（x）1+lnx 1lnx ，且在（0，3）上 为增函数， 又 g（1）10，g（2）ln2 0， 所以存在 x0（1，2），使得 g（x0）0，即 lnx0 ，且 x（1，x0）时，g（x）0， g（x）单调递减，x（x0，2）时，g（x）0，g（x）单调递增， 所以 g（x）在（1，2）上有最小值 g（x0）x

39、0lnx0x0lnx0+23（x0 ）， 又因为 x0（1，2），则 x0 （2， ），所以 g（x 0）0 在 x0（1，2）上恒成立， 即 f（x1）+f（x2）9lna 成立 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用， 突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理 能力与综合运算能力，属于难题 请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标 系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标 原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立

40、极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 ，曲线 C2的直角坐标方程为 （）若直线 l 与曲线 C1交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度； （）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2上，求 的取值 范围 【分析】（）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结 果 （）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围 解：（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），转换为直角坐标方程为 x+y 10， 曲线 C1的极坐标方程为 ，转换为直角坐标方程为 x 2+y22x+2y0， 转换为标准式为（x1）2+（y+1）22， 所以圆心（

41、1，1）到直线 x+y10 的距离 d ， 所以弦长|MN|2 （）线 C2的直角坐标方程为 转换为直角坐标方程为 x2+y24，转换为参 数方程为 （0） 由于 A（1，0），B（0，1），点 P 在曲线 C2上，故 P（2cos，2sin）， 所以 ， ， ， ，（0）， 所以 2 ， 故： ， 所以 ， 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x1|+|2x+2|，g（x

42、）|x+2|+|x2a|+a （）求不等式 f（x）4 的解集； （）对x1R，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求 a 的取值范围 【分析】（）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情 况的解集取并集即可； （）易知 f（x）min2，g（x）|2a+2|+a，结合题意可知 2|2a+2|+a，由此求得实数 a 的取值范围 解：（） ， ， ， ， f（x）4 即为 或 或 ， 或 x或 x1， 不等式的解集为 ， ， ； （）由（）知，当 x1 时，f（x）min2，g（x）|x+2|+|x2a|+a|（x+2）（x 2a）|+a|2a+2|+a， 由题意，对x1R，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，故 f（x）ming（x）min，即 2 |2a+2|+a，解得4a0， 实数 a 的取值范围为4，0 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值 不等式性质的运用，属于基础题