1、2020 年高考（理科）数学模拟试卷年高考（理科）数学模拟试卷 一、选择题. 1已知集合 Ax|y ，Bx|x2x0，则 AB（ ） A（0， B0， C（ ，1 D ，1 2复数 z 满足 ，则复数 z 的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 3已知 alog20200.9b20200.9，c0.92020则（ ） Aacb Babc Cbac Dbca 4等差数列an的前 n 项和记为 Sn，若 a3+a7的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常 数的是（ ） AS7 BS8 CS9 DS10 5函数 f（x） cosx 的图象大致是（ ） A B C D 6洛书，古称龟书，是阴阳五行术数
2、之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有 此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳 数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取 1 个数，则其 和等于 9 的概率是（ ） A B C D 7数列 1，1，2，3，5，8，13称为斐波那契数列，是十三世纪意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，该数列前两项均为 1从第三 项开始，每一项等于其前相邻两项之和设计如图所示的程序框图，若输出的是“兔子 数列“的第 n 项（nN 且 n3），则图中（1），（2）应分别填入（ ） Aba+b，in Bba+c，i
3、n Cba+b，in Dba+c，in 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于 的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 9关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不相等的实根，则实数 a 的取值范围 是（ ） A（0， ） B（ ，e） C（0， ） D（ ， ） 10平面向量 、 满足 （ ）3，| |2，则| |的最大值是（ ） A1 B2 C3 D4 11M 为双曲线 l（a0，b0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦 点，且 0，直线 MF2交 y 轴于点 N，若NF1M 的内切圆的半径为 b，则双曲 线的离心率为（ ） A B C2
4、D3 12关于函数 f（x）sinx |sin |有下述四个结论：f（x）的图象关于点（，0）对称； f（x）的最大值为 ；f（x）在区间（ ， ）上单调递增；f（x）是周期函数 其 中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13（x+a）10的展开式中，x7的系数为 15，则 a 14数列an中 a12，an+12an，Sn为an的前 n 项和，若 Sn62，则 n 15设中心在原点的椭圆 C 的两个焦点 F1、F2在 x 轴上，点 P 是 C 上一点，若使PF1F2 为直角三角形的点 P 恰有 6 个，且这 6 个直角
5、三角形中面积的最小值为 ，则 C 的方程 为 16 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是直角梯形， ABCD， ABC90 若 PAPD， PCPB，且PBC 的面积为 ，则四棱锥的体积的最大值为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17在ABC 中，2sin2 sin sin A （I）求 sinA 的值； （2）若 AB+AC4，ABC 的面积为 ，求边 BC 的长 18在五面体 ABCDEF 中，BCAB，DAEAEF90
6、 （1）证明：平面 ABE平面 ABCD； （2）若 ADBCCD，ABE 是等腰直角三角形，AEB90，求直线 CE 与平面 AEFD 所成角的正切值 19设点 F 是抛物线 C：x22py（p0）的焦点，M、N 是 C 上两点若|MF|+|NF|4，且 线段 MN 的中点到 x 轴的距离等于 1 （1）求 p 的值； （2）设直线 1 与 C 交于 A、B 两点且在 y 轴的截距为负，过 F 作 l 的垂线，垂足为 P， 若 5 （i）证明：直线 1 恒过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求点 P 的轨迹方程 20春节期间爆发的新型冠状病毒（COVID19）是新中国成立以来感染人数最多的
7、一次 疫情，一个不知道自己已感染但处于潜伏期的甲从疫区回到某市过春节，回到家乡后与 朋友乙、丙、丁相聚过，最终乙、丙、丁也感染了新冠病毒、可以肯定的是乙受甲感染 的，丙是受甲或乙感染的，假设他受甲和受乙感染的概率分别是 0.6 和 0.4，丁是受甲、 乙或丙感染的， 假设他受甲、 乙和丙感染的概率分别是 0.2、 0.4 和 0.4 在这种假设之下， 乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为 X （1）求 X 的分布列和数学期望； （2）该市在发现在本地出现新冠病毒感染者后，迅速采取应急措施，其中一项措施是各 区必须每天及时上报新增疑似病例人数，A 区上报的连续 7 天新增疑似病例数据是“总 体均值为
8、 3，中位数 4”，B 区上报的连续 7 天新增疑似病例数据是“总体均值为 2，总 体方差为 3“设 A 区和 B 区连续 7 天上报新增疑似病例人数分别为 x1，x2，x7 和 y1，y2，y7，xi和 yi（1i7，iN）分别表示 A 区和 B 区第 i 天上报新增疑似 病例人数（xi和 yi均为非负）记 Mmaxx1，x2，x7，Nmaxy1，y2， y7 试比较 M 和 N 的大小； 求 M 和 N 中较小的那个字母所对应的 7 个数有多少组？ 21已知函数 f（x）aex+0.5+（14a）x，直线 y14x+9 是曲线 yf（x）的一条切线 （1）求 a 的值； （2）证明：不等式
9、 f（x）8x38x2+5 在（，2上恒成立 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 1 题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方 程 22在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C：x2+y24 xcos4ysin+7cos280，（R， 是参數）以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 1 的极坐标方程 为 2cos（ ）m （1）求动圆 C 的圆心的轨迹 C1的方程及直线 1 的直角坐标方程； （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点，若|MN|的最小值为 1，求 m
10、 的值 选修 4-5：不等式选讲 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1 （1）证明：ab+bc+ca ； （2）若不等式 t 恒成立，求 t 的最大值 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 Ax|y ，Bx|x2x0，则 AB（ ） A（0， B0， C（ ，1 D ，1 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|y x|x ， Bx|x2x0x|0x1， ABx|0 0， 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题
11、 2复数 z 满足 ，则复数 z 的虚部为（ ） A1 B1 Ci Di 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 解： ， z1i， 则复数 z 的虚部为1 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3已知 alog20200.9b20200.9，c0.92020则（ ） Aacb Babc Cbac Dbca 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出 解：alog20200.90，b20200.91，c0.92020（0，1）， acb， 故选：A 【点评】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于
12、基 础题 4等差数列an的前 n 项和记为 Sn，若 a3+a7的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常 数的是（ ） AS7 BS8 CS9 DS10 【分析】由题意利用等差数列的性质，得出结论 解：等差数列an的前 n 项和记为 Sn，若 a3+a7的值为一个确定的常数，a3+a72a5， a5 是一个常数 S9 9a5，为常数， 故选：C 【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题 5函数 f（x） cosx 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可 解：函数 f（x） cosx，可知：f（x） cosx cosxf（x）， 函
13、数是奇函数 排除 A、B，当 x（0， ）时，f（x）0，排除 D， 故选：C 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性与特殊点位置是判断函数的 图形的常用方法 6洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有 此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳 数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取 1 个数，则其 和等于 9 的概率是（ ） A B C D 【分析】基本事件总数 n4520，利用列举法求出其和等于 9 包含的基本事件有 4 个，由此能求出其和等于 9 的概率 解：从四个阴数和五个阳数
14、中分别随机选取 1 个数， 基本事件总数 n4520， 其和等于 9 包含的基本事件有： （7，2），（3，6），（5，4），（1，8），共 4 个， 其和等于 9 的概率 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 7数列 1，1，2，3，5，8，13称为斐波那契数列，是十三世纪意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，该数列前两项均为 1从第三 项开始，每一项等于其前相邻两项之和设计如图所示的程序框图，若输出的是“兔子 数列“的第 n 项（nN 且 n3），则图中（1），（2）应分别填入（ ） Aba+b，
15、in Bba+c，in Cba+b，in Dba+c，in 【分析】根据题意输出第 n 项，以及每一项是前 2 项和，可以判断 解：要想计算第 n 项，因此 in， 因为要输出结果为 b，则 ba+c， 故选：D 【点评】本题考查程序框图，属于基础题 8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于 的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可 解：由题意可知几何体的直观图如图： SPAB 2，SPADSPCB ， SPCD 2 ， 该几何体的各个面中，面积小于 的个数是 3 个 故选：C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体
16、积和表面积，解决本题的关键是得到该几何 体的形状 9关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不相等的实根，则实数 a 的取值范围 是（ ） A（0， ） B（ ，e） C（0， ） D（ ， ） 【分析】由题意画出图形，可知当 a0 时，显然不满足题意；当 a0 时，利用导数求 出直线与曲线相切时的直线的斜率，结合 x4 时直线在曲线上方求解 解：关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不相等的实根， 即|lnx|ax 在区间（0，4）上有三个不相等的实根， 也就是函数 y|lnx|与 yax 在区间（0，4）上有三个不同的交点， 当 a0 时，显然不满足题
17、意； 当 a0 时，设直线 yax 与 ylnx（x1）的切点为（x0，lnx0）， 切线方程为 ylnx0 （xx0），代入 O（0，0）， 可得lnx01，即 x0e，则 lnx01，此时 a 再由 4aln4，可得 a 关于 x 的方程|lnx|ax0 在区间（0，4）上有三个不相等的实根，则实数 a 的取值范 围是（ ， ） 故选：D 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化 思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题 10平面向量 、 满足 （ ）3，| |2，则| |的最大值是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据平面向
18、量的数量积列不等式求出| |1，再求| |的最大值 解：平面向量 、 满足 （ ）3，| |2， 所以 3， 所以 3； 又 | | |cos2| |， 所以2| | 3， 解得| |1， 所以 2 42（ 3） 10 9， 所以| |的最大值是 3 故选：C 【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长的计算问题，也考查了利用不等式求最值 的问题，是中档题 11M 为双曲线 l（a0，b0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦 点，且 0，直线 MF2交 y 轴于点 N，若NF1M 的内切圆的半径为 b，则双曲 线的离心率为（ ） A B C2 D3 【分析】由题意画出图形，可得NF1M
19、 为直角三角形，再由其内切圆的半径为 b，利用 等面积法可得|MF1|+|MN|NF1|2b， 结合双曲线定义整理得到|NF2|NF1|2b2a， 由 图形的对称性知：|NF2|NF1|，即 2b2a0，则 ab，即双曲线为等轴双曲线，离心 率可求 解：根据题意，双曲线 l（a0，b0）， NF1M 的内切圆半径为 b， 0，MF1MF2， RtNF1M 内切圆的半径为 b，由等面积法可得： |MF1|+|MN|NF1|2b， |MF2|+2a+|MN|NF1|2b， |NF2|NF1|2b2a， 由图形的对称性知：|NF2|NF1|， 即 2b2a0，得 ab，即双曲线为等轴双曲线，其离心率
20、为 故选：A 【点评】本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形中等面积法的 应用，是中档题 12关于函数 f（x）sinx |sin |有下述四个结论：f（x）的图象关于点（，0）对称； f（x）的最大值为 ；f（x）在区间（ ， ）上单调递增；f（x）是周期函数 其 中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦型函数的性质的应用 求出结果 解：f（2x）sin（x）|sin |f（x），故 f（x）的图象关于点（，0）对称 所以正确 因为 f（x）sin（x）|sin |f（x），故该函数为奇函数， 不妨设 0x
21、4，则 f（x）2sin2 cos 2（1cos2 ）cos ， 令 tcos 1，1，则 f（t）2（tt 3）， 则有 f（t）26t2， 则所以 f（t）的单调减区间为（1， ），函数 f（t）的单调增区间为（ ， ）， 函数的单调减区间为（ ，1）， 又函数的最大值为 f（ ） ，所以最大值不为 不正确 当 x（0， ）时，tcos （ ，1）， 由知，f（t）在该区间内有增有减，故不单调不正确 f（x+2）sin（x+2）|sin |sinx |sin |f（x）， 故该函数为周期函数正确 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，导数的应用，正弦型函数 的性质
22、的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13（x+a）10的展开式中，x7的系数为 15，则 a 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得 x7 的系数，再根据 x7的系数为 15，求得 a 的值 解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1 x10r ar， 令 10r7，求得 r3，可得 x7的系数为 a3 120a315， a ， 故答案为： 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的 系数，二项式系数的性质，属于中档题
23、 14数列an中 a12，an+12an，Sn为an的前 n 项和，若 Sn62，则 n 5 【分析】推导出an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，由此利用等比数列的前 n 项和 公式能求出项数 n 的值 解：数列an中，a12，an+12an， an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， Sn为an的前 n 项和，Sn62， 2 n+1262， 解得 n5 故答案为：5 【点评】本题考查等比数列的项数 n 的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运 用求解能力，是基础题 15设中心在原点的椭圆 C 的两个焦点 F1、F2在 x 轴上，点 P 是 C 上一点，若使PF1F2 为直角三角
24、形的点 P 恰有 6 个，且这 6 个直角三角形中面积的最小值为 ，则 C 的方程 为 【分析】 由PF1F2为直角三角形的点 P 恰有 6 个得椭圆上以 P 为直角的三角形有两个， 即为上下顶点，所以 bc；数形结合得 6 个直角三角形中面积最小的是以 F1或 F2为直 角顶点的三角形，进而求出 a，b 解：以 F1为直角的三角形有两个，以 F2为直角的三角形有两个， 又因为PF1F2为直角三角形的点 P 恰有 6 个， 以 P 为直角的三角形有两个，则 P 为上下顶点，故 bc， 显然6个直角三角形中面积最小的是以F1或F2为直角顶点的三角形， 即S 2c 则 a2，b C 的方程为： 故
25、答案为： 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，数形结合的思想方法，是基础题 16 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是直角梯形， ABCD， ABC90 若 PAPD， PCPB，且PBC 的面积为 ，则四棱锥的体积的最大值为 【分析】 先由题设条件BC平面 PEF， 再得出 PF平面ABCD， 从而得到V四棱锥PABCD| |EF| |PF|，再由基本不等式求出最大值 解：如右图所示：分别取 BC 与 AD 的中点 E，F，连 EF，PE，PF PCPB，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABC90， PEBC，EFBC，又PEEFE，BC平面 PEF 在PEF 中作 PHE
26、F 于点 H，则易知 PH平面 ABCD 又 PAPD，PFAD 若点 H 与点 F 不重合，则有 EFAD，这与已知底面 ABCD 是直角梯形矛盾，所以点 H 与点 F 重合，即 PF平面 ABCD 故 V四棱锥PABCD S 四边形ABCD|PF| （|AB|+|CD|）|BC|PF| |EF|BC|PF| |EF| |PF|， 又 SPBC |BC| |PE| ，|PE| 2 又在 RTPEF 中有|EF| 2+|PF|2|PE|2， V四棱锥PABCD |EF| |PF| （|EF|2+|PF|2） （当且仅当|EF| |PF|时取“”）， （V四棱锥PABCD）max 故填： 【点评
27、】 本题主要考查空间直线与直线、 直线与平面的位置关系、 平面与平面位置关系， 几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化 归与转化思想等 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17在ABC 中，2sin2 sin sin A （I）求 sinA 的值； （2）若 AB+AC4，ABC 的面积为 ，求边 BC 的长 【分析】（1）由已知结合二倍角公式及同角平方关系进行化简可求 sinA， （2）由已知可求
28、cosA，然后结合三角形的面积公式及余弦定理可求 解：（1）由已知可得 2sin sin 2sin ， 因为 sin ， 所以 sin ， 两边平方可得 sinA ， （2）由以 sin 0 可得 tan 1， 从而 A90， 于是 cosA ， 因为ABC 的面积为 ， 所以 AB AC4， 由余弦定理可得，BC 1 【点评】本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式及余弦定理在求三角形中的应用 18在五面体 ABCDEF 中，BCAB，DAEAEF90 （1）证明：平面 ABE平面 ABCD； （2）若 ADBCCD，ABE 是等腰直角三角形，AEB90，求直线 CE 与平面 AEFD 所成角
29、的正切值 【分析】（1）由已知证明 ADEF，由直线与平面平行的判定可得 AD平面 BCEF，再 由面面平行的性质得到 ADBC，结合 BCAB，得到 ADAB，再由 ADAE，利用线 面垂直的判定可得 AD平面 ABE，从而得到平面 ABE平面 ABCD； （2）由题意可得 ABCD 是正方形，进一步得到 EF平面 ABE，从而得到平面 BCEF 平面 ADEF，可知直线 CE 与平面 AEFD 所成角就是CEF，然后求解三角形得答案 【解答】（1）证明：DAEAEF90，且 A、D、E、F 四点共面，ADEF 又 AD平面 BCEF，EF平面 BCEF，AD平面 BCEF， 而平面 ABC
30、D平面 BCEFBC，ADBC BCAB，ADAB， 又 ADAE，且 ABAEA，AD平面 ABE， 而 AD平面 ABCD，故平面 ABE平面 ABCD； （2）解：由 ADBCCD，ADBC，BCAB，可知 ABCD 是正方形 由 ADEF，AD平面 ABE，得 EF平面 ABE， 又AEB90，平面 BCEF平面 ADEF， 从而直线 CE 与平面 AEFD 所成角就是CEF ABE 是等腰直角三角形，AB ， 在 RtCBE 中，tan 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了线面 角的求法， 证明直线 CE 与平面 AEFD 所成角就是CEF 是解答
31、该题的关键， 是中档题 19设点 F 是抛物线 C：x22py（p0）的焦点，M、N 是 C 上两点若|MF|+|NF|4，且 线段 MN 的中点到 x 轴的距离等于 1 （1）求 p 的值； （2）设直线 1 与 C 交于 A、B 两点且在 y 轴的截距为负，过 F 作 l 的垂线，垂足为 P， 若 5 （i）证明：直线 1 恒过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求点 P 的轨迹方程 【分析】（1）由抛物线的定义和梯形中位线定理即可求出 p 的值； （2）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx+m（m0），与椭圆方程联 立，利用韦达定理代入 x1x2+y1y25，即可求
32、出 m 的值，从而得到直线 l 过的定点坐标， 由FPQ90知点 P 在以 FQ 为直径的圆上， 该圆的方程为 x2+y21， 取圆在 x 轴的上 方部分应剔除与 y 轴的交点，故点 P 的轨迹方程为 x2+y21 （y0 且 y1）； 解：（1）过点 M 和 N 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 M1，N1，则|MM1|MF| ，|NN1| |NF| ， 依题意知|MM1|NN1|2，即|MF|+|NF|p2， 于是，把|MF|+|NF|4 代入得 p2， （2）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx+m（m0），代入椭圆方程 得：x24kx4m0， 由0 得：k2+m0
33、 （*）， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1x24m， 由 得：x1x2+y1y25，即 ， 把 x1x24m 代入得 m24m50， 解得 m1 或 m5（舍去）， （i）所以直线 l 的方程为 ykx1，恒过定点 Q（0，1）， （ii）由FPQ90知点 P 在以 FQ 为直径的圆上，该圆的方程为 x2+y21， 根据（*）得 k21，从而取圆在 x 轴的上方部分， 又直线 l 的斜率存在，因此应剔除与 y 轴的交点， 故点 P 的轨迹方程为 x2+y21 （y0 且 y1）； 【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题 20春节期间爆发的新型
34、冠状病毒（COVID19）是新中国成立以来感染人数最多的一次 疫情，一个不知道自己已感染但处于潜伏期的甲从疫区回到某市过春节，回到家乡后与 朋友乙、丙、丁相聚过，最终乙、丙、丁也感染了新冠病毒、可以肯定的是乙受甲感染 的，丙是受甲或乙感染的，假设他受甲和受乙感染的概率分别是 0.6 和 0.4，丁是受甲、 乙或丙感染的， 假设他受甲、 乙和丙感染的概率分别是 0.2、 0.4 和 0.4 在这种假设之下， 乙、丙、丁中直接受甲感染的人数为 X （1）求 X 的分布列和数学期望； （2）该市在发现在本地出现新冠病毒感染者后，迅速采取应急措施，其中一项措施是各 区必须每天及时上报新增疑似病例人数，
35、A 区上报的连续 7 天新增疑似病例数据是“总 体均值为 3，中位数 4”，B 区上报的连续 7 天新增疑似病例数据是“总体均值为 2，总 体方差为 3“设 A 区和 B 区连续 7 天上报新增疑似病例人数分别为 x1，x2，x7 和 y1，y2，y7，xi和 yi（1i7，i一、选择题）分别表示 A 区和 B 区第 i 天上报 新增疑似病例人数 （xi和 yi均为非负） 记 Mmaxx1， x2， ， x7， Nmaxy1， y2， ， y7 试比较 M 和 N 的大小； 求 M 和 N 中较小的那个字母所对应的 7 个数有多少组？ 【分析】（1）记事件 C：“丙受甲感染”，事件 D：“丁受
36、甲感染”，则 P（C）0.6， P （D） 0.2， X 的取值为 1， 2， 3， 分别求出相应的概率， 由此能求出 X 的分布列和 EX （2）（i）对于 B 区，由（y12）2+（y22）2+（y32）2+（y42）2+（y52）2+（y6 2）2+（y72）221，知（yi1）221，（i1，2，7），从而求出 N6，当 y1，y2，y3，y7中有一个取 6，有一个取 2，其余取 1 时，N6，对于 A 区，当 x1 x2x30 时，x4x5x64，x79 时，满足“总体均值为 3，中位数为 4”，由此能求 出 NM （ii）当 N6 时，y1，y2，y7只有两种情况，有一个是 6，有
37、五个是 1 或 3，有一 个是 2，有一个是 6，有一个是 1 或 3，有一个是 0 或 4，其余是 2，由此能求出结果 解：（1）记事件 C：“丙受甲感染”，事件 D：“丁受甲感染”， 则 P（C）0.6，P（D）0.2， X 的取值为 1，2，3， P（X1）P（ ）0.40.80.32， P（X2）P（C ）+P（ ）0.60.8+0.40.20.56， P（X3）P（CD）0.60.20.12， X 的分布列为： X 1 2 3 P 0.32 0.56 0.12 EX10.32+20.56+30.121.8 （2）（i）对于 B 区，由（y12）2+（y22）2+（y32）2+（y42
38、）2+（y52）2+（y6 2）2+（y72）221， 知（yi1）221，（i1，2，7）， yi是非负整数，|yi2|4，yi6，N6， 当 y1，y2，y3，y7中有一个取 6，有一个取 2，其余取 1 时，N6， 对于 A 区，当 x1x2x30 时，x4x5x64， x79 时，满足“总体均值为 3，中位数为 4”，此时 m9， NM （ii）当 N6 时，y1，y2，y7只有两种情况， 有一个是 6，有五个是 1 或 3，有一个是 2， 有一个是 6，有一个是 1 或 3，有一个是 0 或 4，其余是 2， 对于，共有 1344 组， 对于，共有 840 组， 故共有：1344+8
39、402184 组 【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概 率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21已知函数 f（x）aex+0.5+（14a）x，直线 y14x+9 是曲线 yf（x）的一条切线 （1）求 a 的值； （2）证明：不等式 f（x）8x38x2+5 在（，2上恒成立 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； （2）先证 f（x）14x+9，再证 8x38x2+514x+9，结合已知不等式的性质可进行构造 函数，然后求导，结合导数及单调性的关系分析函数的性质即可 解：（1）设直线 y1
40、4x+9 切曲线 yf（x）的于点（x0，y0）， f（x）aex+0.5+14a， 所以 ， 解可得，a6，x ， 证明：（2）由（1）得 f（x）6ex+0.5+8x， 先证 f（x）14x+9，x2， 设 g（x）6ex+0.56x9，则 ， 当 x0.5 时，g（x）0，函数单调递减，当 2x0.5 时，g（x）0，函数 单调递增， 所以 g（x）g（0.5）0 即 f（x）14x+9， 再证 8x38x2+514x+9，x2， 令 h（x）8x38x214x4，x2， 则 h（x）2（2x+1）（x7）， 当 x0.5 时，h（x）0，h（x）单调递增，当0.5x2 时，h（x）0，
41、h（x） 单调递减， 故 h（x） ）0， 即 8x38x2+514x+9， 综上式 f（x）8x38x2+5 在（，2上恒成立 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数证明不等式，属于中档试题 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 1 题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方 程 22在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C：x2+y24 xcos4ysin+7cos280，（R， 是参數）以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 1 的极坐标方程 为 2cos（ ）m
42、 （1）求动圆 C 的圆心的轨迹 C1的方程及直线 1 的直角坐标方程； （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点，若|MN|的最小值为 1，求 m 的值 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2） 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质 的应用求出参数的值 解：（1）动圆 C：x2+y24 xcos4ysin+7cos280，（R， 是参數） 设动员圆心的坐标为（x，y）， 则 ，消去参数得到 直线 1 的极坐标方程为 2cos（ ）m转换为直角坐标方程为 （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的
43、动点， 设 M （ ， ） ， 所 以 MN 的 最 小 距 离 d ， 由于 d 的最小值不为 0， 所以当 时， ，则 ，解得 m2 当 m 时， ，则 ，解得 m2（ ） 故： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1 （1）证明：ab+bc+ca ； （2）若不等式 t 恒成立，求 t 的最大值 【分析】（1）a2+b22ab，b2+c22bc，c
44、2+a22ca，由累加法，再由三个数的完全平方 公式，即可得证； （2） b2a， c2b， a2c，运用通过综合法求出不等式的最小值，即可 求解 t 的最大值 【解答】（1）证明：由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca，（当且仅当 abc 取得等号） 由题设可得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 即有 3（ab+bc+ca）1， 即 ab+bc+ca ； （2）解： a+b+c b c a2a+2b+2c， 故 a+b+c1，当且仅当 abc 取得等号） 不等式 t 恒成立，所以 t 的最大值为 1 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和累加法证明，考查推理能力， 属于中档题
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