1、2020 年高考数学（年高考数学（5 月份）模拟试卷（理科）月份）模拟试卷（理科） 一、选择题. 1已知集合 Mx|x3，Nx| 3，则（ ） AMN BNM CN（RM）x|3x9 DMRN 2已知 aR，复数 为纯虚数，则 a（ ） A3 B3 C2 D2 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a4+a52a3+7，则 S7（ ） A63 B49 C35 D15 4若 x，y 满足约束条件 ，则 z2x+3y1 的最大值为（ ） A13 B13 C11 D11 5古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广 八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除，即三
2、个面是等腰梯形，两侧面是直角三角形 的五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除，又有所不同如图所示，ABCD 是一个矩形，ABEF 和 CDFE 都是等腰梯形，且平面 ABCD平面 ABEF，AB30，BC 10，EF50，BE26则这个灰斗的体积是（ ） A3600 B4000 C4400 D4800 6中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件 的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某 调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布 的饼形图和“90 后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则
3、下列说法中不一定正确的是 （ ） A芯片、软件行业从业者中，“90 后”占总人数的比例超过 50% B芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90 后”人数超过总人数的 25% C芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90 后”比“80 后”多 D芯片、软件行业中，“90 后”从事市场岗位的人数比“80 前“的总人数多 7函数 f（x） （x 2+cosx|x2cosx|）的大致图象是（ ） A B C D 8随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预 防措施的错误说法， 为了辟谣并宣讲正确的预防措施， 某社区拟从 5 名男志愿宣讲员和 3 名女志愿宣讲员中任选 3
4、 人，参加本社区的宣讲服务，则选中的 3 人中至少有 2 名女宣 讲员的选法共有（ ） A12 种 B14 种 C16 种 D32 种 9已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD，且BCF 是等边三角形，则异面直 线 AC 和 DF 所成角的余弦值为（ ） A B C D 10已知函数 f（x） sin cos （0），如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x， 都有 f（x02020）f（x）f（x0）成立，则 的最大值为（ ） A2020 B4040 C1010 D 11已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（2x），导函数为 f（x）当 x 1 时，2f
5、（x）+（x1）f（x）0，且 f（1） ，则不等式 f（x）6（x1） 2 的解集为（ ） A（1，1）（1，4） B（1，1）（1，3） C（ ，1）（1，2） D（ ，1）（1， ） 12已知 F1（c，0），F2（c，0）分别为双曲线 C： 1（a0，b0）的左、 右焦点，直线 l： 1 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交于 T （5c，0），则 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知an为递增的等比数列，a23，a3+a436，则此数列的公比 q 14已知非
6、零向量 ， 满足|2 | 3 |，且| |5| |，则 与 的夹角为 15已知函数 f（x）x24x+3n若对任意 nN*，f（x）0 在m，+）上恒成立，则实数 m 的取值范围是 16直线 l 过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且与 C 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则 y1y2 过 A，B 两点分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为 P，Q，准线与 x 轴的交点为 M，四边形 FAPM 的面积记为 S1，四边形 FBQM 的面积记为 S2，则 S1 S2 3|AF| |BF| 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，
7、每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinB bcosA+abcosC+ccosB （1）求 A； （2）若 a ，点 D 在 BC 上，且 ADAC，当ABC 的周长取得最大值时，求 BD 的 长 182020 年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调 查结果对相应学生提出针对性学习建议现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随 机选取 30，45，75 人，然后再从这些学生中抽取 10 人，进行学情调查 （1）若采用分层抽样抽取 10 人，
8、分别求高一、高二、高三应抽取的人数 （2）若被抽取的 10 人中，有 6 人每天学时超过 7 小时，有 4 人每天学时不足 4 小时， 现从这 10 人中，再随机抽取 4 人做进一步调查 （i） 记事件 A 为 “被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” ， 求事件 A 发生的概率； （ii）用 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，求随机变量 的分布列和数学期 望 19在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是一个菱形，且ABC ，AB2，PA 平面 ABCD （1）若 Q 是线段 PC 上的任意一点，证明：平面 PAC平面 QBD （2）当平面 PBC 与平面
9、 PDC 所成的锐二面角的余弦值为 时，求 PA 的长 20已知椭圆 C： 1（ab0）的右焦点为 F，离心率为 ，且有 3a24b2+1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 M 作直线 x3 的垂线，垂足为点 P，证明直线 NP 经过定点，并求出这个定点的坐标 21已知函数 f（x） （a0） （1）证明：当 x1，+）时，f（x）1 （2）当 0a1 时，对于任意的 x（0，+），f（x）m，求整数 m 的最大值 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4
10、：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （ cos+sin） 8 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若射线 m 的极坐标方程为 （0），设 m 与 C 相交于点 M（非坐标原点）， m 与 l 相交于点 N，点 P（6，0），求PMN 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x+2|+|x3| （1）求不等式 f（x）8 的解集； （2） 若 a0， b0， 且函数F （x） f （x） 3a2b有唯一零点 x0， 证
11、明： f （x0） 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 Mx|x3，Nx| 3，则（ ） AMN BNM CN（RM）x|3x9 DMRN 【分析】由集合 M，N 算出补集RMx|x3，RNx|x0 或 x9，再判断其包含 关系和求交集 解：因为集合 Mx|x3，Nx| 3x|0x9RMx|x3，RNx|x0 或 x9， NRMx|3x9， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，比 较基础 2已知 aR，复数 为纯虚数，则 a（ ） A3 B3
12、C2 D2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 解： 为纯虚数， ，解得 a3 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1+a4+a52a3+7，则 S7（ ） A63 B49 C35 D15 【分析】a1+a4+a52a3+7，可得 a47，于是 S77a4 解：a1+a4+a52a3+7， a47， 则 S77a47749 故选：B 【点评】本题考查了数列通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 4若 x，y 满足约束条件 ，则 z2
13、x+3y1 的最大值为（ ） A13 B13 C11 D11 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 解：由 x，y 满足约束条件 ，作出可行域如图， A（5，0）B（0，4）， 由图可知，当 z2x+3y1 过 B 时，z 有最大值为 11 故选：D 【点评】本题考查线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 5古代数学名著九章算术中记载：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广 八尺，无深，袤七尺，问积几何？”羡除，即三个面是等腰梯形，两侧面是直角三角形 的五面体我们教室打扫卫生用的灰斗近似于一个羡除，又有
14、所不同如图所示，ABCD 是一个矩形，ABEF 和 CDFE 都是等腰梯形，且平面 ABCD平面 ABEF，AB30，BC 10，EF50，BE26则这个灰斗的体积是（ ） A3600 B4000 C4400 D4800 【分析】分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足为 M，N，连接 DM，CN，则 FMEN10， 又 BEAF26，可得 AMBN24，把多面体体积转化为棱柱与棱锥体积求解 解：分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足为 M，N，连接 DM，CN，则 FMEN10， 又 BEAF26，AMBN24， 多面体 ADMBCN 为三棱柱，体积为 三棱锥 DAFM 的体积为 AD 这
15、个灰斗的体积是 3600+24004400 故选：C 【点评】本题考查数学文化与几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是中 档题 6中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件 的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某 调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布 的饼形图和“90 后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是 （ ） A芯片、软件行业从业者中，“90 后”占总人数的比例超过 50% B芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90 后”人数超过总人数的 25%
16、 C芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90 后”比“80 后”多 D芯片、软件行业中，“90 后”从事市场岗位的人数比“80 前“的总人数多 【分析】根据图表，整合数据，判断选项 解：对于选项 A，芯片，软件行业从业者中 90 后占总人数的 55%，故连项 A 正确； 对于选项 B，芯片，软件行业中从事技术、设计岗位的 90 后占总人数的（37%+12.6%） 55%27.28%，故选项 B 正确； 对于选项 C， 芯心， 软件行业中从事技术岗位的 90 后 占总人数的 37%55%20.35%， “80 后“占总人数的 40%、 但从从事技术的 80 后 “占总人数的百分比不知道， 无法确
17、定二者人数多少， 战选项 C 错； 对于选项 D， 芯片软件行业中从事市场岗位的 90 后占总人数的 14.4%55%7.92%、“80 前“占总人数的 5%，故选项 D 正确， 故选：C 【点评】本题考查根据图表进行简单的合情推理，属于基础题 7函数 f（x） （x 2+cosx|x2cosx|）的大致图象是（ ） A B C D 【分析】将函数化为分段函数的形式，再结合选项直接判断即可 解：因为 ， ， ， 故选：B 【点评】本题考查函数的图象，考查识图能力与推理论证能力，属于基础题 8随着新型冠状病毒肺炎疫情的发展，网络上开始出现一些混淆视听的谣言和新冠病毒预 防措施的错误说法， 为了辟
18、谣并宣讲正确的预防措施， 某社区拟从 5 名男志愿宣讲员和 3 名女志愿宣讲员中任选 3 人，参加本社区的宣讲服务，则选中的 3 人中至少有 2 名女宣 讲员的选法共有（ ） A12 种 B14 种 C16 种 D32 种 【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：选出的宣讲员中有 3 名女宣讲员，选出的宣 讲员中有 2 名女宣讲员和 1 名男宣讲员，由加法原理计算可得答案 解：根据题意，分 2 种情况讨论： 选出的宣讲员中有 3 名女宣讲员，有 C331 种选法， 选出的宣讲员中有 2 名女宣讲员和 1 名男宣讲员，有 C51C3215 种选法， 则一共有 1+1516 种选法， 故选：C 【点
19、评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 9已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD，且BCF 是等边三角形，则异面直 线 AC 和 DF 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】取 CD 的中点 M，CF 的中点 N，连接 MN，可得 MNDF延长 BC 到 P，使 CP BC，连接 MP，NP异面直线 AC 和 DF 所成角为NMP，NMP 中，利用余弦 定理即可得出 解： 取 CD 的中点 M， CF 的中点 N， 连接 MN， 则 MNDF 延长 BC 到 P， 使 CP BC， 连接 MP，NP，则 MPAC令 AB2，则 MPMN
20、， 又BCF 是等边三角形，NCPC1，由余弦定理可得：NP ， 异面直线 AC 和 DF 所成角为NMP，cosNMP 故选：B 【点评】本题考查了异面直线所成的角、余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能 力与计算能力，属于基础题 10已知函数 f（x） sin cos （0），如果存在实数 x0，使得对任意的实数 x， 都有 f（x02020）f（x）f（x0）成立，则 的最大值为（ ） A2020 B4040 C1010 D 【分析】利用辅助角公式对函数化解可得 f（x） sin cos 2sin（ x ），由 对任意的实数 x，都有 f（x02020）f（x）f（x0）成立可得，两端
21、点值分别为函数 的最小值和最大值，要使得 最大，只要周期 T 2 最大，当 2020，周期最 大，代入可求得结果 解：利用辅助角公式对函数化解可得 f（x） sin cos 2sin（ x ）， 由对任意的实数 x，对任意的实数 x，都有 f（x02020）f（x）f（x0）成立； 可得 f（x0），f（x02020），分别为函数的最大值和最小值， 要使得 最大，只要周期 T 2 最大， 当 2020 即 T40402，周期最大，此时 2020； 故选：A 【点评】本题目主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，三角函数的性质的应用，周 期公式的应用，解题的关键是根据条件求得函数的最小值和最大值，
22、属于中档题 11已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（2x），导函数为 f（x）当 x 1 时，2f（x）+（x1）f（x）0，且 f（1） ，则不等式 f（x）6（x1） 2 的解集为（ ） A（1，1）（1，4） B（1，1）（1，3） C（ ，1）（1，2） D（ ，1）（1， ） 【分析】利用已知条件，结合函数的性质，构造函数 g（x），通过函数的导数判断函数 的单调性，然后转化求解即可 解：定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（2x），导函数为 f（x） 当 x1 时，2f（x）+（x1）f（x）0，且 f（1） ， 令 g（x）（x1）2f（x），则
23、 g（x）2（x1）f（x）+（x）2f（x）（x1） 2f（x）+（x1）f（x）， 所以当 x1 时，g（x）0，且 g（1）g（3）6， 结合函数的图象，可知不等式 f（x）6（x1） 2的解集为（1，1）（1，3） 故选：B 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，考查数形结合以及转化与化归思想的应用， 是中档题 12已知 F1（c，0），F2（c，0）分别为双曲线 C： 1（a0，b0）的左、 右焦点，直线 l： 1 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交于 T （5c，0），则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设 M（x1，y1），N（x2，y
24、2），线段 MN 的中点为 S（x0，y0），运用点满足双 曲线方程，作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直 的条件，以及双曲线的离心率公式，计算可得所求值 解：设 M（x1，y1），N（x2，y2），线段 MN 的中点为 S（x0，y0）， 联立方程组 ， 两式相减可得 b2（x12x22）a2（y12y22）， 可得 b2（x1x2）（x1+x2）a2（y1y2）（y1+y2）， 可得 2b2（x1x2）x02a2（y1y2）y0， 所以 kMN ，即 （1）， 由 kMN kST1，可得 1（2）， 由（1）（2）可得 x0 ，y05b，即 S（ ，5b），又
25、 S 在直线 l 上， 所以 51， 解得 e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查点差法和方程思想、运算求解能力，属于 中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上. 13已知an为递增的等比数列，a23，a3+a436，则此数列的公比 q 3 【分析】利用等比数列的通项公式列出方程，能求出此数列的公比 解：an为递增的等比数列，a23，a3+a436， 3q+3q236，且 q0， 解得此数列的公比 q3 故答案为：3 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 14已知非
26、零向量 ， 满足|2 | 3 |，且| |5| |，则 与 的夹角为 【分析】 根据题意， 设 与 的夹角为 ， 由|2 | 3 |， 整理变形可得 5 22 ， 又 由| |5| |，由数量积的计算公式可得 cos ，据此分析可得答案 解：根据题意，设 与 的夹角为 ，0， 若|2 | 3 |，则有（2 ）2（ 3 ）2，变形可得：4 24 29 2 6 2， 化简可得：5 22 ， 又由| |5| |，则 cos ， 则 ； 故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的运算律，属于基础题 15已知函数 f（x）x24x+3n若对任意 nN*，f（x）0 在m，+）上恒成立
27、，则实数 m 的取值范围是 3，+） 【分析】由题意可得 x24x3n，求得3n3，所以 x24x3，由二次不等式的 解法可得 x 的范围，进而得到 m 的范围 解：若对任意 nN*，f（x）0 在m，+）上恒成立， 可得 x24x3n， 对任意 nN*，都有3n3，当 n1 时取得等号， 所以 x24x3，即 x1 或 x3， 由题意可得m，+）3，+），从而 m3， 故答案为：3，+） 【点评】本题考查函数的单调性以及恒成立问题解法，考查化归与转化思想和运算求解 能力，属于中档题 16直线 l 过抛物线 C：y24x 的焦点 F 且与 C 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则
28、y1y2 4 过 A，B 两点分别作抛物线 C 的准线的垂线，垂足分别为 P，Q，准线与 x 轴的交点为 M，四边形 FAPM 的面积记为 S1，四边形 FBQM 的面积记为 S2，则 S1 S2 3|AF| |BF| 4 【分析】先设直线 l：xay+1，由 ，联立可得 y1y2与 y1+y2，再计算 S1，S2， |AF1|，|BF2|，从而求出结果 解： 如右图所示， 直线 l 过抛物线 C： y24x 的焦点 F （1， 0） 且与 C 交于 A （x1， y1） ， B（x2，y2）两点，设直线 l：xay+1，由 联立可得： y24ay40， S1 （x1+3） |y1|，S2 （
29、x2+3）|y2|， S1S2 |y1y2|（x1+3）（x2+3）（ay1+4）（ay2+4）16+12a 2， 又|AF| |BF|（x1+1）（x2+1）（ay1+2）（ay2+2）4+4a2， S1 S23|AF| |BF4 故填：4，4 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查了计算能力，属于基础题 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分 17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinB bcosA+abcos
30、C+ccosB （1）求 A； （2）若 a ，点 D 在 BC 上，且 ADAC，当ABC 的周长取得最大值时，求 BD 的 长 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得 ，进而求得 ， ； （2）利用余弦定理可得 3（b+c）2bc，进而利用基本不等式可知 b+c2，由此得出 此时ABC 的周长取得最大值 ， ，进而求得 BD 的长 解：（1） ， ， 整理可得， ， sinB0， ， 又 A（0，）， ； （2）由（1）及 ，知 3b2+c2+bc， 3（b+c）2bc，从而 ， b+c2， 当且仅当 bc1 时取等号， 即ABC 的周长取得最大值 ， 此时 ， ADAC， ， 又 b1，
31、， 【点评】本题涉及了正余弦定理，三角恒等变换，基本不等式等基础知识点，考查计算 能力，属于中档题 182020 年寒假期间，某高中决定深入调查本校学生寒假期间在家学习情况，并将依据调 查结果对相应学生提出针对性学习建议现从本校高一、高二、高三三个年级中分别随 机选取 30，45，75 人，然后再从这些学生中抽取 10 人，进行学情调查 （1）若采用分层抽样抽取 10 人，分别求高一、高二、高三应抽取的人数 （2）若被抽取的 10 人中，有 6 人每天学时超过 7 小时，有 4 人每天学时不足 4 小时， 现从这 10 人中，再随机抽取 4 人做进一步调查 （i） 记事件 A 为 “被抽取的
32、4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时” ， 求事件 A 发生的概率； （ii）用 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，求随机变量 的分布列和数学期 望 【分析】（1）总数为 30+45+75150，从这些学生中抽取 10 人，根据分层抽样法求出 高一、高二、高三应抽取的人数即可； （2） （i）记事件 A 为“被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时”，记事件 B 为“被 抽取的 4 人中恰有 1 人学时不足 4 小时”，记事件 C 为“被抽取的 4 人中恰有 0 人学时 不足 4 小时”， 则由 P（A）P（BC）P（B）+P（C），求出概率即可； （ii）随机变量
33、 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，则 0，1，2，3，4，求 出随机变量 的分布列和数学期望即可 解：（1）从本校高一、高二、高三三个年级中分别随机选取 30，45，75 人，30+45+75 150， 从这些学生中抽取 10 人， 根据分层抽样法， 高一应抽取 10 2 人， 高二应抽取 10 人，高三应抽取 10 人， 故高一、高二、高三应抽取的人数分别为 2 人，3 人，5 人； （2） （i）记事件 A 为“被抽取的 4 人中至多有 1 人学时不足 4 小时”，记事件 B 为“被 抽取的 4 人中恰有 1 人学时不足 4 小时”，记事件 C 为“被抽取的 4 人中恰有
34、0 人学时 不足 4 小时”， 则 P（A）P（BC）P（B）+P（C） ； （ii）随机变量 表示被抽取的 4 人中学时不足 4 小时的人数，则 0，1，2，3，4， 则 ， ， ， ， ， 随机变量 的分布列如下： 0 1 2 3 4 P E 【点评】本题考查了分层抽样，离散型随机变量求分布列和数学期望，还考查了互斥事 件求概率等，考查运算能力，中档题 19在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是一个菱形，且ABC ，AB2，PA 平面 ABCD （1）若 Q 是线段 PC 上的任意一点，证明：平面 PAC平面 QBD （2）当平面 PBC 与平面 PDC 所成的锐二面角的余弦值
35、为 时，求 PA 的长 【分析】（1）先证明 BD平面 PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设 P（0，1，a）（a0），求出平面 PBC 与平面 PDC 的法向量，利用向量夹角公式建立关于 a 的方程，解出即可 解：（1）证明：四边形 ABCD 是一个菱形， ACBD， 又 PA平面 ABCD， PABD， 又 ACPAA，则 BD平面 PAC， BD 在平面 QBD 内， 平面 PAC平面 QBD； （2）设 AC，BD 交于点 O，分别以 OB，OC 所在直线为 x 轴，y 轴，以平行于 AP 的直 线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ，
36、， ， ， ， ， ， ，设 P（0，1，a）（a0），则 ， ， ， ， ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 ， ， ，则 ，可取 ， ， ， 同理可求平面 PDC 的一个法向量为 ， ， ， ， ，解得 a 22， 【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查推理能力及 计算能力，属于中档题 20已知椭圆 C： 1（ab0）的右焦点为 F，离心率为 ，且有 3a24b2+1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，过点 M 作直线 x3 的垂线，垂足为点 P，证明直线 NP 经过定点，并求出这个定点的坐标 【分析
37、】（1）运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，结合条件，解方程可得 a，b， 进而得到椭圆方程； （2）求得 F 的坐标，讨论直线 l 不与 x 轴重合，设出直线 l 的方程，联立椭圆方程，运 用韦达定理和直线恒过定点的求法，可得所求定点；讨论当直线 l 与 x 轴重合也成立 解：（1）由 e ，所以 1 1 ， 联立方程组 ，解得 a 23，b22， 所以椭圆的方程为 1； （2）证明：由（1）可得 F（1，0）， 当直线 l 不与 x 轴重合时，设直线 l 的方程为 xmy+1， 联立椭圆方程 2x2+3y26，消去 x 可得（3+2m2）y2+4my40， 设 M（x1，y1），N
38、（x2，y2），可得 y1+y2 ，y1y2 ， 且点 P（3，y1），则 NP 的方程为（x23）y（y2y1）（x3）+y1（x23），又 x2 my2+1， 所以（my22）y（y2y1）（x3）+my1y22y1（*） y1+y2 ，y1y2 ， 所以 my1y2y1+y2，（*）式可变形为（my22）y（y2y1）（x3）y1+y2 所以（my22）y（y2y1）（x2），即直线 NP 经过定点（2，0） 当直线 l 与 x 轴重合时，显然直线 NP 也经过定点（2，0）， 综上，直线 NP 经过定点（2，0） 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线方程
39、和椭 圆方程，运用韦达定理和直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算求解能力，属于中 档题 21已知函数 f（x） （a0） （1）证明：当 x1，+）时，f（x）1 （2）当 0a1 时，对于任意的 x（0，+），f（x）m，求整数 m 的最大值 【分析】（1）求导可知 f（x）0，则 f（x）在1，+）上是增函数，进而得证； （2）依题意， ，令 ， ， ，则问题转化为 g（x）m 在（0，1）上恒成立，利用导数求出函 数 g（x）的最小值即可 解：（1）证明： ， a0，x1， f（x）0，f（x）在1，+）上是增函数， f（x）f（1）1； （2）当 x1 时，由（1）知 f（x）1，故
40、 m1， 当 0x1 时，因为 0a1，所以 ， 令 ， ， ，故问题转化为 g（x）m 在（0，1） 上恒成立， ， ， ， 令 h（x）x+1+lnx，易知 h（x）在（0，1）上单调递增， h（e2）0，h（1）0， 存在 ， ，使得 h（x0）x0+1+lnx00， 当 x（0，x0）时，g（x）0，当 x（x0，1）时，g（x）0， g（x）在 xx0处取得最小值， ， 由于 x0+1+lnx00，于是 ， ， ， 0g（x0）1， m 的最大整数值为 0 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明问题， 考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题 一、选
41、择题 22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （ cos+sin） 8 （1）求曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若射线 m 的极坐标方程为 （0），设 m 与 C 相交于点 M（非坐标原点）， m 与 l 相交于点 N，点 P（6，0），求PMN 的面积 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转 换 （2）利用极径的应用和点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式求出结果 解：（1）曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），转换
42、为直角坐标方程为：y22x 直线 l 的极坐标方程为 （ cos+sin）8转换为直角坐标方程为 （2）曲线 C 的极坐标方程为 2sin22cos，将 代入得到 将 代入 （ cos+sin）8 得到 24 所以|MN| 点 P（6，0）到直线 MN：x 的距离 d ， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）2|x+2|+|x3| （1）求不等式 f（x）8 的解集； （2） 若 a0， b0，
43、且函数F （x） f （x） 3a2b有唯一零点 x0， 证明： f （x0） 【分析】（1）分 x2，2x3 及 x3 三种情况讨论，分别解不等式再取并集即 可； （2）易知 x02 且 f（x0）53a+2b，即证 成立，利用“乘 1”思 想结合基本不等式即可得证 解：（1）当 x2 时，有2（x+2）x+38，即 x3，故 x3； 当2x3 时，有 2（x+2）x+38，即 x1，故 1x3； 当 x3 时，有 2（x+2）+x38，即 ，故 x3； 综上，不等式的解集为（，31，+）； （2）证明：由题意知，yf（x）与 y3a+2b 有且只有一个交点，结合 f（x）的图象知 x02 且 f（x0）53a+2b， 即证明 成立， ， ， 当且仅当 时取等号， f（x0） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查推理能力及计算能 力，考查分类讨论思想，属于中档题
浙公网安备33030202001339号