1、2020 年高考（年高考（4 月份）数学模拟试卷月份）数学模拟试卷 一、选择题. 1已知集合 My|y2x+1，xR，MNN，则集合 N 不可能是（ ） A BM C D1，2 2设复数 z 满足关系：z+| |2+i，那么 z 等于（ ） A i B i C i D i 3等比数列an的各项均为正数，a11，a1+a2+a37，则 a3+a4+a5（ ） A14 B21 C28 D63 4若 x、y 满足约束条件 ，则 zx+2y 的取值范围是（ ） A0，6 B0，4 C6，+） D4，+） 5如图，CD，BE 分别是边长为 4 的等边ABC 的中线，圆 O 是ABC 的内切圆，线段 OB
2、 与圆 O 交于点 F 在ABC 中随机取一点， 则此点取自图中阴影部分的概率是 （ ） A B C D 6已知等边三角形ABC 的边长为 2，其重心为 G，则 （ ） A2 B C D3 7“十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去 西藏，一人去云南回来后，三人对自己的去向，作如下陈述： 甲：“我去了泰山，乙去了西藏” 乙：“甲去了西藏，丙去了泰山” 丙：“甲去了云南，乙去了泰山” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A甲去了西藏 B乙去了泰山 C丙去了西藏 D甲去了云南 8 在数列an中， 已知 a11， 且对于
3、任意的 m， nN*， 都有 am+nam+an+mn， 则 （ ） A B C D 9已知 ，若 ，则 （ ） A2 B2 C2 D 10已知函数 f（x） ， ， ，函数 g（x）mx，若函数 yf（x）2g（x） 恰有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ，1） C（ ， ） D（， ） 11如图，直角梯形 ABCD，ABCD，ABC90，CD2，ABBC1，E 是边 CD 中 点， ADE沿AE翻折成四棱锥DABCE， 则点C到平面ABD距离的最大值为 （ ） A B C D1 12已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，设函数 f（x）的导函数为 f（x）
4、，若对任意 x 0 都有 2f（x）+xf（x）0 成立，则（ ） A4f（2）9f（3） B4f（2）9f（3） C2f（3）3f（2） D3f（3）2f（2） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13 已知函数 ， 则函数 f （x） 的图象在x2 处的切线方程为 14 已知二项式 的展开式中， 二项式系数之和为 64， 含 x3的项的系数为 ， 则 a 15如图，点 F 是抛物线 C：x24y 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 C 和圆 x2+（y1）2 4 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 y 轴，则AFB 周长的取值范围是 16 已知在三棱锥 ABC
5、D 中， 底面BCD 是边长为 3 的等边三角形， 且 ， 若 AB2，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 23cos2A+cos2A0，且ABC 为锐角三角形，a7，c6，求 b 的值； （2）若 a ，A ，求 b+c 的取值范围 18如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ACD 是边长为 2 的等边三角形，且 AB
6、BC ，PA2，点 M 是棱 PC 上的动点 （）求证：平面 PAC平面 PBD； （）当线段 MB 最小时，求直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值 19已知椭圆 ： 经过点 ， ，离心率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于 C，D 两点， 求四边形 OCAD 面积的最大值（O 为坐标原点） 20十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村 地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入 也逐年增加 为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的
7、工作计划， 该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用 该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N（，2）， 其中 近似为年平均收入 ，2近似为样本方差 s2，经计算得；s26.92，利用该正态分 布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收 入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况
8、，扶贫办随机走访了 1000 位农民若每个农民的年收入相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式 ，若 X N（，2），则 P（X+）0.6826； P（2X+2）0.9545； P（3X+3）0.9973； 21已知函数 f（x）alnx+xb（a0） （1）当 b2 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a+b0，b0 时，对任意 ， ，有 f（x）e1 成立，求实数 b 的取值 范围 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数
9、方程 22已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），A（2，0），P 为曲线 C 上的一动点 （）求动点 P 对应的参数从 变动到 时，线段 AP 所扫过的图形面积； （） 若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q， 是否存在点 P， 使得 P 为线段 AQ 的中点？ 若存在，求出点 P 坐标；若不存在，说明理由 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）2x2，g（x）|xa| （1）若 a1，解不等式 f（x）+g（x）3； （2）若不等式 f（x）g（x）至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题
10、给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 My|y2x+1，xR，MNN，则集合 N 不可能是（ ） A BM C D1，2 【分析】由集合 My|y2x+1，xRy|y1，MNN，得 NM，由此能求出结 果 解：集合 My|y2x+1，xRy|y1，MNN， NM， 集合 N 不可能是1，2 故选：D 【点评】本题考查集合的判断，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 2设复数 z 满足关系：z+| |2+i，那么 z 等于（ ） A i B i C i D i 【分析】解法 1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可； 解法 2：利用复数模的性质，移项平
11、方，然后解方程即可； 解法 3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数 z 的实部、虚部的符 号即可 解：法 1：设 za+bi（a，bR）由已知 a+bi 2+i 由复数相等可得 故 z i 故选 B 法 2：由已知可得 z| |+i取模后平方可得 |z|2（2|z|）2+144|z|+|z|2+1，所以 ，代入得 ， 故选 B 法 3：选择支中的复数的模均为 ，又 ， 而方程右边为 2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数 z 的实部，虚部也必须为正， 故选：B 【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能 力，判断能力，是基础题 3等比数列a
12、n的各项均为正数，a11，a1+a2+a37，则 a3+a4+a5（ ） A14 B21 C28 D63 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出 解：设等比数列an的公比为 q0，a11，a1+a2+a37， 1+q+q27，解得 q2 则 a3+a4+a5q2+q3+q44+8+1628 故选：C 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4若 x、y 满足约束条件 ，则 zx+2y 的取值范围是（ ） A0，6 B0，4 C6，+） D4，+） 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图： 目标
13、函数 zx+2y 经过 C 点时，函数取得最小值， 由 解得 C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是4，+） 故选：D 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关 键 5如图，CD，BE 分别是边长为 4 的等边ABC 的中线，圆 O 是ABC 的内切圆，线段 OB 与圆 O 交于点 F 在ABC 中随机取一点， 则此点取自图中阴影部分的概率是 （ ） A B C D 【分析】由几何概型中的面积型及扇形的面积公式可得：“此点取自图中阴影部分”为 事件 A，由几何概型中的面积型可得：P（A） 阴 ，得解 解：由题意可知： ABC 的内切圆的半径
14、为 4 ， 又DOB ， 所以 S阴 ， 又 SABC 4 ， 设“此点取自图中阴影部分”为事件 A， 由几何概型中的面积型可得： P（A） 阴 ， 故选：A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及扇形的面积公式，属中档题 6已知等边三角形ABC 的边长为 2，其重心为 G，则 （ ） A2 B C D3 【分析】把要求的式子用 、 来表示，再利用两个向量的数量积的定义，求得结果 解：等边三角形ABC 的边长为 2，其重心为 G， 则 （ ） （ ） （ ） （ ） （ 2 ） （ 2 ） （42 2 cos 2 4） ， 故选：C 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，
15、两个向量的数量积 的定义，属于基础题 7“十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去 西藏，一人去云南回来后，三人对自己的去向，作如下陈述： 甲：“我去了泰山，乙去了西藏” 乙：“甲去了西藏，丙去了泰山” 丙：“甲去了云南，乙去了泰山” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A甲去了西藏 B乙去了泰山 C丙去了西藏 D甲去了云南 【分析】分别假设，若甲去了泰山，西藏，云南即可得出结论 解：若甲去了泰山，则乙去了云南，丙去了西藏，则乙，丙的陈述就全错误，与甲、乙、 丙三人的陈述都只对了一半相矛盾， 若甲去了西藏，则乙去了泰
16、山，丙去了云南，则甲的陈述就全错误，与甲、乙、丙三人 的陈述都只对了一半相矛盾， 若甲去了云南，则乙去了西藏，丙去了泰山，与甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半相 符合， 故选：D 【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 8 在数列an中， 已知 a11， 且对于任意的 m， nN*， 都有 am+nam+an+mn， 则 （ ） A B C D 【分析】首先利用赋值法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和 解：数列an中，已知 a11，且对于任意的 m，nN*， 都有 am+nam+an+mn， 则：a2a1+a1+1131+2， a3a1+a2+
17、1261+2+3， ， an1+2+3+n ， 所以： ， 所以： 2（ ） 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 9已知 ，若 ，则 （ ） A2 B2 C2 D 【分析】 根据题意， 求出 f （x） 的表达式， 分析可得 f （x） +f （x） 2ax2， 当 x 时， 有 ，结合 f（ ）的值，计算可得答案 解：根据题意， ，则 f（x）sinx ax 2， 则 f（x）+f（x）2ax2， 当 x 时，有 ， 又由 ，则 ， 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应
18、用，注意 f（x）与 f（x）的关系，属于 基础题 10已知函数 f（x） ， ， ，函数 g（x）mx，若函数 yf（x）2g（x） 恰有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ，1） C（ ， ） D（， ） 【分析】根据所给函数 f（x），画出函数图象，根据 g（x）mx 及 yf（x）2g（x） 恰有三个零点，即可根据图象判断 m 的取值范围 解：由题意，画出函数 f（x） ， ， ， 的图象如下图所示： f（x）2g（x）恰有三个零点 即 f（x）2g（x）有三个不同交点，即 f（x）2mx 有三个不同交点 由图象可知，当直线斜率在 kOA，kOB 之间时，有三
19、个交点 即 kOA2mkOB 所以 可得 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题 11如图，直角梯形 ABCD，ABCD，ABC90，CD2，ABBC1，E 是边 CD 中 点， ADE沿AE翻折成四棱锥DABCE， 则点C到平面ABD距离的最大值为 （ ） A B C D1 【分析】 当 DECE 时， 点 C 到平面 ABD距离取最大值， 以 E 为原点， EC 为 x 轴， EA 为 y 轴，ED为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 C 到平面 ABD 距离的最大值 解：直角梯形 ABCD，ABCD，ABC90，CD2，ABBC
20、1， E 是边 CD 中点，ADE 沿 AE 翻折成四棱锥 DABCE， 当 DECE 时，点 C 到平面 ABD距离取最大值， DEAE，CEAEE，DE平面 ABCE， 以 E 为原点，EC 为 x 轴，EA 为 y 轴，ED为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，1，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（1，1，0）， （1，0，0）， （1，1，0）， （0，1，1）， 设平面 ABD的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 y1，得 （0，1，1）， 点 C 到平面 ABD距离的最大值为： d 故选：B 【点评】本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面
21、面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，设函数 f（x）的导函数为 f（x），若对任意 x 0 都有 2f（x）+xf（x）0 成立，则（ ） A4f（2）9f（3） B4f（2）9f（3） C2f（3）3f（2） D3f（3）2f（2） 【分析】根据题意，令 g（x）x2f（x），求其求导分析可得当 x0 时，有 g（x） x2f（x）+xf（x）0 成立，即函数 g（x）在（0，+）上为增函数，结合题意分析函 数 g（x）为偶函数，进而有 g（2）g（3），转化为 f（x）分析可得答案 解：根据题意，令 g（x）x2f（x），
22、其导数 g（x）2xf（x）+x2f（x）， 又由对任意 x0 都有 2f（x）+xf（x）0 成立， 则当 x0 时，有 g（x）x2f（x）+xf（x）0 成立，即函数 g（x）在（0，+） 上为增函数， 又由函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（x）f（x）， 则有 g（x）（x）2f（x）x2f（x）g（x），即函数 g（x）为偶函数， 则有 g（2）g（2），且 g（2）g（3）， 则有 g（2）g（3）， 即有 4f（2）9f（3）； 故选：A 【点评】 本题考查函数的导数与单调性的关系， 涉及函数的奇偶性、 单调性的综合应用， 关键是构造函数 g（x），并分析函数的单调
23、性 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知函数 ，则函数 f（x）的图象在 x2 处的切线方程为 y 5 【分析】先对 f（x）求导数，然后求出切点处的函数值、导数值，代入点斜式求出切线 方程 解： ， f（2）5，f（2）0， 切线方程为：y5 故答案为：y5 【点评】本题考查导数的几何意义及切线方程的求法属于基础题 14 已知二项式 的展开式中， 二项式系数之和为 64， 含 x3的项的系数为 ， 则 a 2 【分析】先利用二项式系数之和为 64 求出 n，再由通项公式求出 a 解：由题设条件知：2n64，解得 n6，又二项式 的展开式中的通项公 式为 T
24、r+1C x6r（ ） rC arx ，令 6 3，解得 r2 含 x3的项的系数为 ，C a2 （a0），解得 a2 故填：2 【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题 15如图，点 F 是抛物线 C：x24y 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 C 和圆 x2+（y1）2 4 的实线部分上运动， 且 AB 总是平行于 y 轴， 则AFB 周长的取值范围是 （4， 6） 【分析】圆（y1）2+x24 的圆心为（0，1），半径 r2，与抛物线的焦点重合，可得 |FB|2， |AF|yA+1， |AB|yByA， 即可得出三角形 ABF 的周长2+yA+1+yByAyB+3， 利用 1yB3，即
25、可得出 解：抛物线 x24y 的焦点为（0，1），准线方程为 y1， 圆（y1）2+x24 的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径 r2， |FB|2，|AF|yA+1，|AB|yByA， 三角形 ABF 的周长2+yA+1+yByAyB+3， 1yB3， 三角形 ABF 的周长的取值范围是（4，6） 故答案为：（4，6） 【点评】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 16 已知在三棱锥 ABCD 中， 底面BCD 是边长为 3 的等边三角形， 且 ， 若 AB2，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积是 16 【分析】取 C
26、D 的中点 E，连接 BE，AE，由题意可求出 AE，BE 的值，再由椭圆可得 AB BE，CD面 ABE 可得 CDAB，进而可得 AB面 BCD，所以外接球的球心为过底面 BCD 的外接圆圆心垂直于底面的与中截面的交点， 由 R2r2+ （ ） 2 可得外接球的半径， 进而求出外接球的表面积 【解答】解取 CD 的中点 E，连接 BE，AE，由三角形 BCD 为边长为 3 的等边三角形可 得 BECD， 再由 ACAD ，可得 AECD，AEBEE，所以 CD面 ABE，所以 CEAB， 设三角形 BCD 的外接圆的半径为 r，则 2r ，所以 r ， BE 3，AE ， 因为 AB2+B
27、E222 AE 2，所以 ABBE，而 BECDE， 所以 AB面 BCD， 取面 BCD 的外接圆的圆心 O，则外接球的球心为过 O垂直于面 BCD 的直线与中截面的 交点 O， 设球的半径为 R，则 R2r2+（ ）23+14， 所以外接球的表面积 S4R216， 故答案为：16 【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系及球的表面积公式，属于中 档题 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17在ABC 中，角 A，B，C 的
28、对边分别为 a，b，c （1）若 23cos2A+cos2A0，且ABC 为锐角三角形，a7，c6，求 b 的值； （2）若 a ，A ，求 b+c 的取值范围 【分析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得 cosA，再由余弦定理，解方程可得 b； （2）方法一：运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可 得到所求范围； 方法二：运用余弦定理和基本不等式，以及三角形的三边关系，即可得到所求范围 解：（1）23cos2A+cos2A23cos2A+2cos2A10， ，又A 为锐角， ， 而 a2b2+c22bccosA，即 ， 解得 b5（舍负），b5； （2）方法一
29、：（正弦定理） 由正弦定理可得 ， ， B ， ， ， 方法二：（余弦定理） 由余弦定理 a2b2+c22bccosA 可得 b2+c23bc， 即 ， ，又由两边之和大于第三边可得 ， ， 【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查基 本不等式和三角形的三边关系，以及运算能力，属于中档题 18如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ACD 是边长为 2 的等边三角形，且 ABBC ，PA2，点 M 是棱 PC 上的动点 （）求证：平面 PAC平面 PBD； （）当线段 MB 最小时，求直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值 【分析】（I）取 AC
30、 中点 O，可证 O 在直线 BD 上，得出 BDAC，BDPA，于是 BD 平面 PAC，得出平面 PAC平面 PBD； （II）取 PC 中点 E，证明 OE平面 ABCD，以 O 为原点建立空间坐标系，求出| |最 短时对应的坐标，求出平面 PBD 的法向量，计算平面法向量与 的夹角的余弦值即可 得出结论 解：（）证明：PA底面 ABCD，PABD， 取 AC 中点 O，连接 OB，OD， 则 ACOB，ACOD，点 O， B， D 共线， 即 ACBD， 又PAACA，BD平面 PAC BD平面 PBD，平面 PAC平面 PBD （）解：取 CP 中点 E，连接 OE，OEPA，OE底
31、面 ABCD， OC，OD，OE 两两垂直， 以 O 为原点如图建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 B（0，1，0），C（1，0，0），D（0， ，0），P（1，0，2）， （0， 1，0）， （1，1，2）， 设平面 PBD 的法向量为 （x，y，z），则 ，即 ， 令 z1 可得平面 PBD 的一个法向量 （2，0，1）， 设 （01），则 （12，1，2）， | | ， 当 时，| |取得最小值 ，此时 （ ，1， ）， 设直线 MB 与平面 PBD 所成角为 ，则 sin|cos ， | ， 直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查了面面垂直的判定，考查空间向量与
32、线面角的计算，属于中档题 19已知椭圆 ： 经过点 ， ，离心率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于 C，D 两点， 求四边形 OCAD 面积的最大值（O 为坐标原点） 【分析】（1）根据离心率可以得到 a 与 c 的关系，把点的坐标代入椭圆方程可求得 b， 再根据 a2b2+c2，可求得 a，从而确定椭圆的方程； （2）设直线 CD 的方程为 xmy+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将其与椭圆的方程联 立，消去 x 得到关于 y 的一元二次方程，写出根与系数的关系，然后用分割法表示四边 形 OCAD 的面积，将其化
33、简为关于 m 的代数式，最后结合换元法和对勾函数的性质即可 求得面积的最大值 解：（1）离心率为 ， 椭圆 ： 经过点 ， ， 即 b 23 又 a2b2+c2，a24， 故椭圆 E 的方程为 （2）设直线 CD 的方程为 xmy+1，C（x1，y1），D（x2，y2）， 联立 ，消去 x 得，（3m 2+4）y2+6my90， ， ， 36m 24 （3m2+4） （9） 144 （m2+1） 0， 四边形 OCAD 的面积 SSOAD+SOAC ， 令 ，则 ，当且仅当 t1 时，取等号， 四边形 OCAD 面积的最大值为 4 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、分割法求面
34、积、换元法和对 勾函数的性质等， 有一定的综合性， 但难度不大， 考查学生的逻辑推理能力和运算能力， 属于中档题 20十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村 地区人民群众脱贫奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入 也逐年增加 为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划， 该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用 该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收
35、入 X 服从正态分布 N（，2）， 其中 近似为年平均收入 ，2近似为样本方差 s2，经计算得；s26.92，利用该正态分 布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收 入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民若每个农民的年收入相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式 ，若 X N（，2），则 P（X+）0.6826； P（2X+2）0.9545； P（3
36、X+3）0.9973； 【分析】（1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案； （2）由题意，XN（17.40，6.92）， （i）由已知数据求得 P（x），进一步求得 得答案； （）求出 P（X12.14），得每个农民年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 设 1000 个农民年收入不少于 12.14 千元的人数为 ，则 B（103，p），求出恰好有 k 个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率，由 1，得 k 1001p，结合 1001p978.233，对 k 分类分析得答案 解：（1） 17.40； （2）由题意，XN（17.40，6.92） （i）P（
37、x） ， 17.402.6314.77 时，满足题意， 即最低年收入大约为 14.77 千元； （）由 P（X12.14）P（X2）0.5 ， 得每个农民年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 记 1000 个农民年收入不少于 12.14 千元的人数为 ， 则 B （103， p） ， 其中 p0.9773 于是恰好有 k 个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率是 P（k） ， 从而由 1，得 k1001p， 而 1001p978.233， 当 0k978 时，P（k1）P（k）， 当 979k1000 时，P（k1）P（k） 由此可知，在走访的 1000 位农民
38、中，年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是 978 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及其意义，考查二项分布及其概率的求法，正确 理解题意是关键，是中档题 21已知函数 f（x）alnx+xb（a0） （1）当 b2 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a+b0，b0 时，对任意 ， ，有 f（x）e1 成立，求实数 b 的取值 范围 【分析】（1）通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为 f（x）maxe1，当 a+b0 即 ab 时，f（x）blnx+xb，求出函 数的导数，根据函数的单调性求出 b 的范围即可 解：（1）函数 f（x）的定义域为（0
39、，+） 当 b2 时，f（x）alnx+x2，所以 f（x） （1 分） 当 a0 时，f（x）0，所以函数 f（x）在（0，+）上单调递增 当 a0 时，令 f（x）0，解得：x ， 当 0x 时，f（x）0，所以函数 f（x）在（0， ）上单调递减； 当 x 时，f（x）0，所以函数 f（x）在（ ，+）上单调递增 综上所述，当 b2，a0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 b2，a0 时，函数 f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递 增 （2）因为对任意 ， ，有 f（x）e1 成立，所以 f（x）maxe1 当 a+b0 即 ab 时，f（x）blnx+xb
40、，f（x） 令 f（x）0，得 0x1；令 f（x）0，得 x1 所以函数 f（x）在 ，1）上单调递减，在（1，e上单调递增， f（x）maxf（ ）b+e b与 f（e）b+eb中的较大者 设 g（b）f（e）f（ ）e beb2b（b0）， 则 ， 所以 g（b）在（0，+）上单调递增，故 g（b）g（0）0， 所以 f（e）f（ ）， 从而f（x）maxf（e）b+eb 所以b+ebe1 即 ebbe+10 设 （b）ebbe+1（b0），则 （b）eb10 所以 （b）在（0，+）上单调递增 又 （1）0，所以 ebbe+10 的解为 b1 因为 b0，所以 b 的取值范围为（0，1
41、 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），A（2，0），P 为曲线 C 上的一动点 （）求动点 P 对应的参数从 变动到 时，线段 AP 所扫过的图形面积； （） 若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q， 是否存在点 P， 使得 P 为线段 AQ 的中点？ 若存在，求出点 P 坐标；若不存在，说明理由 【分析】（）设 时对应的点为 M， 时对应的点为
42、 N，线段 AP 扫过的面积 SAMN+S弓形SOMN+S 弓形S扇形OMN 1 2 ； （）根据中点公式求得中点坐标代入曲线 C 的方程可得 解：（I）设 时对应的点为 M， 时对应的点为 N， 线段 AP 扫过的面积SAMN+S弓形SOMN+S弓形S扇形OMN 1 2 （II）设 P（cos，sin），A（2，0） P 为线段 AQ 的中点，Q（2cos2，2sin） Q 在曲线 C 上，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y21 （2cos2）2+（2sin）21 8cos7，cos P（ ， ） 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f
43、（x）2x2，g（x）|xa| （1）若 a1，解不等式 f（x）+g（x）3； （2）若不等式 f（x）g（x）至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围 【分析】（1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式，解出即可； （2）结合函数的图象以及二次函数的性质求出 a 的范围即可 解：（1）若 a1，则不等式 f（x）+g（x）3 化为 2x2+|x1|3， 当 x1 时，2x2+x13，即 x2x+20，（x ） 2 0 不成立； 当 x1 时，2x2x+13，即 x2+x0，解得1x0 综上，不等式 f（x）+g（x）3 的解集为x|1x0 （2）作出 yf（x）的图象如图所示： ， 当 a0 时，g（x）的图象如折线所示： 由 ，得 x 2+xa20，若相切，则1+4（a+2）0，得 a ， 数形结合知，当 a 时，不等式无负数解，则 a0 当 a0 时，满足 f（x）g（x）至少有一个负数解 当 a0 时，g（x）的图象如折线所示： 此时当 a2 时恰好无负数解，数形结合知， 当 a2 时，不等式无负数解，则 0a2 综上所述，若不等式 f（x）g（x）至少有一个负数解， 则实数 a 的取值范围是（ ，2） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想以及数形结合 思想，是一道中档题
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