1、2020 年高考（理科）数学模拟试卷年高考（理科）数学模拟试卷 一、选择题. 1设 ，则|z|（ ） A B C D 2已知集合 Ax|x26x70，Bx|x|x，则 AB（ ） A（1，0 B（7，0 C0，7） D0，1） 3已知函数 f（x）（2x+2x）ln|x|的图象大致为（ ） A B C D 4 已知向量 ， 满足 ， ， 且 ， 则向量 与 的夹角的余弦值为 （ ） A B C D 5已知抛物线 C：x22py（p0）的准线 l 与圆 M：（x1）2+（y2）216 相切，则 p （ ） A6 B8 C3 D4 6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 ，a22，则 S3（
2、 ） A8 B7 C6 D4 7“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为 计算圆的周长、 面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 3072 边 形，并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值，这个结果是当时世界上 圆周率计算的最精确数据如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机 模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为 0.8269，那么通过该 实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据 2.0946）（ ） A3.1419 B3.1417 C3.1415 D3.1413 8已知函数 f（x）
3、cos（x+）（0）的最小正周期为 ，且对 xR， ， 恒成立，若函数 yf（x）在0，a上单调递减，则 a 的最大值是（ ） A B C D 9已知函数 f（x）2|x|+x2，设 ，nf（7 0.1），pf（log 225），则 m，n，p 的大小关系为（ ） Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 10已知双曲线 ， 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜率为 的 直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若 ，则此双曲线的标准方程 可能为（ ） Ax2 1 B C D 11如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是 AD 的中点，动点 P 在底面 ABCD 内
4、（不包括边界）若 B1P平面 A1BM，则 C1P 的最小值是（ ） A B C D 12已知函数 的极值点为 x1，函数 g（x）e x+x2 的零点为 x 2，函数 的最大值为 x3，则（ ） Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx3x1x2 Dx3x2x1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13设 x，y 满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值是 14某公司对 2019 年 14 月份的获利情况进行了数据统计，如表所示： 月份 x 1 2 3 4 利润 y/万元 5 6 6.5 8 利用线性回归分析思想， 预测出 2019 年 8
5、月份的利润为 11.6 万元， 则 y 关于 x 的线性回 归方程为 15若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 16数列an为 1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，首先给出 a11， 接着复制该项后，再添加其后继数 2，于是 a21，a32，然后再复制前面所有的项 1， 1，2，再添加 2 的后继数 3，于是 a41，a51，a62，a73，接下来再复制前面所有 的项 1，1，2，1，1，2，3，再添加 4，如此继续，则 a2019 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 21 题为
6、必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， bsinB+csinCa （ sinA） （1）求 A 的大小； （2）若 a ，B ，求ABC 的面积 18如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形，A1D 与 AD1交于点 E， AA1AD2AB4 （1）证明：AE平面 ECD （2）求直线 A1C 与平面 EAC 所成角的正弦值 19某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂 60 元，对于提供的软件服务每次 10 元； 方案
7、二： 软件服务公司每日收取工厂 200 元， 若每日软件服务不超过 15 次， 不另外收费， 若超过 15 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 20 元 （1）设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为 x，试写出两种方案中 y 与 x 的函数关系 式； （2）该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据 该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个 方案更合适？请说明理由 20已知椭圆 ： 的离心率为 焦距为 2 （1）求 C 的方程； （2）若斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点（点 P，Q 均在第一象限），O
8、 为坐 标原点 证明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列 若 Q与 Q 关于 x 轴对称，证明： 21已知函数 f（x）ex+ax+b，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 exy 20 （1）求函数 f（x）的解析式，并证明：f（x）x1 （2）已知 g（x）kx2，且函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1，y1），B（x2， y2）两点，且线段 AB 的中点为 P（x0，y0），证明：f（x0）g（1）y0 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+ya0，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以坐标原点为极点，x
9、 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ，求 a 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2| （1）求不等式 f（x）+f（x2）x+1 的解集： （2）若xR，使得 f（x+a）+f（x）f（2a）恒成立，求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1设 ，则|z|（ ） A B C D 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 解：z i i
10、 i， |z| 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 2已知集合 Ax|x26x70，Bx|x|x，则 AB（ ） A（1，0 B（7，0 C0，7） D0，1） 【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可 解：Ax|1x7，Bx|x0， AB（1，0 故选：A 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查 了计算能力，属于基础题 3已知函数 f（x）（2x+2x）ln|x|的图象大致为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和零点个数，以及利用极限思想进行求解即可 解：f（x）（2x
11、+2x）ln|x|（2x+2x）ln|x|f（x），则 f（x）是偶函数，排除 D， 由 f（x）0 得 ln|x|0 得|x|1，即 x1 或 x1，即 f（x）有两个零点，排除 C， 当 x+，f（x）+，排除 A， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性，零点个数以及极限思想是 解决本题的关键 4 已知向量 ， 满足 ， ， 且 ， 则向量 与 的夹角的余弦值为 （ ） A B C D 【分析】利用已知条件，结合斜率的数量积转化求解向量 与 的夹角的余弦值 解：由题意可知 ， ，且 ，可得 3+2 4，解得 ， 向量 与 的夹角的余弦值： ， 故选：D 【点评】本
12、题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力 5已知抛物线 C：x22py（p0）的准线 l 与圆 M：（x1）2+（y2）216 相切，则 p （ ） A6 B8 C3 D4 【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可 解：抛物线 C：x22py（p0）的准线 l：y 与圆 M：（x1） 2+（y2）216 相 切， 可得 4，解得 p4 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的 考查 6已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 ，a22，则 S3（ ） A8 B7 C6 D4 【分析】利用已知条件化简，转化求解即可 解： ，则
13、 S38 故选：A 【点评】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想 7“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在九章算术注中提出割圆术，并作为 计算圆的周长、 面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 3072 边 形，并由此而求得了圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值，这个结果是当时世界上 圆周率计算的最精确数据如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机 模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为 0.8269，那么通过该 实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据 2.0946）（ ） A3.1419 B3.1417 C3.1
14、415 D3.1413 【分析】由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得： 正六边形 圆 0.8269，所以 0.8269，又 2.0946，所以 3.1419，得解 解：由几何概型中的面积型可得： 正六边形 圆 0.8269， 所以 0.8269， 又 2.0946， 所以 3.1419， 故选：A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题 8已知函数 f（x）cos（x+）（0）的最小正周期为 ，且对 xR， ， 恒成立，若函数 yf（x）在0，a上单调递减，则 a 的最大值是（ ） A B C D 【分析】利用函数的周期求出 ，对 xR， ，恒成立，推
15、出函数的最小值， 求出 ，然后求解函数的单调区间即可 解：函数 f（x）cos（x+）（0）的最小正周期为 ， ， 又对任意的 x，都使得 ， 所以函数 f（x）在 上取得最小值， 则 ，kZ， 即 ，kZ 所以 ， 令 ，kZ， 解得 ，kZ， 则函数 yf（x）在 ， 上单调递减， 故 a 的最大值是 故选：B 【点评】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力 9已知函数 f（x）2|x|+x2，设 ，nf（7 0.1），pf（log 225），则 m，n，p 的大小关系为（ ） Ampn Bpnm Cpmn Dnpm 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为偶函数，求出 f（x）的
16、导数，分析可得 f（x）在 区间0，+）上为增函数，由对数的运算性质可得 70.11log232log225，据此分 析可得答案 解：根据题意，函数 f（x）2|x|+x2，其定义域为 R，则 f（x）2|x|+x2f（x），即函 数 f（x）为偶函数， 则 f（log23）f（log23）， 在区间0，+）上，f（x）2x+x2，其导数 f（x）2xln2+2x0，则 f（x）在区间0， +）上为增函数， 又由 70.11log232log225，则有 pmn； 故选：C 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的大小比较，属于基础 题 10已知双曲线 ， 的左、右焦点分别为
17、 F1，F2，过 F2且斜率为 的 直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若 ，则此双曲线的标准方程 可能为（ ） Ax2 1 B C D 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|F2F1|2c，由双曲线的定义可 得|AF1|2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得 3c5a，4c5b，即可得到所求方程 解：若（ ） 0，即为若（ ） （ ）0， 可得 2 2，即有|AF 2|F2F1|2c， 由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c， 在等腰三角形 AF1F2中，tanAF2F1 ， cosAF2F1 ， 化为 3c5a， 即 a c，b c， 可得 a：b3：4，a2：b29：16
18、 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的 余弦定理，考查运算能力，属于中档题 11如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M 是 AD 的中点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边界）若 B1P平面 A1BM，则 C1P 的最小值是（ ） A B C D 【分析】在 A1D1上取中点 Q，在 BC 上取中点 N，连接 DN，NB1，B1Q，QD，根据面面 平行的判定定理可得平面 B1QDNA1BM，则动点 P 的轨迹是 DN，则当 CPDN 时， C1P 取得最小值 解：如图，在 A1D1上取中点 Q，在 BC 上取中点
19、 N，连接 DN，NB1，B1Q，QD， DNBM，DQA1M 且 DNDQD，BMA1MM， 平面 B1QDNA1BM，则动点 P 的轨迹是 DN，（不含 D，N 两点） 又 CC1平面 ABCD， 则当 CPDN 时，C1P 取得最小值， C1P 故选：B 【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属 中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找 P 点位置 12已知函数 的极值点为 x1，函数 g（x）e x+x2 的零点为 x 2，函数 的最大值为 x3，则（ ） Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx3x1x2 Dx3x2x1 【分析】利用导数可求得函数
20、 的极值点 x1，满足 x1 0 且 x1（ ， ），函数 的极大值，也是最大值为 x3 ，函数 g（x）e x+x 2 的零点为 x2 x220，构造函数 yex+x，利用其单调性比较 x1与 x2的大小， 即可得到答案 解： ， f（x）ex +x ，由于 f（x）e x+1 0， f（x）在（0，+）上单调递增 又 f（ ）0，f（ ）0， 函数 的极值点为 x1， x1 0 且 x1（ ， ） 又函数 g（x）ex+x2 的零点为 x2， x220，同理知 x2（ ， ）， 令 yex+x，则 yex+x 为增函数， 由知，y1 x1 2 x2y2得： x1x2 ， 又 ，h（x） ，
21、 当 x（0，e）时，h（x）0，当 x（e，+）时，h（x）0， h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， 当 xe 时函数 取得极大值 ，即 x 3 由得：x1x2x3 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值与最值，考查函数单调性的灵活应用，突出 函数与方程思想、等价转化思想与构造法的应用，考查逻辑推理与数学运算能力，是难 题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13设 x，y 满足约束条件 ，则 zx+y 的最小值是 0 【分析】先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线，再利用一元二次不等式表 示平面区
22、域的规律， 确定可行域， 将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距， 平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果 解：依题意 x，y 满足约束条件 画图如下： 当 z0 时，有直线 l1：x+y0 和直线 l2：xy0，并分别在上图表示出来， 当直线向 xy0 向下平移并过 A 点的时候，目标函数 zx+y 有最小值，此时最优解就 是 A 点，点 A 的坐标是：A（2，2）， 所以目标函数 zx+y 的最小值是 0 故答案为：0 【点评】本题考查了线性规划的方法和思想，一元二次不等式表示平面区域的规律和区 域的画法，利用可行域数形结合求目标函数最值的方法 14某公司对 2019 年
23、14 月份的获利情况进行了数据统计，如表所示： 月份 x 1 2 3 4 利润 y/万元 5 6 6.5 8 利用线性回归分析思想， 预测出 2019 年 8 月份的利润为 11.6 万元， 则 y 关于 x 的线性回 归方程为 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于 与 的方程组，求解即可得 到 y 关于 x 的线性回归方程 解：由已知表格中的数据可得， ， ， ， 又 ， 联立解得： ， y 关于 x 的线性回归方程为 故答案为： 【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题 15若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为 8 【分析】由题意
24、画出图形，求出圆柱外接球的直径，得到外接球的半径，则外接球的表 面积可求 解：如图， 圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则正方形的边长为 2， 正方形的对角线即圆柱外接球的直径为 ，半径为 该圆柱的外接球的表面积为 故答案为：8 【点评】本题考查旋转体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中 档题 16数列an为 1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，首先给出 a11， 接着复制该项后，再添加其后继数 2，于是 a21，a32，然后再复制前面所有的项 1， 1，2，再添加 2 的后继数 3，于是 a41，a51，a62，a73，接下来再复制前面所有 的项
25、1，1，2，1，1，2，3，再添加 4，如此继续，则 a2019 1 【分析】由数列an的构造方法可知 a11，a32，a73，a154，可得 n，即 ak（1k2n1），进而得出结论 解：由数列an的构造方法可知 a11，a32，a73，a154， 可得 n，即 ak（1k2n1）， 故 a2019a996a485a230a103a40a9a21 故答案为：1 【点评】本题考查了数列递推关系、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题
26、为选考题，考生根据要求作答. 17 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， bsinB+csinCa （ sinA） （1）求 A 的大小； （2）若 a ，B ，求ABC 的面积 【分析】（1） 由正弦定理化简已知等式可得 b2+c2a （ a） ， 可得 b 2+c2a2 ， 进 而可求 cosA ，从而可得 A 的值 （2）利用两角和的正弦函数公式可求 sinC 的值，利用正弦定理可得 b，根据三角形的面 积公式即可计算得解 解：（1）bsinB+csinCa（ sinA）， 由正弦定理可得：b2+c2a（ a）， b2+c2a2 ， 2bccosA bc，
27、解得：cosA ，可得：A （2）sinCsin（A+B） ， 由正弦定理 ，可得：b ， SABC absinC 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三 角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形，A1D 与 AD1交于点 E， AA1AD2AB4 （1）证明：AE平面 ECD （2）求直线 A1C 与平面 EAC 所成角的正弦值 【分析】（1）证明 AA1CDCDAD，推出 CD平面 AA1D1D，得到 CDAE证明 AEED即可证明 AE平面 ECD （2）建立坐标
28、系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线 A1C 与平面 EAC 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：因为四棱柱 ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，所以 AA1平面 ABCD， 则 AA1CD 又 CDAD，AA1ADA， 所以 CD平面 AA1D1D，所以 CDAE 因为 AA1AD，AA1AD，所以 AA1D1D 是正方形，所以 AEED 又 CDEDD，所以 AE平面 ECD （2）解：建立如图所示的坐标系，A1D 与 AD1交于点 E，AA1AD2AB4 A （0， 0， 0） ， A1（0， 0， 4） ， C （2， 4， 0） ， D （0， 4， 0） 所以 E
29、（0， 2， 2） ， （2， 4， 4） ， 设平面 EAC 的法向量为 （x，y，z），可得 ，即 ，不妨 （ 2，1，1）， 直线 A1C 与平面 EAC 所成角的正弦值： 【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用； 19某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂 60 元，对于提供的软件服务每次 10 元； 方案二： 软件服务公司每日收取工厂 200 元， 若每日软件服务不超过 15 次， 不另外收费， 若超过 15 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 20 元 （1）设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为 x，试写出两种
30、方案中 y 与 x 的函数关系 式； （2）该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据 该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个 方案更合适？请说明理由 【分析】（1）依题意，根据题目给出的信息列出函数关系式即可，注意定义域 （2）根据频数条形图中的数据列出两种方案对应的分布列，计算出期望，以期望作为判 断条件判断即可 解：（1）由题可知，方案一中的日收费 y 与 x 的函数关系式为 y10x+60，x一、选择 题 方案二中的日收费 y 与 x 的函数关系式为 y ， ， ， ， （2）设方案一中的日收费为 X，由条形图可
31、得 X 的分布列为 X 190 200 210 220 230 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 所以 E（X）1900.1+2000.4+2100.1+2200.2+2300.2210（元） 方案二中的日收费为 Y，由条形图可得 Y 的分布列为 Y 200 220 240 P 0.6 0.2 0.2 E（Y）2000.6+2200.2+2400.2212（元） 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一 【点评】本题考查了函数的解析式的求法，离散型随机变量的分布列与数学期望，决策 问题等本题属于中档题 20已知椭圆 ： 的离心率为 焦距为 2 （1）求 C 的方程； （2）若斜率为 的直
32、线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点（点 P，Q 均在第一象限），O 为坐 标原点 证明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列 若 Q与 Q 关于 x 轴对称，证明： 【分析】（1）由题意可得关于 a，c 的方程组求解得 a 与 c 的值，结合隐含条件求得 b， 则椭圆方程可求； （2）设直线 l 的方程：y ，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭 圆方程， 化为关于x的一元二次方程， 利用斜率公式及根与系数的关系即可证明直线OP， PQ，OQ 的斜率依次成等比数列； 由题意可知，xOQxOQ，由可知，tanxOQ tanxOP ，tanxOQ 0，tanxOP0，再
33、由 tanPOQtan（xOQ+xOP），展开两角和的正切， 结合基本不等式求最值，可知若xOQxOP，则 P，Q 两点重合，不符合题意，不 等式等号不成立，由此即可证明 解：（1）由题意可得， ，解得 a2，c b2a2c21 椭圆 C 的方程为： ； 证明：（2）设直线 l 的方程：y ，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立 ，得 x22mx+2（m21）0 则4m28（m21）4（2m2）0，且 x1+x22m， 即直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列； 由题意可知，xOQxOQ， 由可知，tanxOQ tanxOP ，tanxOQ0，tanxOP0 tanPOQtan（x
34、OQ+xOP） 若xOQxOP，则 P，Q 两点重合，不符合题意，可知上式等号不成立 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合运用问题，涉及到斜率 关系的证明和不等式的证明，证明不等式的关键的能够利用倾斜角的关系，利用两角和 与差的正切公式构造符合基本不等式的形式，利用基本不等式求最值，属难题 21已知函数 f（x）ex+ax+b，曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 exy 20 （1）求函数 f（x）的解析式，并证明：f（x）x1 （2）已知 g（x）kx2，且函数 f（x）与函数 g（x）的图象交于 A（x1，y1），B（x2， y2）两点，且线段 AB 的中
35、点为 P（x0，y0），证明：f（x0）g（1）y0 【分析】（1）由已知结合导数的几何意义即可求解， （2）结合分析法把所要证明的问题进行转化，结合所转化的结论构造函数后，利用导数 研究性质，即可证明 解：（1）由题意得：f（1）e+a+be2，即 a+b2， 又 f（x）a+ex，即 f（1）e+ae，则 a0，解得：b2， 则 f（x）ex2 令 h（x）f（x）x+1exx1，h（x）ex1， 令 h（x）0，解得：x0， 则函数 h（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增， h（x）h（0）0，则 f（x）x1 （2）要证 f（x0）g（1）y0成立，只需证： ， 即证：
36、，即证： ， 只需证： ， 不妨设 tx2x10，即证： ， 要证 ，只需证： ， 令 ，则 ，F（t）在（0，+）上为增函 数， F（t）F（0）0，即 成立； 要证 ，只需证： ， 令 ，则 ， G（t）在（0，+）上为减函数，G（t）G（0）0，即 成立 ，t0 成立f（x0）g（1）y0成立 【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，属于导数知识 的综合应用 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x+ya0，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线 l 和曲线 C
37、 的极坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且直线 OA 与 OB 的斜率之积为 ，求 a 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （2）利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用及直线的斜率求出 a 的值 解：（1）将 xcos，ysin 代入 x+ya0 的方程中，直线 l 的极坐标方程为 cos+sina0在曲线 C 的参数方程中，消去 ，可得 ， 将 xcos，ysin 代入 的方程中，所以曲线 C 的极坐标方程为 2 （4sin2+cos2）4 （2）直线 l 与曲线 C 的公共点的极坐标满足方程组 ，由方 程组得 a
38、2（4sin2+cos2）4（cos+sin）2， 可化为 4a2tan2+a24+8tan+4tan2，即（4a24）tan28tan+a240，则 ，解得 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力， 属于基础题型 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2| （1）求不等式 f（x）+f（x2）x+1 的解集： （2）若xR，使得 f（x+a）+f（x）f（2a）恒成立，求 a 的取值范围 【分析】（1）由题意可得|x+2|+|x|x+1，由绝对值的定义，对 x 讨论去绝对值
39、，解不等 式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|x+a+2|+|x+2|2a+2|恒成立，等价为（|x+a+2|+|x+2|）min|2a+2|，由绝 对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，由绝对值的解法可得所求范围 解：（1）不等式 f（x）+f（x2）x+1，即为|x+2|+|x|x+1， 等价为 或 或 ， 解得 x或 x或 x， 则原不等式的解集为； （2）若xR，使得 f（x+a）+f（x）f（2a）恒成立， 即有|x+a+2|+|x+2|2a+2|恒成立， 由|x+a+2|+|x+2|x+a+2x2|a|，当且仅当（x+2）（x+2+a）0 时，取得等号， 可得|2a+2|a|，即为（3a+2）（a+2）0， 解得2a ， 则 a 的取值范围是2， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想和转 化思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题
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