1、2020 年高考（年高考（4 月份）数学模拟试卷（理科）月份）数学模拟试卷（理科） 一、选择题. 1设集合 Ax|x22x30，xN，则集合 A 的真子集有（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 2已知 i 是虚数单位，则化简（ ） 2020 的结果为（ ） Ai Bi C1 D1 3若干年前，某教师刚退休的月退休金为 4000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面的 条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折 线图已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（ ） A4500 元 B5000 元 C5500 元 D6000 元
2、 4将包括甲、乙、丙在内的 8 人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥 交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率 为（ ） A B C D 5已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点 ， 的直线 l 交抛物线于 另一点 N，则|NF|：|NM|等于（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D ： 6在所有棱长都相等的直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为棱 CC1，AC 的中点，则直 线 AB 与平面 B1DE 所成角的余弦值为（ ） A B C D 7已知点 A（4，3），点 B 为不等式组 所表示平面区域上的任意一点
3、，则 |AB|的最小值为（ ） A5 B C D 8给出下列说法 定义在a，b上的偶函数 f（x）x2（a+4）x+b 的最大值为 20； “ ”是“tanx1”的充分不必要条件； 命题“ ， ， ”的否定形式是“ ， ， ” 其中正确说法的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 9 已知 ， ， ， ， 则 a， b， c 间的大小关系为 （ ） Aabc Bbac Ccab Dbca 10元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1 秤15 斤，1 斤16 两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有 银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人
4、每一个人所得是前一个人所得 的一半 若银的数量不变， 按此法将银依次分给 7 个人， 则得银最少的一个人得银 （ ） A9 两 B 两 C 两 D 两 11 在ABC 中， 角 A、 B、 C的对边分别是a、 b、 c， 若 ， 则 的最 大值为（ ） A B C D 12已知 f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且 f（x）+g（x）log3（3x+1），不等式 3g （x）f（x）t0 对 xR 恒成立，则 t 的最大值为（ ） A1 B32log32 C2 D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 （2， ）， （1， ），则 在 方向上的投影等于 1
5、4在ABC 中，B ，A、B 是双曲线 E 的左、右焦点，点 C 在 E 上，且 BC AB， 则 E 的离心率为 15已知函数 f（x）cos（x+） （0，0）是奇函数，且在 ， 上单调减， 则 的最大值是 16 已知三棱锥 ABCD 中， 平面 ABD平面 BCD， BCCD， BCCD2， ABAD ， 则 三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 （1）求数列an的通项公式
6、； （2）若数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 18如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABEF 为正方形，AFDF， AF FD，DFECEF45 （1）证明：DCFE； （2）求二面角 DBEC 的平面角的余弦值 19 已知点P在圆O： x2+y29上运动， 点P在x轴上的投影为Q， 动点M满足4 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2） 设 G （3， 0） ， H （3， 0） ， 过点 F （1， 0） 的动直线 l 与曲线 E 交于 A、 B 两点 问： 直线 AG 与 BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理 由 2
7、0某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同 的果树苗 A、B、C经过引种实验发现，引种树苗 A 的自然成活率为 0.7，引种树苗 B、 C 的自然成活率均为 p（0.6p0.8） （1）任取树苗 A、B、C 各一棵，估计自然成活的棵数为 X，求 X 的分布列及其数学期 望； （2）将（1）中的数学期望取得最大值时 p 的值作为 B 种树苗自然成活的概率，该农户 决定引种 n 棵 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有 75%的树苗可经过人栽培技术处 理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活 求一棵 B 种树苗最终成活的概率； 若每棵树苗引种最终成活
8、可获利 400 元， 不成活的每棵亏损 80 元该农户为了获利期望 不低于 10 万元，问至少要引种种树苗多少棵？ 21已知函数 f（x）（a1）x+xlnx 的图象在点 A（e2，f（e2）（e 为自然对数的底数） 处的切线斜率为 4 （1）求实数 a 的值； （2）若 mZ，且 m（x1）f（x）+1 对任意 x1 恒成立，求 m 的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方 程为 ， ，直线 l 的参数方程为
9、（t 为参数） （1）点 A 在曲线 C 上，且曲线 C 在点 A 处的切线与直线：x+2+10 垂直，求点 A 的直 角坐标； （2）设直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线 l 的斜率的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x1|+2|x+1|，xR （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）+2|2t1|在实数范围内解集为空集，求实数 t 的取值范 围 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1设集合 Ax|x22x30，xN，则集合 A 的真
10、子集有（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 【分析】由列举法得到集合 A 中的元素个数，再由结论：含有 n 个元素的集合的真子集 数共有：2n1 个，即得答案 解：集合 Ax|x|x22x30，xZx|1x3，xZ0，1，2， 所以集合 A 的真子集个数为：2317 个 故选：C 【点评】本题主要考查了集合的子集，一般地，含有 n 个元素的集合的真子集数共有： 2n1 个 2已知 i 是虚数单位，则化简（ ） 2020 的结果为（ ） Ai Bi C1 D1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 ，再由虚数单位 i 的运算性质得答案 解： ， （ ） 2020i2020i45051
11、 故选：D 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位 i 的运算性质，是基础题 3若干年前，某教师刚退休的月退休金为 4000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面的 条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折 线图已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（ ） A4500 元 B5000 元 C5500 元 D6000 元 【分析】根据题中目前的月就医费比刚退休时少 100 元可列等式，求出即可 解：设目前该教师的月退休金为 x 元， 则有 10%x400015%100，解之得 x5000， 故选：B 【点评】本题考
12、查对条形图，折线图的数据整合能力，属于基础题 4将包括甲、乙、丙在内的 8 人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥 交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率 为（ ） A B C D 【分析】甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有 种方法，乙指 挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有 种方法，甲、乙都指挥交通， 则丙不能指挥交通， 故有 种方法， 由此能求出甲、 乙至少一人参加指挥交通且甲、 丙不在同一组的概率 解：甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有 种方法， 乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有 种方
13、法， 甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有 种方法， 甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为： p 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 5已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 和抛物线上一点 ， 的直线 l 交抛物线于 另一点 N，则|NF|：|NM|等于（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D ： 【分析】求出抛物线的焦点坐标，通过直线与抛物线方程联立，求出 MN 的坐标，然后 转化求解|NF|：|NM|即可 解：抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0），所以 ， 由 ，可得 3x 210x+30，
14、所以 x 13，x2 ， 所以 故选：C 【点评】本题考查抛物线的焦点弦，抛物线的简单性质以及数形结合的思想的应用，是 中档题 6在所有棱长都相等的直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为棱 CC1，AC 的中点，则直 线 AB 与平面 B1DE 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线 AB 与平面 B1DE 的法 向量的夹角来求，问题就容易多了 解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱 ABCA1B1C1 该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为 2， 取 AB 的中点为原点，直线 OC，OB 分为 x，y 轴建立如
15、图所示的空间直角坐标系 则 O（0，0，0），B（0，1，0），E（ ， ， ），D（ ， ， ），B1（0，1，2） ， ， ， ， ， ， 设平面 B1DE 的法向量 ， ， ， ， ，令 x2，得 ， ， ， ， 且 设所求角为 ，则 ， 故选：C 【点评】本题考查了利用空间向量求线面角的问题，同时考查了学生的空间想象、数学 运算以及逻辑推理等数学核心素养本题容易将结果看成正弦值，属于易错题 7已知点 A（4，3），点 B 为不等式组 所表示平面区域上的任意一点，则 |AB|的最小值为（ ） A5 B C D 【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可 解：不等式组
16、的可行域如图： 则|AB|的最小值为 A 到 B 的距离 由 解得 B（2，2）， |AB|的最小值： ， 故选：C 【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直 线的距离公式的应用 8给出下列说法 定义在a，b上的偶函数 f（x）x2（a+4）x+b 的最大值为 20； “ ”是“tanx1”的充分不必要条件； 命题“ ， ， ”的否定形式是“ ， ， ” 其中正确说法的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】利用函数的奇偶性和最值可得答案，由充要条件定义可判断，由命题的 否定定义可判断，从而可得三个选项出结论 解：定义在a，b上的偶函数 f（x）x2（
17、a+4）x+b，所以有 f（x）f（x），即 a4，定义域为a，b，所以 b4，所以函数 f（x）在 x4 时取得最大值为 20，正 确； 由充要条件的定义 “ ” 能推出 “tanx1” 成立， 而 “tanx1” 不能推出 “ ” 成立， 所以“ ”是“tanx1”的充分不必要条件正确； 由全称特称量词命题的否定定义可得命题“ ， ， ”的否定形 式是“ ， ， ”正确； 其中正确说法的个数为三个， 故选：D 【点评】本题考查命题真假判断及充要条件，函数的奇偶性和最值，属中档题的考查 9 已知 ， ， ， ， 则 a， b， c 间的大小关系为 （ ） Aabc Bbac Ccab Dbc
18、a 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 解：logm30，m1， 0log42log321，20.51， abc， 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 10元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1 秤15 斤，1 斤16 两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有 银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得 的一半 若银的数量不变， 按此法将银依次分给 7 个人， 则得银最少的一个人得银 （ ） A9 两 B 两 C 两 D 两
19、【分析】共有银：1616+10266 两，设分银最少的为 a 两，则 7 人的分银量构成以 a 为首项，2 为公比的等比数列，由此利用等比数列前 n 项和公式能求出结果 解：由题意共有银：1616+10266 两， 设分银最少的为 a 两，则 7 人的分银量构成以 a 为首项，2 为公比的等比数列， 则 266， 解得 a 故选：B 【点评】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 11 在ABC 中， 角 A、 B、 C的对边分别是a、 b、 c， 若 ， 则 的最 大值为（ ） A B C D 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得
20、tanA2tanB，然后对所求式子进行 化简，结合基本不等式即可求解 解：因为 ， 由正弦定理可得，sinAcosBsinBcosA sinC （sinAcosB+sinBcosA）， 化简可得，tanA2tanB， 则 ， 当 且 仅 当 时取等号， ，即最大值 ， 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形在求解三角形中的应用，还考查了基 本不等式求解最值的应用，属于中档试题 12已知 f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且 f（x）+g（x）log3（3x+1），不等式 3g （x）f（x）t0 对 xR 恒成立，则 t 的最大值为（ ） A1 B32log32 C2 D 【
21、分析】运用奇偶性的定义，将 x 换为x，联立两个方程求得 f（x），g（x），由题意 可得 t3g（x）f（x）的最小值，构造函数 h（x），求得导数和单调性、极值和最小 值，可得所求范围 解：f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，可得 f（x）f（x），g（x）g（x）， 由 f（x）+g（x）log3（3x+1）， 可得 f（x）+g（x）log3（3x+1）， 即为f（x）+g（x）log3（3x+1）， 联立可得 f（x） x，g（x）log3（3 x +1） x， 由不等式 3g（x）f（x）t0 对 xR 恒成立，可得 t3g（x）f（x）3log3（3x+1）2xlog3 恒成立，
22、设 h（x） ，h （x） ， 当 xlog32 时，h（x）0，h（x）递增，当 xlog32 时，h（x）0，h（x）递减， 可得 xlog32 处 h（x）取得极小值，且为最小值 32log32， 则 t32log32， 故选：B 【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和构 造函数法，运用导数求得单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量 （2， ）， （1， ），则 在 方向上的投影等于 【分析】根据平面向量投影的定义，计算即可 解：向量 （2， ）， （1， ）， 则
23、 在 方向上的投影为| |cos 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，也考查了平面向量的坐标运算问 题，是基础题 14在ABC 中，B ，A、B 是双曲线 E 的左、右焦点，点 C 在 E 上，且 BC AB， 则 E 的离心率为 【分析】根据余弦定理可得 AC c，结合双曲线定义，则有 cc2a，即可解出 e 解：由题得，AB2c，BCc，B ， 则根据余弦定理可得 AC c， 所以 cc2a，解得 e ， 故答案为 【点评】本题考查双曲线离心率的求法，考查余弦定理的应用，属于中档题 15已知函数 f（x）cos（x+） （0，0）是奇函数，且在 ， 上单调减， 则
24、的最大值是 2 【分析】根据 f（x）是奇函数即可得出 ，进而得出 f（x）sinx，然后根据题 意即可得出 ， ， ，然后即可得出 2，从而得出 的最大值 解：f（x）是奇函数， f（0）cos0，且 0， ， ，且 0，f（x）在 ， 上单调减， ， ， ， ，解得 2， 的最大值是 2 故答案为：2 【点评】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为 0，三角 函数的诱导公式，正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题 16 已知三棱锥 ABCD 中， 平面 ABD平面 BCD， BCCD， BCCD2， ABAD ， 则 三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 【分析
25、】根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径 R，然后 代入球的体积公式可求 解：ABAD，取 BD 中点 E，则 AEBD 平面 ABD平面 BCD， 则 AEBD，故 AE平面 BCD， 则球心 O 在 AE 上，且 BD2 ，EB ，AE 2， 设外接球的半径 R，则 OB2OE2+EB2， R22+（2R）2， 解可得，R ， V 【点评】本题主要通过空间几何体的外接球问题，考查了考生的空间想象能力，推理论 证能力，属于中档试题 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据
26、要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 （1）求数列an的通项公式； （2）若数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 【分析】（1）当 n1 时， ，得 a12，当 n2 时，由 得， ， 作差化简求出 an的通项公式； （2） 根据 （1） 得， 当n1 时， ， 当n2 时， ， 根据裂项相消法和放缩法，证明结论成立 解：（1）当 n1 时， ，得 a12， 当 n2 时，由 得， ， 作差得， ， 化简得，nan（n+1）an1， 即 ， 由 ， 综上，ann+1（nN*）； （2）证明：根据（1）得，当 n1 时， ， 当 n2 时， ， 所 以
27、， 故命题成立 【点评】本题考查了数列递推式求数列的通项公式和前 n 项和公式，考查运算能力，中 档题 18如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABEF 为正方形，AFDF， AF FD，DFECEF45 （1）证明：DCFE； （2）求二面角 DBEC 的平面角的余弦值 【分析】（1）推导出 ABFE，从而 AB平面 EFDC，进而 DCAB，由此能证明 DC FE （2）由 AFEF，AFDF，得 AF平面 EFDC，从而平面 ABEF平面 EFDC，作 DG EF，垂足为 G，则 DG平面 ABEF，以 G 为原点，GF 为 x 轴，在平面 ABEF 中，过 G
28、 作 EF 的垂线为 y 轴，GD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角 D BEC 的平面角的余弦值 解：（1）证明：四边形 ABEF 为正方形，ABFE， AB平面 EFDC，FE平面 EFDC，AB平面 EFDC， AB平面 ABCD，平面 ABCD平面 EFDCDC， DCAB，DCFE （2）解：AFEF，AFDF，AF平面 EFDC， 平面 ABEF平面 EFDC， 作 DGEF，垂足为 G，则 DG平面 ABEF， 以 G 为原点，GF 为 x 轴，在平面 ABEF 中，过 G 作 EF 的垂线为 y 轴，GD 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则题意得DFG
29、CEF45，设 AB4， 则 D（0，0，1），E（3，0，0），C（2，0，1），B（3，4，0）， （3，4，1）， （3，0，1）， （1，4，1）， （1，0，1）， 设平面 DBE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 x1，得 （1，0，3）， 设平面 BEC 的法向量 （a，b，c）， 则 ，取 a1，得 （1，0，1）， 设二面角 DBEC 的平面角为 ， 则二面角 DBEC 的平面角的余弦值为： cos 【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 已知点P在圆O： x2+y29
30、上运动， 点P在x轴上的投影为Q， 动点M满足4 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2） 设 G （3， 0） ， H （3， 0） ， 过点 F （1， 0） 的动直线 l 与曲线 E 交于 A、 B 两点 问： 直线 AG 与 BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理 由 【分析】（1）设 M（x，y），P（x0，y0），Q（x0，0），则由 4 ，得 x0 x，y0 y，代入圆 O：x2+y29，可得动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）设直线 l 为 xmy+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用 根与系数的关系即可求
31、得直线 AG 与 BH 的斜率之比为定值 解：（1）设 M（x，y），P（x0，y0），Q（x0，0）， 则由 4 ，得 4（0，y0） （x0x，y）， x0x，y0 y， 代入圆 O：x2+y29，可得 动点 M 的轨迹 E 的方程为 ； （2）直线 AG 与 BH 的斜率之比为定值 证明如下： 设直线 l 为 xmy+1，A（x1，y1），B（x2，y2） 联立 ，得（8m 2+9）y2+16my640 则 ， my1y24（y1+y2）， 则 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于 中档题 20某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树
32、，某农户考察了三种不同 的果树苗 A、B、C经过引种实验发现，引种树苗 A 的自然成活率为 0.7，引种树苗 B、 C 的自然成活率均为 p（0.6p0.8） （1）任取树苗 A、B、C 各一棵，估计自然成活的棵数为 X，求 X 的分布列及其数学期 望； （2）将（1）中的数学期望取得最大值时 p 的值作为 B 种树苗自然成活的概率，该农户 决定引种 n 棵 B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有 75%的树苗可经过人栽培技术处 理，处理后成活的概率为 0.8，其余的树苗不能成活 求一棵 B 种树苗最终成活的概率； 若每棵树苗引种最终成活可获利 400 元， 不成活的每棵亏损 80 元该农户为
33、了获利期望 不低于 10 万元，问至少要引种种树苗多少棵？ 【分析】（1）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，然后用 p 分别表示出每个 X 的取值所对 应的概率即可得分布列和数学期望； （2）先结合 p 的取值范围和（1）中的结论确定 p 的取值，然后就能得到一颗 B 种树苗 成活的概率； 记 Y 为 n 棵树苗的成活棵数， 则 YB （n， 0.92） ， 再结合二项分布的性质， 列出关于 n 的不等式，解之并取整即可 解：（1）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，则 P（X0）0.3（1p）20.30.6p+0.3p2， P（X1）0.7（1p）2+0.32p（1p）0.1p20.8
34、p+0.7， P（X2）20.7p（1p）+0.3p21.1p2+1.4p， P（X3）0.7p2， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.30.6p+0.3p 2 0.1p20.8p+0.7 1.1p2+1.4p 0.7p2 所以 E（X）10.1p20.8p+0.7+21.1p2+1.4p+30.7p22p+0.7 （2）因为 0.6p0.8，由（1）可知，当 p0.8 时，E（X）取得最大值， 一棵 B 种树苗最终成活的概率为 0.8+（10.8）0.750.80.92， 记 Y 为 n 棵树苗的成活棵数，则 YB（n，0.92），E （Y）0.92n， （0.924000.
35、0880）n100000， 解得 ， n277， 该农户至少要种植 277 棵树苗，才可获利不低于 10 万元 【点评】本题考查了随机变量的分布列、数学期望等基础知识点，考查了学生数学建模 的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力 提出较高要求，属于中档题 21已知函数 f（x）（a1）x+xlnx 的图象在点 A（e2，f（e2）（e 为自然对数的底数） 处的切线斜率为 4 （1）求实数 a 的值； （2）若 m一、选择题，且 m（x1）f（x）+1 对任意 x1 恒成立，求 m 的最大值 【分析】（1）f（x）（a1）x+xlnxf（x）a+lnx，依题
36、意，f（e2）a+lne2 4，可求得 a 的值； （2）由（1）知 f（x）x+xlnx， x1，m（x1）f（x）+1m 对任意 x 1 恒成立，构造函数 g（x） ，求 g（x） ，再令 （x）xlnx3， 分析得到 x0（4，5），使得 （x0）x0lnx030，g（x）ming（x0）x01（3， 4），从而可求得 m 的最大值 解：（1）f（x）（a1）x+xlnx，f（x）a+lnx，函数 f（x）（a1）x+xlnx 的图象在点 A（e2，f（e2）处的切线斜率为 4， f（e2）a+lne24，a2 （2） 由 （1） 知 f （x） x+xlnx， m （x1） f （x）
37、 +1 对任意 x1 恒成立， m 对任意 x1 恒成立， 令 g（x） ，则 g（x） 令 （x）xlnx3，则 （x）1 ， x1，（x）0，（x）xlnx3 在（1，+）为增函数 （4）1ln40，（5）2ln50， x0（4，5），使得 （x0）x0lnx030， x（1，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，x（x0，+）时，g（x）0，g （x）单调递增， g（x）ming（x0） x01， 故有 mx01 对 x1 都成立，x0（4，5），x01（3，4），m 的最大值为 3 【点评】本题第（1）问考查切线问题，第（2）问考查恒成立问题，通过分离参数后， 构造函数，利用导数解决
38、问题，考查转化思想与运算能力，对学生要求较高，属于难题 （二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一 题记分选修 4-4：坐标系与参数方程 22以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方 程为 ， ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）点 A 在曲线 C 上，且曲线 C 在点 A 处的切线与直线：x+2+10 垂直，求点 A 的直 角坐标； （2）设直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线 l 的斜率的取值范围 【分析】（1） 直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果
39、（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围的值 解： （1） 已知曲线 C 的极坐标方程为 ， ， 转换为直角坐标方程为 x 2+y2 2（x0）， A 在曲线 C 上，且曲线 C 在点 A 处的切线与直线：x+2+10 垂直， 所以 ，解得 ，即 A（ ， ） （2）直线 l 的直角坐标方程为 y4+k（x+2）与半圆 x2+y22（x0）有且只有一个 交点， 故 ，整理得 k 28k+70，解得 k1 或 7， 由于 B（0， ），C（0， ）P（2，4）， 所以 ， ， 所以直线 l 的斜率的范围为 ， 1 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方
40、程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x1|+2|x+1|，xR （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若关于 x 的不等式 f（x）+2|2t1|在实数范围内解集为空集，求实数 t 的取值范 围 【分析】（1）将 f（x）写成分段函数的形式，f（x）5 等价为一次不等式组，解不等 式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得（f（x）+2）min|2t1|，由 f（x）的解析式可得 f（1）为最小值， 再由绝对值不等式的解法可得所求范围 解：（1）函数 f（x） ， ， ， ， 则 或 或 ， 解得2x1 或 1x 或1x1， 则原不等式的解集为（2， ）； （2）关于 x 的不等式 f（x）+2|2t1|在实数范围内解集为空集， 等价为（f（x）+2）min|2t1|， 由（1）可得 f（x）的最小值为 f（1）2， 则 2+f（x）的最小值为 4，则|2t1|4，解得 t ， 则 t 的取值范围是 ， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和 分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题
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