1、山东省新高考山东省新高考 2020 届高三数学原创试卷（五）届高三数学原创试卷（五） 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知 Px|y= 1，Qx|x24x50，则 PQ（ ） A （1，1） B （1，1 C （1，5） D1，5） 2已知复数 z1、z2在复平面内对应的点分别为 Z1（1，3） 、Z2（1，1） ，则1 2 =（ ） A2+i B2i C12i D1+2i 3命题 p：已知 a1，x0，使得 x
2、+ 1，则该命题的否定为（ ） A已知 a1，x0，使得 x+ 1 B已知 a1，x0，使得 x+ 1 C已知 a1，x0，使得 x+ 1 D已知 a1，x0，使得 x+ 1 4甲、乙两家企业 1 至 10 月份的收入情况统计如图所示，下列说法中错误的是（ ） A甲企业的月收入比乙企业的月收入高 B甲、乙两企业月收入差距的最大值在 7 月份 C甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量比乙企业 7 月到 10 月份收入的平均变化量低 D 甲企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量比乙企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量高 52019 年 9 月，中国女排在日本举行的女排世界杯中以十一场
3、全胜的战绩获得冠军，兑现 了她们“升国旗、奏国歌”的誓言，向新中国成立 70 周年献上了一份厚礼女排世界杯 的比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如表： 比赛结果 胜方得分 负方得分 3：0 3 0 3：1 3 0 3：2 2 1 根据中国队与甲队的比赛统计数据，中国队每局获胜的概率都为2 3，则中国队在与甲队的 比赛中积分得到 3 分的概率等于（ ） A11 81 B 4 27 C 8 27 D16 27 6函数 f（x）cosx+sin2x 的图象大致为（ ） A B C D 7 我国古代数学名著 九章算术商功 中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “堑堵” ， 如图为一个堑堵 ABC
4、DFE，ABBC，AB6，其体积为 120，若将该“堑堵”放入一 个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（ ）来源:学.科.网 A100 B108 C116 D120 8 若关于 x 的不等式 lnxax20 的解集中有唯一的整数解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （3 9 ，2 4 B3 9 ，2 4 ） C （，3 9 （2 4 ，+） D （，3 9 ）2 4 ，+）来源:学|科|网 Z|X|X|K 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求
5、合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9下列说法正确的是（ ） A “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 B若角 的终边经过点（1，2） ，则 tan（+ 4）3 C若直线 ax+2y10 与直线 2xy+30 垂直，则 a1 D已知随机变量 X 服从正态分布 N（4，2） ，若 P（X5）0.8，则 P（X3）0.2 10如图，已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，左， 右顶点分别为 A， B， M 在双曲线 C 上， 且 MF1x 轴， 直线 MA， MB
6、 与 y 轴分别交于 P， Q 两点，若|OP|e|OQ|（e 为双曲线 C 的离心率） ，则下列说法正确的是（ ） Ae= 2 +1 B| 1| | =3 C直线 OM 的斜率 k2 D直线 AM 的斜率 k3 11将函数 f（x）sin2x23cos2x+3图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不 变） ，再向右平移 6个单位 得到函数 g（x）的图象，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）的最大值为 13 Bg（x）2cosx C函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 D函数 g（x）的图象关于点（ 2，0）对称 12在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，
7、PA底面 ABCD，PAAB，截面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是（ ） AE 为 PA 的中点 BPB 与 CD 所成的角为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 已知向量 = （2， m） ， = （1， 3） ， = （1， 3） ， 若 （ + ） ， 则实数 m 14曲线 f（x）（x2+1）lnx 在 P（1，f（1） ）处的切线方程为 15已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F
8、（2，0） ，在抛物线 C 上任取一点 P，作圆 E：x2+y212x+340 的切线，切点分别为 M，N，则|PM|的最小值为 ；四边形 PMEN 的面积的最小值等于 16已知函数 f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，3 8） ，点 O 为坐标原点，点 Pn （n， f （n） ）（nN*） ， 向量 = （1， 0） ， n是向量 与 m 的夹角， 则使得 tan1+tan2+ +tann 127 128的 n 的最小值为 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17
9、在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 cosB（3ca）bcosA （1）求 sinB 的值； （2）若 a= 3，b= 11，求ABC 的面积 18 已知数列an中， 对任意的 nN*， 都有 an0， an+1an3， a2与 a7的等比中项为 10， 数列bn为等比数列，b1a1，b4a61 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn 19在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为矩形，且与侧面 ABB1A1垂直，AB= 1 2AB1 1，BB1= 5 （1）求证：AB1A1C1； （2） 若直线 AC1与平面
10、ABB1A1所成角的正切值等于3 2， 求二面角 CABC1 的余弦值 20已知 f（x）exax2（a0） （1）若 a2，求函数 h（x）= () 2 （x（0，4）的最小值； （2）已知函数 f（x）有两个极值点 x1，x2 （i）求实数 a 的取值范围； （ii）证明：x1+x221n2a 21已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率 e= 6 3 ，且经过点 P（1 2， 3 2） （1）求椭圆 C 的方程； （2） 点 Q 是椭圆 C 与 x 轴正半轴的交点， 直线 l 与椭圆 C 交于异于点 Q 的不同两点 D， E，若 kQDkQE9，求证：直线 l 恒过定点
11、，并求出定点坐标 222019 年由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻 10 月 21 日至 22 日首次公开测产，经测产 专家组评定，最终亩产为 1046.3 公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻 生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展某企业引进一条先进的食品生产线， 计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项 指标值 k（k70，100）为衡量标准，其质量指标的等级划分如表： 质量指标值 k 90k100 85k90 80k85 75k80 70k75 产品等级 废品 合格 良好 优秀 良好 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机
12、抽取了 1000 件产品，测量了 每件产品的指标值，得到产品质量指标值 k 的频率分布直方图如图 （1）若从质量指标值不小于 85 的产品中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品，并采集相 关数据进行分析，然后从这 7 件产品中任取 3 件产品，求质量指标值 k90，95）的件数 X 的分布列及数学期望； （2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取 3 件产品，记“抽出的产品中至 少有 1 件为合格或合格以上等级“为事件 A，求事件 A 发生的概率； （3）若每件产品的质量指标值 k 与利润 y（单位：元）的关系如表所示（1t4） ： 质量指标值 k 90k100 85k90 80k85
13、75k80 70k75 利润 y（元） et t 2t 4t 3t 请问生产该产品能否盈利？若不能，试说明理由；若能，试确定 t 为何值时，利润达到 最大（参考数值：ln20.7，ln31.1，ln51.6） 来源:学#科#网 一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1已知 Px|y= 1，Qx|x24x50，则 PQ（ ） A （1，1） B （1，1 C （1，5） D1，5） 可以求出集合 P，Q，然后进行交集的运算
14、即可 Px|x1，Qx|1x5， PQ1，5） 故选：D 本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能 力，属于基础题 2已知复数 z1、z2在复平面内对应的点分别为 Z1（1，3） 、Z2（1，1） ，则1 2 =（ ） A2+i B2i C12i D1+2i 代入1 2 = 1:3 1: ，再利用复数除法的运算法则即可化简得出 1 2 = 1:3 1: = (1:3)(1;) (1:)(1;) = 4:2 2 =2+i 故选：A 本题考查了复数除法的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3命题 p：已知 a1，x0，使得 x+ 1，则该命题的否定为
15、（ ） A已知 a1，x0，使得 x+ 1 B已知 a1，x0，使得 x+ 1 C已知 a1，x0，使得 x+ 1 D已知 a1，x0，使得 x+ 1 根据含有量词的命题的否定即可得到结论（主要前提不动） 命题为特称命题，则命题的否定为：已知 a1，x0，使得 x+ 1； 故选：B 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 4甲、乙两家企业 1 至 10 月份的收入情况统计如图所示，下列说法中错误的是（ ） A甲企业的月收入比乙企业的月收入高 B甲、乙两企业月收入差距的最大值在 7 月份 C甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量比乙企业 7 月到 10 月份收入的平均变化量低 D 甲企业
16、 1 月到 10 月份收入的平均变化量比乙企业 1 月到 10 月份收入的平均变化量高 在 A 中，由题图可知甲企业月收入数据比乙企业月收入数据高；在 B 中，列表求出甲、 乙两企业月收入差距，得到差距的最大值在 7 月份，为 600；在 C 中，分别求出甲、乙 两个企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量，能判断正误；在 D 中，分别求出甲、乙企业 1 月到 10 月收放的平均变化量，能求出结果 在 A 中，由题图可知，甲企业月收入数据比乙企业月收入数据高，故 A 正确； 在 B 中，由题图知，甲、乙两企业月收入差距为： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 差距 200 300
17、200 100 300 300 600 400 300 300 差距的最大值在 7 月份，为 600，故 B 正确； 在 C 中，甲企业 4 月到 7 月份收入的平均变化量为800;300 3 167， 乙企业 7 月到 10 月收入的平均变化量为500;200 3 = 100， 167100，故 C 错误； 在 D 中，甲企业 1 月到 10 月收入的平均变化量为800;400 9 44， 乙企业 1 月到 10 月收放的平均变化量为500;200 9 33， 4433，故 D 正确 故选：C 本题考查命题真假的判断，考查折线图、平均变化量等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 52019
18、 年 9 月，中国女排在日本举行的女排世界杯中以十一场全胜的战绩获得冠军，兑现 了她们“升国旗、奏国歌”的誓言，向新中国成立 70 周年献上了一份厚礼女排世界杯 的比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如表： 比赛结果 胜方得分 负方得分 3：0 3 0 3：1 3 0 3：2 2 1 根据中国队与甲队的比赛统计数据，中国队每局获胜的概率都为2 3，则中国队在与甲队的 比赛中积分得到 3 分的概率等于（ ） A11 81 B 4 27 C 8 27 D16 27 由题意可知对应的比赛结果为 3：0 或者 3：1，利用二项分布分别算出概率，相加即可 由积分为 3 分，可知对应的比赛结果为 3：
19、0 或者 3：1， 中国队 3：0 获胜的概率 P1（2 3） 3=8 27， 中国队 3：1 的概率 P2C 3 2（2 3） 2（12 3） 2 3 = 8 27， 故所求事件的概率 P= 8 27 + 8 27 = 16 27， 故选：D 本题考查加法原理，乘法原理，二项分布，属于基础题 6函数 f（x）cosx+sin2x 的图象大致为（ ） A B C D 显然函数既不是奇函数，也不是偶函数，故排除 A；由 f（0）1，f（1）0，可排除 CD，由此得出正确选项 由已知得 f（x）cos（x）+sin2（x）cosxsin2x， 显然该函数既不是奇函数，也不是偶函数，故排除选项 A；
20、 又 f（0）cos0sin01，故函数的图象经过点（0，1） ，故可排除选项 D； 又1 ( 4 ， 3)，则2 ( 2 ， 2 3 )，故 cos10，sin20，于是 f（1）cos1+sin20，故 排除选项 C 故选：B 本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题 7 我国古代数学名著 九章算术商功 中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “堑堵” ， 如图为一个堑堵 ABCDFE，ABBC，AB6，其体积为 120，若将该“堑堵”放入一 个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（ ） A100 B108 C116 D120 设 BCa，BFb，则该“堑堵”的体积
21、 VSABCBF= 1 2 6 =120，解得 ab40， 要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径，设其外接球 的半径为 R，推导出堑堵 ABCDFE 外接球的一条直径是以 BA，BC，BF 为相邻三条棱 的长方体的体对角线，由此能求出球形容器的表面积最小值 设 BCa，BFb， 则该“堑堵”的体积 VSABCBF= 1 2 6 =120， 整理，得 ab40， 要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径， 设其外接球的半径为 R， 在堑堵 ABCDFE 中，BA，BC，BF 两两垂直， 堑堵 ABCDFE 外接球的一条直径是以 BA，BC，BF
22、 为相邻三条棱的长方体的体对角 线， 即 2R= 2+ 2+ 2= 36 + 2+ 2， a2+b22ab80， （当且仅当 ab 时，取等号） ， 外接球的表面积 S4R2116， 球形容器的表面积最小值为 116 故选：C 本题考查球形容器表面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 8 若关于 x 的不等式 lnxax20 的解集中有唯一的整数解， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A （3 9 ，2 4 B3 9 ，2 4 ） C （，3 9 （2 4 ，+） D （，3 9 ）2 4 ，+） 由题意可得， 2 a，构造函数 f（
23、x）= 2 ，x0，对其求导，然后结合导数分析函数 的性质，结合图象即可求解 由题意可得， 2 a， 令 f（x）= 2 ，x0，则() = 12 3 ， 当 0时，f（x）0，函数单调递增，当 x时，f（x）0，函数单调递 减， 故当 x= 时，函数取得最大值 f（）= 1 2， 因为 lnxax20 的解集中有唯一的整数解， 结合图象可知，只能是 x2， 故3 9 2 4 ， 故选：B 本题主要考查了利用导数求解与零点有关的参数范围问题， 体现了数形结合思想的应用 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中
24、，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9下列说法正确的是（ ） A “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 B若角 的终边经过点（1，2） ，则 tan（+ 4）3 C若直线 ax+2y10 与直线 2xy+30 垂直，则 a1 D已知随机变量 X 服从正态分布 N（4，2） ，若 P（X5）0.8，则 P（X3）0.2 可知，由 a3b3可得出 ab，从而 c0 时，由 a3b3得不出 ac2bc2，从而可判断选 项 A 错误；可知 tan2，从而可求出
25、( + 4) = 3，从而判断选项 B 真确；根据直 线垂直时，两直线的斜率之积为1 即可判断选项 C 错误；可知正态分布的对称轴为 x 4，从而可得出 P（X4）0.5，P（3X4）P（4X5）0.3，从而可得出 P （X3）0.2，从而判断选项 D 正确 Aa3b3ab，且 c0 时得不出 ac2bc2，a3b3不是 ac2bc2的充要条件， 该说法错误； B 若角 的终边经过点 （1， 2） ， 则 tan2， ( + 4) = + 4 1 4 = 2+1 121 = 3， 该说法正确； C由两直线互相垂直得， 2 2 = 1，解得 a1，该说法错误； D由随机变量 X 服从正态分布 N
26、（4，2） ，可得 4， P（X5）0.8，P（4X5）P（X5）P（X4）0.80.50.3， 由对称性可得，P（3X4）0.3，P（X3）P（X4）P（3X4）0.5 0.30.2，该说法正确 故选：BD 本题考查了充要条件的定义，根据直线上的点求斜率的方法，两角和的正切公式，直线 垂直时的斜率关系，正态分布的定义，考查了计算能力，属于中档题 10如图，已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，左， 右顶点分别为 A， B， M 在双曲线 C 上， 且 MF1x 轴， 直线 MA， MB 与 y 轴分别交于 P， Q 两点，若|OP|e|OQ|（e
27、 为双曲线 C 的离心率） ，则下列说法正确的是（ ） Ae= 2 +1 B| 1| | =3 C直线 OM 的斜率 k2 D直线 AM 的斜率 k3 根据条件以及图象，利用三角形相似性质得到 OQ= 2 +，OP= 2 ，结合 OPeOQ， 可求得 e= 2 +1，进而了逐一判断出 BCD 选项 根据题意得 A（a，0） ，B（a，0） ，F1（c，0） ，M（c， 2 ） ， 根据BOQBF1M，则 1 = 1，所以 OQ= 2 +， 由AOPAF1M，可得 1 = 1，所以 OP= 2 ， 根据 OPeOQ，即 2 ; =e 2 :， 整理可得 a+ce（ca） ，即 1+ee（e1）
28、， 即 e22e1，因为 e1，解得 e= 2 +1，故 A 正确 又 1 = ; =e1= 2，故 B 错误， 因为 MF1= 2 ， 所以直线 OM 的斜率 k= 2 = 2 = 22 = 1 e2， 故 C 正确， 直线 AM 的斜率 k= 1 1 = 2 = + = （e+1）= 2 2，故 D 不正确 故选：AC 本题考查双曲线性质，三角形相似性质，数形结合思想，属于中档偏难题 11将函数 f（x）sin2x23cos2x+3图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不 变） ，再向右平移 6个单位 得到函数 g（x）的图象，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）的最大值为 13
29、 Bg（x）2cosx C函数 f（x）的图象关于直线 x= 5 12对称 D函数 g（x）的图象关于点（ 2，0）对称 将函数 f（x）sin2x23cos2x+3化简后，再进行伸缩，平移变换可得函数 g（x）h （x 6）2sin（x 6） 32cosx 的图象，进而研究三角函数的图象和性质 解；f（x）sin2x23cos2x+3 =sin2x3cos2x2sin（2x 3） ， 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得函数 h（x）f（1 2x） 2sin（x 3）的图象， 再将函数图象向右平移 6个单位，可得函数 g（x）h（x 6）2sin（x 6） 3 2c
30、osx 的图象 A 选项，函数 f（x）的最大值为 2，故该项不正确；B 选项 g（x）2cosx，故该项不 正确； C 选项， 令 2x 3 =k+ 2， 解得 x= 2 + 5 12， 故该项正确； D 选项， 显然 g （x） 2cosx， 其图象的对称中心为（k+ 2，0） ，当 k1 时，图象的对称中心为（ 2，0） ，故该项 正确 故选：CD 本题考查三角函数式的化简，函数图象的变换和性质，知识点多，但都比较基础 12在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA底面 ABCD，PAAB，截面 BDE 与直线 PC 平行，与 PA 交于点 E，则下列判断正确的是（ ） A
31、E 为 PA 的中点 BPB 与 CD 所成的角为 3 CBD平面 PAC D三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1：4 在 A 中，连结 AC，交 BD 于点 F，连结 EF，则平面 PAC平面 BDEEF，推导出 EF PC，由四边形 ABCD 是正方形，从而 AFFC，进而 AEEP；在 B 中，由 CDAB， 得PBA （或其补角） 为PB与 CD 所成角， 推导出PAAB， 从而PB与 CD 所成角为 4； 在C 中，推导出 ACBD，PABD，由此能证明 BD平面 PAC；在 D 中，设 ABPAx， 则;= 1 3 2 = 1 3 2 = 1 3 3，VCBD
32、EVEBCD= 1 3 = 1 3 1 2 2 1 2 = 1 12 3 由此能求出三棱锥 CBDE 与四棱锥 PABCD 的体积之比等于 1： 4 在 A 中，连结 AC，交 BD 于点 F，连结 EF，则平面 PAC平面 BDEEF， PC平面 BDE，EF平面 BDE，PC平面 PAC， EFPC， 四边形 ABCD 是正方形，AFFC，AEEP，故 A 正确； 在 B 中，CDAB，PBA（或其补角）为 PB 与 CD 所成角， PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，PAAB， 在 RtPAB 中，PAAB，PAB= 4， PB 与 CD 所成角为 4，故 C 错误； 在 C 中，四
33、边形 ABCD 为正方形，ACBD， PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD， PAACA，BD平面 PAC，故 C 正确； 在 D 中，设 ABPAx，则;= 1 3 2 = 1 3 2 = 1 3 3， VCBDEVEBCD= 1 3 = 1 3 1 2 2 1 2 = 1 12 3 VCBDC：VPABCD= 1 12 3： 1 3 3=1：4故 D 正确 故选：ACD 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13
34、已知向量 =（2，m） ， =（1，3） ， =（1，3） ，若（ + ） ，则实数 m 12 根据题意， 求出向量 （ + ） 的坐标， 由向量平行的坐标表示方法可得若 （ + ） ， 则 3 3（3+m）（1） ，解可得 m 的值，即可得答案 根据题意，向量 =（2，m） ， =（1，3） ，则（ + ）（3，m+3） ， 若（ + ） ，则 33（3+m）（1） ，解可得 m12； 故答案为：12 本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题 14曲线 f（x）（x2+1）lnx 在 P（1，f（1） ）处的切线方程为 2xy20 对函数求导，然后分别求出切点处的导数和函数
35、值，再利用点斜式写出切线方程 () = 2 + 2+1 ， f（1）2，f（1）0 所以切线方程为 y02（x1） 即 2xy20 故答案为：2xy20 本题考查了导数的几何意义以及利用导数求切线方程的基本思路，注意抓住切点是关 键属于基础题 15已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F（2，0） ，在抛物线 C 上任取一点 P，作圆 E：x2+y212x+340 的切线，切点分别为 M，N，则|PM|的最小值为 30 ；四边形 PMEN 的面积的最小值等于 215 先通过抛物线的焦点坐标求出抛物线的标准方程，然后将圆的一般方程化成标准方程， 得到圆心坐标和半径， 设点 P 的坐标为 （
36、x， y） ， 利用勾股定理用 x 表示出切线|PM|的长， 进而求得其最小值；由对称性可知，四边形 PMEN 的面积 = 2= 2|，所以 当|PM|取得最小值时，S 也取得最小值 抛物线的焦点为 F（2，0） ， 2 = 2，即 p4， 抛物线 C 的方程为 y28x 圆 E 的方程化成标准方程为（x6）2+y22，故其圆心为 E（6，0） ，半径 r= 2， 设 P（x，y） ，则切线长|PM|= |2 2= ( 6)2+ 2 2 = 2 4 + 34 = ( 2)2+ 30， 当 x2 时，切线长|PM|取得最小值，为30， 四边形 PMEN 的面积 S= + = 2= 2 1 2 |
37、 = 2|， 故当|PM|最小时，四边形 PMEN 的面积取得最小值，为2 30 = 215 故答案为：30；215 本题考查与圆有关的计算、抛物线的基本性质，考查学生数形结合的能力和运算能力， 属于基础题 16已知函数 f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，3 8） ，点 O 为坐标原点，点 Pn （n， f （n） ）（nN*） ， 向量 = （1， 0） ， n是向量 与 m 的夹角， 则使得 tan1+tan2+ +tann 127 128的 n 的最小值为 8 利用函数的图象经过的点，求解 a，得到函数的解析式，通过向量关系，求出 tann，利 用等比数列的前 n 项和，结合
38、不等式，求解 n 的最小值即可 函数 f（x）xax（a0，a1）的图象经过点（3，3 8） ，解得 a= 1 2， 所以 f（x）= 2，点 Pn（n，f（n） ） ， 所以向量 = (， 2)，所以 cosn= | | | = 2+( 2) 2， sinn= 1 2= 2 2+( 2) 2 ， 所以= 1 2， 所以 tan1+tan2+tann= 1 2 + 1 22 + + 1 2 = 1 21( 1 2) 11 2 =1 1 2， 因为 tan1+tan2+tann 127 128，所以1 1 2 127 128， 解得 n7，因为 nN*，所以 n 的最小值为 8 故答案为：8 本
39、题考查数列与函数相结合， 向量的数量积的应用， 数列求和以及数列与不等式相结合， 考查转化思想以及计算能力，是中档题 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 cosB（3ca）bcosA （1）求 sinB 的值； （2）若 a= 3，b= 11，求ABC 的面积 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合 sinC0，可得 cosB 的 值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解 sinB 的值 （2
40、）由余弦定理可得 c22c80，解方程可得 c 的值，进而根据三角形的面积公式即 可计算得解 （1）cosB（3ca）bcosA， 由正弦定理可得： cosB （3sinCsinA） sinBcosA， 即3cosBsinCcosBsinAsinBcosA ， 3cosBsinCcosBsinA+sinBcosAsin（A+B）sinC， sinC0， 可得 cosB= 3 3 ， sinB= 1 2 = 6 3 （2）由（1）可知 cosB= 3 3 ， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得（11）2（3）2+c22 3 3 3 ， 整理可得 c22c80，解得 c4 或2（舍去）
41、 ， SABC= 1 2acsinB= 1 2 3 4 6 3 =22 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在 解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 18 已知数列an中， 对任意的 nN*， 都有 an0， an+1an3， a2与 a7的等比中项为 10， 数列bn为等比数列，b1a1，b4a61 （1）求数列an和bn的通项公式； （2）求数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn 本题第（1）题由 an+1an3 可知数列an是公差为 3 的等差数列，然后根据等比中项 的性质可列出关于 a2的一元二次方程，结合题干条件解出 a2的
42、值，即可计算出数列an 的通项公式，对于数列bn，可设等比数列bn的公比为 q，根据 q3= 4 1，结合数列an 的通项公式，可计算出 q3的值，即可计算出 q 的值，再算出 b1的值，即可得到数列bn 的通项公式； 第（2）题可先根据第（1）题的结果分别计算出数列 1 +1和的通项公式，进一 步分别用裂项相消法和分组求和法、等比数列的求和公式计算出数列 1 +1和 的前 n 项和， 最后将两个数列的前 n 项和相加即可得到数列 1 +1 +a 的前 n 项和 Tn （1）依题意，由 an+1an3，可知数列an是公差为 3 的等差数列， a2与 a7的等比中项为 10， a2a7102100，即 a2 （a2+53）100， 整理，得 a22+15a21000， 解得 a25，或 a220， an0，n
浙公网安备33030202001339号