1、2020 年高考数学一模试卷（理科）年高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 A3，2，2，4，6，Bx|x23x100，则 AB（ ） A2，4 B2，2，4 C2，2 D3，2，2 2已知复数 z 满足（23i）z13i3，则 z 的虚部是（ ） A3 B2i C2 D2 3某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ） A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 4将甲、乙、丙、丁、戊 5 名护士派往
2、 5 所医院（含 A 医院），每所医院派 1 名护士，则 甲和乙都不派往 A 医院的总派法数为（ ） A48 B60 C72 D96 5设非零向量 ， 满足| |3| |，cos ， ， （ ）16，则| |（ ） A B C2 D 6设双曲线 ， ， 的离心率分别为 e1，e2，e3，则（ ） Ae3e2e1 Be3e1e2 Ce1e2e3 De2e1e3 7将 60 个个体按照 01，02，03，60 进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始 向右读数（下表为随机数表的第 8 行和第 9 行）， 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71
3、75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第 11 个个体是（ ） A38 B13 C42 D02 8若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 9若 tan 3，则 cos4（ ） A B C D 10如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1， ，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异 面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） A直线 A1E 与直线 C
4、1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 D直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 11已知函数 f（x）sin2x+acos2x，将 f（x）的图象向右平移 个单位长度后，得到 g（x） 的图象若 g（x）的图象关于直线 x 对称，则 f（）（ ） A B C D 12设定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），对 xR 都有 f（1+x）f（1x）， 当 x1 且 x2 时， 0，则（ ） Af（log25）f（log1，53.5），且 f（log32）+f（log23）0 Bf（log1，53.5）f（log25），且
5、f（log32）+f（log23）0 Cf（log25）f（log1，53.5），且 f（log32）+f（log23）0 Df（log1，53.5）f（log25），且 f（log32）+f（log23）0 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a5bsinA，则 sinB 14四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB1，AC 2，AD3，则四面体 ABCD 的体积为 ，球 O 的表面积为 15函数 f（x） （x0）的值域为 16设
6、 A（2，0），B（2，0），若直线 yax（a0）上存在一点 P 满足|PA|+|PB|6， 且PAB 的内心到 x 轴的距离为 ，则 a 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答.（一）必考题：共 60 分. 17如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，PDCE，AE1，PD3， PC （1）证明：AD平面 PCD （2）求 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值 18某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前
7、需要对每箱的零件作检验， 人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是正品或都 是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件 逐一检验已知每个零件检验合格的概率为 0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每 个零件的人工检验费为 2 元 （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 X 元，求 X 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验， 每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验， 以检验总费用的数学期望为依据， 在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由 1
8、9设 Sn为数列an的前 n 项和，a11，且 Sn+12Sn+n1 （1）证明：数列Sn+n为等比数列，并求 an （2）求数列 的前 n 项和 Tn 20已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）x4+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集 21已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）若 l 过点 F，抛物线 C 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线交于点 G证明：点 G 在定直线上 （2）若 p2，点 M 在曲线 y 上，MP，MQ 的中点均在抛
9、物线 C 上，求MPQ 面积的取值范围 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1， ），C1的参数方程为 （t 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求 的值 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x
10、）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1已知集合 A3，2，2，4，6，Bx|x23x100，则 AB（ ） A2，4 B2，2，4 C2，2 D3，2，2 【分析】可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 解：因为 Bx|x23x100x|2x5，所以 AB2，4 故选：A 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属 于基础题 2已知复数 z 满足（23i）z13i3，则 z 的虚部是（ ）
11、A3 B2i C2 D2 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解：由（23i）z13i313i， 得 ， z 的虚部是2 故选：D 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位： 万 元 ） 如 图 2 所 示 ， 则 去 年 的 水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为 （ ） A6.25% B7.5% C10.25% D31.25% 【分析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%，由条形图得去年 水、电、交通支出合计为 250+45
12、0+100800（万元），共中水费支出 250（万元），由 此能求出去年的水费开支占总开支的百分比 解：由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为 20%， 由条形图得去年水、电、交通支出合计为： 250+450+100800（万元）， 共中水费支出 250（万元）， 去年的水费开支占总开支的百分比为： 6.25% 故选：A 【点评】本题考查去年的水费开支占总开支的百分比的求法，考查拆线图、条形图等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 4将甲、乙、丙、丁、戊 5 名护士派往 5 所医院（含 A 医院），每所医院派 1 名护士，则 甲和乙都不派往 A 医院的总派法数为（ ） A48 B6
13、0 C72 D96 【分析】 先从丙、 丁、 戊中任选 1 人派往 A 医院， 再把剩余的 4 人派往另外的 4 所医院， 每所医院派 1 名护士，最后利用乘法原理求出结果 解：先从丙、丁、戊中任选 1 人派往 A 医院有 C 种选法，再把剩余的 4 人派往另外的 4 所医院，每所医院派 1 名护士，有 A 种选法，所以总派法数为 C A 72， 故选：C 【点评】本题主要考查排列组合中的乘法原理，属于基础题 5设非零向量 ， 满足| |3| |，cos ， ， （ ）16，则| |（ ） A B C2 D 【分析】由于 （ ） ，再利用平面向量数量积进行运算求解即可 解：| |3| |，co
14、s ， ， （ ） ， 故选：A 【点评】本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题 6设双曲线 ， ， 的离心率分别为 e1，e2，e3，则（ ） Ae3e2e1 Be3e1e2 Ce1e2e3 De2e1e3 【分析】利用双曲线的离心率公式，求出 3 个双曲线的离心率，然后判断大小即可 解：因为双曲线 ， 的离心率为 ，e1 e2 ， e3 ， 所以 e2e1e3 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7将 60 个个体按照 01，02，03，60 进行编号，然后从随机数表的第 9 行第 9 列开始 向右读数（下表为随机数表的第 8 行和第 9
15、 行）， 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 则抽取的第 11 个个体是（ ） A38 B13 C42 D02 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论 解：随机数表第 9 行第 9 列为 2，抽取的个体分别为 29，56，07，52，42，44，38，15， 51，13，02，第 11 个个体为 02 故选：D 【点评】本题主
16、要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比 较基础 8若 log2x+log4y1，则 x2+y 的最小值为（ ） A2 B2 C4 D2 【分析】由对数的运算法则可求 x2y4（x0，y0），再用均值不等式可求 x2+y 的最 小值 解：因为 log2x+log4ylog4x2+log4ylog（x2y）1， x2y4（x0，y0）， 则 x2+y2 4，当且仅当 x2y2 时等号成立，则 x2+y 的最小值为 4 故选：C 【点评】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题 9若 tan 3，则 cos4（ ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三
17、角函数基本关系式， 二倍角的正弦函数公式可求 sin2 的值， 进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解 解：tan 3， sin2 ， cos412sin2 2 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数 公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 10如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1， ，E，F 分别为 AB，BC 的中点，异 面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值为 m，则（ ） A直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 B直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 C直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 D直线 A1E
18、与直线 C1F 共面，且 【分析】连结 EF，A1C1，C1D，DF，推导出 EFA1C1，从而直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，得异面直线 AB1与 C1F 所成角为DC1F，由此能推导出直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 解：连结 EF，A1C1，C1D，DF， E，F 分别为 AB，BC 的中点，EFA1C1， 直线 A1E 与直线 C1F 共面， 由题意得 AB1C1D，异面直线 AB1与 C1F 所成角为DC1F， 设 AA1 ，则 AB 2，则 DF ，C1F ， ， 由余弦定理得异面直线 AB1与 C1F 所成角的余弦值： mcosDC1 F 综上
19、：直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 故选：B 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考 查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11已知函数 f（x）sin2x+acos2x，将 f（x）的图象向右平移 个单位长度后，得到 g（x） 的图象若 g（x）的图象关于直线 x 对称，则 f（）（ ） A B C D 【分析】先求出平移后的函数式 g（x），然后根据 g（x）关于 对称，则 x 函数 取得最大值，构造方程即可 解： ， 因为 g（x）的图象关于直线 对称， 所以 ， 即 ， 解得 ，故 故选：D 【点评】本题
20、考查三角函数图象的变换和性质，注意将对称轴与函数的最值关联，对称 中心与函数的零点关联列方程求解属于较简单的中档题 12设定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），对 xR 都有 f（1+x）f（1x）， 当 x1 且 x2 时， 0，则（ ） Af（log25）f（log1，53.5），且 f（log32）+f（log23）0 Bf（log1，53.5）f（log25），且 f（log32）+f（log23）0 Cf（log25）f（log1，53.5），且 f（log32）+f（log23）0 Df（log1，53.5）f（log25），且 f（log32）+f（log23）0
21、【分析】当 x1 且 x2 时， 0，对 x 分类讨论：x（1，2）时，f（x）0；x （2，+）时，f（x）0可得其单调性比较 log25 与 log1.53.5 的大小关系即可 得出 f（log25）与 f（log1.53.5）大小关系根据 f（1+x）f（1x），转化 f（log23） f（1 ）f（1 ）f（ ）利用单调性可得 f（log32）+f（log23） f（log32）f（ ）与 0 的关系 解：当 x1 且 x2 时， 0，则 x（1，2）时，f（x）0，函数 f（x）单调递 减； x（2，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增 ，f（log25）f（log1.53.5
22、） f（1+x）f（1x）， f（log23）f（1 ）f（1 ）f（ ） f（log32）+f（log23）f（log32）f（ ）0 故选：A 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、方程与不等式 的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 a5bsinA，则 sinB 【分析】 由正弦定理化简已知可得 sinA5sinBsinA， 结合 sinA0， 即可解得 sinB 的值 解：a5bsinA， 由正弦定理可得
23、sinA5sinBsinA， 又sinA0， sinB 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 14四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，AB，AC，AD 两两垂直，且 AB1，AC 2，AD3，则四面体 ABCD 的体积为 1 ，球 O 的表面积为 14 【分析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球 的直径即为长方体的对角线即可得出 解：AB，AC，AD 两两垂直，且 AB1，AC2，AD3， 四面体 ABCD 的体积 1231， 把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线 设球 O 的半径为 r，则（2r
24、）212+22+3214 其表面积4r214 故答案为：1，14 【点评】本题考查了正四棱锥与球的性质、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题 15函数 f（x） （x0）的值域为 ， 【分析】 ， 由x0可得02 x1， 进而得到22+2x3， 则 ， 由 此得出答案 解： ， x0， x0，02x1， 22+2x3， ，即函数的值域为 ， 故答案为： ， 【点评】本题考查函数值域的求法，涉及了指数函数的性质及不等式的性质的运用，属 于基础题 16设 A（2，0），B（2，0），若直线 yax（a0）上存在一点 P 满足|PA|+|PB|6， 且PAB 的内心到 x 轴的距
25、离为 ，则 a 【分析】根据条件得到 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程 组求出 P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可 解：A（2，0），B（2，0），P 满足|PA|+|PB|6|AB|， P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为 ， 若直线直线 yax （a0） 与椭圆方程为 联立， 可得， ， y 2 PAB 的内心到 x 轴的距离为 ，所以三角形的内切圆的半径为：r ， 三角形的面积为： ， 可得|y| ， y 2 ，解得 a3，因为 a0，所以 a 故答案为： 【点评】本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立
26、方程组求出交 点坐标是解决本题的关键 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答.（一）必考题：共 60 分. 17如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，PDCE，AE1，PD3， PC （1）证明：AD平面 PCD （2）求 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值 【分析】（1）推导出 ADCD，PDCD，PDCE，从而 PD平面 ABCD，进而 AD PD，由此能证明 AD平面 PCD （2）以 D 为原点，DA 为 x 轴
27、，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值 解： （1）证明：四棱锥 PABCD 的底面是正方形，E 为 AB 的中点，AE1，PD3， PC ADCD，AB2AE2，PD2+CD2PC2，PDCD， PDCE，CDCEC， PD平面 ABCD，ADPD， CDPDD，AD平面 PCD （2）解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，3），C（0，2，0），E（2，1，0）， （2，0，0）， （0，2，3）， （2，1，
28、3）， 设平面 PCE 的法向量 （x，y，z）， 则 ，取 z2，得 （ ，3，2）， 设 DA 与平面 PCE 所成角为 ， 则 DA 与平面 PCE 所成角的正弦值为： sin 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 18某厂加工的零件按箱出厂，每箱有 10 个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验， 人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取 4 个零件，若抽取的零件都是正品或都 是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有 1 个至多有 3 个次品，则对剩下的 6 个零件 逐一检验已知
29、每个零件检验合格的概率为 0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每 个零件的人工检验费为 2 元 （1）设 1 箱零件人工检验总费用为 X 元，求 X 的分布列； （2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验， 每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验， 以检验总费用的数学期望为依据， 在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由 【分析】（1）X 的可能取值为 8，20，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列 （2）求出 EX15.0656，从而 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 1000EX 15065.6元 再由10
30、00箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000元， 得到应该选择人工检验 解： （1）X 的可能取值为 8，20，P（X8）0.84+0.240.4112，P（X20）10.4112 0.5888， 则 X 的分布列为 X 8 20 P 0.4112 0.5888 （2）由（1）知，EX80.4112+200.588815.0656， 所以 1000 箱零件的人工检验总费用的数学期望为 1000EX15065.6 元 因为 1000 箱零件的机器检验总费用的数学期望为 1.610100016000 元， 且 1600015065.6， 所以应该选择人工检验 【点评】本题考查
31、离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应 该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题 19设 Sn为数列an的前 n 项和，a11，且 Sn+12Sn+n1 （1）证明：数列Sn+n为等比数列，并求 an （2）求数列 的前 n 项和 Tn 【分析】第（1）题先将 Sn+12Sn+n1 转化变形并加以计算可证得数列Sn+n是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再计算出数列Sn+n的通项公式，以及 Sn的表达式，然后运用 公式 an ， ， 即可计算出数列a n的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 的通
32、项公式，然后运用分组求和法计 算出前 n 项和 Tn 【解答】（1）证明：依题意，由 Sn+12Sn+n1 两边同时加上 n+1，可得 Sn+1+n+12Sn+n1+n+12（Sn+n）， 又S1+1a1+12， 数列Sn+n是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 则 ，即 ，n一、选择题*， 当 n2 时， ， 当 n1 时，a11 不满足上式， an ， ， （2）解：由（1）知，当 n2 时， ， 则 Tn （ ）+（ ）+（ ） （ ） ， 当 n1 时，T1 也满足上式， Tn 【点评】本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化 与化归思想，分类讨论，分组求
33、和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题 20已知函数 f（x）x3+ax （1）讨论 f（x）在（a，+）上的单调性； （2）若 a3，求不等式 f（2x24x+3）x4+6x4+12x2+8+a（x2+2）的解集 【分析】（1）先求导 f（x）3x2+a，分当 a0 时，a0 时，两种情况讨论，而当 a 0 内再分类讨论，得到单调递性， （2）当 a3，f（x）3x2+a3x23，可得 f（x）在1，+）上单调递增原不 等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2），因为 2x24x+31，x2+21，所以 2x24x+3 x2+2，可解不等式，进而得出答案 解：（1）f（x）3x2
34、+a， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在（a，+）上单调递增， 当 a0 时，f（x）0，得 x 当 a 时， a， 令 f（x）0，得 axa， 令 f（x）0，得 xa， 所以 f（x）的单调递减区间为（a，a），单调递增区间为（a，+） 当 a 时， a， 令 f（x）0，得 x ， 令 f（x）0，得 ax 或 x ， 所以 f （x） 的单调递减区间为 （ ， ） ， 单调递增区间为 （a， ） ， （ ， +） 当 a0 时， a， 令 f（x）0，得 ax 或 x 令 f（x）0，得，x ， 所以 f（x）的单调递减区间为（a， ）， 单调递增区间为（ ，+） （2）因为
35、 a3，所以 f（x）3x2+a3x23， 当 x1 时，f（x）0，所以 f（x）在1，+）上单调递增 因为 x6+6x4+12x2+8+a（x2+2）（x2+2）3+a（x2+2）f（x2+2）， 所以原不等式等价为 f（2x24x+3）f（x2+2）， 因为 2x24x+32（x1）2+11，x2+21， 所以 2x24x+3x2+2， 解得 2 x2 ， 故所求不等式的解集为（2 ，2 ） 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，及不等式的解，属于中档题 21已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点 （1）若 l 过点 F，抛物线 C
36、 在点 P 处的切线与在点 Q 处的切线交于点 G证明：点 G 在定直线上 （2）若 p2，点 M 在曲线 y 上，MP，MQ 的中点均在抛物线 C 上，求MPQ 面积的取值范围 【分析】（1）设 ， ， ， 根据条件分别求出直线 PG 的方程，QG 的方 程，联立可得 故点 G 在定直线 上 （2）设 M（x0，y0），表示出MPQ 的面积 结 合 M 在曲线 y 上，即可求出面积的取值范围 【解答】（1）证明：易知 ， ，设 ， ， ， 由题意可知直线 l 的斜率存在，故设其方程为 由 ，得 x22pkxp20，所以 由 x22py，得 ， ，则 ， 直线 PG 的方程为 ，即 ， 同理可
37、得直线 QG 的方程为 ， 联立，可得 因为 x1x2，所以 ，故点 G 在定直线 上 （2）解：设 M（x0，y0），MP，MQ 的中点分别为 ， ， ， 因为 MP，MQ 得中点均在抛物线 C 上，所以 x1，x2为方程 的解， 即方程 的两个不同的实根， 则 x1+x22x0， ， ， 即 ， 所以 PQ 的中点 N 的横坐标为 x0，则 ， ， 所以MPQ 的面积 由 ，得 ， 所以 ， 因为1y00，所以 ， 所以MPQ 面积的取值范围为 ， 【点评】本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合 理利用根与系数关系是关键，属于难题 （二）选考题：共 10 分.
38、请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1， ），C1的参数方程为 （t 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求 的值 【分析】（1）由代入消元法，消去 t 可得 C1的普通方程；由 xcos，x2+y22，代 入计算可得 C2的直角坐标方程； （2）判断 M 在 C2上，设出曲线 C1的参数的标准方程，代入
39、曲线 C2的直角坐标方程， 再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值 解：（1）由 C1的参数方程 （t 为参数），消去参数 t，可得 ， 由曲线 C2的极坐标方程 2+cos2，得 22 +2cos2 3， 由 xcos，x2+y22， 所以 C2的直角坐方程为 3x2+2y23，即 （2）因为 ， 在曲线 C1上， 故可设曲线 C1的参数方程为 （t 为参数）， 代入 3x2+2y23，化简可得 3t2+8t+20， 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则644320， 且 ， ， 所以 【点评】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程 的运用，注意参
40、数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）求不等式 f（x）6 的解集； （2）设 f（x）的最小值为 M，正数 a，b 满足 a2+4b2M，证明：a+2b4ab 【分析】（1）先将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）6 利用零点分段法解 不等式即可； （2） 先利用绝对值三角不等式求出 f （x） 的最小值 M， 然后利用分析法证明不等式即可 解：（1）f（x）|x3|+|x1| ， ， ， f（x）6， 或 或 ， 即以1x1 或 3x5 或 1x3， 不等式的解集为1，5 （2）（x）|x+3|+|x1|x3x+1|2，M2， a0，b0，要证 a+2b4ab，只需证（a+2b）216a2b2， 即证 a2+4b2+4ab16a2b2， a2+4b22，只要证 2+4ab16a2b2， 即证 8（ab）22ab10，即证（4ab+1）（2ab1）0， 4ab+10，只需证 ， 2a2+4b24ab， 成立， a+2b4ab 【点评】 本题考查了绝对值不等式的解法， 绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式， 考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题
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